Фракталы в окружающем нас мире

Фракталы в окружающем нас мире.

Выполнила: ученица 9 класса

 МБОУ Кировская СОШ

Литовченко Екатерина Николаевна.
Руководитель: учитель математики

 МБОУ Кировская СОШ 

Качула Наталья Николаевна.

Оглавление                                              

                                                                                                                       стр.

1. Введение………………………………………………………………     3

1.  Объект исследования.
2.  Предметы исследования.
3.  Гипотезы.
4.  Цели,  задачи и методы исследования.

2. Исследовательская часть. ………………………………………….       7                      

1. Нахождение связи между фракталами и треугольником Паскаля.
2. Нахождение связи между фракталами и золотым сечением.
3. Нахождение связи между фракталами и фигурными  числами.
4. Нахождение связи между фракталами и литературными произведениями.

3. Практическое применение фракталов……………………………..        13

4. Заключение…………………………………………………………..         15

         4.1       Результаты исследования.

5. Библиография………………………………………………………..          16

1. Введение.

1.  Объект исследования: Фракталы.

Когда большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями. К примеру, что может быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей солнечной системе движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам?

Однако многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной.

Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных систем. Как подступиться к моделированию каскадных водопадов или турбулентных процессов, определяющих погоду?

Фракталы и математический хаос - подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Термин фрактал относится к некоторой статичной геометрической конфигурации, такой как мгновенный снимок водопада. Хаос - термин динамики, используемый для описания явлений, подобных турбулентному поведению погоды. Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды - вы снова увидите горы. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия.

Во многих работах по фракталам самоподобие используется в качестве определяющего свойства. Следуя Бенуа Мадельброту, мы принимаем точку зрения, согласно которой фракталы должны определяться в терминах фрактальной (дробной) размерности. Отсюда и происхождение слова фрактал (от лат. fractus -  дробный).

Понятие дробной размерности представляет собой сложную концепцию, которая излагается в несколько этапов. Прямая - это одномерный объект, а плоскость - двумерный. Если хорошенько перекрутив прямую и плоскость, можно повысить размерность полученной конфигурации; при этом новая размерность обычно будет дробной в некотором смысле, который нам предстоит уточнить. Связь дробной размерности и самоподобия состоит в том, что с помощью самоподобия можно сконструировать множество дробной размерности наиболее простым образом. Даже в случае гораздо более сложных фракталов, таких как граница множества Мандельброта, когда чистое самоподобие отсутствует, имеется почти полное повторение базовой формы во все более и более уменьшенном виде.

Слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура,  обладает какими- либо из перечисленных ниже свойств:

• Теоретическая многомерность (можно продолжать в любом количестве измерений).
• Если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой.  Фрагмент фрактала же в крупном масштабе будет таким же, как и в любом другом масштабе. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
• Является самоподобной или приближённо самоподобной,  каждый уровень подобен целому
• Длины, площади и объемы одних фракталов равны нулю, других - обращаются в бесконечность.
• Обладает дробной размерностью.

Виды фракталов: алгебраические, геометрические, стохастические.

Алгебраические фракталы – самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах, например, множества Мандельброта  и Жюлиа.

Вторая группа фракталов – геометрические фракталы. История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX веке. Фракталы этого класса — самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. При построении этих фракталов обычно берется набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этому набору применяют набор правил, который преобразует их в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если представить бесконечное количество подобных операций, получается геометрических фрактал.

                                                                                    На рисунке справа изображен треугольник Серпинского – геометрический фрактал, который образуется следующим образом: на первом шаге мы видим обычный треугольник, на следующем шаге соединяются середины сторон, образуя 4 треугольника, один из которых перевернутый. Далее мы повторяем проделанную операцию со всеми треугольниками, кроме перевернутых, и так до бесконечности.

