Использование геометрических знаний при решении практических задач

Управление общего и профессионального образования

Чайковского муниципального района

Муниципальная конференция исследовательских работ учащихся учреждений общего и дополнительного образования

МАОУ СОШ№11

                                                                                                                                      математика

    Использование геометрических знаний при решении практических задач

                                                                                  Таратонов Антон Павлович

                                                                                  МАОУ СОШ №11

                                                                                   7А класс

                                                                                 Ермакова Татьяна Вячеславовна

                                                                                   учитель математики  1  квалифи-

                                                                                  кационной категории

                                                                                    МАОУ СОШ №11

I. Введение.

Гипотеза:  если использовать знания о свойствах геометрических фигур, то можно решить практические задачи на местности.

Цель: показать практическую значимость геометрических знаний при решении задач.

Задачи: 

1)Изучить математическую литературу по данной теме.

2)Подобрать теоретический и практический материал, позволяющий продемонстрировать приложение геометрических фактов к решению задач.

3)Применить полученные знания на практике.

В своей работе я рассматриваю использование геометрических знаний при решении задач:

I. Измерение расстояния между объектами

II. Измерение высоты объектов

III. Расчёт затрат на достройку дачного домика

II. Основная часть.

Для практических целей часто возникает необходимость производить геометрические построения на местности. Такие построения нужны и при строительстве зданий, и при прокладке дорог, и при различных измерениях объектов на местности. Можно подумать, что работа на ровной поверхности земли ничем, по существу, не отличается от работы циркулем и линейкой на обыкновенном листе бумаги. Это не совсем так. Ведь на бумаге циркулем мы можем проводить любые окружности или их дуги, а линейкой - любые прямые. На местности же, где расстояния между точками довольно велики, для подобных действий понадобилась бы длинная веревка или огромная линейка, которые не всегда имеются под руками. Да и вообще чертить прямо на земле, какие бы то ни было линии-дуги или прямые - представляется весьма затруднительным. Таким образом, построения на местности имеют свою специфику.

Необходимо отказаться от проведения настоящих прямых на земле. Будем эти прямые прокладывать, т. е. отмечать на них, например, колышками, достаточно густую сеть точек. Для практических нужд этого обычно хватает, поскольку передвижение по прямой от одного колышка к другому, расположенному на близком расстоянии от первого, - действие, вполне осуществимое.

Так же необходимо при построениях не проводить на земле какие-либо дуги вообще - большие или маленькие. Поэтому фактически циркуля у нас нет. Все, что остается от циркуля - это способность откладывать на данных (проложенных) прямых конкретные расстояния, которые должны быть заданы не численно, а с помощью двух точек, уже обозначенных колышками где-то на местности. Ведь сами расстояния будут измеряться шагами, ступнями, пальцами рук или любыми подходящими для этой цели предметами (в лучшем случае измерительными приборами). Так что отложить расстояние, составленное, скажем, из 25 шагов, 3 размахов пальцев и 2 спичечных коробок, можно лишь в таком же виде, но никак не умноженное.

При указанных ограничениях, не пользуясь к тому же транспортиром, работать, конечно, трудно, но все же задачи решаемы.

Задача № 1

На местности обозначены три данные точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Через точку А проложите прямую, параллельную прямой ВС.

Решение : Продолжим прямую АВ за точку В и отложим на ней точку D на расстоянии АВ от точки В . Продолжим прямую CD за точку С и отложим на ней точку Е на расстоянии CD от точки С. Тогда отрезок АЕ будет параллелен отрезку ВС, являющемуся средней линией треугольника ADE. Предложенный способ выгодно отличается от множества других способов, опирающихся на измерение углов или на деление отрезка пополам.

Задача № 2

На местности обозначены три точки А, М и N, не лежащие на одной прямой.      Как построить биссектрису угла MAN?                            

Решение:Выберем на одной стороне данного угла точки В и С, а на другой точки D и Е так, чтобы выполнялись равенства AB=ВС=АD=DE

Найдем точку О пересечения прямых BE и CD. Тогда прямая АО будет искомой биссектрисой, поскольку в равнобедренном треугольнике АСЕ биссектриса AF является одновременно и медианой, а значит, проходит через точку О пересечения медиан ЕВ и CD.

