Численные методы решения в алгебре и геометрии

Муниципальное образовательное учериждение

Кировская средняя общеобразовательная школа

Исследовательская работа по математике

«Численные методы решения

в алгебре и геометрии.»

Выполнила: ученица 11 класса

МОУ Кировская СОШ

Рощупкина Надежда

Николаевна

Руководитель: учитель математики

МОУ Кировская СОШ

                                                                                                                Качула Н.Н.

                                                п. Средний Маныч

                                                               2008г.  

   Оглавление.

    Введение

I. Историческая справка.

II. Численные методы решения уравнений.

    1. Традиционный способ определения корней уравнения.

    2. Метод хорд.

    3. Метод косательной (метод Ньютона).

    4. Комбинированный метод хорд и касательных.

    5. Метод (метод последовательных приближений).

    6. Метод проб (метод половинного деления).

III. Решение задач.

IV. Численные методы в геометрии.

     Заключение.

     Литература.

                                               ВВЕДЕНИЕ

          Современная вычислительная техника требует от пользователей знаний основ вычислительной математики и применения этих знаний к решению различных задач народного хозяйства. Сложные вычислительные задачи, включающие при моделировании различных процессов и явлений можно разбить на ряд элементарных: решение уравнений, установление функциональной зависимости между результатами эксперимента, вычисление интегралов и т.д.. При решении очень многих практических задач математическая модель выражается уравнением. В школьном курсе математики мы рассматривали линейные, квадратные уравнения, уравнения третьей и четвертой степени,  при решении этих уравнений получали целые, дробные и рациональные решения.

При подготовке к итоговой аттестации в одном из сборников мне встретилось уравнение х3 +2х -7=0, которое я не смогла решить, применяя способы рассматриваемые в школьной программе. Преподователь сказал, что такое уравнение имеет приближенные корни.

      А как решить уравнение, если корни его выражаются приближенными числами? На этот вопрос мне удалось найти ответ, только после изучения темы «Производная».

      Цель работы: научиться находить приблизительные корни уравнений n-ной степени и трансцендентных уравнений.

       При решении уравнений f(x) = 0  вначале графически находим интервал изоляции, в котором находится корень уравнения. Затем, после такого отделения корней, каждый из них может быть вычислен с любой степенью точности посредством аналитических методов. В работе  рассматривается  метод хорд, метод касательных (метод Ньютона), метод итераций(метод последовательных приближений) и метод проб (половиного деления).

          С помощью описанных методов можно решать задачи практического содержания в различных отраслях народного хозяйства: бухгалтерии, ветеринарии, медицине, промышленности и т.д. – там, где поставленна любая математическая модель задач, сводящаяся к алгебраическим уравнениям.

I.  Историческая справка.

        Представьте, что в очень легком – практически невесомом – кошельке содержится какое-то количество монет одинакового достоинства. Как узнать, сколько монет в кошельке, не заглядывая внутрь? Есть очень простой способ: положить кошелек на одну чашу рычажных весов и уравновесить его монетками на другой чаше. Сколько монет для этого потребуется – столько же их и в кошельке.

        Испытанный измерительный инструмент продавцов, химиков и аптекарей приходит на помощь и в чуть более сложном случае: пусть на левой чаше находящихся в равновесии весов лежат кошелек с неизвестным числом монет и еще 5 монет рядом с ним, а на правой чаше – 15 точно таких же монеток. Для того чтобы узнать, сколько монет в кошельке, снимем по 5 монет с обеих чаш – равновесие при этом не нарушится. Следовательно, внутри кошелька 10 монет.

        В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах, содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...», – поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущуства. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

        Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученные владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описание этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

        Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого тракта – «Китаб аль-джебр валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

        Большой вклад в теорию о решении уравнений внес итальянский ученный Леонардо Пизанский.

        Среди современников ему не было равных. И в последующие три столетия нельзя назвать ни одного ученного такого масштаба. Творчество Леонардо Пизанского (1180 – 1240) оказало решающее влияние на развитие алгебры и теории чисел, в частности на исследования таких математиков, как Франсуа Виет и Пьер Ферма.

        При дворе Фридриха II устраивались научные диспуты. На одном из них придворный философ магистр Иоганн Палермский предложил Леонардо пизанскому два вопроса, которые в современных обозначениях выглядят так:

        1) найти корень уравнения

х3 + 2х2 + 10х = 20;

        2) найти рациональные решения системы уравнений

х2 +5= и2,

х2 – 5 =v2.

          Леонардо провел тщательные исследования обеих хадач и написал две книги – «Цветок» и «Книга квадратов» (или «Книга о квадратных числах») 1225.), посвященные их решению. Хотя обе работы изданы типографическим способом только в 1862 г., математикам средневековой Европы они были хорошо известны.

        В первой книге Леонардо установил, что корень уравнения (1) не является ни целым числом, ни дробью. Он также не может иметь вид n,  n + m или n – m. Наконец, Леонардо вычислил его с точностью до шестого шестидесятеричного знака:

х = 1; 22, 7, 42, 33, 4, 40

(здесь точка с запятой отделяют целую часть от дробной, а запятые – шестидесятиричные разряды). Каким способом было полученно это значение, до сих пор остается неизвестным.