Примеры геометрических фракталов: 

1.1    Звезда Коха

В начале ХХ века математики искали такие кривые, которые ни в одной точке не имеют касательной. Это означало, что кривая резко меняет свое направление, и притом с колоссально большой скоростью (производная равна бесконечности). Поиски данных кривых были вызваны не просто праздным интересом математиков. Дело в том, что в начале ХХ века очень бурно развивалась квантовая механика. Исследователь М.Броун зарисовал траекторию движения взвешенных частиц в воде и объяснил это явление так: беспорядочно движущиеся атомы жидкости ударяются о взвешенные частицы и тем самым приводят их в движение. После такого объяснения броуновского движения перед учеными встала задача найти такую кривую, которая бы наилучшим образом аппроксимировала движение броуновских частиц. Для этого кривая должна была отвечать следующим свойствам: не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох предложил одну такую кривую. Мы не будем вдаваться в объяснения правила ее построения, а просто приведем ее изображение, из которого все станет ясно. Одно важное свойство, которым обладает граница снежинки Коха ….. ее бесконечная длина. Это может показаться удивительным, потому что мы привыкли иметь дело с кривыми из курса математического анализа. Обычно гладкие или хотя бы кусочно-гладкие кривые всегда имеют конечную длину (в чем можно убедиться интегрированием). Мандельброт в этой связи опубликовал ряд увлекательных работ, в которых исследуется вопрос об измерении длины береговой линии Великобритании. В качестве модели он использовал фрактальную кривую, напоминающую границу снежинки за тем исключением, что в нее введен элемент случайности, учитывающий случайность в природе. В результате оказалось, что кривая, описывающая береговую линию, имеет бесконечную длину.

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в  том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д..

2. Предметы  исследования

1. Треугольник Паскаля.

Устройство треугольника Паскаля – боковые стороны единицы, каждое число равно сумме двух расположенных над ним. Треугольник можно продолжать неограниченно.

Треугольник Паскаля  служит для вычисления коэффициентов разложения выражений вида (x+1)n.  Начав с треугольника из единиц, вычисляют значения на каждом последовательном уровне путём сложения соседних чисел; последней ставят единицу. Таким образом, можно определить, например, что (x + 1)4 = 1x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1x0.

2. Фигурные числа.

Пифагор впервые, в VI до нашей эры, обратил внимание на то, что, помогая себе при счете камушками, люди иногда выстраивают камни в правильные фигуры. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, мы обнаружим, что получаются все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три. Всякое число, которое на что-нибудь делится, можно представить прямоугольником, и только простые числа не могут быть «прямоугольниками».

• Линейные числа — числа, не разлагающиеся на сомножители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей: (1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,...). Это простые числа.

• Плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (4,6,8,9,10,12,14,15,...)

• Телесные числа — числа, выражаемые произведением трёх сомножителей (8,12,18,20,24,27,28,...) и т. д.

• Многоугольные числа:

• Треугольные числа: (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...)
• Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых чисел, то есть являются полными квадратами: (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ..., n2, ...)
• Пятиугольные числа: (1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...)
• Шестиугольные числа (1, 6, 15, 28, 45, ...)

2. Золотое сечение..

         Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление, число Фидия) — деление непрерывной величины на части в таком отношении, при котором большая часть так относится к меньшей, как вся величина к большей. На рисунке слева точка С производит золотое сечение отрезка АВ, если:   АС:АВ = СВ:АС.

Эту пропорцию принято обозначать греческой буквой . Оно равно 1,618. Из этой пропорции видно, что при золотом сечении длина большего отрезка есть среднее геометрическое длин всего отрезка и его меньшей части. Части золотого сечения составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка. С числом связана последовательность целых чисел Фибоначчи :  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., часто встречающаяся в природе. Она порождена рекуррентным соотношением Fn+2=Fn+1+Fn с начальными условиями F1=F2=1.

Древнейшим литературным памятником, в котором встречается деление отрезка в отношении золотого сечения, являются «Начала» Евклида. Уже во второй книге «Начал» Евклид строит золотое сечение, а в дальнейшем применяет его для построения некоторых правильных многоугольников и многогранников. 

1. Гипотезы:

Существует ли связь между фракталами и

• треугольником Паскаля.
•  золотым сечением.
•  фигурными числами.
•  литературными произведениями

1.4    Цель  работы:

1. Ознакомить слушателей с новой ветвью математики — фракталами.

     2.  Опровергнуть или доказать гипотезы, поставленные в работе.

5. Задачи исследования:

• Проработать и проанализировать литературу по теме исследования.

• Рассмотреть различные  виды фракталов.

• Собрать коллекцию фрактальных образов для первичного ознакомления с миром фракталов.

• Установить взаимосвязи между  треугольником Паскаля, литературными произведениями, фигурными числами и золотым сечением.