Для нахождения расстояний, высот, глубин или других размеров реальных объектов не всегда можно обойтись непосредственным их измерением - во многих случаях такие измерения сопряжены с определенными трудностями, а то и вообще практически невозможны. Однако в своей деятельности человеку приходится порой задумываться над тем, как все-таки можно определить интересующую его величину и как сделать это поточнее.

Основными измерительными «приборами», которые всегда имеются «под рукой», являются: шаг, пядь (размах пальцев), сажень (размах рук), уровень глаз (расстояние от земли до глаз) и т. д. Не менее важно следить за надежностью способа, т.е. зависимостью его точности от различных погрешностей, которые неизбежно возникают при работе на местности.

Определить длину своего шага, чтобы впоследствии измерять расстояния шагами достаточно легко. Самый простой и, казалось бы, точный способ состоит в том, чтобы сделать один шаг и измерить расстояние между крайними (наиболее удаленными) точками двух ступней. Такой способ явно не годится по двум причинам. Во-первых, расстояние между крайними точками ступней не равно длине шага, а превосходит ее на длину одной ступни (правильнее было бы измерить расстояние, например, между носками двух ступней). Во-вторых, при всем старании вряд ли можно сделать один обычный шаг - для этого вам нужно оказаться в состоянии обычной ходьбы.

Для определения длины шага достаточно пройти какое-либо заранее известное и не слишком короткое расстояние, скажем между соседними километровыми или стометровыми столбиками на шоссе, и поделить это расстояние на количество сделанных шагов.

Отметим, что средняя длина шага взрослого человека примерно равна половине его роста, считая до уровня глаз.

Измеряя какие-либо длины пальцами руки, лучше не отрывать руку от измеряемой поверхности, а приставлять один палец к другому, который затем снова вытягивать в заданном направлении (описанный процесс отдаленно напоминает движение гусеницы). Чтобы найти длину такого размаха своих пальцев, проще всего отложить вдоль какой-нибудь прямой одни или несколько десятков размахов пальцев, а затем поделить на их количество отложенную в результате длину.

Задача №3.

Необходимо измерить на местности расстояние между двумя объектами, разделенными зданием или другим препятствием, не позволяющим непосредственно проложить прямую между этими объектами. Как,тем не менее можно произвести указанное измерение?

Решение: Пусть А и В - данные точки на местности, между которыми определяется расстояние. Выберем точку С, из которой видны обе точки А и В. На продолжении отрезка АС за точку С отметим точку D на расстоянии АС от точки С. Аналогично на продолжении отрезка ВС за точку С отметим точку Е, для которой СЕ=ВС. Тогда отрезки ED и АВ равны, поскольку они симметричны относительно точки С.

Если же из-за недостатка места точки Е и D выйдут за пределы досягаемости, то их можно в определенное число раз приблизить к точке С. Тогда отрезок ED будет в то же число раз короче отрезка АВ, так как треугольники ABC и DEC будут подобны.

Задача 4. Измерение высоты дерева.

Существуют различные способы измерения высоты деревьев. Рассмотрим некоторые из них.

Самый простой способ состоит в том, что в солнечный день можно пользоваться любой тенью, какой бы длины она ни была. Измерив свою тень или тень какого-нибудь шеста, вычисляют искомую высоту из пропорции  AB:А 1В1 = BC:B1 С1

т.е. высота дерева во столько раз больше вашей собственной высоты (или высоты шеста), во сколько раз тень дерева длиннее тени человека (или тени шеста). Это вытекает из геометрического подобия треугольников ABC и A 1B 1C 1(по двум углам).

Заметим, что указанный способ не слишком надежен, так как отбрасыва-емая при свете солнца тень не имеет отчетливой границы из-за присущей ей неясно очерченной каймы полутени.

Вполне возможно обойтись при измерении высоты и без помощи теней. Таких способов много.

Например:

Для того, чтобы измерить высоту дерева BD, приготовили прямоугольный треугольник АВ1C1 с углом А = 45о и, держа его вертикально, отошли на такое расстояние, при котором, глядя вдоль гипотенузы АВ1, увидели верхушку дерева В. Какова высота дерева, если расстояние АС = 5,6м, а высота человека 1,7м?

