Научно-исследовательская работа по математике на тему: «Геометрия Лобачевского»

Министерство образования и науки Краснодарского края

Государственное бюджетное профессиональное образовательное

учреждение Краснодарского края

«Лабинский Социально-технический техникум»

(ГБПОУ КК ЛСТТ)

Научно-исследовательская работа по математике

на тему:

«Геометрия Лобачевского»

                                                       Выполнила учащаяся

                                                                                                                                             группы

                                                                                                                        №231 по профессии

                                                                                                          «Продавец, контролер-кассир»

Рыбникова Анжелика

 Научный руководитель

Преподаватель математики

Айхлер Анастасия Сергеевна

г. Лабинск

2014

Содержание

1. Введение…………………………………………………………………………..3
2. Биография………………………………………………………………..……..…4
3. История открытия……………………………...…………………………………6
4. Частичное содержание геометрии Лобачевского………………………….…...11
5. Модели………………………………………………………………………….…13
6. Применение….........................................................................................................15
7. Заключение………………………………………………………………………..16
8. Литература…………………………..…………………………………………….17
9. Приложения……………………………………………………………………….18

Введение

Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки.                                        Этот факт многократно подтверждался. Физика Ньютона переросла в релятивистскую физику, а та в квантовую. Теория флогистона стала химией, а самозарождение мышей из грязи обернулось биологией. Такова судьба всех наук, и нельзя сказать, что сегодняшнее открытие через двадцать лет не окажется грандиозной ошибкой. Но это тоже нормально – ещё Ломоносов говорил: «Алхимия – мать химии: дочь не виновата, что её мать глуповата».                                                        Участь эта не обошла и геометрию. Традиционная Евклидова геометрия переросла в неевклидову, геометрию Лобачевского. Именно этому разделу математики, его истории и особенностям и посвящен этот проект.

Биография

Детство Лобачевского было тяжелым и бедным. В Казанской гимназии он был казеннокоштным студентом, что накладывало определенные обязанности и ограничения. Самым простым было учиться лучше других; но казеннокоштным студентам, например, не разрешалось выходить дальше, чем за пределы парадного двора. Но уже с самого начала жизни Лобачевский интересовался геометрией. Это неудивительно, ведь его отец был землемером. Лобачевский проявил также большую склонность к языкам – например, французский он выучил за три месяца. Он писал стихи – его поэмы о Волге считаются одними из лучших. Но при этом он не забывал учиться – в 1807 году он студент, а в
1811 – магистр. Работая над развитием геометрии, в 1826 году, уже будучи деканом физико-математического факультета, он сделал доклад, содержавший основы неевклидовой геометрии. Однако время было не совсем подходящим: открылись хищения из казны Магницким – ещё одним математиком этой эпохи,
Магницкого «записали» в декабристы… Словом, ученому миру было не до новых теорий.                                                                                                        Но он не сдался. С 1829 по 1830 год он публиковал в журнале «Казанский вестник» мемуар  «О началах геометрии», и это была первая публикация основ его теории.                                                                                        Лобачевский пользовался уважением и любовью студентов и коллег. Когда упразднили должность директора университета, то его кандидатуру на пост главного ректора утвердили без возражений. Не высказался даже его главный соперник – Симонов. в 1842 году, во время большого пожара в Казани он героически спас древние книги, до этого, во время эпидемии холеры, превратил университет в мини-госпиталь – из-за чего умерло гораздо меньше студентов, чем в других
ВУЗ’ах.                                                                                                Когда негде было разместить второй класс Казанской гимназии, он предложил свой дом, обещав потом построить для гимназии дворец. Понятно, что в 1845 году он получил должность управляющего Казанским учебным округом, а после стал член-корреспондентом  Гуттенгенского университета.                                                Но жизнь нанесла ещё один удар: он начал слепнуть. Он начал играть со своей женой в страшную игру, пытаясь убедить её, что ещё хорошо видит. Она закатывала истерики, уговаривала лечиться, но все тщетно – Лобачевский ослеп. Но, тем не менее, он продолжал преподавать и пользоваться безграничной любовью и уважением учеников. Знаменателен случай, когда молодого студента, засмеявшегося над споткнувшимся Лобачевским, однокурсники заставили уйти из университета. Лобачевский об этом даже не узнал.                                                                В 1855 году он был уволен со службы с причислением к министерству. В этом же году опубликовал свою последнюю работу – «Пангеометрия», которую диктовал своим ученикам. Его горячим желанием было создать единую механику
– но времени не хватило. Он умер в 1856 году – забытый царем, лишившись орденов и квартиры – ордена украли, а квартиру конфисковали. В его формулярном листе за сорок лет работы в графе отпусков бисерным почерком
Лобачевского было написано: «Не был».