6.     Методы  исследования:

- теоретический (изучение и теоретический анализ научной и специальной литературы;  обобщение опыта);

- практический  (составление расчетов, обобщение результатов).

2. Исследовательская часть.

2.1       Нахождение связи между фракталами и  треугольником Паскаля.

            Треугольник Паскаля                                   Треугольник Серпинского

          При выделении нечетных чисел в треугольнике Паскаля  получается треугольник Серпинского. Узор демонстрирует свойство коэффициентов, применяемое при «арифметизации» компьютерных программ, которая преобразует их в алгебраические уравнения.

2.1       Нахождение связи между фракталами и   золотым сечением.

Размерность фракталов.

Если смотреть с математической точки зрения, то размерность определяется следующим образом.

Для одномерных объектов - увеличение в 2 раза линейных размеров приводит к увеличению размеров (в данном случае длины) в 2 раза, т.е. в 21.

Для двухмерных объектов увеличение в 2 раза линейных размеров приводит к увеличению размера (площади) в 4 раза, т.е. в 22. Приведем пример. Дан круг радиуса r, тогда S= π r2.

Если увеличить в 2 раза радиус, то: S1 = π(2r)2 ; S1= 4πr2 .

Для трехмерных объектов увеличение в 2 раза линейных размеров приводит к увеличению объема в 8 раз, т.е. 23.

Если мы возьмем куб, то V=а3, V'=(2а)3=8а; V'/V= 8.

Однако природа не всегда подчиняется этим законам. Попробуем рассмотреть размерность фрактальных объектов на простом примере.

Представим себе, что муха хочет сесть на клубок шерсти. Когда она смотрит на него издалека, то видит только точку, размерность которой 0. Подлетая ближе, она видит сначала круг, его размерность 2, а затем шар – размерность 3. Когда муха сядет на клубок, она шара уже не увидит, а рассмотрит ворсинки, нитки, пустоты, т.е. объект с дробной размерностью.

Размерность объекта (показатель степени) показывает, по какому закону растет его внутренняя область. Аналогичным образом с ростом размера возрастает «объем фрактала». Ученые пришли к выводу, что фрактал - это множество с дробной размерностью.

         Фракталы как математические объекты возникли вследствие потребностей научного познания мира в адекватном теоретическом описании все более сложных природных систем (таких, например, как горный хребет, береговая линия, крона дерева, каскадный водопад, турбулентный поток воздуха в атмосфере и т.п.) и, в конечном счете, в математическом моделировании природы в целом.  А золотое сечение,  как известно, представляет собой одно из наиболее ярких и устойчивых проявлений гармонии природы. Поэтому вполне возможно выявить взаимосвязь вышеупомянутых объектов, т.е. обнаружить золотое сечение в теории фракталов.

Напомним, что золотое сечение определяется выражением  (*) и является единственным положительным корнем квадратного уравнения .

С золотым сечением тесно связаны числа Фибоначчи 1,1,2,3,5,8,13,21,…, каждое из которых представляет собой сумму двух предыдущих.  Действительно, величина  является пределом ряда, составленного из отношений соседних чисел Фибоначчи :   ,

а величина– пределом ряда, составленного из отношений чисел Фибоначчи, взятых через одно:

Фракталом же называется структура, состоящая из частей, подобных целому. Согласно другому определению, фрактал представляет собой геометрический объект с дробной (нецелой) размерностью. Кроме того, фрактал всегда возникает в результате бесконечной последовательности однотипных геометрических операций по его построению, т.е. является следствием предельного перехода, что роднит его с золотым сечением, которое тоже представляет собой предел бесконечного числового ряда. Наконец, размерность фрактала, как правило, является иррациональным числом (как и золотое сечение).

В свете всего вышесказанного отнюдь не удивительным выглядит обнаружение того факта, что размерности многих классических фракталов с той или иной степенью точности могут быть выражены через золотое сечение. Так, например, соотношения для размерностей снежинки Кох dСК =1,2618595… и губки Менгера  dГМ =2,7268330… , с учетом (*) могут быть записаны в виде  и .

Причем, погрешность первого выражения  составляет всего лишь 0,004%, а второго выражения – 0,1%, а с учетом элементарного соотношения 10=2·5 следует, что величины dСК и  dГМ  представляют собой комбинации золотого сечения и чисел Фибоначчи.

