извлечение квадратных корней

                                                                                                                            Гусева   Дарья

   Научный руководитель: Т  В.  Бочкарева

БОУ г Омска  «Гимназия №159»

                                              Способы извлечения квадратных корней

Внедрение вычислительной техники привели к тому, что навыки устного счета, навыки вычисления с помощью ручки и листа бумаги отходят на второй план. Анкетирование, проведенное среди обучающихся 8-х классов, показало, что ученики нашей школы  хорошо знакомы  и применяют только самые распространенные способы извлечения корней – это методом подбора  и с помощью калькулятора. А как вообще извлечь квадратный корень без калькулятора в курсе математики?

Цель моей работы – найти и показать те способы извлечения квадратных корней, которыми можно будет воспользоваться, не имея под рукой калькулятора.

Литературный обзор. Результат изучения литературы, найденной мной по вопросам нахождения квадратных корней, привел меня к выводу, что алгоритмов извлечения квадратных корней существует много. Я хочу показать вам некоторые из них и свои исследования с помощью таблицы квадратов.

Практическая значимость: данный материал можно использовать в 8-11 классах на  уроках  и факультативных занятиях, олимпиаде и ЕГЭ.

Первый способ –разложение подкоренного выражения на множители. Например, найдем .Число 6561 делится на 3. Разложим 6561 на множители: 6561=3·3•3•3•81 =81• 81, 81

Второй способ. Рассматривая таблицу квадратов, я обратила внимание на некоторые закономерности и вывела единый алгоритм для вычисления квадратов двухзначных чисел     (АВ)2 = А 2 (2*А*В) (В)2.      42²=4²(2*4*2)(2²)=1764

Применяя алгоритм возведения в квадрат, можно ли выполнить обратную операцию, извлечение из квадратного корня.

 Итак, если число можно разложить так, чтобы оно имело вид:

 (А)2 (2*А*В) (В)2, то можно извлечь квадратный корень из этого числа. Например, надо найти .

 Для начала определим, сколько цифр вынесется из-под корня. Их будет вдвое меньше (с округлением в большую сторону), чем у исходного числа. Очевидно, что в квадрат возводили двузначное число, которое находится между числами 70 и 80, поскольку 702 =4900, 802 6400, а число 5041 находится между ними. Первую цифру в ответе мы уже знаем, это 7.Последняя цифра в числе 5041 равна 1. Поскольку 12 1,   92 81, последняя цифра в ответе – либо 1, либо 9. Проверим: 5041=(72)  (2*7*3)( 12). Получилось!

 Интересные закономерности извлечение квадратных корней с помощью таблицы квадратов

  1 закономерность. Обратим внимание на правую часть таблицы 2, например

 25-16=9. Если результату прибавить 1 и разделить на 2, то получим квадрат из 25  (9+1):2=5. А если отнять 1 и снова разделить на 2, то получим квадрат из 16, (9-1):2=4!  

  2 закономерность. Снова обратимся к правой части таблицы 2. Числа постоянно увеличиваются на два - 1; 3; 5..Если складывать эти числа, то рано или поздно получим число, из которого нужно извлечь корень. Тогда к последнему слагаемому прибавить 1 и разделить на 2, корень будет найден!  

Пример: Нужно извлечь корень из 16. 1+3+5+7=16 .Последнее слагаемое- 7, (7+1):2=4. Корень из 16 равен 4. А можно просто сосчитать, сколько чисел мы сложили, это и будет ответом! Но если сумма чисел окажется больше чем число, из которого извлекаете корень, тогда последнее слагаемое считать не надо, вам останется лишь подобрать десятые, сотые доли.

 3 закономерность. Корень из числа 121 можно извлечь таким образом Существуют ли другие числа, квадратные корни из которых извлекаются аналогичным образом?

  Да, существуют:100, 144 и 169. ,.

Рассмотрим все трёхзначные числа, являющиеся квадратами целых чисел. Корни из чисел 196, 225 и 256 не могут быть извлечены указанным способом, так как квадратные корни из их последних цифр не являются целыми. Будем рассматривать корни из чисел, оканчивающиеся числами 0,1,4,9. Представим трёхзначные числа в виде а10+в. Выведем условие, при котором .

Возведём в квадрат обе части равенства:(

10а+в=а²-2а+в,        а²-2а-10а=0, а-2-10=0,  а=2+10

При в=0,1,4,9,а=12,14,16. Получаем числа-100,121,144,169.  

