"Преобразование графиков"

Слайд 1

« Изучение способов геометрического преобразования графиков элементарных функций для получения графиков более сложных функций» Выполнил: ученик 9Б класса МАОУ «Гимназия №1» МО Ахтубинский район Алексеенко Антон Руководитель: Дериченко Ирина Леонидовна

Слайд 2

Раскрыть возможности простейших преобразований для построения графиков сложных функций Получить правила выполнения геометрических преобразований графиков функций Цели:

Слайд 3

Познакомившись с элементарными функциями и их графиками, мне стало интересно, можно ли, используя графики элементарных функций построить графики более сложных функций и как это сделать? Проблема:

Слайд 4

Способ построения графика функции y=f(x)+m , используя график функции y=f(x) Способ построения графика функции y=f(x-n) , используя график функции y=f(x) Способ построения графика функции y=-f(x) , используя график функции y=f(x) Способ построения графика функции y=f(-x) , используя график функции y=f(x) Способ построения графика функции y=kf(x) , используя график функции y=f(x) Способ построения графика функции y=f( kx ) , используя график функции y=f(x) План:

Слайд 5

Способ построения графика функции y=f(x)+m , используя график функции y=f(x) Рассмотрим две функции : y= x 2 и y= x 2 +2 Составим таблицу значений этих функций на промежутке [-3;3] с шагом 1 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y= x 2 9 4 1 0 1 4 9 y= x 2 +2 11 6 3 2 3 6 11 Мы можем заметить, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции y=x 2 +2 больше значений функции. y=x 2 на одно и то же число. В данном случае это число 2. Предположим, что для того чтобы построить график функции y=x 2 +2 надо все точки, принадлежащие графику функции y=x 2 , перенести вверх на 2 единичных отрезка. Проверим это графически.

Слайд 6

Мы видим, что график функции y=x 2 после указанного преобразования стал проходить через точки, принадлежащие графику функции y=x 2 +2 . Таким образом, наше предположение верно. -2 2 9 11 y=x 2 +2 y=x 2 4 1 -1 X Y 3 -3 0 2

Слайд 7

Вывод: для построения графика функции y=f(x)+m надо каждую точку графика функции y=f(x) сместить на m единиц вниз , если m‹0, и на m единиц вверх , если m›0 . Х Y 0 m m‹0 y=|x|+m y=|x|

Слайд 8

Способ построения графика функции y=f(x-n) x -2 -1 0 1 2 3 4 y=x 3 -8 -1 0 1 8 27 64 y=(x-2) 3 -64 -27 -8 -1 0 1 8 Рассмотрим две функции : y=x 3 и y=(x - 2) 3 . Составим таблицу значений этих функций на промежутке [-2;4] с шагом 1 y=(x-2) 3 -64 -27 -8 -1 0 1 8 y=x 3 -64 -27 -8 -1 0 1 8 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 Сравним значения аргумента в верхней и нижней строках, при которых функции y=(x-2) 3 и y=x 3 принимают одинаковые значения. Мы видим, что они отличаются на -2.

Слайд 9

График функции y=(x-2) 3 получаем сдвигом каждой точки графика y=x 3 на 2 единицы вправо. Х Y -1 2 -2 8 -8 -1 3 4 1 0 y=x 3 y=(x-2) 3

Слайд 10

Х Y 0 y=√x - n n Вывод: для построения графика функции y=f(x-n) надо каждую точку графика функции y=f(x) сместить на n единиц вправо , если n›0, и на n единиц влево , если n‹0 . n‹0 ― y=√x ― ― ―

Слайд 11

Способ построения графика функции y= - f(x) Даны функции y=f(x) и y=-f(x) . При одном и том же значении x значения функций y=f(x) и y= - f(x) отличаются только знаком. Значит, точки графиков этих функции имеют одинаковые абсциссы и одинаковые по значению, но разные по знаку ординаты . Поэтому я предполагаю, что график функции y= - f(x ) можно получить симметричным отражением графика функции y=f(x) относительно оси Ох.