Решение:

1) Так как угол А общий для обоих треугольников, а углы АС1В1 и АСВ (по условию) прямые (то есть равны по 90о), то треугольники АС1В1 и АСВ - подобные (по признаку подобия о 2-х углах).

2) Тогда  АВ1C1 = АВС = 45о, => ВС = АС = 5,6м, но к получившейся длине мы должны еще прибавить рост человека, то есть длина дерева BD=7,3м.

Ответ: 7,3м.

Можно обойтись даже и без прямоугольного треугольника. Здесь нужен шест, который придется воткнуть отвесно в землю так, чтобы выступающая часть как раз равнялась росту человека. Место для шеста надо выбирать так, чтобы, лежа, было видно верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Так как   AВ1С1 - равнобедренный и прямоугольный, то А=45о, следовательно, подобный ему   АВС тоже равнобедренный и прямоугольный, поэтому АВ = ВС, т.е. искомой высоте дерева.

Ещё один очень интересный способ измерения высоты дерева с помощью блокнота и простого карандаша. Книжку надо держать возле глаз. Она должна находиться в отвесной плоскости, а карандаш выдвигаться над верхнем обрезом книжки настолько, чтобы, глядя из точки А видеть вершину В дерева покрытой кончиком В1 карандаша. Тогда вследствие подобия треугольников АС1В1 и АСВ высота ВС определяется из пропорции

BC : В1С1 = АС: АС1 

Расстояние В1С1, АС1 и АС1 измеряются непосредственно. К полученной величине ВС надо прибавить еще длину CD, т.е. - на ровном месте - высоту глаза над почвой.

Так как ширина АС1 книжки неизменна, то если всегда становиться на одном и том же расстоянии от измеряемого дерева, высота дерева будет зависеть только от выдвинутой части В1С1 карандаша.. Поэтому можно заранее вычислить, какая высота соответствует тому или иному выдвижению, и нанести эти числа не карандаш. Записная книжка превратиться тогда в упрощенный высотомер.

Следующий способ измерения дерева с помощью зеркала. На некотором расстоянии от измеряемого дерева, на ровной земле в точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой наблюдатель видит в зеркальце верхушку А дерева. Тогда дерево (АВ) во столько раз выше роста наблюдателя (ЕD), во сколько раз расстояние ВС от зеркала до дерева больше расстояния СD от зеркала до наблюдателя.

Способ основан на законе отражения света. Угол падения, равен углу отражения, поэтому DCE= ВСА, а В и D равны 90о, следовательно         АВС и        DCE  подобны. Зная это, мы можем составить пропорцию

AB: ED = BC: CD.

Из этой пропорции, зная рост человека, расстояние от дерева до зеркала и от зеркала до человека, можно легко найти высоту дерева.

Этот удобный и нехлопотливый способ можно применять во всякую погоду, но не в густом насаждении, а к одиноко стоящему дереву.

Задача 5. Неприятельская вышка

Открытый участок дороги находится на полосе АВ шириной в 50м; неприятельский наблюдательный пункт находится на верху колокольни высотой MN = 22м. Какой высоты следует сделать вертикальную маску КВ на расстоянии 500м от колокольни, чтобы закрыть дорогу от наблюдателя противника?

Решение: АКВ~  АМN (по 2-м углам: А - общий, АВК и ANМ – прямые), а если треугольники подобны, то все его элементы тоже подобны. То есть можно составить пропорцию

МN:KB = AN: AB  =>   KB =( MN × AB) :AN = (22 × 50) :550 =2 метра

Ответ: 2 метра.

Задача 6. Определение расстояния до кораблей в море

Решения отдельных старинных задач практического характера могут найти применение и в настоящее время, а поэтому заслуживают внимания. История геометрии хранит немало приемов решения задач на нахождение расстояний. Определение расстояний до кораблей, находящихся в море - одна из таких задач.

Найти расстояние от точки А, находящейся на берегу до корабля.