Рассмотрим все четырехзначные числа, являющиеся квадратами целых чисел = 82+  ,   = 84+      

Представим четырехзначные числа в виде а10²+в.

Условие, при котором ,мы получим, возведя в квадрат обе части равенства. 10²а+в=а²+2а+в, а²+2а-10²а=0, а+2-10²=0,  а=-2+10².

При в=1,4,9,16,25,36,49,64 числа-88281,9604,9409,9216,9025,8836,8649,8464

А существует ли такая закономерность при вычислении квадратных корней из дроби? Например, =2.Выведем условие, при котором

,т.е. =.Возведём полученное равенство в квадрат, откуда в+1=а²,в= а²-1.Например, при а=3,получим в=3²-1=8. =3.

Но если таблицы квадратов бывает недостаточно, извлечение корня разложением на множители - трудоёмкая задача, то извлекать числа можно уголком.

Третий способ. Извлечение квадратного корня уголком.
1-й шаг. Число 8649 разбиваем на грани справа налево; каждая из которых должна содержать две цифры. Получаем две грани: .
2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани 86, получаем  с недостатком. Цифра 9 –это первая цифра корня.
3-й шаг. Число 9 возводим в квадрат (92 = 81) и число 81 вычитаем из первой грани, получаем 86- 81=5. Число 5 – первый остаток.
4-й шаг. К остатку 5 приписываем вторую грань 49, получаем число 549.

5-й шаг. Удваиваем первую цифру корня 9 и, записывая слева, получаем-18

     К числу нужно приписать такую наибольшую цифру, чтобы произведение числа, которое мы получим, на эту цифру было бы либо равно числу 549, либо меньше, чем 549. Это цифра 3. Она находится путем подбора: количество десятков числа 549, то есть число 54 делится на 18, получаем 3, так как 183 ∙ 3 = 549. Цифра 3 – это вторая цифра корня.

 6-й шаг. Находим остаток 549 – 549 = 0. Так как остаток равен нулю, то мы получили точное значение корня – 93.

Четвертый способ извлечения квадратного корня подробно описан древнегреческим ученым Героном Александрийским   (I век до н.э.),

Рассмотрим этот способ на примере. Пусть надо извлечь квадратный корень из 2. Вычислим, то есть найдем с помощью метода приближенных вычислений положительный корень уравнения     х2 = 2. Возьмём среднее арифметическое чисел x1=(2+1):2=1,5. Попробуем разделить 2 на 1,5,тогда частное будет1,33.

Возьмем приближенное значение среднего арифметического: х2 =(1,5 + 1,33) : 2 = 1,416.

 В результате алгоритма получается приблизительное значение в виде обыкновенной или десятичной дроби.

1. x1=3/2 = 1.5
2. x2=17/12 = 1.416…
3. x3=577/408 = 1.414215…

Применение способов извлечения квадратных корней в различных областях математики.

К извлечению квадратных корней сводятся многие геометрические задачи. Например, в курсе геометрии решение задач на теорему Пифагора. 1.Геометрическое извлечение квадратного корня:

- рисуем окружность диаметра (x+1);

- проводим диаметр;

- отмеряете по диаметру 1 от одного края диаметра;

- проводим перпендикуляр;

- длина перпендикуляра до пересечения с окружностью это корень из x

2.Квадратный корень как сторона квадрата. Решим задачу: «Известно, что площадь некоторого квадрата равна 100. Требуется определить, чему равна сторона этого квадрата» . Мы можем легко подобрать ответ к задаче: √100 =10. Труднее решить задачу, когда приходится извлекать квадратный корень к примеру, из 19. В этом случае можно воспользоваться таблицами Брадиса.

3.Извлечь корень означает решить уравнение вида x²-a=0.

 Если мы найдем корни такого уравнения, то это будет равносильно извлечению корня квадратного. Построив параболу, вы увидите два корня уравнения в местах пересечения графика с осью абсцисс. Если мы говорим о корне арифметическом, то результатом извлечения корня должно быть только положительное  число.

4.Задачи ГИА(2012год). Решите неравенство (  − 4,5)(5 − 3x) > 0 .

В результате проведённого исследования я пришла к  выводу: введение понятия квадратного корня и различные способы его нахождения  необходимы в школьном курсе математики, чтобы развивать навыки вычислений.

Использованные источники:

1.Алимов Ш. А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю. В. и др.. Алгебра. Учебник для 8 кл. сред. шк./. М.: Просвещение, 2008.

