Коллективный проект учащихся 9Г класса ГБОУ СОШ №1959 "Дети мира" в рамках недели математики "Числа Фибоначчи. Золотое сечение". январь 2014 года.
Творческая работа учащихся на тему "Числа Фибоначчи. Золотое сечение"
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 ambaryan_ashot.pptx | 223.44 КБ |
| antonenko_aleksandr.pptx | 295.7 КБ |
| antonenko_aleksey.pptx | 262.77 КБ |
| burtnyak_tatyana.ppt | 226.5 КБ |
| ermakova_anastasiya.ppt | 1.78 МБ |
| zotov_petr.pptx | 358.74 КБ |
| klimova_angelina.pptx | 2.01 МБ |
| osipov_erik.pptx | 291.62 КБ |
| pogosyan_artur.pptx | 811.53 КБ |
| romanova_darya.pptx | 439.67 КБ |
| umrikhina_darya.pptx | 176.05 КБ |
| khvostov_evgeniy.pptx | 2.27 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
На рисунке отрезок АВ разделен точкой С так, что АС : АВ = СВ : АС. Обозначим это отношение Ф. Если принять длину отрезка АВ за a , а большую часть отрезка (АС) за b , то a:b = b:(a-b). Отношение большей части отрезка к меньшей и всей длины отрезка к большей его части (Ф) равно приблизительно 1,618... Обратная величина - отношение меньшей части отрезка к большей и большей части к всему отрезку - составляет примерно 0,618...
Древнегреческий ученый Пифагор (VI в. до н.э.)
Египетские пирамиды
Построение золотого сечения
Парфенон
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
На протяжении многих веков, для построения гармоничных композиций художники пользуются понятием "Золотое сечение". "Золотое сечение" - деление отрезка АС на две части таким образом, что большая его часть АВ относится к меньшей ВС так, как весь отрезок АС относится к АВ (т.е. АВ:ВС=АС:АВ). Это отношение равно примерно 5:8. Отношение 5:8 очень близко к отношению сторон стандартного кадра (24:36 мм = 5:7,5=2:3). Примером использования правила "Золотого сечения" - расположение основных компонентов кадра в особых точках - зрительных центрах, Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. На примере видно, как можно построить кадр в соответствии с правилом золотого сечения. Человек всегда акцентирует свое внимание на этих точках, независимо от формата кадра или картины. А также, посмотрите, к чему приводит нарушение этого правила. Последний кадр из каждой серии получен кадрированием. Золотое сечение
Числа Фибоначчи или Последовательность Фибоначчи - числовая последовательность, обладающая рядом свойств. Например, сумма двух соседних чисел последовательности дает значение следующего за ними (например, 1+1=2; 2+3=5 и т.д.), что подтверждает существование так называемых коэффициентов Фибоначчи, т.е. постоянных соотношений. Последовательность Фибоначчи начинается так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... Числа Фибоначчи
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Фибона́ччи. Леонардо Фибоначчи – один из величайших математиков Средневековья. В одном и своих трудов “Книга вычислений” Фибоначчи описал индо-арабскую систему исчисления и преимущества ее использования перед римской. Леона́рдо Пиза́нский
Числа Фибоначчи. Числа Фибоначчи — это последовательный набор чисел, где каждое следующее — сумма двух предыдущих. Фиббоначчи рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что: изначально есть новорожденная пара кроликов (самец и самка), со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и каждый месяц производить новую пару кроликов, кролики никогда не умирают. Сколько пар кроликов будет через год?В начале первого месяца есть только одна новорожденная пара (1).В конце первого месяца по-прежнему только одна пара кроликов, но уже спарившаяся (1)В конце второго месяца первая пара рождает новую пару и опять спаривается (2) В конце третьего месяца первая пара рождает еще одну новую пару и спаривается, вторая пара только спаривается (3) В конце четвертого месяца первая пара рождает еще одну новую пару и спаривается, вторая пара рождает новую пару и спаривается, третья пара только спаривается (5) В конце n-го месяца число кроликов будет равно числу кроликов в предыдущем месяце плюс числу новорожденных пар, которых будет столько же, сколько пар было два месяца назад. Таким образом:
Золотое сечение. Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) — деление величины (например, длины отрезка) на две части таким образом, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению всей величины к её большей части. Или, если использовать вычисленную величину золотого сечения, — это деление величины на две части — 62 % и 38 % (процентные значения округлены). Приблизительная величина золотого сечения равна 1,6180339887. С математической точки зрения, отношение большей части к меньшей в золотом сечении выражается квадратичной иррациональностью
Связь золого сечения и чисел Фибоначчи. Последовательность Фибоначчм асимптотически (пpиближаясь все медленнее и медленнее) стpемится к некотоpому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иppационально, то есть пpедставляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифp в дpобной части. Его невозможно выразить точно.Если какой-либо член последовательности Фибоначчи pазделить на пpедшествующий ему (напpимеp, 13:8), pезультатом будет величина, колеблющаяся около иppационального значения 1.61803398875... и чеpез pаз то пpевосходящая, то не достигающая его. Hо даже затpатив на это Вечность, невозможно узнать сотношение точно, до последней десятичной цифpы. Kpаткости pади, мы будем пpиводить его в виде 1.618. Особые названия этому соотношению начали давать еще до того, как Лука Пачиоли (сpедневековый математик) назвал его Божественной пpопоpцией. Cpеди его совpеменных названий есть такие, как Золотое сечение, Золотое сpеднее и oтношение веpтящихся квадpатов. Kеплеp назвал это соотношение одним из "сокpовищ геометpии". В алгебpе общепpинято его обозначение гpеческой буквой фи Ф=1.618 Представим золотое сечение на примере отрезка.Рассмотрим отрезок с концами A и B. Пусть точка С делит отрезок AB так что AC/CB = CB/AB или AB/CB = CB/AC. Представить это можно примерно так: A-----C--------B Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью 0,618..., если AB принять за единицу, AC = 0,382.. Kак мы уже знаем числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи.