Решение:

Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель в точке А. Требуется определить расстояние  КА. Построив в точке А прямой угол, необходимо отложить на берегу два равных отрезка АВ = ВС. В точке С вновь построить прямой угол, причем наблюдатель должен идти по перпендикуляру до тех пор, пока не дойдет до точки D, из которой корабль К и точка В были бы видны лежащими на одной прямой. Прямоугольный треугольники ВСD и ВАК равны, следовательно, CD = AК, а отрезок CD можно непосредственно измерить.

Задача №7. Как находясь на берегу реки измерить ее ширину, не имея возможности перебраться на другой берег?

Решение:

 Для этого необходимо отыскать глазами на противоположном берегу реки близко к воде какой-либо заметный ориентир А - камень, деревце и т. п. - и отметить на своем берегу точку В, расстояние от которой до точки А представляет собой, по-вашему, ширину реки. Как измерить длину отрезка АВ?

Выберем точку С на продолжении прямой АВ за точку В, а также точку D, не лежащую на прямой АВ. Затем выберем точки Е и F на продолжениях прямых BD и CD соответственно за точку D так, чтобы выполнялись равенства BD=DE, CD=DF. Наконец, найдем точку G пересечения прямых EF и AD. Тогда искомое расстояние между точками А и В будет равно длине отрезка EG. Действительно, из равенства треугольников BDC и EDF (по двум сторонам и углу между ними) имеем равенство углов CBD и FED. Поэтому   BAD =  EGD равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам), а значит, равны и их соответствующие стороны АВ и GE.

Задача №8.

Человек находится на одном берегу реки, а на другом, недоступном для него берегу расположены два объекта. Как измерить расстояние между ними?

Решение:

Пусть А и В - недоступные точки, между которыми надо найти расстояние. Выберем на некоторой прямой три точки D, Е и F так, чтобы выполнялось равенство DE = EF. При этом заранее побеспокоимся о том, чтобы точка С пересечения прямых AF и BD оказалась доступной и лежала с той же стороны от прямой DF, что и отрезок АВ: этого можно достичь уменьшением отрезка DF и переобозначением его концов. На продолжении отрезка СЕ за точку Е отметим точку G на расстоянии СЕ от точки Е. Далее найдем точку Н пересечения прямых DG и АЕ, а также точку К, пересечения прямых FG и BE. Тогда искомое расстояние будет равно КН. Действительно, при преобразовании симметрии относительно центра Е точка С переходит в точку G, точка D - в точку F, прямая CD - в прямую GF, прямая BE - в себя, а точка В пересечения прямых CD и BE - в точку К пересечения GF и BE. Аналогично точка А при этом преобразовании переходит в точку Н, поэтому отрезок НК симметричен отрезку АВ относительно точки Е.

Практическое применение.

Для практических целей  часто возникает необходимость производить геометрические построения на местности.

Я решил помочь дедушке  сделать расчеты для покрытия крыши на дачный домик и оклеивания обоев внутри этого домика. Наш дачный домик размером 6х6 м, построен  из кирпича.

Чтобы покрыть крышу сначала надо рассчитать каркас для данного покрытия:

1. Каркас.

1) Т.к. ширина дома 6 метров  =›  балки должны выступать по краям на 0,3 м, т.е. вся длина составляет

6 + 0,3 + 0,3 = 6,6 м                                                                      

2) Расстояние между балками  может быть не более 1 м =›   можно установить 7 штук (6,6х0,05х0,15) 

3) Высоту крыши выбираем произвольно

a = 2м 20 см

b = 6,6 : 2 =3,3 м

По теореме Пифагора

c²=a²+b²

c² = 2,2² + 3,3² =10,89 + 4,84 = 15,73

с = √15,73 = 3,97  ≈ 4 м

4 м  - Длина стропил

Этих стропил всего потребуется 7 шт., на 2 стороны = 14 шт. по 4м (4х0,15х0,05)

4) Так же на стропила надо положить материал, на который будет крепиться профнастил.

Для этого выбираем доски, размером (6,5х0,12х0,05), их потребуется 40 шт.