2.           http://www.krugosvet.ru/about htm /

                                                                                                                            Гусева   Дарья

   Научный руководитель: Т  В.  Бочкарева

БОУ г Омска  «Гимназия №159»

                                              Способы извлечения квадратных корней

Внедрение вычислительной техники привели к тому, что навыки устного счета, навыки вычисления с помощью ручки и листа бумаги отходят на второй план. Анкетирование, проведенное среди обучающихся 8-х классов, показало, что ученики нашей школы  хорошо знакомы  и применяют только самые распространенные способы извлечения корней – это методом подбора  и с помощью калькулятора. А как вообще извлечь квадратный корень без калькулятора в курсе математики?

Цель моей работы – найти и показать те способы извлечения квадратных корней, которыми можно будет воспользоваться, не имея под рукой калькулятора.

Литературный обзор. Результат изучения литературы, найденной мной по вопросам нахождения квадратных корней, привел меня к выводу, что алгоритмов извлечения квадратных корней существует много. Я хочу показать вам некоторые из них и свои исследования с помощью таблицы квадратов.

Практическая значимость: данный материал можно использовать в 8-11 классах на  уроках  и факультативных занятиях, олимпиаде и ЕГЭ.

Первый способ –разложение подкоренного выражения на множители. Например, найдем .Число 6561 делится на 3. Разложим 6561 на множители: 6561=3·3•3•3•81 =81• 81, 81

Второй способ. Рассматривая таблицу квадратов, я обратила внимание на некоторые закономерности и вывела единый алгоритм для вычисления квадратов двухзначных чисел     (АВ)2 = А 2 (2*А*В) (В)2.      42²=4²(2*4*2)(2²)=1764

Применяя алгоритм возведения в квадрат, можно ли выполнить обратную операцию, извлечение из квадратного корня.

 Итак, если число можно разложить так, чтобы оно имело вид:

 (А)2 (2*А*В) (В)2, то можно извлечь квадратный корень из этого числа. Например, надо найти .

 Для начала определим, сколько цифр вынесется из-под корня. Их будет вдвое меньше (с округлением в большую сторону), чем у исходного числа. Очевидно, что в квадрат возводили двузначное число, которое находится между числами 70 и 80, поскольку 702 =4900, 802 6400, а число 5041 находится между ними. Первую цифру в ответе мы уже знаем, это 7.Последняя цифра в числе 5041 равна 1. Поскольку 12 1,   92 81, последняя цифра в ответе – либо 1, либо 9. Проверим: 5041=(72)  (2*7*3)( 12). Получилось!

 Интересные закономерности извлечение квадратных корней с помощью таблицы квадратов

  1 закономерность. Обратим внимание на правую часть таблицы 2, например

 25-16=9. Если результату прибавить 1 и разделить на 2, то получим квадрат из 25  (9+1):2=5. А если отнять 1 и снова разделить на 2, то получим квадрат из 16, (9-1):2=4!  

  2 закономерность. Снова обратимся к правой части таблицы 2. Числа постоянно увеличиваются на два - 1; 3; 5..Если складывать эти числа, то рано или поздно получим число, из которого нужно извлечь корень. Тогда к последнему слагаемому прибавить 1 и разделить на 2, корень будет найден!  

Пример: Нужно извлечь корень из 16. 1+3+5+7=16 .Последнее слагаемое- 7, (7+1):2=4. Корень из 16 равен 4. А можно просто сосчитать, сколько чисел мы сложили, это и будет ответом! Но если сумма чисел окажется больше чем число, из которого извлекаете корень, тогда последнее слагаемое считать не надо, вам останется лишь подобрать десятые, сотые доли.

 3 закономерность. Корень из числа 121 можно извлечь таким образом Существуют ли другие числа, квадратные корни из которых извлекаются аналогичным образом?

  Да, существуют:100, 144 и 169. ,.

Рассмотрим все трёхзначные числа, являющиеся квадратами целых чисел. Корни из чисел 196, 225 и 256 не могут быть извлечены указанным способом, так как квадратные корни из их последних цифр не являются целыми. Будем рассматривать корни из чисел, оканчивающиеся числами 0,1,4,9. Представим трёхзначные числа в виде а10+в. Выведем условие, при котором .

Возведём в квадрат обе части равенства:(

10а+в=а²-2а+в,        а²-2а-10а=0, а-2-10=0,  а=2+10

При в=0,1,4,9,а=12,14,16. Получаем числа-100,121,144,169.  