        Если квадратные уравнения умели решать еще математики Вавилонии и Древней Индии, то решение урувненийпри n > 3 появились немного в конце  XV века. А вот применение численных методов при нахождении корней уравнений впервые встречаются в работах Исаака Ньютона.

II. Численные методы решения алгебраических уравнений

  Пусть требуется решить  алгебраическое  уравнение

                                                  f(x) = 0. (1.1)

Методы  исследования поведения функции дают возможность находить приближенные значения корней уравнения (1.1).

     Если данное уравнение есть алгебраическое уравнение, т.е. f'(х) есть многочлен, первой, второй, третьей или четвертой степени, то существуют формулы, позволяющие выразить корни уравнения через его коэффициенты с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней. Для уравнения выше четвертой таких формул, вообще  говоря, нет.

     Если коэффициенты любого уравнения, алгебраического или неалгебраического (трансцендентного), не буквенные, а числовые, то корни уравнения могут быть вычислены приближенно с любой степенью точности. Отметим, что даже в тех случаях, когда корни алгебраического уравнения выражаются через радикалы, на практике иногда целесообразно применять приближенный метод решения уравнения.

i.1.Графический метод, отделение корней

Задача о нахождении приближенных значений действительных корней уравнения (1.1) предусматривает предварительное отделение корня, т.е. установление промежутка, в котором других корней данного уравнения нет.

Будем предполагать, что функция f(х) в промежутке [а; b] непрерывна со своими производными f'(х) и f"(х), значения f(а) и f(b) функции на концах промежутка имеют разные знаки, т.е. f(а) •f(b) < 0, и обе производные /'(х) и /"(х) сохраняют знак во всем промежутке [а',b].

Действительные корни уравнения (1.1) являются абсциссами точек пересечения кривой у =f(х) с осью Ох, а если это уравнение преобразуется к виду f 1(х) = f2 (х), то его действительные корни будут абсциссами точек пересечения кривых у f,(х) и у = fг(х) (см. рис.).

C  помощью графического метода можно находить приближенные значения действительных корней алгебраических и транцендентных уравнений путем построения соответствующих прямых.

Однако графическим методом можно получить лишь грубо приближенные значения корней уравнения, но нельзя их вычислить с наперед заданной точностью. Поэтому графический метод применяется, как вспомогательное средство для определения числа корней уравнения и для их отделения. Т.е. для нахождения таких отрезков оси Ох, внутри которых содержится только по одному корню. Затем после отделения корней, каждый из них может быть вычислен с любой желаемой  точностью посредством аналитических методов. К таким методам  относятся: метод хорд, метод касательных ( метод Ньютона), метод итераций и метод проб.Вот эти методы я и рассмотрела в своей работе.

Алгоритм выполнения задачи:

Найти графически интервалы изоляции действительных корней данного скалярного уравнения f(х) = 0.

Решение:        

1). Представим уравнение f(х) = 0 в виде f1 (х) = f2 (х).

2). Построим графики функций у = f1(х) и у = f2 (х),

3). Определим приближенно по графику абсциссу точки пересечения этих графиков х0.

4). Определим промежуток изоляции [а;b], содержащий корень х0.

ii.2.Метод хорд

Пусть требуется вычислить действительный корень уравнения (1.1), изолированный на отрезке [а;Ь]. Рассмотрим график функции у = f(х). Пусть f (а) < 0 и f (b) > 0.

Рис. 1.2                  Рис. 1.3.

 Точки графика A(a;f(a)) и B(b;f(b)) соединим хордой. За приближенное значение искомого корня примем абсциссу х1, точки  пересечения хорды АВ с осью Ох.

Это приближенное значение находится по формуле

                                  (b – a) f (a)

              x1 =  a  -  --------------------- ,

                                  f (b) –f (a)

где х1е[а;b]. Пусть, например, f(х1)<0, тогда за новый (более узкий) промежуток изоляции корня можно принять [x 1; b]. Соединив точки А{(х1;f(x1)) и В(b;f(b)), получим в точке пересечения хорды с осью Ох второе приближение х2, которое вычислим по формуле:

                                 (b – х1) f (х1)

              x2 =  х1  -  --------------------- ,

                                  f (b) –f (х1)

и т.д. Последовательность чисел а, х,, х2,... стремится к искомому корню уравнения (1.1).

Если было бы fх1)>0, то за новый промежуток изоляции корня можно было бы принять [а;х1] и тогда второе приближение х2 вычисляли ,бы по формуле:

                                  (х1 – a) f (a)

              x2 =  a  -  --------------------- ,

                                  f (х1) –f (a)

Вычисление приближенных значений корней уравнения следует  вести до тех пор , пока не  перестанут  изменятся те десятичные знаки, которые мы хотим сохранить в ответе ( т. е. пока не будет достигнута заданная степень точности).

  Если х – точный корень уравнения f(x) = 0, изолированный на отрезке [a;b], а ξ – приближенное значение корня, найденное методом хорд, то оценка погрешности этого приближения такова:

                                     f (a)∙ f(b)                     f´ (x)

        │ x - ξ │<     -------------------   max  ----------- .