История открытия

     «Начала» - величайший памятник  деятельности  Евклида,  в  котором  он

собрал воедино всё то, что сделали его предшественники в  области  геометрии

и «словесной алгебры». Но не только в этом его заслуга. Он также внёс  много

своего,  нового,  оригинального.  Вплоть  до  XX  в.  геометрию   в   школах

преподавали по  учебникам,  в  которые  были  включены  евклидовы  «Начала»,

переведённые и литературно обработанные.

      Однако не всё написанное  Евклидом  удовлетворяло  живших  после  него

математиков. Великолепной была его попытка  дать  аксиоматическое  изложение

геометрии, т.е.  сформулировать  небольшое  количество  аксиом,  из  которых

логически выводятся все теоремы геометрии. Список аксиом сразу же  подвергся

критике, некоторые из них оказались совсем не нужными,  например,  что  «все

прямые углы равны между собой».

      Так  называемый  пятый  постулат  Евклида  вызвал   особые   нарекания

математиков. Именно эта аксиома, как показала историческое  развитие  науки,

содержала в себе зародыш другой, неевклидовой геометрии.

      Вот о чём говорится в пятом постулате: Если две прямые a и b  образуют

при пересечении с третьей прямой внутренние односторонние углы,  сумма

величин которых меньше двух прямых углов (т.е. меньше 180),  то  эти

две прямые обязательно пересекаются.

      Данное утверждение заметно сложнее остальных аксиом.  Потому-то  пятый

постулат   часто замеряют на равносильную аксиому параллельности:  к  данной

прямой через данную вне её точку можно провести не более одной  параллельной

прямой.

      Вообразим. Что мы взяли две точки А и В на  расстоянии  1  м  друг  от

друга и провели через них две прямые a и b, причём  так  что  a  образует  с

прямой АВ равен 89 градусов 59 минут 59 секунд. Иначе  говоря,  сумма  двух

внутренних односторонних углов всего на одну  угловую  секунду  меньше

180. Продолжим прямые,  пока  они  не  пересекутся  в  точке  С.  В

результате получится  прямоугольный  треугольник  АВС,  у  которого  угол  А

прямой, угол при вершине С составляет 1 угловую секунду. Катет  АС

этого треугольника имеет длину с/tga, где с = 1 м, a= 1 угловая секунда. С  помощью  калькулятора нетрудно подсчитать, что длина  катета АС составляем приблизительно 206 км. Угол  в  1   угловую   секунду   достаточно   ощутим   (например   при

астрономических расчётах). Но проверить, пересекаются ли на расстоянии 206 км от  прямой  АВ эти прямы,   совсем  не  просто.  Ведь изготовить  плоский  лист  бумаги  и  линейку  длиной  более   200   км   не предоставляется возможным. Использовать оптические приборы?  Но тогда надо будет добавить ещё один постулат: свет распространяется  по  прямой (а  это уже физика). А если сумма углов отличается  менее  чем  на  1  угловую секунду? Как видит, пятый постулат Евклида не так уж прост и убедителен.

      Сложность формулировки пятого постулата и его неубедительность привели

к тому,  что  очень  многие  математики,  жившие  после  Евклида,  старались

исключить этот постулат из списка аксиом, т.е. доказать его  как  теорему  с

помощью остальных аксиом Евклида. В «сражениях» с пятым постулатом  особенно

далеко продвинулись Ламберт, Саккери и Лежандр.

         В начале XIX в.  в  «сражение против пятого постулата»  вступил  русский  математик  профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский. Он  был  исключительно талантлив и настойчив. Первое время Лобачевский шёл тем же путём что  и  его предшественники, т.е. пытался рассуждать от противного. Допустив, что  пятый постулат неверен, а  остальные  аксиомы  справедливы,  мы  рано  или  поздно придем к противоречию. Этим противоречием он и будет доказан.

