Математика. "Волшебство и магия в квадрате"

МБОУ СОШ №6 г. ТОРЖОК ТВЕРСКАЯ ОБЛАСТЬ

Проектная работа по теме «Волшебство и магия в квадрате»

                                                                                                                            выполнила Петрачкова Анна

                                                                                                                            учащаяся 8 «А» класса

                                                                                                                            МБОУ СОШ №6,

                                                                                                                            учитель Трофимова О. В.                                    

2012 год

ВОЛШЕБСТВО И МАГИЯ В КВАДРАТЕ

В незапамятные времена, научившись считать, люди познали меру количества — число. Вглядываясь в сочетания чисел, они с изумлением увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, удивительную и полную тайны; тайны необъяснимой и поэтому загадочной и многозначительной.,! Оказалось, что располагая числа правильными рядами, один под другим, в случае удачи можно, складывая их слева направо и сверху вниз, каждый раз получать одно и то же число. Наконец, кто-то придумал разделить числа линиями так, что каждое из них оказалось в отдельной клетке, как птицы в доме птицелова. Так посвященные увидели квадрат, населенный числами, неизвестно что сулящий его владельцу, но, конечно, обладающий магической силой.

                                                Е.Я.Гуревич. Тайна древнего талисмана

Из глубины веков

Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные... Как только их не называли! «Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими -магическими*, писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма. Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множество тайн... Знакомьтесь: магические квадраты - удивительные представители воображаемого мира чисел. Магическим квадратом л-го порядка называется квадратная таблица размером п х п, заполненная натуральными числами от 1 до п2, суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Различают магические квадраты четного и нечетного порядка (в зависимости от четности п). Поля таблицы, в которые записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоящих в любой строке, столбце или на диагонали, его постоянной. Магические квадраты возникли в глубокой древности в Китае. Вероятно, самым «старым» из дошедших до нас магических квадратов является I таблица Ло шу (ок# 2200 г. до н. э.). Она имеет размер 3x 3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9. В этом квадрате сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15 (рис. 1). Согласно одной из легенд, прообразом Ло шу стал узор из связанных черных и белых точек, украшавший панцирь огромной черепахи, которую встретил однажды на берегу реки Ло-шуй мифический прародитель китайской цивилизации Фуси. Жители Поднебесной считали таблицу Ло шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя. Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию и другие страны* На Востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях. На рис, 2 изображен магический квадрат 4-го порядка, известный еще древним индусам Он интересен тем, что сохраняет свойство быть магическим после последовательной перестановки строк (столбцов).

Рисунок 1

                                                                                                                                  Рисунок 2

Название «магические» квадраты получили от арабов, которые усмотрели в их свойствах нечто мистическое и потому принимали квадраты за своеобразные талисманы, защищавшие тех, кто их носит, от многих несчастий. К удивительным квадратам проявляли интерес и средневековые арабские математики, приводившие их примеры в своих сочинениях. Древние греки были знакомы с простейшим (3-го порядка) магическим квадратом. В одном из арабских манускриптов конца VIII в. упоминается его автор (который на самом деле лишь открыл заново то, что было известно за много веков до него) – философ -новопифагорец Апполон из Тиана, живший в начале нашей эры. Европейцев с удивительными числовыми квадратами познакомил византийский писатель и языковед Мосхопулос. Его работа была первым специальным сочинением на эту тему и содержала примеры магических квадратов разного порядка, составленных самим автором. В Средневековой Европе, как и на Востоке, магическим квадратам часто приписывали различные мистические свойства. Поэтому не удивительно, что они пользовались особой популярностью у прорицателей, астрологов и врачевателей. Бытовало даже поверье, что выгравированный на серебряной пластине магический квадрат защищает от чумы. Вначале XVI в. знаменитый немецкий художник Альбрехт Дюрер увековечил магический квадрат в искусстве, изобразив его на гравюре «Меланхолия».

Квадрат Дюрера имеет размер 4 х 4 и составлен из шестнадцати первых натуральных чисел, сумма которых в каждой строке, столбце и на диагонали равна 34. Оказывается, 34 равны и суммы других четверок чисел: расположенных в центре, в угловых клетках, по бокам центрального квадрата (рис. 4, а), а также образующих четыре равных квадрата, на которые можно разделить исходный квадрат (рис. 4, б). А вот числа 15 и 14 в I нижней строке квадрата указывают дату создания гравюры - 1514 г.