                                          2              [ a:b]        f´´ (x)

Приняв за a и b концы промежутка изоляции, на котором найдено приближенное значение корня ξ.

                          Алгоритм выполнения задачи

Методом хорд решить уравнение /(х) = 0 с точностью до ε.

Решение:

Вычислим приближенное значение корня с заданной точность  ε. (уточним корень, найденный графически .

1). Найдем f(а), для этого в f(х) вместо х подставим а. Определим знак f(а).

2). Найдем  f(b), для этого в f(х) вместо х подставим b. Определим знак   f(b).

3). Найдем первое приближенное значение корня по формуле :

                                  (b – a) f (a)

              x1 =  a  -  --------------------- , где х1 €  [а;b],

                                  f (b) –f (a)

 4). Найдем  f(x1) для этого в f(x) вместо х подставим x1.

5). Определим знак   f(x1)  ;

6). Найдем новый (более узкий) промежуток изоляции.

а)Если  f(x1) имеет знак противоположный знаку f(а), то за новый промежуток примем [а;x1,].

б)Если f(x1)  имеет знак противоположный f(b), то за новый промежуток примем |х1;b].

7). Найдем второе приближение корня в случае а) по формуле:  

                                 (b – х1) f (х1)

              x2 =  х1  -  --------------------- ,

                                  f (b) –f (х1)

     в случае б) по формуле                                                

                                  (х1 – a) f (a)

              x2 =  a  -  --------------------- ,

                                  f (х1) –f (a)

8). Найдем f(x2) , для этого в f(х) вместо x  подставим x2.

9). Определим  f(x2) . Сравним его со знаками на концах промежутка изоляции (найденного в п.6).).

Если знак f(x2)  противоположен знаку f(x1), то за новый промежуток изоляции примем отрезок[х1;х2]

Если знак  f(x2) противоположен знаку f(b), то за новый промежуток изоляции примем  [х2; b ].

10). Вычисление приближенных корней уравнения ведем до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые мы хотим сохранить в ответе.

11)   Результаты вычислений занесем в таблицу:

II.3. Метод касательных (метод Ньютона)

Пусть действительный корень уравнения (1.1) изолирован на отрезке  [а:b], Пусть снова  f(а) < 0 и f(b) > 0, причем первая производная на этом отрезке не меняет своего знака. Тогда в отрезке [а;b ] имеется один корень уравнения f(х) = 0. Возьмем на отрезке [а;b] такое число х0., при котором              f´ (х0) имеет тот же знак, что и  f ´´(х0), т.е.  f´(х0) f´´(х0 ) > 0 ( в частности, за х0 может быть принят тот из концов отрезка [а;b], в котором соблюдено это условие). Сохранение знака второй производной на отрезке означает, что кривая либо только выпукла, либо только вогнута на нем.

Проведем в точке М0(x0; f(x0)) касательную к кривой   у =f(х).

За приближенное значение корня примем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ох. Чтобы найти эту абсциссу напишем уравнение касательной в точке Мо.  y – f(x0) = f /(x0) ( x – x0),  при  у=0 и х =х1 получим:

     f (x0)

 – f(x0) = f /(x0) ( x1 – x0),  или   x1 – x0 = - ------------- ,  отсюда найдем х1.

      f´ (x0)

                                                              f (x0)

                                         x1 = x0  -    -------------.

                                                              f´ (x0)

                            Рис.1.4

Применив этот прием вторично в точке  М1(x1;f(x1)),   найдем

                                               f (x1)

                        x2 = x1  -    ----------

                                               f´ (x1)

     И т. д                               f (xn-1)

                       xn = xn-1  -    ----------

                                              f´ (xn-1)

Полученная таким образом последовательность х0, х1, х2,…имеет своим пределом  искомый корень. Если х - точный корень уравнения f(х) = 0, изолированный на отрезке [а;b ], а    ξ –приближенное значение корня , найденное методом хорд, то оценка погрешности  этого приближенного значения  такова:

                                   │f (ξ) │2                     f´ (x)

      │ x - ξ │<     -------------------   max  ----------- .

                                          2              [ a:b]       (f´´(x))2

Приняв за a и b концы промежутка изоляции, на котором найдено приближенное значение корня.

Алгоритм выполнения задачи

Методом касательных (методом Ньютона) решить уравнениеf(х) = О с точностью до ε.

Решение:

Вычислим приближенное значение корня с заданной точностью  ε. (уточним корень, найденный графически )

1). Найдем f'(х) и f"(х) для данной функции f (х).

2). Возьмем на отрезке изоляции [а;b]такое число х0 , при котором f´(х0) имеет тот же знак, что и  вторая производная  производная,    т. е.  f'(х) ∙ f´´(х)>0  ( в частности за х 0  может быть принят  тот из концов отрезка [а;b], в котором соблюдено это условие).

3) Найдем f'(х0 ).

4). Найдем первое приближенное значение корня х1 по формуле:

                                                                                        f (x0)

                                            x1 = x0  -    -------------.

                                                                  f´ (x0)

 5). Найдем значения  f/(х1), подставив  x1  в  f /(х) вместо х0 .

6)Найдем значение  f/(х2), затем по формуле найдем второе значение  корня

f (x1)

                                         x2 = x1  -    -------------.

