Чем больше периметр, тем больше площадь фигуры? Или как построить дом?

МБОУ «Бик-Утеевская основная общеобразовательная школа Буинского района РТ»

Проектно-исследовательская работа:

«Чем больше периметр, тем больше площадь фигуры? Или как построить дом?»

Авторы: ученицы 5   класса

          Гамирова Гульгена

Самитова Алина

Руководитель: учитель математики

Салаватуллина Фарида Фидаиловна

                                                                        2013 год

Введение

        Мы очень часто говорим о практическом применении математических знаний в жизни человека. Я считаю, что знания, полученные при изучении математики, должны быть приближены к реальной жизни, чтобы мы знали, зачем  необходимы те или иные знания, для решения каких жизненно важных проблем они могут быть полезны.  

        С древности необходимость заставила человека измерять не только длин, расстояние, но и площадь.  В обычной жизни площадью мы называем большое, открытое пространство на улице, покрытое асфальтом. Но оказывается, что площадь можно найти и у крышки стола, и у тетради, и у учебника, и у пола в классе, и у земельного участка.

        Для измерения площади у русского народа были свои особые мерки: копна, выть, соха, обжа, коробья, веревка, жеребья. Сейчас мы не используем этих мер площади. От древних землемеров нам досталось только само слово «площадь». 

              С понятием  площади и  периметра  мы  знакомы с  начальных классов. В обычной жизни на каждом шагу мы встречаемся с понятием “площадь”. Что такое “площадь”, знает каждый.  Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты, площадь садового участка.  Однажды на уроке математики учительница предложила нам решить задачу Льва Толстого «Как Пахом покупал землю»: Крестьянин Пахом, который мечтал о собственной земле и собрал, наконец, желанную сумму, предстал перед требованием старшины: «Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за 1000р. Но если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои деньги». Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник периметром Р=40 км.  Решив  задачу,  мы поняли, что из всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшую  площадь имеет квадрат.

        Какие свойства  у периметра и площади фигур?  Как связаны периметры и площади? Какая фигура имеет наибольшую площадь при заданном периметре?  А может быть, Пахому  выгоднее было бы выкроить себе участок вовсе не прямоугольной, а какой-нибудь другой формы? Оказывается на самом деле  окружность из всех замкнутых фигур  данной длины  (или периметра) ограничивает наибольшую площадь. Каков  периметр окружности, и как его вычислить, у нее нет сторон?

       Эти вопросы толкнули меня на исследовательскую работу.  Я решила исследовать, как можно использовать свойства площади и периметра  при строительстве дома. 

      Идеи  моей исследовательской работы, возможно, помогут нам в дальнейшей самостоятельной жизни.

        Гипотеза:  Из всех прямоугольников с равными периметрами наибольшую площадь имеет квадрат. Из всех замкнутых фигур  данной длины  окружность ограничивает наибольшую площадь.

         Цель исследования:  Составить проект дома большей площади при наименьших затратах строительного материала.

         Задачи:  

1. Изучить типы жилья у различных народностей;
2. Опросить своих сверстников и предложить сделать каждому необходимые измерения  в своем доме, вычислить периметр и площадь их  дома;
3. Провести математическое исследование получения большей площади дома, не изменяя его периметра.
4. Найти проект дома,  в котором мы хотели бы жить, и  спроектировать его так, чтобы он был по площади больше, а расход материала оставался прежним.

I часть.

   Дом — жилище, построенное человеком. Даже животные, насекомые и птицы строят свои дома. У любого жителя и обитателя уголка Земли есть свой дом или домик, свое жилище, своя крепость.
Но дом — это не только то место, где человек ночует или где он жил с детства. Люди пришли к пониманию дома, крова, жилища. Места, где человек чувствует себя в безопасности, защищенным от внешней среды, где он может отдохнуть и набраться сил. Есть такое выражение: «чувствовать себя как дома», то есть «в своей тарелке», уверенно, без страха и волнений.
Издревле считалось важным иметь свой дом, быть хозяином, высоко ценилось умение вести хозяйство, «держать дом» и содержать дом.
Можно сказать, что дом — это пространство, организованное особым образом.  Каждый человек, осознанно или бессознательно, организует   пространство своего бытия,  и        во многом   от    того,     как  он это делает, и складывается его жизнь.   

     Но человек живёт повсюду – на снежном севере, и на знойном юге, и в степных просторах, и среди лесов, и в горах, и в пустыне и даже на воде. Как же люди на разных уголках земного шара устраивают свое жилье? Ответ на этот вопрос я нашла в Интернет-ресурсах на сайте «Национальная архитектура (типы жилья)».  Этот термин применяется  для обозначения методов строительства, использующие местные (легко доступные) ресурсы и традиции для удовлетворения местных нужд и условий проживания. Национальная архитектура стремится развиваться со временем в соответствии с происходящими изменениями в окружающей среде, культуре народа и историческом контексте. Знания о строительстве национального жилья часто передаются через местные традиции, и в основном они основываются на знаниях, добытых путем проб и ошибок на протяжении многих поколений, что отличается от геометрических и физических расчетов,

 лежащих в основе расчетов архитекторов.