Примеры. Pаковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Дело в том, что отношение измерений завитков раковины постоянно и равно 1.618. Архимед изучал спираль раковин и вывел уравнение спирали. Cпираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике. Пирамиды. Многие пытались разгадать секреты пирамиды в Гизе. В отличие от других египетских пирамид это не гробница, а скоpее неразрешимая головоломка из числовых комбинаций. Замечательные изобpетательность, мастерство, время и труд аpхитектоpов пирамиды, использованные ими пpи возведении вечного символа, указывают на чрезвычайную важность послания, которое они хотели передать будущим поколениям. Их эпоха была дописьменной, доиероглифической и символы были единственным средством записи открытий. Kлюч к геометро-математическому секрету пирамиды в Гизе, так долго бывшему для человечества загадкой, в действительности был передан Геродоту храмовыми жрецами, сообщившими ему, что пирамида построена так, чтобы площадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты. Площадь тpеугольника 356 x 440 / 2 = 78320 Площадь квадpата 280 x 280 = 78400 Длина ребра основания пирамиды в Гизе равна 783.3 фута (238.7 м), высота пирамиды -484.4 фута (147.6 м). Длина ребра основания, деленная на высоту, приводит к соотношению Ф=1.618. Высота 484.4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13) - это числа из последовательности Фибоначчи. Эти интересные наблюдения подсказывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции Ф=1,618. Некоторые современные ученые склоняются к интерпретации, что древние египтяне построили ее с единственной целью - передать знания, которые они хотели сохранить для грядущих поколений. Интенсивные исследования пирамиды в Гизе показали, сколь обширными были в те времена познания в математике и астрологии. Во всех внутренних и внешних пропорциях пирамиды число 1.618 играет центральную роль.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Золотое Сечение Золотое сечение ( золотая пропорция , деление в крайнем и среднем отношении ) — деление величины на две части таким образом, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению всей величины к её большей части. Или, если использовать вычисленную величину золотого сечения, — это деление величины на две части — 62 % и 38 % (процентные значения округлены). Приблизительная величина золотого сечения равна 1,6180339887.
Числа Фибоначчи Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … (последовательность A000045 в OEIS ) в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Золотое сечение (золотая пропорция, гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении) — соотношение числовых величин в математике и искусстве: отношение суммы двух величин к большей из них равно отношению большей величины к меньшей (рис. 1). Золотое сечение (отношение) — иррациональное число , приблизительно равное 1.6180339887 . [1] Т. е. равенство вида ( a + b ): a = a : b , или, в других обозначениях, равенство (часто читается как: «( a + b ) относится к a так же, как a относится к b »). Если ( a + b ): a = a : b , то ( a + b ) и b называют крайними , а a — средними членами пропорции. [2] Где: ( a + b ) — весь отрезок ( крайний член) a — большая её часть( средний ) b — меньшая её часть( крайний ) Золотое сечение в отличие от пропорции содержит произведение определённых значений средних членов (вместо c·d имеем a·a или a·c = a·a ). Не любое деление отрезка даёт среднее сечение. Например, деление отрезка на части, выраженных рациональными числами или на равные части, не даёт золотого сечения.
Золотое сечение
Математические и эстетические свойства Математические и эстетические свойства Обычно названия золотого сечения (отношения), часто встречается как золотое сечение (латинский: sectio aurea ) и золотая середина . [3] , [4] , [5] Другие описания, с которыми часто сталкиваются, применяют выражения как необычное или как среднее сечение [6] , как божественная пропорция , что на (латинском: sectio divina ); также как золотая пропорция , золотое сокращение , [7] золотое число, а также как среднее из Phidias . [8] , [9] , [10] Золотое сечение часто обозначается греческой буквой — . Фигура (см. Рис.2) иллюстрирует геометрические отношения, которые определяют эту константу: По крайней мере со времён Ренессанса, много художников и архитекторов строили свои работы так, чтобы приблизить золотое сечение (отношение) к правилам золотого прямоугольника, в котором отношение более длинной стороны к корткой было золотым отношением, равной золотой пропорции, удовлетворящее эстетические восприятия.
