Аликвотные дроби

Содержание

1. Введение        

2. Основная часть        

2.1.Из истории аликвотных дробей        

2.2. Исследование свойств аликвотных дробей        

2.2.1. Дроби с нечётными знаменателями,  которые можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби        

2.2.2. Удивительные свойства дроби         

2.2.3. Аликвотные дроби со знаменателями  7n, где         

2.2.4. Аликвотные дроби со знаменателями 2n, где n =1,2,3…        

2.2.5. Несколько аликвотных дробей со знаменателями 3,6,12,15        

2.2.6. Аликвотные дроби со знаменателями кратные пяти и двум,  но не кратные другим нечётным числам        

2.2.7. Аликвотные дроби со знаменателями 11n, где         

2.2.8. Аликвотные дроби  в цвете        

2.2.9. Аликвотная дробь         

3. Заключение        

4. Список литературы        

5. Приложения        

1. Введение

Актуальность исследования. В начале года мы познакомились с аликвотными дробями на уроке математики. Потом я принимала участие во Всероссийской дистанционной эвристической олимпиаде по математике  и решая одну из задач опять встретилась с аликвотными дробями. Мне стало интересно,  когда впервые человечество узнало аликвотные дроби, как они использовались при решении практических задач, какими известными свойствами чисел обладают эти дроби. Меня заинтересовали задачи на применение аликвотных дробей, поэтому с начала года я занимаюсь исследованием свойств аликвотных дробей, ищу исторические и научные сведения по этому вопросу. Исходя из выше изложенного, я определила для работы следующие цели и задачи:

Цель исследования – изучение и экспериментальная проверка свойств аликвотных дробей.

Объект исследования – аликвотные дроби с нечётными знаменателями меньше100.

Предмет исследования – применение известных свойств действий над числами к аликвотным дробям.

Проблема исследования заключается в выявлении групп аликвотных дробей обладающими одинаковыми свойствами.

Задачи исследования – в соответствии с целью и проблемой исследования я поставил следующие задачи:

1. Изучить историю возникновения аликвотных дробей;
2. Изучить аликвотные дроби;
3. Изучить самостоятельно бесконечные периодические дроби;
4. Выбрать группу аликвотных дробей для исследования;
5. Научиться решать задачи с применением аликвотных дробей;
6. Сформулировать выявленные свойства;

Гипотеза. Существуют группы аликвотных дробей обладающие одинаковыми свойствами.

Методы исследования: сбор, изучение, анализ, обобщение экспериментального и теоретического материала, рефлексивное осмысливание результатов сформулированных свойств.

2. Основная часть

2.1.Из истории аликвотных дробей

Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась у наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три – «треть», четыре – «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два». Следующей дробью была треть.

Таким образом, первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида – ,, – так называемые единичные дроби или аликвотные (от лат. aliquot – «несколько»).

Единичные дроби встречаются в древнейших дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках. [Приложение №1]

Египтяне все дроби старались записать как суммы единичных дробей (долей). Например, вместо  они писали. Дробь  записывали в виде долей: . Производить арифметические действия над числами, всякий раз раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно. Имеет ли пристрастие египтян к аликвотным дробям какое-либо объяснение?

Поясним это примером. Рассмотрим такую задачу: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми».

 Очевидно, каждый должен получить одного хлеба. Современный школьник скорее всего решал бы задачу так: надо разрезать каждый хлеб на 8 равных частей и каждому человеку дать по одной части от каждого хлеба. А вот как эта задача решена на папирусе Райнда – это древнеегипетский математический текст, переписанный около 1650 г. до н.э. писцом Ахмесом.

Поскольку. Следовательно, каждому человеку нужно дать по половине, четверти и восьмушке хлеба. Теперь ясно, что надо 4 хлеба разрезать пополам, 2 хлеба на 4 части и только один хлеб – на 8 частей. И если нашему школьнику пришлось бы сделать 49 разрезов, то Ахмесу – всего 17, т.е. египетский способ почти в 3 раза экономичнее. [Приложение № 2]

Я нашла другие задачи с аликвотными дробями и  решила их. [Приложение № 3]

Для разложения неединичных дробей на сумму единичных существовали готовые таблицы, которыми и пользовались египетские писцы для необходимых вычислений.

Методы подсчетов при помощи единичных дробей перешли от египтян в Грецию, от греков к арабам, а от них уже в Западную Европу. Складывать, умножать и делить дроби, записанные в виде долей, было неудобно. В древности наибольшего развития обыкновенные дроби достигли в Индии. В рукописях, относящихся к 4 веку до нашей эры, встречаются уже не только единичные дроби, но и дроби с произвольными числителями. В начале VII столетия индийцы знали и формулировали правила действий над обыкновенными дробями. В Западной Европе окончательно установленную и ясную теорию обыкновенных дробей дал в 1585 году фламандский инженер Симон Стевин.

2.2. Исследование свойств аликвотных дробей

Рассмотрим аликвотные дроби с нечётными знаменателями не больше 100. [Приложение №4]

2.2.1. Дроби с нечётными знаменателями,
которые можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби

Заметим, что в дробях , ,, ,  знаменатели простые числа и эти дроби можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Найдем произведение этих дробей.

Из аликвотных дробей с нечётными знаменателями меньше 100 я выделила дроби, которые можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби и заметила, что произведение таких дробей так же представляет собой аликвотную дробь, которую можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби

2.2.2. Удивительные свойства дроби

Рассмотрим внимательно первые пять из этих чисел . Заметим ,что периоды дробей получаются из первого числа «круговой перестановкой» цифр: сколько-то цифр из конца числа переезжает в начало. Меня удивило то, что если разделить вышеперечисленные числа (кроме последнего) на две части, и найти их сумму, то она будет равна 999. Например: 285+714=999,  428+571=999.  