                                                                  f´ (x1)

7).  Таким образом находим  n-ое   приближенное значение корня хn по формуле:

                                           f (xn-1)

                       xn = xn-1  -    ----------

                                              f´ (xn-1)

 8). Вычисление приближенных значений корней уравнения ведем до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые мы хотим сохранить в ответе (т.е. пока не будет достигнута заданная степень точности    │хn-хn-1│<ε.

9). Результаты вычислений занесем в таблицу:

II.4. Метод итераций (метод последовательных приближений)

    Метод простых итераций (метод последовательных приближений) решения уравнения  f(х) = 0 состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением х = φ (х) и построении последовательности у хn = φ (хn), сходящейся при  n→∞ к точному решению.

Если данное уравнение приведено к виду  хn = φ (хn), где

  |  φ/ (хn) | ≤ r < 1 всюду на отрезке  [a; b] на котором исходное уравнение имеет единственный корень, то исходя из некоторого начального значения

 x0 , принадлежащего отрезку [a; b] можно построить такую последовательность:

х1 = φ (х0), х2 = φ (х1), … хn = φ (хn-1)

Пределом этой последовательности является единственный корень уравнения f(х) = 0 на отрезке [а;Ь]. Погрешность приближенного значения   корня х1 , найденного методом итераций, оценивается неравенством

                                         r

                   │x -xn│ < --------- │xn – xn-1│.

                                       1 - r

При использовании метода простых итераций основным моментом
является выбор функции  φ (х),  в уравнении хn = φ (хn), эквивалентного
исходному.        

Метод допускает простую геометрическую интерпретацию.

 Построим графики функций у = х, у = φ (х). Корнем х уравнения х = φ (х),   является абсцисса точки пересечения кривой у = φ (х),  с прямой у = х

 (рис. 1.6). Взяв в качестве начальной произвольную точку  x0 € [а; b], строим ломаную линию (рис. 1.7).

Рис. 1.6.        Рис. 1.7.

Абсциссы вершин этой ломанной представляют собой последовательные приближения корня х. Из рисунков видно, что  если φ/ (х)<0 на отрезке 

 [а; b], то последовательные приближения  хn = φ (хn-1)  колеблются около корня х, если же производная положительна, то последовательные приближения сходятся к корню монотонно.

Алгоритм выполнения задачи:

Методом итераций найти приближенное значение корня уравнения f(х) = 0 с точностью до ε,

Решение:

Вычислим приближенное значение корня с заданной точностью ε
(уточним корень, найденный графически ) .        ,

1) Возьмем некоторое начальное значение хo е [а; b].

2) Запишем исходное уравнение в виде  х = φ (х) .

 3) Найдем   φ´ (х)

4) Если  φ´ (х0) < r < 1 всюду на [а;b], то метод итераций применим.

5) Найдем первое приближенное значение корня   х, = φ(х0),

6) Найдем второе приближенное значение корня    х2 = φ(х1).

7)  Продолжим этот процесс и находим n-ое приближенное значение корня

8) Процесс нахождения приближенных значений корня продолжим, пока не выполнится условие :  │xn – xn-1│.

9) Результаты вычислений занесем в таблицу:

  II.5/  Метод проб (метод половинного деления)

Интервал изоляции действительного корня всегда можно уменьшить путем деления его, например, пополам, определяя, на границах, какой из частей первоначального интервала функция f(х) меняет знак. Затем полученный интервал снова делят на две части и т.д. Такой процесс проводится до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки.

Если на отрезке [а; b] находятся несколько корней уравнения f(x) =0, то
процесс сходится к одному из них. Метод неприменим для отыскания кратных корней четного порядка. В случае кратных корней нечетного порядка  он менее точен.        

Алгоритм выполнения задачи:

Методом проб  (половинного  деления)  решить уравнение   f(х) = О с точностью до е .

Решение:

Уточним корень,  найденный графически   методом проб, т.е. вычислим его с заданной степенью точности.

1). Найдем значение функции f(х) на концах интервала изоляции, т.е.  f(a) и   f(b).

2). Разделим интервал [a; b] пополам, получим  x1 = (a +b)/2 .

3). Вычислим значение   f(x1) , подставив вместо х найденное значение x1, в исходную функцию f(x).

4). Определяем знак f (x1).

5). Найдем новый интервал изоляции: f (x1).

а) если  f (x1). имеет знак противоположный знаку f (b). , то этот интервал будет [x1 ; b]

б) если f (x1)  имеет знак противоположный знаку f(a), то этот интервал будет [a ; x1];

6). Найдем середину нового интервала изоляции: в случае а) находим по формуле   х2 = ( х1 +b)/2,    в случае б)  находим по формуле   х2 = ( a+ х1 )/2.  

 7). Вычислим значение   f(x2) , подставив вместо х найденное значение x2, в исходную функцию f(x).

 8). Определим знак f (x2) .

9). Найдем новый интервал изоляции (см. п.6) и т.д.

10). Процесс продолжаем до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки.

11) Результаты вычислений занесем в таблицу:

III.Решение задач.

Задача 1.

        Найти графически интервалы изоляция положительного корня уравнения  х³ + 2х – 7 = 0.