         Итак, допустим, что пятый постулат неверен: через точку А, не  принадлежащую

прямой b, можно провести  более  чем  одну  прямую,  которая  не

пересекается с b. Пусть прямые  a'  и  a"  не  пересекаются  с  b. Будем  поворачивать  прямую  a'  по  часовой стрелке.  Тогда  найдётся  прямая  c',  которая   «в   последний   раз»   не пересекается с b.  Значит,  прямые,  получившиеся  из  с'  при  повороте  по часовой стрелке (на сколь угодно малый угол),будут пересекать  прямую  b,  а прямые, получающиеся из с при малом  повороте  в  обратном  направлении,  не будут пересекать b. Иначе говоря, среди всех прямых, проходящих через  точку А, прямая с' отделяет пересекающие b прямые  от  не  пересекающих  её.  Сама прямая с' не пересекает b. Такая же картина наблюдается  и  для  прямой  с", симметричной с' относительно  перпендикуляра  АР,  опущенного  на  b.  Она отделяет пересекающие b от не пересекающих.

         Лобачевский называет прямые с' и с" параллельными прямой b, причём  с'

параллельна  b  вправо,  а  с"  параллельна  b  влево.   Остальные   прямые,

проходящие через точку А и не пересекающая  прямую b (такие, как  a'  и  a"), именуются расходящимися с прямой b.

      Далее, обозначим длину отрезка АР через x, а острый  угол,  образуемый

прямой с' или с" с прямой АР, - через П(х). Лобачевский  вводит

эти   определения   и   обозначения,   стремясь,   со    свойственной    ему

настойчивостью,  узнать,  что  может  получиться  из  его  предположения   о

неверности пятого постулата, и быстрее обнаружить желанное противоречие.

      На получаемых при построении чертежах линии изогнуты. Но вы должны понять, что Лобачевский рассуждает именно о прямых линиях. Если отрезок АР мал, то острый угол  П(х) близок к 90. Когда отрезок совсем мал, то, мы увидим, что прямые  с'  и  с" практически сливаются, поскольку угол П(х) очень близок к  90. В целом же, в силу предположения о  неверности  пятого  постулата,  приходится изображать линии изогнутыми. И если в дальнейшем будут появляться всё  более и более странные вещи, то  это  только  хорошо  –  мы  скорее  наткнемся  на долгожданное противоречие.

      Лобачевский доказывает (всё в том же предложении о  неверности  пятого

постулата), что две параллельные  прямые  неограниченно  сближаются  друг  с

другом  в  сторону   параллельности,   но   в   обратном   направлении   они

неограниченно удаляются друг от друга.  А две расходящиеся  прямые

имеют единственный общий перпендикуляр,  по  обе  стороны  от  которого  они

неограниченно удаляются друг от друга. Это очень похоже на то, о чём писал Лежандр в своих трудах о неевклидовой геометрии, но  Лобачевский  уже  знал,  что  здесь  пока  ещё  нет  никакого противоречия.

      Затем он рассматривает две параллельные прямые b и c и  берёт на  прямой  b  движущуюся  точку   М,   удаляющуюся   в   сторону   обратную параллельности. В  каждом  положении  точки  М  он  восставляет перпендикуляр  p  к  прямой  b  до  его  пересечения  с  прямой   с.   Длина перпендикуляра непрерывно возрастает при движении  точки  М,  и  ,когда  она попадает в положение Q, длина перпендикуляра становится бесконечной.  Точнее говоря, перпендикуляр р, восставленный к прямой  b  в  точке  Q,  параллелен прямой  с.  Построив  прямую  с'    симметричную   относительно перпендикуляра  р,  получим  три  прямые  –  b,  c  и  c',  которые  попарно параллельны друг другу.  Возникает  своеобразный  «бесконечный треугольник»: у него каждые две стороны параллельны  друг  другу,  а  вершин совсем нет (они как бы находятся в бесконечности). Это  уже  никак не согласуется с привычными представлениями о расположении прямых линий!  Но противоречия и здесь нет.

      Тогда  Лобачевский  предпринимает  попытку   использовать   могущество

формул. Применяя  выведенную  им  функцию  П(х),  он  получает  зависимости,

позволяющие по сторонам треугольника вычислять его углы. И  оказывается  что

в любом треугольнике сумма углов  меньше  180.

     Лобачевский оказался теперь намного богаче:  он  имел  формулы,

выражающие  зависимости  между  сторонами  и  углами  любого   треугольника.