                                    Рисунок 4,а                                                                    Рисунок 4,б

В середине XVI в. в Европе появились первые сочинения, в которых магические квадраты предстали в качестве объектов математического исследования. Так было положено начало их новой жизни. Затем последовало множество других работ, в частности таких известных математиков, как Штифель, Баше, Паскаль, Ферма, Бесси, Эйлер, Гаусс.

Например, Баше де Мезириак* описал простой графический способ построения квадратов нечетного порядка. Последний не раз переоткрывался и, вероятно, был изобретен еще в древности. Отметим, что в XVI-XVII вв. составлением магических квадратов занимались с таким же увлечением, с каким сегодня придумывают и разгадывают кроссворды. Любопытно, что именно в одной из книг Баше магические квадраты впервые предстали как математическая забава. Примерно в то же время Пьер де Ферма разработал общий метод построения квадратов четного порядка, а Френикль де Бесси** вычислил и построил все различные квадраты 4-го порядка (всего их насчитывается 880). Дальнейшее развитие теории магических квадратов оказалось связано с развитием теории чисел и комбинаторики. В наше время магические квадраты продолжают привлекать к себе внимание не только специалистов, но и любителей математических игр и развлечений. За последнее столетие значительно возросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачи, связанные с необычными квадратами. Для их успешного решения требуются не столько специальные знания, сколько смекалка и умение подмечать числовые закономерности. Решение таких задач не только доставит удовольствие тем, кто интересуется математикой, но и послужит прекрасной «гимнастикой для ума», в чем читатель скоро сможет убедиться сам.  

Нет предела совершенству

Среди множества магических квадратов некоторые выделяются особыми свойствами: числа, из которых они составлены, удовлетворяют различным дополнительным условиям. * Клод Гаспар Баше де Мезириак — французский математик и поэт XVII века. Известен, в частности, тем, что перевел с греческого и издал в 1621 г. «Арифметику» Диофанта, снабдив книгу подробными комментариями. ** Бернар Френикль де Бесси — французский математик XVII в., занимавшийся в основном теорией чисел.  

Так, у изображенного на рис. 5 магического квадрата 5-го порядка суммы пятерок чисел в клетках, расположенных на «разломанных» диагоналях (клетки закрашены одним и тем же цветом), равны постоянной магического квадрата - числу 65. Квадрат с таким свойством называется совершенным.  

Рисунок 5

Легко убедиться в том, что квадрат останется совершенным, если подвергнуть его таким преобразованиям, как поворот и симметрия. Оказывается, существуют и другие преобразования, сохраняющие это свойство. Так, квадрат останется совершенным после того, как его верхнюю строку переставить вниз или левый столбец перенести к правой стороне (либо наоборот, нижнюю строку поместить сверху, а правый столбец -слева). Отметим другое, следующее отсюда свойство: если расположить рядом два одинаковых квадрата так, чтобы у них была общая сторона, получится своеобразный паркет, в котором числа, оказавшиеся в любой группе клеток размером 5 x 5 образуют совершенный квадрат (рис. 6).

Рисунок 6

Кстати, упоминавшийся ранее древнеиндийский квадрат также является совершенным. Некоторые магические квадраты отличаются симметричным рисунком. Рассмотрим следующий квадрат 5-го порядка (рис. 7). Что интересного можно заметить в расстановке образующих его чисел? Во-первых, четные и нечетные числа располагаются симметрично как относительно центра квадрата, так и относительно каждой из четырех его осей симметрии.

Рисунок 7

Во-вторых, суммы пар чисел занимающих центрально-симметричные клетки, одинаковы и вдвое больше числа, стоящего в центре. И это не случайно. Натуральные числа 1,2, … 25 являются членами арифметической прогрессии. Как известно, суммы членов равноудаленных от концов прогрессии, равны:

А1+ аn=a2 + a n-1 = …    Но именно по этому принципу построены все двенадцать пар чисел. Имеем: г

1 + 25 = 2 + 24 = ... = 12 + 14 = 26 = n2 + 1

Наконец, оставшееся число 13 - непарное и помешается в центре квадрата. Кроме того это единственное из двадцати пяти чисел, которое совпадает с номером своей клетки (если пронумеровать вес клетки по порядку построчно сверху вниз).