Решение:

        Представим уравнение х³ + 2х – 7 = 0 в виде х³ = -2х + 7.

        Построим графики функций у = х³ и у = -2х + 7.

у = х³                                                                  у = -2х + 7

Определим приближенно  абсциссу точки M пересечения этих графиков.

Определим промежуток  оляции [1;2], содержащий корень уравнения.

Уравнение имеет один положительный корень х , х   [1;2], т.к. на концах отрука функция f(x) = х³ + 2х – 7  имеет разные знаки:

f(1) = 1³ + 2 * 1 – 7 = 1 + 2 – 7 = -4 < 0; 

f(2) = 2³ + 2 * 2 – 7 = 8 + 4 – 7 = 5 > 0.

Задача 2.

Методом хорд решить уравнение х³ + 2х – 7 = 0 с точностью до             ε = 0.01 (уточним корень, найденный графически в задание 1) в промежутке изоляции [1;2].

Решение:

1. Найдем значение функции в левом конце промежутка изоляции

f(1) = 1³ + 2 * 1 – 7 = -4 < 0.

2. Найдем значение функции в правом конце промежутка изоляции и определим знак f(2) = 2³ + 2 * 2 – 7 = 8 + 4 – 7 = 5 > 0.

3. Найдем первое приближенное значение корня по формуле

                                                   (b – a) f(a)

                                  х1 =  a  −  --------------,

                                                     f(b) –f(a)

     x1 = 1 –( (2 – 1)(-4)) /(5 – (-4) = 1,444

4. Найдем f(x ), т.е. f(1,444).

f(1,444) = (1,444)³ + 2 * (1,444) – 7 = 3,011 + 2,888 – 7 = -1,101 < 0

5. Найдем новый (более узкий) промежуток изоляции. Т.к. f(1,444) < 0, а на правом конце промежутка изоляция [1;2], f(2) > 0 (т.е. имеют разные знаки), то за новый промежуток примем [1,444; 2]

6. Найдем второе приблизительное значение корня по формуле

                                                  (b – a) f(x1)

                                  х1 =  x1  −  --------------,

                                                     f(b) –f(x1)

x2 = 1,444 – ((2 – 1,444)(-1,101))/ 5 – (-1,101) = 1,544

7. Т.к. х2 – х1 = 1,544 – 1,444 = 0,1 > ε, где ε = 0,01 заданная точность, то вычисления необходимо продолжить.

8. Найдем f(x2 ), т.е. f(1,544) = 1,544³ + 2 * 1,544 – 7 = 3,681 + 3,088 – 7 =

-0,231 < 0.

9. Определим знак f(x2 ), f(x2 ) = - 0,231 < 0. Сравним его со знаками на концах промежутка изоляции. Т.к. f(2) = 5 > 0 (т.е. функция принимает значения разных знаков), то за новый промежуток изоляции примем                   [1,544; 2].

10. Найдем третье приблизительное значение корня.

                                                  (b – a) f(x2)

                                  х3 =  x2  −  --------------,

                                                     f(b) –f(x2)

      х3 = 1,544 – ((2 – 1,544)(-0,231))/ 5 – (-0,231) = 1,564

11. Т.к. │ х3 – х2 │ = │1,564 – 1,544│= 0,02 > ε, где ε = 0,01 заданная точность, то вычисления необходимо продолжить.

12. Найдем f(x3 ). f(1,564) = 1,564³ + 2 * 1,564 – 7 = 3,826 + 3,128 – 7 = -0,046.

13. Т.к. f(1,564) = - 0,046 < 0, а на правом конце промежутка [1,544; 2],

f(2) = 5 > 0 ( функция принимает значения разных знаков), то за новый промежуток  изоляции примем [1,564; 2].

14. Найдем четвертое приблизительное значение 

                                                    (b – a) f(x3)

                                  х4 =  x3  −  --------------,

                                                     f(b) –f(x2)

х4 = 1,564 – ((– 1,564)(-0,046) ) 2 – (-0,046) = 1,568

15. Т.к. │х4 – х3 │= │1,568 – 1,564│ = 0,004 < ε, где ε = 0,01 заданная точность, то приближенное значение корня, найденное методом хорд с точностью 0,01 равно 1, 56.

16. Результаты вычислений занесем в таблицу:

Задача 3

Методом итераций найти приближенное значение корня уравнения

2 – lg  x – x = 0 с точностью до е = 0,001.

Решение:

1. Представим уравнение 2 – lg  x – x = 0 в виде lg  x = 2 – x.

2. Построим графики функций y = lg x и y = 2 – x.

          y = lg  x                                                        y = 2 – x

3. Определим приближенно по графику абсциссу точки пересечения этих графиков х это точка М. Отметим ее на графике.

4. Т.к. х* €  [1;2], то примем его за промежуток изоляции.

5. Возьмем некоторое начальное х0 € [1;2],  за него можно принять один из концов промежутка. Пусть х = 1.

6. Запишем исходное уравнение в виде х = φ(х); х = 2 - lg  x, здесь

φ(х) = 2 – lg x.

7. Найдем φ'(х):    φ'(х) = (2 - lg  x)' = 0 – (1 / xln10)= - lg e/x .