Слайд 12

Для примера рассмотрим графики функций y=x 2 и y=-x 2 Х Y 0 1 -1 Составив таблицу значений и построив графики функций, я убедился в верности своего предположения 2 3 -2 -3 1 4 9 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x 2 9 4 1 0 1 4 9 y=-x 2 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 - 4 -1 -9 y=x 2 y=-x 2

Слайд 13

Способ построения графика функции y=f( - x) Даны функции y=f(x) и y=f( - x) . При противоположных значениях x значения функций y=f(x) и y=f( - x) одинаковы. Значит, точки графиков этих функции имеют одинаковые по значению, но разные по знаку абсциссы и одинаковые ординаты . Поэтому я предполагаю, что график функции y=f( - x ) можно получить симметричным отражением графика функции y=f(x) относительно оси О y .

Слайд 14

Для примера рассмотрим графики функций y=x 3 и y=(-x) 3 Составив таблицу значений и построив графики функций, я убедился в верности своего предположения Х Y 0 1 -1 2 -2 x -2 -1 0 1 2 y=x 3 -8 -1 0 1 8 y=(-x) 3 -8 - 1 0 1 8 x 2 1 0 -1 -2 1 8 -8 -1 y=x 3 y=(-x) 3

Слайд 15

Это свойство выполняется только для функций вида y=x 2n-1 ,при n є N . А т.к. график функций вида y=x 2n , при n є N , симметричен относительно оси Oy , то графики таких функций будут переходить сами в себя. Х Y 0 y=x 2 y=(-x) 2

Слайд 16

Способ построения графика функции y=kf(x) x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x 2 9 4 1 0 1 4 9 y= 3 x 2 27 12 3 0 3 12 27 Выясним, в какую фигуру переходит график функции f при растяжении. Из формул (1) сразу получаем, что произвольная точка ( x; f(x) ) графика f переходит в точку ( x; kf (x) ) . Отсюда следует, что график f переходит в фигуру, состоящую из всех точек ( x; kf(x) ) , где x є D(f). x’ = x y’ = ky (1)

Слайд 17

Х Y 0 1 2 3 -1 -2 -3 1 4 9 Вывод: Для построения графика функции y=kf(x) надо растянуть в k раз (k>1) или сжать в k раз (0

Слайд 18

Способ построения графика функции y=f( kx ) x -3 -2 -1 0 1 2 3 Произвольная точка графика функции f переходит при таком же значении в точку ( kx ; f(x)). Переходя к переменным x’, y’ , можно записать, что график y=f(x) переходит в фигуру, состоящую из точек (x’; f(x’/k)), где x’ принимает все значения вида x’= kx , а x є D(f) x’ = kx y’ = y (1) y=(0.5x) 2 9 4 1 0 1 4 9 x -6 -4 -2 0 2 4 6 y=x 2 9 4 1 0 1 4 9

Слайд 19

Вывод: для построения графика функции y=f( kx ) надо подвергнуть график функции y=f(x) растяжению с коэффициентом k (01 ) вдоль оси абсцисс. Х Y 0 9 1 6 -6 1 2 3 4 5 - 1 -2 -3 -4 -5 4 y=x 2 y=(0.5x) 2 y=3x 2

Слайд 20

Рисование графиками Использовать простейшие преобразования графиков можно для построения различных рисунков, состоящих из графиков функций. Далее я представлю несколько рисунков, выполненных с помощью графиков различных функций.