Размерности ковра Серпинского  dКС =1,5849625… и пыли Кантора dПК =0,6309297…тоже можно считать близкими по значению к золотому сечению:  и . Погрешность  этих выражений  равна 2%.

Размерность широко применяемого в физических приложениях теории фракталов (например, при исследовании тепловой конвекции) неравномерного (двухмасштабного) множества Кантора (длины образующих отрезков которого –  и   – относятся друг к другу как числа Фибоначчи: ) , а dМК =0,6110… отличается от величины  лишь на 1%.

Таким образом, золотое сечение и фракталы взаимосвязаны.

2.2 Нахождение связи между фракталами и фигурными числами.

Рассмотрим каждую группу чисел.

Первое число – 1. Следующее число – 3. Оно получается прибавлением к предыдущему числу, 1, двух точек, чтобы искомая фигура стала треугольником. На третьем шаге мы добавляем три точки, сохраняя фигуру треугольник. На последующих шагах добавляется n точек, где n – порядковый номер треугольного числа. Каждое число получается добавлением к предыдущему определенного количества точек. Из этого свойства получилась рекуррентная формула для треугольных чисел: tn=n+tn-1.

             Первое число – 1. Следующее число – 4. Оно получается прибавлением 3 точек к предыдущему числу в виде прямого угла, чтобы получился квадрат. Формула для квадратных чисел очень проста, она выходит из названия этой группы чисел: gn = n2. Но также, кроме этой формулы, можно вывести рекуррентную формулу для квадратных чисел. Для этого рассмотрим первые пять квадратных чисел:

g1 = 1

g2 = 4 = 1+3 = 1+2·2-1

g3 = 9 = 4+5 = 4+2·3-1

g4 = 16 = 9+7 = 9+2·4-1

g5 = 25 = 16+9 = 16+2·5-1

     Первое число – 1. Следующее число – 5. Оно получается прибавлением четырех точек, таким образом, получившаяся фигура принимает форму пятиугольника. Одна сторона такого пятиугольника содержит 2 точки. На следующем шаге на одной стороне будет 3 точки, общее количество точек – 12. Попробуем вывести формулу для вычисления пятиугольных чисел. Первые пять пятиугольных чисел: 1, 5, 12, 22, 35. Они образуются следующим образом:

f1 = 1

f2 = 5 = 1+4 = 1+3·2-2

f3 = 12 = 5+7 = 5+3·3-2

f4 = 22 = 12+10 = 12+3·4-2

f5 = 35 = 22+13 = 22+3·5-2

 Первое число – 1. Второе – 6. Фигура выглядит как шестиугольник со стороной в 2 точки. На третьем шаге уже 15 точек выстраиваются в виде шестиугольника со стороной 3 точки. Выведем рекуррентную формулу:

u1 = 1

u2 = 6=1+4·2-3

u3 = 15 = 6+4·3-3

u4 = 28 = 15+4·4-3

u5 = 45 = 28+4·5-3

Если посмотреть внимательнее, то можно заметить связь между всеми рекуррентными формулами.

Для треугольных чисел: tn=tn-1+n= tn-1+1n-0

Для квадратных чисел: gn = gn-1+2n-1

Для пятиугольных чисел: fn = fn-1+3n-2

Для шестиугольных чисел: un = un-1+4n-3

Мы видим, что фигурные числа построены на повторяемости: это хорошо видно на рекуррентных формулах. Можно смело утверждать, что фигурные числа в своей основе имеют фрактальную структуру.

2.3      Нахождение связи между фракталами и литературными произведениями.

 Рассмотрим фрактал именно как произведение искусства, причем характеризующееся двумя основными характеристиками: 1) часть его неким образом подобна целому (в идеале, эта последовательность подобий распространяется на бесконечность, хотя никто никогда не видел действительно бесконечной последовательности итераций, строящих снежинку Коха; 2) его восприятие происходит по последовательности вложенных уровней. Заметим, что очарование фрактала как раз и возникает на пути следования по этой завораживающей и головокружительной системе уровней, возвращение с которой не гарантировано.