8. Проверим выполнение условия │φ'(x)│ < v < 1 всюду на   [1;2].

│φ'(x)│ =│ - lg e/x lg 2 │. 

Т.к. lg e < 1 и x  € [1;2], то в промежутке изоляции │φ'(x)│ < 0,5 < 1.

Следовательно, метод итераций применим.

9. Найдем первое приближенное значение корня.

          x1 = φ(x0 ),  х1 = 2 – log  1 = 2.

10. Найдем второе приближенное значение корня.

          x2 = φ(x1 ),  х2 = 2 – log 2 = 1.

11. Аналогично найдем приближенные значения корней. 

         x3 = 2 – lg 1,6900 = 1,7698

         x4 = φ(x ) = 2 – lg 1,7698 = 1,7520

        x5 = φ( x ) = 2 – lg 1,7620 = 1,7565

        x6 = f(x ) = 2 – lg 1,7565 = 1,7555

        x7 = f(x ) = 2 – lg 1,7555 = 1,7556

12. Процесс нахождения приближенных значений корня закончим, т.к. выполняется условие  │хn – хn-1  │< ε

│хn – хn-1  │= │1,7556 – 1,755│ <  0,001

Следовательно, искомый корень, найденный методом итераций с точностью до 0,001 равен 1,755.

Результаты измерений занесем в таблицу:

Задача 4.

Методом проб (половинного деления) решим уравнение х – х² - 1 = 0, т.е. найдем приближенное значение действительного корня с точностью до 0,001.

Решение:

1. Найдем графически интервалы изоляции действительных корней данного уравнения х5 – х² - 1 = 0.

2. Представим данное уравнение в виде f1 (x) = f2 (x),      x5 = x² + 1.

3. Построим графики функций y = f1 (x), y = f2 (x).

     y = x5                                                         y = x² + 1

4. Абсцисса точки М пересечения графиков функций принадлежит промежутку [1;2].

5. Найдем значении функции на концах промежутка и определим ее знак.

f(1) = 1 - 1² - 1 = -1 < 0

f(2) = 2 - 2² - 1 = 27 > 0

Т.к. значения функции на концах промежутка разных знаков, то корень заключен внутри  отрезка  [1;2], который является промежутком изоляции.

6. Разделим отрезок  [1;2] пополам, для этого воспользуемся формулой

С1 = (а + b)/2.

С1 = (1 + 2)/ 2 = 1,5

7. Найдем значение функции в точке С1 = 1,5

f(1,5) – 1,5 – 1,5² - 1 = 7, 5938 – 2,25 – 1 = 4,3437 > 0

 8.Т.к. значение противоположного знака функция принимает в левом промежутке, то за новый более узкий промежуток возьмем [1; 1,5].

9. Найдем С2 = (С1 + а)/2;

                С2 = (1 + 1,5) /2 = 2,5/2 = 1,25.

10. Найдем значение функции в точке С2 .

f(1,25) = 1,25 – 1,25² - 1 = 3,0518 – 1,5625 – 1 = 0,4893 > 0.

11. Т.к. значение противоположного знака функция принимает на левом промежутке, то за новый промежуток возьмем [1; 1,25].

12. Найдем С3 . С3 = (а + С2 )/2.

С3 = (1 + 1,25)/2 = 1,125

13. Найдем значение в точке С3 .

f(1,125) = 1,125 – 1,125² - 1 = 1,8020 – 1,2656 – 1 = -0,4636

14. Найдем погрешность приближения │х3 – х2 │.

│1,125 – 1,25│ = │-0,125│ = 0,125 > ε, где ε = 0,001.

Продолжим дальше вычисления.

15. Т.к. противоположный знак находится в правом конце изоляции, то за новый более узкий промежуток возьмем [1,125; 1,25].

16.  Найдем значение С4 . С4 = (С2 + С3 )/2.

С4 = (1,125 + 1,25)/2 = 1,188

17. Найдем значение функции в точке С4 .

f(C ) = f(1,188) = !,188 – 1,188² - 1 = 2,3664 – 1,4113 – 1 = -0,449

18. Найдем погрешность приближения │х4 – х3 │.

│1,188 – 1,125│ = 0,063 > ε, где ε = 0,001.

19. Т.к. значение противоположного знака функция принимает в правом промежутке, то за новый более узкий промежуток возьмем отрезок

 [1,188; 1,25].

20. Найдем значение С5 , где С5 = (С1 + С4 )/2.

С5 = (1,188 + 1,25)/2 = 1,219.

21. Найдем значение функции в точке С5 .

f(1,219) = 1,219 – 1,219² - 1 = 2,6916 – 1,4860 – 1 = 0,2056.

22. Т.к. значение противоположного знака функция принимает в левом конце промежутка, то за новый более узкий промежуток возьмем отрезок  

[1,188; 1,219].

23. Найдем значение С6 . С6 = (1,188 + 1,219)/2 = 1,2035.

24. Найдем погрешность приближения.

│1,2035 – 1,219│ = 0,0155 > ε.