Слайд 21

Вигвам

Слайд 22

y=0,5|x+2|-1 -4

Слайд 23

Гусеница

Слайд 24

Птица

Слайд 25

1. у=-0,25(х-4,5) 2 +11,5 для х є [1,75; 4,5] 2. у = -0,125 ( x -4,5) 2 +11,5 для х є [4,5; 7,9] 3. у = -( x -2,3) 2 +9,8 для х є [1,75; 3,3] 4. y = -0,35( x -4) 2 +9 для х є [1,5;4] 5. y = -0,3( x -4) 2 +9 для х є [4;7] 6. y = -0,4( x -7) 2 +9,4 для х є [5,4;7] 7. y = -0,04( x -8,5) 2 +9,5 для х є [7;8,5] 8 . y = -0,2( x -8,5) 2 +9,5 для х є [8,5;13,5] 9 y = 2/(х-0,5)+2 для х є [1;5] 10. y =-0,1/(х-6)+2,5 для х є [5;5,8] 11. y =-0,12/(х-6)+1,4 для х є [5;5,8] 12. y =1,4 [3,5;5] 13. ( x -3,5) 2 +( y -0,8) 2 = 0,36 для х є [2,9;3,5] 14. ( x -4) 2 +( y -0,5) 2 = 0,25 для y є [0,5;1] 15. ( x -5) 2 +( y -0,5) 2 = 0,25 для y є [0,5;1] 16. ( x -6) 2 +( y -0,5) 2 = 0,25 для y є [0,5;1] 17. ( x -7) 2 +( y -0,5) 2 = 0,25 для y є [0,5;1] 18. ( x -7,5) 2 +( y -0,5) 2 = 0,25 для y є [0,5;1] и х є [7,5;8] 19. y = -2( x -7) 2 +1,5 для х є [7;7,5] 20. y = √ x -7 +1,5 для х є [7;9,5] , 21. y = ( x -12) 2 +1,5 для х є [10,6;13,5] 22. y = ( x -10,5) 2 +1,5 для х є [9,5;11;2] 23. ( x -4,5) 2 +( y -10,5) 2 = 0,25 – глаз 24. (4,5;10,5) – зрачок 25. y = 2( x -3,5) 2 +10 для х є [3;3,5] 26. y = -2( x -3,5) 2 +10 для х є [3;3,5] 27. y = 2(x-8) 2 +7,5 для х є [7,5;8,5] 28 . y= 2(x-10) 2 +7,5 для х є [9,5;10,5] 29 . y= 2(x-9) 2 +6,5 для х є [8,5;9,5] 30. y = 2( x -11) 2 +6,5 для х є [10,5;11,5] 31. y = 2( x -12,5) 2 +6,5 для х є [12;13] 32. y = 2( x -8) 2 +6 для х є [7,5;8,5] 33. y = 2( x -10) 2 +5,5 для х є [9,5;10,5] 34. y= 2(x-11,5) 2 +5,5 для х є [11;12] 35. y = 2( x -9) 2 +5 для х є [8,59,5] 36. y = 2( x -12,5) 2 +5 для х є [12;13] 37. y = 2( x -8) 2 +4,5 для х є [7,5;8,5] 38. y = 2( x -11) 2 +4,5 для х є [10,5;11,5] 39. y = 2( x -9,5) 2 +4 для х є [9;10] 40. y = 2( x -12) 2 +4 для х є [11,5;12,5] 41. y = 2( x -11,5) 2 +3 для х є [11;12] 42. y = 2( x -13) 2 +3,5 для х є -[12,5;13,5]

Слайд 26

Получив способы построения графиков сложных функций методом преобразования графиков элементарных функций, я столкнулся с следующей проблемой: как получить из графика функции y= x n график функции y=x -n ,где n – натуральное число . Но это уже тема моего следующего исследовательского проекта.

Слайд 27

А. Г. Мордкович. Алгебра-8. Учебник Алгебра и элементарные функции. Справочник. Ф. П. Яремчук, П. А. Рудченко Математика. Справочные материалы. В. А. Гусев, А. Г. Мордкович Справочник по математике. И. Б. Кожухов, А. А. Прокофьев Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. М.: Просвещение, 1989 Используемая литература

Слайд 28

Спасибо за внимание =)