Среди  многих типов жилья я обнаружила множество круглых  форм и хочу привести их в виде примера:

1. Рондавель распространён в странах юга Африки, в том числе, таких как ЮАР, Лесото Рондавель обычно имеет круглую форму (отсюда и название) и традиционно изготавливается из материалов, доступных в природе. Стены обычно делаются из камня.  Основные элементы крыши рондавеля — балки из круглого лесоматериала или шесты из веток деревьев, обрезанных по длине.

2. Пальясо, или пальоса  — традиционный тип жилища в Галисии. Распространён в округе Сьерра-де-лос-Анкарес. В качестве жилищ пальясо использовались до 1970-х годов. Высотой 4-5 метров, круглого или овального сечения, диаметром от 10 до 20 метров, с конической крышей из соломы на деревянном каркасе. Стены пальясо сооружались из камня. В нем имелась только одна входная дверь, окна отсутствовали вообще или имелось

 лишь небольшое оконное отверстие.

3. Яра́нга  — шатер в виде усеченного конуса высотой в центре от 3,5 до 4,7 метра и диаметром от 5,7 до 7-8 метров. Используется как переносное жилище некоторых кочевых народов (чукчей, коряков, эвенов, юкагиров) северо-востока Сибири. Каркас собирают из лёгких деревянных шестов в форме слегка наклонённой внутрь стенки и конуса или купола над ней. Сверху каркас покрывают оленьими или моржовыми шкурами. В среднем на ярангу обычного размера требуется потратить около 50 шкур. Внутри яранга делится на жилое отапливаемое помещение - иоронгу - и кладовую, разделённые вертикальным пологом, образующим в плане квадрат.

Существует формула вычисления периметра (длины) окружности. Но для этого сначала надлежит вспомнить, что такое окружность, и какие она имеет элементы. А окружность – есть кривая, которая не только плоская и замкнутая, но еще и все ее точки расположены на одинаковом удалении от заданной точки, зовущейся центром.

Отрезок прямой, соединяющий этот центр с какой-либо точкой окружности, есть радиус (R).

Отрезок прямой, проходящий через центр окружности и соединяющий ее две точки, наиболее удаленные друг от друга, есть диаметр (D). Диаметр равен двум радиусам.

Отношение длины окружности к ее диаметру одинаково для любой окружности и равно постоянному числу 3, 14... Число это обозначается буквой π (пи).

Вот теперь можно и дать формулу вычисления периметра (длины) окружности: P = 2πR или π D.

Цели исследования: Выявить зависимость между периметрами фигур и их площадью. Какая фигура имеет наибольшую площадь при заданном периметре?

Гипотеза: Чем больше периметр, тем больше площадь фигуры. Что нужно выяснить:

Мы знаем: Периметр – сумма длин всех сторон многоугольника Периметр – сумма длин всех сторон многоугольника Площадь фигуры – величина, показывающая сколько места занимает фигура на плоскости. Площадь фигуры – величина, показывающая сколько места занимает фигура на плоскости. Свойства: Свойства: 1. Равные фигуры имеют равные площади; 2. Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей; 3. За единицу площади принимают площадь квадрата со стороной, равному единичному отрезку

Если у одой фигуры больше периметр, чем у второй, то ее площадь больше, меньше или по-разному? Заметили, если периметр одного прямоугольника больше, то и его площадь больше чем у других. Но если периметры равны то площади могут быть различны От чего зависят площади прямоугольников, если их периметры равны? Сначала мы рассмотрим прямоугольники Сначала мы рассмотрим прямоугольники

Слайд 5

Какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь? Решение этой задачи было известно ещё математикам Древней Греции. Оно изложено в книге Евклида, где доказывается, что, если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше.

Слайд 6

Из рисунка видно, что наибольшая площадь у прямоугольников, у которых длина равна ширине, то есть у квадратов Значит, из всех прямоугольников с равными периметрами наибольшую площадь имеет квадрат

Слайд 7

Как Пахом покупал землю (Задача Льва Толстого) - А цена какая будет?- говорит Пахом. - Цена у нас одна: 1000 руб.за день. Не понял Пахом. - Какая же это мера – день? Сколько в ней десятин будет? Мы этого, - говорит, не умеем считать. А мы за день продаем: сколько обойдешь в день, то и твое, а цена дню 100 рублей… Какой хочешь круг забирай, только до захода солнца приходи к тому месту, с какого взялся. Что обойдешь все твое Какой путь должен выбрать Пахом, чтобы получить большую площадь земли?

Теперь мы знаем, что Пахом должен идти по сторонам квадрата Теперь мы знаем, что Пахом должен идти по сторонам квадрата А какие еще есть единицы площади? А какие еще есть единицы площади?

Для измерения земли используются следующие единицы: Метрические единицы площади 100 квадратных метров – а (ар): 100 квадратных метров – а (ар): 1 ар = 100 м2; 1 ар = 100 м2; Квадрат со стороной 100 метров – Квадрат со стороной 100 метров – га (гектар): 1 га = 10000 м2; 1 га = 10000 м2; Неметрические единицы площади

А если фигура не является прямоугольником? У равновеликих фигур чем больше вершин, тем больше периметр.

Вывод 1. Если периметр одного прямоугольника больше, то и его площадь больше, чем у других. 2. Ели периметры прямоугольников равны, то площади могут быть различны. 3. Из всех прямоугольников с равными периметрами наибольшую площадь имеет квадрат. 4. У равновеликих фигур чем больше вершин, тем больше периметр.