Пользуясь  своими  формулами,  Лобачевский  доказал:  если   известны   углы

треугольника, можно однозначно вычислить его стороны. Совсем  странно!  Ведь

существуют подобные треугольники, в которых  углы  соответственно  равны,  а

стороны неодинаковы, так что углы треугольника не позволяют вычислить  длины

всех его сторон .

      Что это - желанное противоречие? Увы, опять нет! Наличие подобных,  но

неравных  треугольников  доказывается  с  помощью  аксиомы  о   параллельных

прямых.  А  потому  сам  факт,  что  такие  треугольники  существуют,  может

рассматриваться как ещё одна новая аксиома, эквивалентная пятому постулату.

      И Лобачевского осенила гениальная  догадка:  противоречия  никогда  не

будет! Иначе говоря, если мы добавляем ко всем прочим аксиомам ещё  и  пятый

постулат,  то  получается  непротиворечивая  геометрическая  система  –   та

евклидова геометрия, к которой мы так  привыкли.  Если  же  ко  всем  прочим

аксиомам   вместо   пятого   постулата   мы   добавим   отрицание    аксиомы

параллельности, т.е. аксиому  о  том,  что  через  точку  вне  прямой  можно

провести  более  одной  прямой,  параллельной  данной,  то  получим   другую

геометрическую систему (Лобачевский назвал  её  «воображаемой»  геометрией),

которая, однако, тоже непротиворечива.

      В  результате  дальнейших  исследований  при  помощи  материала  своей

«воображаемой» геометрии  Лобачевский  построил  модель  геометрии  Евклида.

Какая злая ирония судьбы! Если бы всё было бы  наоборот!  Гениальный  учёный

понимал: создай он из материала евклидовой геометрии  (в  непротиворечивости

которой никто не сомневался) модель собственной «воображаемой»  геометрии  –

и законность его геометрической системы установлена. Это сделали  математики

уже следующего поколения.

   Лобачевский выступил с докладом об открытии неевклидовой геометрии  в1824

г. но поддержки не нашёл. Математики его времени ещё не были подготовлены  к

мысли о  возможности  существования  иной,  неевклидовой  геометрии.  Учёный

умер, так и не добившись признания своих идей.

   Впрочем, один человек понимал и поддерживал его работы. Гениальный Гаусс,

«король математиков» (судя по архиву, разобранному уже после смерти), ещё  в

1815  г.,  за  девять  лет  до   сообщения   Лобачевского,   размышлял   над

аналогичными идеями. И тем не менее Гаусс, к мнению которого  прислушивались

все, не решился опубликовать свои работы. Однако  Гаусс  добился  того,  что

Лобачевского избрали иностранным  членом  –  корреспондентом  Гёттингенского

учёного общества.  Это  единственная  почесть,  возданная  Лобачевскому  при

жизни.

       Математики следующего поколения (Клейн, Кэли, Пуанкаре и др.) сумели

построить модель геометрии Лобачевского из материала геометрии Евклида,  тем

самым  установив  непротиворечивость  и  законность   новой   геометрии.   И

математики поняли, что могут быть разные геометрии и разные пространства.

Частичное содержание геометрии Лобачевского

            Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, так как именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельности, общим объёмом геометрии, и образуют так называемую абсолютную геометрию, к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельности строились другие разделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии.                                                                                                            Приведём (в современных обозначениях) несколько фактов геометрии Лобачевского, отличающих её от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским.                                                                                                         Через точку P, не лежащую на данной прямой R, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих R и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние x, y, которые и называются параллельными прямой R в смысле Лобачевского.       Угол между прямой R и перпендикуляром из P на R — т. н. угол параллельности — по мере удаления точки P от прямой убывает от 90° до 0. Параллель x с одной стороны (а y с противоположной) асимптотически приближается к а, а с другой — бесконечно от неё удаляется .                                                                                                Для точки, находящейся от заданной прямой на расстоянии PB = a (см. рисунок), Лобачевский дал формулу для угла параллельности П(a)[2]:

;

           Здесь q — некоторая постоянная, связанная с кривизной пространства Лобачевского. Она может служить абсолютной единицей длины аналогично тому, как в сферической геометрии особое положение занимает радиус сферы.                                         Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.                                                                                В геометрии Лобачевского не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны.