Рисунок 8

Аналогичными свойствами обладают таблица ЛО ШУ и квадрат Дюрера. Вообще квадрат, в котором любые два числа, расположенные симметрично относительно его центра, дают в сумме одно и то же число, называется симметрическим. (Причем неважно, какого он порядка: четного или нечетного.) Неверно было бы говорить о том, что именно симметрия строения является основным признаком магического квадрата. Вместе с тем она часто определяет его свойства и широко используется при построении магических квадратов. Укажем, наконец, еще одну интересную особенность выбранного для примера магического квадрата. Все пятерки чисел, стоящих на его «разломанных» диагоналях (рис. 9), являются членами арифметических прогрессий с одной и той же разностью d = 5, совпадающей с порядком квадрата (кстати, их суммы обладают таким же свойством).

Рисунок 9

 Найдите на рис. 9 еще две пятерки расположенных рядом чисел, из которых можно составить арифметические прогрессии с разностями d и d1, отличными от 1. Как связаны между собой числа d, d1 и d2? Многими интересными свойствами обладает и изображенный на рис. 10 магический квадрат 8-го порядка. Например, он делится на четыре равные части - квадраты 4-го порядка, у каждого из которых суммы чисел по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы и равны 130, что вдвое меньше постоянной магического квадрата. Его можно разбить также на четыре пары прямоугольников размером 4x 2 каждый, расположенных симметрично относительно центра квадрата (на рис. 10 они закрашены одним и тем же цветом). Суммы пар чисел в соответствующих столбиках таких прямоугольников одинаковы и равны 57 или 73 (например, II + 56 = 54 + 3, 46 + 27 = 25 + 48), что дает в сумме 130. А если составить из полученных чисел прямоугольную таблицу, они распределятся в ней симметрично.

Рисунок 10

Рисунок 11

Рассмотрим -теперь левый верхний квадрат 4-го порядка (рис. 10). Сложим числа, расположенные симметрично относительно его горизонтальной, а также вертикальной осей симметрии. Суммы снова повторяются и закономерно располагаются в таблицах (рис. 12), «скрывая в себе» числа 130 и 260.

                                                             Рисунок 12

Аналогичными свойствами обладают и остальные квадраты, получающиеся при разбиении исходного квадрата на четыре равные части. Причем с каждым из них связан свой набор из восьми чисел, принадлежащих множеству {43, 47, 51, 55, 56, 58, 72, 74, 75, 79, 83, 87}. Легко видеть, что сумма двух любых чисел, «равноудаленных» от его концов, равна 130, а сумма четверок чисел - 260.  

Все отмеченные свойства данного магического квадрата, включая рассмотренные выше разбиения на квадраты и прямоугольники, являются проявлением особенностей его внутреннего строения, подчиненного закону центральной симметрии. Теперь вы и сами можете найти немало интересных свойств этого магического квадрата, разбивая его на другие фигуры, например на шестнадцать квадратов размером 2x2 , складывая числа, расположенные не в столбик, а по диагонали, и т.д.

КАК ПОСТРОИТЬ

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ?

Задача на составление магических квадратов является классическим образцом математических развлечений и головоломок. О ней мы и хотим поговорить. Как самим построить магический квадрат? Эта задача легко решается для п = 3. А как быть при других значениях л? Поиском способов составления магических квадратов занимались в разное время многие математики. Известные на сегодня правила построения таких квадратов делятся на три группы в зависимости от порядка квадрата; некоторые из них мы рассмотрим ниже. Однако общего метода построения, годящегося для всех квадратов, до сих пор не существует квадрата нечетного порядка. Рассмотрим два метода построения магического квадрата нечетного порядка, описанные французскими математиками XVII в. Баше де Мезириаком и де Лялубером. Метод Баше (на самом деле знакомый еще древним индусам и не раз открывавшийся заново) проиллюстрируем на примере построения магического квадрата 5-го порядка. (Для наглядности описанные ниже действия будем выполнять на бумаге в клетку.) 1. Все натуральные числа от 1 до 25 запишем в клетках по диагонали (по 5 в ряд) так, чтобы получился диагональный квадрат (рис. 13).