25. Найдем значение С5 .

  f(1,2035) = 1,2035 – 1,2035² - 1 = 2,5248 – 1,4484 – 1 = 0,076

26. Т.к. значение противоположного знака функция принимает в левом конце промежутка, то за новый более узкий промежуток возьмем отрезок

[1,2035; 1,219].

27. Найдем значение С7 .

 С7 = (1,203 + 1,219)/2 = 1,2112.

28. Найдем погрешность приближения.

│1,2112 – 1,2035│ = 0,0077 > ε, где ε = 0,001.

29. Найдем значение функции в точке С7 .

f(1,2112) = 1,2112 – 1,2112² - 1 = 2,6066 – 1,4670 – 1 = 0,1396 > 0

30. Т.к. значение противоположного знака функция принимает в левом конце промежутка, то за новый более узкий промежуток возьмем [1,2035; 1,2112].

31. Найдем погрешность приближения.

│1,2112 – 1,2035│ = 0,007 > ε

32. Найдем значение С8 .

C8 = (1,2112 + 1,2035)/2 = 1,2074.

33. Найдем погрешность приближения.

│1,2074 – 1,2035 │ = 0,003 > ε

34. Найдем значение функции в точке С8 .

f(1,2074) = 1,2074 – 1,2075² - 1 = 2,5660 – 1,4578 – 1 = 1,1082>0

35. Новый промежуток изоляции будет [1,2035; 1,2074].

36. Найдем значение С9 .

 С9 = (1,2035 + 1,2074)/2 = 1,2054

37. Найдем f(C9 )

f(C9 ) = 1,2054 – 1,2054² - 1 = 2,5448 – 1,4530 – 1 = 0,0918>0

38. Новый промежуток изоляции [1,2035; 1,2054].

39. Найдем С10 . С10 = (1,2035 + 1,2054)/2 = 1,2044.

40. Найдем погрешность приближенного вычисления│х10 – х9 │.

│1,2044 – 1,2054│ = 0,001 = ε.

Следовательно искомый корень, найденный методом проб равен х ≈  1,204

 с точностью до 0,001.

 Результаты измерений занесем в таблицу.

Задача 5.

Методом касательных (методом Ньютона) решим уравнение с точностью до е = 0,01.  х³ - 3х – 1 = 0.

Решение:

1. Найдем интервал изоляции корней данного уравнения. Запишем  данное уравнение  в виде  х³ = 3х + 1 т.е. y1 =x3 , y2 = 3x+1.

Построим графики функций

          y1 = х³      

         у2 = 3х + 1

Определим приблизительно по графику абсциссу точки M пересечения графиков ,  М € [1;2].Найдем значение функции на концах отрезка.

f(1) = 1³ - 3 * 1 – 1 = -3 < 0

f(2) = 2³ - 2 * 3 – 1 = 1 > 0

На концах отрезка функция принимает противоположные значения, следовательно [1;2] -  промежуток изоляции.

2. Найдем f'(x) и f''(x) для данной функции

          f(x) = x³ - 3x – 1

f'(x) = (x³ - 3x – 1)' = 3x² - 3

f''(x) = (3x² - 3) = 6x

3. Возьмем для отрезка изоляции [1;2] такое число х0 = 2, при котором f´(2) имеет тот же знак, что и f'´(2),  т.е.  f'(2) * f''(2) > 0

4. Найдем f'(2) = 3 * 2² - 3 = 9.

5. Найдем первое приближенное значение корня по формуле

                                                          f(x0)

                                     x1 = x0 -   ----------- ,

                                                           f´(x0)

x1 = 2 – 1/9 =1,888

6. Найдем f(x1 ):

f(1,888) = (1,888)³ - 3 * 1,888 – 1 = 6,739 – 5,666 – 1 = 0,072 > 0.

7). Найдём   значение f´(x1)

8) Найдем второе приближенное значение корня по формуле:

                                                         f(x1)

                                     x2 = x1 -   ----------- ,

                                                           f´(x1)

х2 = 1,888 – (0,072/7,693) = 1,878.

9. Найдем погрешность приближения.

│1,888 – 1,878│ = 0,01 = ε

10. Найдем третье приближенное значение корня по формуле:

                                                         f(x2)

                                     x3 = x2 -   ----------- ,

                                                           f´(x2)

х3 = 1,871

11. Найдем погрешность приближения.

│1,878 – 1,871│ = 0,007 < ε

И так,  приближенное значение корня, найденное методом Ньютона, с точностью до 0,01 равно 1,87.

 Результаты вычисления запишем в таблицу.

IV. Численные методы в геометрии

Численное значение алгебраического выражения f(a, b,…,z) – всякое число, полученное в результате подстановки в выражение f вместо букв a, b,…,z каких-либо конкретных действительных чисел (из области допустимых значений букв) и выполнения над этими числами тех же действий, которые должны производиться над буквами.

        Название вычислительная геометрия  можно дать курсу 8-го класса потому, что именно она посвящена вычислению геометрических величин.

Задача 1.

        Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса угла А делит сторону CD на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм.

        Решение:  Построим рисунок по условию.

                                                    С         К            D

                                                    В                         А

          Т.к. АК – биссектриса, то угол ВАК = КАD = 45º (т.к. угол А равен 90º). ∆ ADK – прямоугольный, угол AKD = 90 – KAD = 45º, тогда ∆ ADK – равнобедренный, значит AD = KD.