Сумма углов всякого треугольника меньше π и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это непосредственно видно на модели Пуанкаре. Разность δ = π − (α + β + γ), где α, β, γ — углы треугольника, пропорциональна его площади:

    Из формулы видно, что существует максимальная площадь треугольника, и это конечное число: πq2.

Модели

             Модели геометрии Лобачевского дали доказательство её непротиворечивости, точнее показали, что геометрия Лобачевского столь же непротиворечива, как геометрия Евклида.                                                                                                Сам Лобачевский дал основы своей аналитической геометрии, и тем самым он уже фактически наметил такую модель. Он также заметил что орисфера в пространстве Лобачевского изометрична евклидовой плоскости, тем самым фактически предложил обратную модель. Тем не менее, само понятие о модели прояснилось в работах Клейна и других.

  Псевдосфера

Итальянский математик Э. Бельтрами в 1868 году заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны,  простейший пример которых представляет псевдосфера. Если точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие линии (геодезические) на псевдосфере и движению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, то есть деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме геометрии Лобачевского будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере. При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере.

Однако здесь даётся интерпретация только геометрии только локально, то есть на куске, а не на всей плоскости Лобачевского.

Модель Клейна

В 1871 году Клейн предложил первую полноценную модель плоскости Лобачевского. Плоскостью служит внутренность круга, прямой — хорда круга без концов, а точкой — точка внутри круга. «Движением» назовём любое преобразование круга в самого себя, которое переводит хорды в хорды. Соответственно, равными называются фигуры внутри круга, переводящиеся одна в другую такими преобразованиями. Тогда оказывается, что любой геометрический факт, описанный на таком языке, представляет теорему или аксиому геометрии Лобачевского. Иными словами, всякое утверждение геометрии Лобачевского на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, так как через точку O, не лежащую на данной хорде а (то есть «прямой»), проходит сколько угодно не пересекающих её хорд («прямых»).

Модель Пуанкаре

За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.                                                        Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами.

Применение

• Сам Лобачевский применил свою геометрию к вычислению определённых интегралов.
• В теории функций комплексного переменного геометрия Лобачевского помогла построить теорию автоморфных функций. Связь с геометрией Лобачевского была здесь отправным пунктом исследований Пуанкаре, который писал, что «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи».
• Геометрия Лобачевского находит применение также в теории чисел, в её геометрических методах, объединённых под названием «геометрия чисел».
• Была установлена тесная связь геометрии Лобачевского с кинематикой специальной (частной) теории относительности. Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света

при делении на t2, то есть для скорости света, даёт

 — уравнение сферы в пространстве с координатами vx, vy, vz — составляющими скорости по осям х, у, z (в «пространстве скоростей»). Преобразования Лоренца сохраняют эту сферу и, так как они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с, то есть для скоростей, меньших скорости света, имеет место геометрия Лобачевского.

• Замечательное приложение геометрия Лобачевского нашла в общей теории относительности. Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космических масштабах допустимо), то оказывается возможным, что при определённых условиях пространство имеет геометрию Лобачевского. Т. о., предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось.
• При помощи модели Клейна, даётся очень простое и короткое доказательство теоремы о бабочке в евклидовой геометрии.

Заключение

Когда Евклид формулировал пятый постулат, вряд ли он знал, какую бурю тот вызовет. Когда Лобачевский отказался от пятого постулата, он не знал, что его «воображаемая геометрия» на проверку окажется реальной.

Нельзя сказать, что неевклидова геометрия единственно правильна. На данный момент к ней нет никаких претензий. Но, может быть, через много лет она устареет – или это произойдет быстрее? Так или иначе, но наука никогда не будет стоять на месте, и когда-нибудь и этот проект окажется макулатурой.

Но думаю, что до этого времени он успеет выполнить свое предназначение – рассказать и заинтересовать читателя настоящей геометрией нашего мира. Именно из-за популярного характера в нем нет ни строгих доказательств, ни полного описания неевклидовой геометрии. Но для поверхностного ознакомления с ней он вполне годен.