Числа Фиббоначи Алгебраически нахождение золотого сечения (см. Рис.2) отрезка длины сводится к решению уравнения: , где = 1.6180339887 (для сравнения (см. Рис.1) ) [11] , откуда: Отношение может быть также выражено приближенно дробями где — числа Фибоначчи
Иррациональное алгебраическое число Отношение частей в этой пропорции выражается квадратичной иррациональностью [12] (Греческая буква «фи», первая буква имени Фидиас ( Phidias ), введённая для обозначения золотого сечения) — иррациональное алгебраическое число , положительное решение квадратного уравнения представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней: представляется в виде бесконечной цепной дроби подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи . Таким образом, .
В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении ( ἄκρος καὶ μέσος λόγος ) впервые встречается в «Началах» Евклида ( ок . 300 до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника. В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении (на приведённом рисунке отношение красного отрезка к зелёному, так же как зелёного к синему, так же как синего к фиолетовому, равны ). Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка можно построить следующим образом: в точке восстанавливают перпендикуляр к , откладывают на нём отрезок , равный половине , на отрезке откладывают отрезок , равный , и наконец, на отрезке откладывают отрезок , равный . Тогда
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Формула F- последовательность Фибоначчи n- номер последовательности F(n)=F(n-1)+F(n+1)
Золотое сечение Золотое сечение — отношение суммы двух величин к большей из них равно отношению большей величины к меньшей
Математические свойства ax = xa − x = ϕ , где ϕ = 1.6180339887 Или x/a может быть выражено дробями :2 /3,3/5,5/8,8/13,13/21…, где числа 2 ,3,5,8,13,21- числа Фибоначчи
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Золотое сечение Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а.
Пифагор Принято считать, что он впервые ввел понятие «золотое сечение»
Золотое сечение в архитектуре египтян Пирамида Хеопса Гробница Тутанхамона
Фибоначчи
Числа Фибоначчи
Числа Фибоначчи Пупавка красильная
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Золотое сечение – гармоническая пропорция В математике пропорцией (лат. proportio ) называют равенство двух отношений: a : b= c : d . Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами: - на две равные части – АВ : АС= АВ : ВС; - на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют); таким образом, когда АВ : АС= АС : ВС. Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b= b : c или с : b= b : а. Золотое сечение
Леонардо Фибоначчи — итальянский математик (1180-1240). Родился в Пизе. Его алгебра — одна из первых появившихся в Европе. Он долгое время жил на Востоке, где и познакомился с математикой арабов, в том числе, с алгеброй Мохаммеда бен-Музы , который, в свою очередь, почерпал свои знания из индийской математической литературы и более всего из сочинений Брахмагупты . Леонардо находил уже связь между алгеброй и геометрией. Кто такой Фибоначчи?
Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … (последовательность A000045 в OEIS )в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи ) [1] . Иногда число 0 не рассматривается как член последовательности. Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается линейным рекуррентным соотношением : Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. При этом члены с отрицательными индексами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: Числа Фибоначчи
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Золотое сечение В математике пропорцией (лат. proportio ) называют равенство двух отношений: a : b = c : d. Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами: на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС; на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют); таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.
Геометрическое изображение золотой пропорции Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки .
Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям . Свойства золотого сечения описываются уравнением: x2 – x – 1 = 0. Решение этого уравнения:
Золотое сечение в пропорциях тела человека.
Числа Фибоначчи.
Леонардо Пизанский (Фибоначчи) Леона́рдо Пиза́нский (лат. Leonardus Pisanus , итал. Leonardo Pisano , около 1170 года, Пиза — около 1250 года, там же) — первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи .
Числа Фибоначчи Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности,в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи ). Иногда число 0 не рассматривается как член последовательности.
Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается линейным рекуррентным соотношением : Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. При этом члены с отрицательными индексами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: Легко заметить, что:
Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.
Страница Книги абака (лат. Liber abaci ) Фибоначчи из Национальной центральной библиотеки Флоренции. В правом блоке демонстрируется последовательность Фибоначчи. Позиции от 0 до 12 обозначены тёмным цветом римскими цифрами, а значения красным цветом индо-арабскими цифрами. Главный труд Фибоначчи.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Определение Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) — деление величины (например, длины отрезка) на две части таким образом, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению всей величины к её большей части. Или, если использовать вычисленную величину золотого сечения, — это деление величины на две части — 62 % и 38 % (процентные значения округлены). Приблизительная величина золотого сечения равна 1,6180339887.
В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении впервые встречается в «Началах» Евклида ( ок . 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника. Лука Пачоли , современник и друг Леонардо да Винчи, называл это отношение «божественной пропорцией». Термин «золотое сечение» был введён в обиход Мартином Омом в 1835 году. История
Числа Фибоначчи
Определение Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи). Иногда число 0 не рассматривается как член последовательности.
История Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе. Фибоначчи же рассматривал эти числа немного в другой сфере – биологии, для понятия о размножении кроликов.
Спасибо за просмотр
Рисуем ветку берёзы сухой пастелью
Разноцветное дерево
В.А. Сухомлинский. Самое красивое и самое уродливое
Агния Барто. Сережа учит уроки
Девочка-Снегурочка