          Возможны случаи6

а) Если KD = 2,7 дм, СК = 4,5 дм, то AD = KD = 2,7 дм;

    DC = DK + CK = 2,7 + 4,5 = 7,2 дм.

    Тогда РABCD = 2(2,7 + 4,5) = 19,8 дм.

б) Если KD = 4,5 дм, СК = 2,7 дм, то AD = KD = 4,5 дм, DC = 7,2 дм.

    Тогда РABCD  = 23,4дм.

Ответ: периметр прямоугольника равен 19,8 дм или 23,4 дм.

Задача 2.

          Докажите, что диагональ параллелограмма делят его на четыре треугольника, имеющих одинаковую площадь.

          Решение:  В    N            C

                      M                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

        K                                                                                                                                                                                                          

        A                          D                                            

                                   P

          Через точку пересечения диагоналей проведем прямые МК перпендикулярную АВ и NP перпендикулярную ВС, тогда т.к. АВ║CD и ВС║AD, то NP перпендикулярно AD, значит ОМ, ОN, ОК, ОР – высоты треугольников АОВ, ВОС, COD, DOA.

        SBOC + SAOD = BC * ON / 2 + AD * OP / 2 = BC (ON + OP) / 2 = BC * NP / 2 = S ABCD / 2 ( BC = AD, NP – высота параллелограмма, т.к. NP перпендикулярна BC и AD).

        Тогда SBOC = SAOD = S ABCD / 4(∆BOC = ∆DOA по двум сторонам и углу между ними).

        SAOB + SCOD = AB * OM / 2 + CD * OK / 2 = AB (OM + OK) / 2 =            AB * MK / 2 = SABCD / 2 (AB = CD, MK – высота параллелограмма).

        Тогда SAOB = SCOD  = SABCD / 4 (∆AOB = ∆COD по двум сторонам и углу между ними).

        Получили  SAOB = SBOC = SCOD = SDOA = SABCD / 4, т. е. диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника, имеющих одинаковую площадь.

Задача 3.

        Найдите углы треугольника, если его стороны из точки пересечения серединных перпендикуляров видны по углам 100º, 140º, 120º.

        Решение:                                           В                                                                                          

                                                     М    2   3      N

                                                            1        О   4

                                                  А       6         5          С

                                                               К

МО, NО, ОК – серединные перпендикуляры  => АО1 = ВО = СО, то есть ∆АОВ1 , ∆ВОС, ∆АОС – равнобедренные и ОМ, ОN и ОК являются их биссектрисами.

АОВ = 100º => 1 = 2 = (180º – 100º) / 2 = 40º

BOC = 120º => 3 = 4 = (180º – 120º) / 2 = 30º

AOC = 140º => 5 = 6 = (180º – 140º) / 2 = 20º

ABC = 2 + 3 = 70º, BAC = 1 + 6 = 60º, ACB = 4 + 5 = 50º.

Ответ: углы треугольника равны 50º, 60º, 70º.

                                ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Математический подход к окружающему миру – это способ познать его. Математический путь мышления нужен всем – не только специалисту – математику, инженеру, ученному физику, но и врачу и рабочему, моряку и спортсмену. Наш великий соотечественник Михаил Васильевич  Ломоносов говорил:

«Математику уж затем изучать надо, что она ум в порядок приводит.»

          А сегодня стоит очень много жизненных и производственных задач, математическая модель которых сводится к решению алгебраических и трансцендентных уравнений. С помощью описанных методов можно решать задачи практического содержания в различных отрослях народного хозяйства: бухгалтерии, ветеринарии, медицине, промышленности и т.д. – там, где поставлена любая математическая модель задач, сводящихся к алгебраическим уравнениям.

           Я научилась находить приближенные значения корней. И уже использовала их на практике. В 9 классе при изучении темы « Решение алгебраических уравнений» , я  рассказывала решение уравнений  методом проб и методом хорд. О методе кассательных и методе итераций не рассказывала, так как учащиеся 9 класса не учили тему «Производная».

На факультативных занятиях в 11 классе  познакомила учащихся со всеми мной изучеными методами.

             Эти знания помогут мне в будущем для обучения в ВУЗе и освоения своей профессии.

                                                    ЛИТЕРАТУРА

  1.Воднев В.Т. Основные математические формулы. /под редакцией Ю.С. Богданова. Минск. «Вышэйшая школа», 1988г.-268с.

 2.Высшая математика для экономистов. /под редакцией Н.Ш. Кремера.

М.;ЮНИТИ, 2000г. – 600с.

 3. Пискунов Н.И. Дифференциальное и интегральное исчисления:                    

учебное пособие для втузов. В 2т. Т. 1 /Н.С. Пискунов.- М.: Наука, 1985г. – 432с.

 4. Пискунов Н.И. Дифференциальное и интегральное исчисления:                    

учебное пособие для втузов. В 2т. Т. 2 /Н.С. Пискунов.- М.: Наука, 1985г. – 576с.

 5) Энциклопедия для детей. Т11. Математика /Гл. редактор М. Аксёнова-

М.: Аванта, 2004г.- 688с.