Литература

1. А. Д. Александров, А. Л. Вернар, В. И. Рыжик, Геометрия М: Просвещение, 1991).
2. Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. –М.:Наука, 1983.
3. Франгулов С.А., Совертков П.И. Геометрия Лобачевского. СПб., 1992.
4. Прасолов В.В. Геометрия Лобачевского. М.: Изд–во МК НМУ, 1995.
5. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.II. Просвещение, 1998

Приложения

Приложение 1

Графически оформленная история открытия Лобачевским его геометрии

«….мы взяли две точки А и В на  расстоянии  1  м  друг  от

друга и провели через них две прямые a и b, причём  так  что  a  образует  с

прямой АВ равен 89 градусов 59 минут 59 секунд…»

        «…Итак, допустим, что пятый постулат неверен: через точку А, не  принадлежащую

прямой b, можно провести  более  чем  одну  прямую,  которая  непересекается с b. …..Далее, обозначим длину отрезка АР через х, а острый угол, образуемый прямой с' или с" с прямой АР, - через П(х)…»

«…На получаемых при построении чертежах линии изогнуты. Но вы должны понять, что Лобачевский рассуждает именно о прямых линиях…»

«…Лобачевский доказывает (все в том же предположении неверности пятого постулата), что две параллельные прямые неограниченно сближаются друг с другом в сторону параллельности, но в обратном направлении они неограниченно удаляются друг от друга…»

«…Затем Лобачевский рассматривает две параллельные прямые в и с и берет на прямой в движущуюся точку М, удаляющуюся в сторону, обратную параллельности…»

«…В каждом положении точки М он восставляет перпендикуляр р к прямой в до его пересечения с прямой с…»

«…Возникает своеобразный "бесконечный треугольник"…»

Приложение 2

Модели геометрии Лобачевского:

Псевдосфера

     Модель Клейна                                                                              Модель Пуанкаре

Приложение 3

Искривление вселенной: изогнутая материя напоминает псевдосферу.

Приложение 4

Двуугольник

Двуугольник в геометрии — это многоугольник с двумя сторонами и двумя углами. В Евклидовой геометрии двуугольник считается невозможной фигурой, так как его две стороны совпадают. Но в сферической геометрии двуугольник образуется при пересечении двух больших окружностей. Площадь двуугольника определяется формулой S = 2R2α, где R — радиус сферы, а α - угол двуугольника.

Приложение 5

Построение модели Пуанкаре.                                                                Начнем с того, что придадим конкретный смысл основным объектам и основным отношениям планиметрии Лобачевского. Для этого фиксируем на евклидовской плоскости E горизонтальную прямую x. Она носит название «абсолюта». Точками плоскости Лобачевского считаются точки плоскости E, лежащие выше абсолюта x. Таким образом, в модели Пуанкаре плоскость Лобачевского – это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта.                                                                                 Прямыми плоскости L считаются полуокружности с центрами на абсолюте или лучи с вершинами на абсолюте и перпендикулярные ему.

Фигура на плоскости Лобачевского – это фигура полуплоскости L. Принадлежность точки фигуре понимается так же, как и на евклидовой плоскости E. При этом отрезком плоскости L считается дуга окружности с центром на абсолюте или отрезок прямой, перпендикулярной абсолюту (см. рис. 15.2.1). Точка K лежит между точками C и D, значит, что K принадлежит дуге CD. В условиях нашей модели это эквивалентно тому, что K' лежит между C' и D', где C', K' и D' – проекции точек C, K и D соответственно на абсолют. Чтобы ввести понятие равенства неевклидовых отрезков в модели Пуанкаре, определяют неевклидовы движения в этой модели.

Неевклидовым движением называется преобразование L, которое является композицией конечного числа инверсий с центрами на абсолюте и осевых симметрий плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту. Инверсии с центром на абсолюте и осевые симметрии плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту, называют неевклидовыми симметриями. Два неевклидовых отрезка называют равными, если один из них неевклидовым движением можно перевести во второй.

Приложение 6

Доказательство первой аксиомы абсолютной геометрии при помощи геометрии Лобачевского. Прямая (евклидова) AB не перпендикулярна к абсолюту. Тогда серединный перпендикуляр p отрезка AB пересекает абсолют в некоторой точке O. Так как по построению OA = OB, то полуокружность окружности S с центром в точке O и радиусом OA, лежащая выше абсолюта, является неевклидовой прямой, содержащей точки A и B. Эта прямая (неевклидова) единственна, так как на абсолюте есть лишь одна точка, равноудаленная от точек A и B, – это точка O.

        Прямая (евклидова) AB перпендикулярна абсолюту. Тогда ее часть, лежащая выше абсолюта, будет неевклидовой прямой, проходящей через точки A и B, поскольку p || x.