Как же можно создать бесконечный текст? Этим вопросом задавался герой рассказа Х.-Л.Борхеса «Сад расходящихся тропок»: «…я спрашивал себя, как может книга быть бесконечной. В голову не приходит ничего, кроме цикличного, идущего по кругу тома, тома, в котором последняя страница повторяет первую, что и позволяет ему продолжаться сколько угодно».

Посмотрим, какие еще решения могут существовать.

Самыми простым бесконечным текстом будет текст из бесконечного количества дублирующихся элементов, или куплетов, повторяющейся частью которого является его «хвост» – тот же текст с любым количеством отброшенных начальных куплетов. Схематически такой текст можно изобразить в виде неразветвляющегося дерева или периодической последовательности повторяющихся куплетов. Единица текста – фраза, строфа или рассказ, начинается, развивается и заканчивается, возвращаясь в исходную точку, точку перехода к следующей единице текста, повторяющей исходную. Такой текст можно уподобить бесконечной периодической дроби: 0,33333…, ее еще можно записать как 0,(3). Видно, что отсечение «головы» – любого количества начальных единиц, ничего не изменит, и «хвост» будет в точности совпадать с целым текстом.

 Неразветвляющееся бесконечное дерево тождественно самому себе с любого куплета.

Среди таких бесконечных произведений – стихи для детей или народные песенки, как, например, стишок о попе и его собаке из русской народной поэзии, или стихотворение М.Яснова «Чучело-мяучело», повествующее о котенке, который поет о котенке, который поет о котенке. Или, самое короткое: «У попа был двор, на дворе был кол, на колу мочало – не начать  ли сказочку сначала?...У попа был двор...»

         Еду я и вижу мост, под мостом ворона мокнет,
Взял ворону я за хвост, положил ее на мост, пусть ворона сохнет.
Еду я и вижу мост, на мосту ворона сохнет,
Взял ворону я за хвост, положил ее под мост, пусть ворона мокнет…

            В отличие от бесконечных куплетов, фрагменты фракталов Мандельброта все же не тождественны, а подобны друг другу, и это качество и придает им завораживающее очарование. Поэтому в изучении литературных фракталов встает задача поиска подобности, сходства (а не тождественности) элементов текста.

В случае бесконечных куплетов замена тождества на подобие была осуществлена различными способами. Можно привести, по крайней мере, две возможности: 1) создание стихов с вариациями,  2) тексты с наращениями.

Стихи с вариациями – это, например, запущенная в оборот С.Никитиным и ставшая народной песенка «У Пегги жил веселый гусь», в которой варьируются Пеггины приживалы и их привычки.

У Пегги жил веселый гусь,

Он знал все песни наизусть.

Ах, до чего веселый гусь!

Спляшем, Пегги, спляшем!

У Пегги жил смешной щенок,

Он танцевать под дудку мог.

Ах, до чего смешной щенок!

Спляшем, Пегги, спляшем!

У Пегги стройный жил жираф,

Он элегантен был, как шкаф,

Вот это стройный был жираф!

Спляшем, Пегги, спляшем!

У Пегги жил смешной пингвин,

Он различал все марки вин,

Ах, до чего смешной пингвин!

Спляшем, Пегги, спляшем!

У Пегги жил веселый слон,

Он скушал синхрофазотрон,

Ну до чего веселый слон,

Спляшем, Пегги, спляшем!..

Сочинено уже если не бесконечное, то довольно большое число куплетов: утверждают, что кассета «Песни нашего века» вышла с двумястами вариациями песенки, и, вероятно, число это продолжает расти. Бесконечность тождественных куплетов здесь пытаются преодолеть за счет сотворчества, детского, наивного и забавного.

Еще одна возможность кроется в текстах с «приращениями». Таковы известные нам с детства сказки о репке или о колобке, в каждом эпизоде которых количество персонажей увеличивается:

«Теремок»

Муха-горюха.
Муха-горюха, комар-пискун.
Муха-горюха, комар-пискун, мышка-норушка.
Муха-горюха, комар-пискун, мышка-норушка, лягушка-квакушка.
Муха-горюха, комар-пискун, мышка-норушка, лягушка-квакушка, зайчик-попрыгайчик.
Муха-горюха, комар-пискун, мышка-норушка, лягушка-квакушка, зайчик- попрыгайчик, лисичка-сестричка.
Муха-горюха, комар-пискун, мышка-норушка, лягушка-квакушка, зайчик- попрыгайчик, лисичка-сестричка, волчище-серый хвостище.
Муха-горюха, комар-пискун, мышка-норушка, лягушка-квакушка, зайчик- попрыгайчик, лисичка-сестричка, волчище-серый хвостище, медведь-всех давишь.