С другой стороны . Делаю вывод:  

2.2.3. Аликвотные дроби со знаменателями  7n, где  

Я заметила, что в периоде последняя цифра предыдущей дроби переходит в начало следующей дроби.

2.2.4. Аликвотные дроби со знаменателями 2n, где n =1,2,3…

Знаменатели этих дробей являются степенями числа2, а дробная часть этих чисел (в десятичной записи) является степенями числа 5.

2.2.5. Несколько аликвотных дробей со знаменателями 3,6,12,15

Периоды этих дробей чередуются 3 и 6.

2.2.6. Аликвотные дроби со знаменателями кратные пяти и двум,
но не кратные другим нечётным числам

Я  заметила, что у всех этих дробей одинаковый период, равный 0.

2.2.7. Аликвотные дроби со знаменателями 11n, где  

, , ,

Сумма цифр каждого периода равна 9

2.2.8. Аликвотные дроби  в цвете

[Приложение №5]

2.2.9. Аликвотная дробь

Умножим аликвотную дробь на целые числа меньше 9.

Период полученных дробей равен числу, на которое умножали.

3. Заключение

Итак, путем вычислений и анализа  бесконечных периодических дробей я показала, что аликвотные дроби можно разбить на группы, обладающими определёнными свойствами.

Практическая значимость работы, на мой взгляд, состоит в следующем:

1. Найдены свойства аликвотных дробей.

2. Решены задачи на применение аликвотных дробей.

3. Значительно расширены знания о периодических и аликвотных дробях .

4. Сформулирован вывод. Доказана гипотеза

.

Достоверность работы обеспечивается:

1. Моим личным участием, начиная с изучения научной литературы и проведения необходимых вычислений и исследований.

4. Список литературы

1. Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин. Математика 6 класс. Москва «Просвещение», 2006.

2. П. Савин. Математика. Энциклопедия для детей. Москва «Аванта +», 1998.

3. Н.Я. Виленкин Математика 6 класс. Москва Мнемозина.

4. Б.А.Кордемский развернём на минутку египетские папирусы. Математика в школе.1999.№1.

5. Викидепия – свободная энциклопедия. Интернет

6. Энциклопедия Кругосвет. Интернет

5. Приложения

Приложение №1

Вавилонские клинописные таблички

Приложение №2

Египетский способ деления семи хлебов на 8 частей

Приложение №3

Задачи на аликвотные дроби

Задача №1

Старинная задача. Персидский крестьянин завещал трём своим сыновьям 17 верблюдов, причём первый должен был получить 12 часть всех  верблюдов, второй – 13 часть, а третий – 19. Братья  думали долго, но разделить наследство по завещанию отца так и не смогли. Мимо на верблюде проезжал Ходжа Насреддин. Он предложил  присоединить к верблюдам ещё и своего и решить таким образом возникшую проблему. И действительно, братья смогли разделить верблюдов так, как наказал отец, причём Ходжа Насреддин  получил своего верблюда обратно. Сколько верблюдов досталось каждому  сыну?

Решение.

1)  верблюдов всего;

2)  верблюдов получил первый сын;

3)  верблюдов получил второй сын;

4)  верблюдов получил третий сын;

5)  верблюда вернули Ходже Насреддину.

Ответ . 9, 6, 2 верблюда.

Задача №2

Квадрат со стороной, равной 1, разделили пополам, затем одну его половину опять разделили пополам, одну из получившихся половинок ещё раз разделили пополам и т.д. (рис.1) Используя рисунок, докажите, что  < 

Рис.1

На сколько сумма аликвотных дробей, записанных в левой части неравенства, отличается от 1?

Допустим теперь, что сумма в левой части неравенства, построенная по тому же закону, содержит 100слагаемых. Будет ли неравенство по-прежнему верным?

Решение.

.

Даже если сумма в левой части неравенства, построенная по тому же закону, содержит 100слагаемых, неравенство по-прежнему будет верным.

Задача №3

Представьте в виде суммы аликвотных дробей следующую дробь:

а) ;  б) ; в) ; г) .

Решение.

а) ; б) ; в) ; г).

Ответ . ; ; .

Задача №4

Используя аликвотные дроби, покажите, как можно разделить три яблока между четырьмя людьми, не разрезая каждое на 4 части.

Решение.

.

Значит, два яблока надо разрезать на 2 части, а одно яблоко на 3 части.

Ответ. Каждому человеку достанется по половине и трети яблока.

Задача №5

Рассмотрите равенства:

;   ;  .

Подметьте закономерность и « сконструируйте» следующее равенство. Проверьте себя, выполнив сложение дробей.

Решение.

Рассмотрим внимательно суммы аликвотных дробей:

Знаменатели аликвотных дробей представляют собой степени числа 2: 2=21,4= 22, 8=23 ,16=24. Легко заметить, что следующий знаменатель 32=25.

.

Ответ. 

Задача № 6

Найдите значение суммы

,

заменив каждое слагаемое разностью аликвотных дробей:

                       ,                             , … .

Решение.

=    

Ответ.  

Задача №7

Не выполняя сложения дробей, объясните, почему верно равенство:

> .

Решение.

Чтобы доказать это равенство я воспользовалась кубиками из «Дома дробей».

На картинке видно, что длина дроби  меньше .

Приложение №4

Запись аликвотных дробей в виде десятичных

Приложение №5

Аликвотные дроби в цвете

Голубой цвет – период дроби равен нулю

Красный цвет  -  бесконечная десятичная периодическая дробь

Светло – розовый  цвет – одна цифра в периоде

Жёлтый цвет – 6 цифр в периоде

Фиолетовый цвет – 2 цифры в периоде