Рисунок 13

2. Выделим в центре квадрат размером 5x5. Он и составит основу будущего магического квадрата

(рис. 14).

Рисунок 14

3. Каждое число, находящееся вне центрального квадрата, перенесем внутрь - к его противоположной стороне, сдвигаясь при этом на 5 клеток. Магический квадрат готов (рис. 15). Метод де Лялубера поясним так же на примере построения квадрата 5-го порядка. Поместим число 1 в центральную клетку верхней строки. Остальные натуральные числа расположим в порядке возрастания циклически по диагонали снизу вверх и справа налево (рис. 16). Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), станем заполнять диагональ, начинающуюся в нижней клетке следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата, перейдем к диагонали, выходящей из левой клетки строкой выше. Дойдя до уже заполненной или до угловой клетки, опустимся на одну клетку вниз и продолжим процесс заполнения. В последнюю клетку запишем число 25. В результате получим магический квадрат, изображенный на рис. 17.

Построение магического квадрата четного порядка

Начнем с простого метода построения магического квадрата п-то порядка, где п — 2\ к > 2. Рассмотрим его на примере магического квадрата 8-го порядка, составленного из натуральных чисел от 1 до 64. Метод включает следующие шаги.

1. Разделим исходный квадрат на квадраты 4-го порядка (в данном случае их 4). В каждом из них закрасим все клетки, лежащие на обеих диагоналях.

2. Заполним клетки построчно данными числами, двигаясь слева направо и сверху вниз, пропуская при этом те из них, что соответствуют закрашенным клеткам (рис. 18).

3. Выделенные на первом шаге клетки заполним пропущенными числами в порядке возрастания, двигаясь справа налево и снизу вверх. Магический квадрат построен (рис. 19).

 Рассмотрим теперь способы построения магического квадрата любого четного порядка. Во всех них таблицу п х п заполняют слева направо и сверху вниз натуральными числами от 1 до п в их естественном порядке. Затем по определенному правилу переставляют числа в некоторых клетках, после чего квадрат становится магическим. Сначала разберем случай, когда после деления исходного квадрата на четыре равные части получаются квадраты четного порядка. Такой квадрат называют четно-четным. Его можно получить с помощью метода Раус-Бола. Поясним последний на примере построения квадрата 8-го порядка.

1. Разделим квадрат, заполненный числами от 1 до 64, на квадраты 4-го порядка;
2. В каждой строке и столбце верхнего левого квадрата закрасим в шахматном порядке по две клетки (рис.20)
3.  Для каждой из отмеченных клеток выделим (тем же цветом) симметричную ей относительно вертикальной оси клетку (рис. 21).
4. Число, стоящее в каждой из шестнадцати закрашенных клеток, переставим с числом из соответствующей центрально-симметричной клетки (рис. 22).

Построение квадрата закончено.

Рассмотрим теперь случай, когда после деления исходного квадрата на четыре равные части получаются квадраты нечетного порядка. Такой квадрат называют четно-нечетным. Его строят с помощью диагонального метода, применяя три типа перестановок чисел в клетках. Для примера возьмем квадрат размером 10 х 10.

1. Разделим заполненный числами от 1 до 100 квадрат на квадраты 5-го порядка (рис. 23).

2. В левом верхнем квадрате закрасим разным цветом три группы клеток, при этом в каждой строке и в каждом столбце отметим по две** клетки из первой группы и по одной — из второй и третьей групп. Одинаковым цветом выделим клетки, расположенные вдоль диагонали квадрата прямых, ей параллельных (рис. 24).

3. Клетки, симметричные клеткам первой группы относительно вертикальной оси, закрасим таким же цветом (рис. 25).

4. Число, стоящее в каждой из отмеченных на рис. 25 клеток, переставим с числом из соответствующей центрально-симметричной клетки (рис. 26).

5. Содержимое каждой клетки второй группы ** В общем случае число клеток равно (л — 2): 4, где п Ы порядок исходного квадрата обменяем с содержимым симметричной ей относительно горизонтальной оси клетки.(рис.27)

6. Содержимое каждой клетки третьей группы обменяем с содержимым ей относительно вертикальной оси клетки (рис.28).