            Такие тексты имеют структуру «елочки» или «матрешки», у которых каждый уровень     повторяет предыдущий с увеличением размера изображения.

             Поэтическое произведение, в котором каждый куплет может быть прочитан независимо, как отдельный «этаж» елочки, а также вместе, составляя текст, развивающийся от Одного до Другого, и далее к Природе, Миру и Вселенной, создан Т.Васильевой:

Теперь, я думаю, можно сделать вывод, что существуют литературные произведения, обладающие фрактальной структурой.

3. Практическое применение фракталов

Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Вот несколько примеров:

КОМПЬЮТЕРНЫЕ СИСТЕМЫ

Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом, картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами (такими как jpeg или gif). Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном же сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ

1. Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать. И здесь помогает переход к из фрактальному представлению. Что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных потоков.

2. При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.

3. Пористые материалы хорошо представляются во фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ

Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.

ФИЗИКА ПОВЕРХНОСТЕЙ

Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.

МЕДИЦИНА

1.Биосенсорные взаимодействия.

2.Биение сердца

БИОЛОГИЯ

Моделирование хаотических процессов, в частности при описании моделей популяций.

4. Заключение

4.1 Результаты исследования

В моей работе приведены далеко не все области человеческих знаний, где нашла свое применение теория фракталов. Хочу только сказать, что со времени возникновения теории прошло не более трети века, но за это время фракталы для многих исследователей стали внезапным ярким светом в ночи, которые озарил неведомые доселе факты и закономерности в конкретных областях данных. С помощью теории фракталов стали объяснять эволюцию галактик и развитие клетки, возникновение гор и образование облаков, движение цен на бирже и развитие общества и семьи. Может быть, в первое время данное увлечение фракталами было даже слишком бурным и попытки все объяснять с помощью теории фракталов были неоправданными. Но, без сомнения, данная теория имеет право на существование. 

В своей работе я собрала интересную информацию о фракталах, их видах, размерности и свойствах, об их применении, а также о треугольнике Паскаля, фигурных числах, золотом сечении, о фрактальных литературных произведениях и многом другом.

В процессе исследования была проделана следующая работа:

         Проанализирована и проработана литература по теме исследования.

1. Рассмотрены и изучены различные  виды фракталов.
2. Собрана коллекция фрактальных образов для первичного ознакомления с миром фракталов.
3. Установлены взаимосвязи между фракталами и треугольником Паскаля, литературными произведениями, фигурными числами и золотым сечением.

Я убедилась, что тем, кто занимается фракталами, открывается прекрасный, удивительный мир, в котором  царят математика, природа и искусство. Я думаю, что после знакомства с моей работой, вы, как и я, убедитесь в том, что математика прекрасна и удивительна.

5.Библиография:

1.  Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 128с.

2. Волошинов А. В. Математика и искусство: Кн. для тех, кто не только любит математику и искусство, но и желает задуматься о природе прекрасного и красоте науки. 2-е изд., дораб. и доп. – М.: Просвещение, 2000. - 399с.

3.  Гарднер М. А. Нескучная математика. Калейдоскоп головоломок .  М.: АСТ: Астрель, 2008. – 288с.: ил.

4.   Гринченко В. Т., Мацыпура В.Т., Снарский А.А. Введение в нелинейную динамику. Хаос и фрактал. Издательство: ЛКИ, 2007 г. 264 стр.

5. Литинский Г.И. Функции и графики. 2-ое издание. – М.: Аслан, 1996. – 208с.: ил.

6.  Морозов А. Д.  Введение в теорию фракталов. Издательство: Издательство Нижегородского университета, 2004 г.

7.  Ричард М. Кроновер Фракталы и хаос в динамических системах Introduction to Fractals and Chaos.  Издательство:  Техносфера, 2006 г. 488 стр.

8.   http://www.ru.wikipedia.org 

9.  http://www.fractals.narod.ru/tips.htm   

10.  http://algolist.manual.ru/graphics/fracart.php 

11.  http://sakva.narod.ru/fractals.htm 

12.  http://shakin.ru/creative/fractals.htm