5) Итого общее количество материала для Каркаса крыши:

Балки: (6,6 * 0,05 * 0,15) * 7=0,35 м³

Стропила: (4,1 *0,05 * 0,15) * 14 =0,43 м³

Доски: (6,5*0,025 *0,12  )*40 =0,78 м³

Цена за 1 м³ леса = 6500 р.

(0,35 + 0,43 + 0,78) *6500 р. =10140р. - -потребуется для каркаса крыши.

2 .Расчет  верхнего покрытия .

В магазине были предложены такие покрытия как профнастил по 169р за 1м2,  бикрост по 960 р за рулон(10м), металлочерепица по 205 р за 1м2, шифер по 189р за лист. Выполнив соответствующие расчеты, самым дешевым оказался бикрост, но срок его годности очень маленький, поэтому самым выгодным материалом оказался – профнастил.

Тогда  выполним полный расчет именно для этого покрытия.

1)т.к. длина стропил – 4м  =›  длина профнастила должна быть минимум на 10 см больше, т.е. 4,1м.

Стандартная ширина листа профнастила 1м 19 см , поэтому надо оставить запас  для перекрытия листов  - 9 см.

Следовательно на одну  сторону крыши потребуется 6 листов, вся длина составляет 6,6 м =›  всего 12 листов.

т.е.  1,19 * 4,1 * 12 = 58,548 м²

Цена 1 м² - 165 р. =›  58,548 *165 = 9660,42р.  

Площадь покрытия крыши составит:

6,6 *4,1 *2 =54,12  м²

Итого: 9660,42 +10140 =19800,42 р.  

потребуется на приобретение  профнастила и  для покрытия  крыши дачного домика. 

3.Расчет расхода обоев на внутреннею отделку  стен дачного домика .

Размер двери: 2м *1м =2 м² - площадь одной двери;

Размер окна: 1,5 * 1,5 =2,25 м² - площадь  1 окна.

Итого:  2 *2 + 2,25 *2 = 4 + 4,5 = 8,5 м² - Общая площадь 2 дверей и 2 окон.

1 комната:

а = 6м, b = 2м, с = 2,5 м

2 комната:

а=6м, b=4м, с=2,5м

S  1 стены : а*с = 6 * 2,5 = 15 м²

S  2 стены : b*с = 4 * 2,5  = 10 м²

S 3 стены : b*с=2*2,5=5м2

S полной поверхности   15 *2 + 5 *2 + 15 * 2+ 10 * 2 = 30 + 10 + 30 +20  = 90 м²

S покрытия обоями с учетом дверей и окон   90 – 8,5 = 81,5м²

Размеры обоев  10м * 0,5м =5м²

Количество рулонов  81,5 м² : 5м² = 16,3 ≈ 17 рулонов.

Цена одного рулона 150 р., т.е. 17 * 150 = 2550р.

Общая затрата для дачного домика составляет

19800,42 + 2550 = 22350,42 р

III. Заключение.

В своей работе я рассмотрел несколько задач на местности и показал применение геометрических знаний в практических задачах. Благодаря геометрии и математики я смог помочь своему дедушке выполнить расчеты по затратам денежных средств на достройку дачного домика . Я думаю, я доказал, что геометрия играет важную роль в нашей жизни.

IV. Список используемой литературы.

1. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков, М., Просвещение, 1977.

2. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математический факультатив вчера, сегодня, завтра//Математика в школе - 1987 - №5.

3. Бенбяминов М.Р. Математика и сельское хозяйство, М., 1968.

4. Вилянкин Н.Я., Шибасов Л.Т., Шибасова З.Ф. За страницами учебника

математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. - М.: Просвещение:

АО «Учеб. мет.», 1996.

5. Ганьшин В.Н. Простейшие измерения на местности, М., 1973 - 126 с.

6. Депман И.Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики. - М. -:Просвещение, 1989.

7. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия. / Я.И. Перьльман. -

Ростов н/Д: ЗАО «Книга», 2005.

8. Иваньков П.А. Основы геодезии , топографии и картографии.-М., 1972

9. Иванов П.А. Технические измерения М., 1964

10. Погорелов А.В. Геометрия. М., 1990.

11. Сергеев И.Н., Олехник С.Н., Гашков С.Б. Примени математику. - М.,

Наука, 1989.