Рассмотрим все четырехзначные числа, являющиеся квадратами целых чисел = 82+  ,   = 84+      

Представим четырехзначные числа в виде а10²+в.

Условие, при котором ,мы получим, возведя в квадрат обе части равенства. 10²а+в=а²+2а+в, а²+2а-10²а=0, а+2-10²=0,  а=-2+10².

При в=1,4,9,16,25,36,49,64 числа-88281,9604,9409,9216,9025,8836,8649,8464

А существует ли такая закономерность при вычислении квадратных корней из дроби? Например, =2.Выведем условие, при котором

,т.е. =.Возведём полученное равенство в квадрат, откуда в+1=а²,в= а²-1.Например, при а=3,получим в=3²-1=8. =3.

Но если таблицы квадратов бывает недостаточно, извлечение корня разложением на множители - трудоёмкая задача, то извлекать числа можно уголком.

Третий способ. Извлечение квадратного корня уголком.
1-й шаг. Число 8649 разбиваем на грани справа налево; каждая из которых должна содержать две цифры. Получаем две грани: .
2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани 86, получаем  с недостатком. Цифра 9 –это первая цифра корня.
3-й шаг. Число 9 возводим в квадрат (92 = 81) и число 81 вычитаем из первой грани, получаем 86- 81=5. Число 5 – первый остаток.
4-й шаг. К остатку 5 приписываем вторую грань 49, получаем число 549.

5-й шаг. Удваиваем первую цифру корня 9 и, записывая слева, получаем-18

     К числу нужно приписать такую наибольшую цифру, чтобы произведение числа, которое мы получим, на эту цифру было бы либо равно числу 549, либо меньше, чем 549. Это цифра 3. Она находится путем подбора: количество десятков числа 549, то есть число 54 делится на 18, получаем 3, так как 183 ∙ 3 = 549. Цифра 3 – это вторая цифра корня.

 6-й шаг. Находим остаток 549 – 549 = 0. Так как остаток равен нулю, то мы получили точное значение корня – 93.

Четвертый способ извлечения квадратного корня подробно описан древнегреческим ученым Героном Александрийским   (I век до н.э.),

Рассмотрим этот способ на примере. Пусть надо извлечь квадратный корень из 2. Вычислим, то есть найдем с помощью метода приближенных вычислений положительный корень уравнения     х2 = 2. Возьмём среднее арифметическое чисел x1=(2+1):2=1,5. Попробуем разделить 2 на 1,5,тогда частное будет1,33.

Возьмем приближенное значение среднего арифметического: х2 =(1,5 + 1,33) : 2 = 1,416.

 В результате алгоритма получается приблизительное значение в виде обыкновенной или десятичной дроби.

1. x1=3/2 = 1.5
2. x2=17/12 = 1.416…
3. x3=577/408 = 1.414215…

Применение способов извлечения квадратных корней в различных областях математики.

К извлечению квадратных корней сводятся многие геометрические задачи. Например, в курсе геометрии решение задач на теорему Пифагора. 1.Геометрическое извлечение квадратного корня:

- рисуем окружность диаметра (x+1);

- проводим диаметр;

- отмеряете по диаметру 1 от одного края диаметра;

- проводим перпендикуляр;

- длина перпендикуляра до пересечения с окружностью это корень из x

2.Квадратный корень как сторона квадрата. Решим задачу: «Известно, что площадь некоторого квадрата равна 100. Требуется определить, чему равна сторона этого квадрата» . Мы можем легко подобрать ответ к задаче: √100 =10. Труднее решить задачу, когда приходится извлекать квадратный корень к примеру, из 19. В этом случае можно воспользоваться таблицами Брадиса.

3.Извлечь корень означает решить уравнение вида x²-a=0.

 Если мы найдем корни такого уравнения, то это будет равносильно извлечению корня квадратного. Построив параболу, вы увидите два корня уравнения в местах пересечения графика с осью абсцисс. Если мы говорим о корне арифметическом, то результатом извлечения корня должно быть только положительное  число.

4.Задачи ГИА(2012год). Решите неравенство (  − 4,5)(5 − 3x) > 0 .

В результате проведённого исследования я пришла к  выводу: введение понятия квадратного корня и различные способы его нахождения  необходимы в школьном курсе математики, чтобы развивать навыки вычислений.

Использованные источники:

1.Алимов Ш. А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю. В. и др.. Алгебра. Учебник для 8 кл. сред. шк./. М.: Просвещение, 2008.

2.           http://www.krugosvet.ru/about htm /