Различные методы решения квадратных уравнений.

Слайд 1

Различные методы решения квадратных уравнений Работа учеников 8А класса МБОУ СОШ №1 г.Зверево Ростовская область Койнова Виталия и Акопян Арсена Консультант педагог дополнительного образования Куц Ф.И.

Слайд 2

Определение . Квадратным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида: ах 2 + b х + с = 0, где х – неизвестная величина; а, b , с - заданные числа, причём а ≠ 0 .

Слайд 3

1) Свойства коэффициентов квадратных уравнений а) если а + b + с = 0, то х 1 = 1, х 2 = . Пример. 1) 2х 2 - 9х + 7 = 0 . Так как 2 + (-9) + 7 = 0, то х 1 = 1 , х 2 = = 3,5. 2 ) 3х 2 + 8х - 11 = 0. Так как 3 + 8 + (- 11) = 0, то х 1 = 1, х 2 = . б) если а + с = b , то х 1 = -1, х 2 = - . Пример. 1) 2х 2 + 9х + 7 = 0. Так как 2 + 7 = 9, то х 1 = - 1, х 2 = - = - 3,5. 2) 3х 2 - 8х - 11 = 0. Так как 3 + (- 11) = - 8, то х 1 = - 1, х 2 = .

Слайд 4

2) Решение квадратных уравнений способом переброски: Решим уравнение ах 2 + b х + с = 0. Умножим обе части уравнения на коэффициент а, получим: а 2 х 2 + а b х + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = . Тогда у 2 + b у + ас = 0. Его корни у 1 и у 2 . Окончательно: х 1 = , х 2 = . Решить уравнение 2х 2 - 9х + 7 = 0. Перебросим коэффициент 2 к свободному члену: у 2 - 9у + 14 = 0. Согласно теореме, обратной теореме Виета у 1 = 2 и у 2 = 7. Следовательно: х 1 = = 1, x 2 = = 3,5.

Слайд 5

3)Метод выделения полного квадрата (использование формул: ( а ± в) 2 = а 2 ± 2ав + в 2 ) 1) 4х 2 + 12х + 9 = 0; (2х) 2 + 2∙2х∙3 +3 2 = 0; (2х + 3) 2 = 0, 2х + 3 = 0; х = - 1,5. 2) 9х 2 - 6х - 3 = 0; (3х) 2 - 2∙3х∙1 + 1 - 1 - 3 = 0; (3х - 1) 2 = 4; 3х - 1 = 2 или 3х - 1 = - 2; 3х = 3 или 3х = -1. х 1 = 1, х 2 = - . 3) 4х 2 + 8х + 9 = 0; (2х) 2 + 2∙2х∙2 +2 2 = 2 2 - 9; (2х + 2) 2 = - 5; корней нет.

Слайд 6

4-А)Разложение на множители левой части уравнения способом группировки Если a > 0, c < 0 , то | b| представляем в виде разности. 1) 8х 2 - 5х - 3 = 0. 2) 3х 2 + 2х - 1 = 0. 8х 2 - ( 8 - 3) х - 3 = 0, 3х 2 + (3 - 1)х - 1 = 0, 8х 2 - 8х + 3х - 3 = 0, 3х 2 + 3х - х - 1 = 0. (8х 2 - 8х) + (3х + 3) = 0, (3х 2 + 3х) - (х + 1) = 0, 8х(х - 1) + 3(х - 1) = 0, 3х(х + 1) -(х + 1) = 0, (х - 1) (8х + 3) = 0, (х + 1)(3х - 1 ) = 0, х – 1 = 0 или 8х + 3 = 0, х + 1 = 0 или 3х - 1 = 0, х 1 = 1 , х 2 = - . х 1 = - 1 , х 2 = .

Слайд 7

4-Б) Разложение на множители левой части уравнения способом группировки Если a > 0, c > 0 ,то | b| представляем в виде суммы . 1) 2х 2 - 5х + 3 = 0. 2) 3х 2 + 5х + 2 = 0. 2 х 2 - ( 2 + 3) х + 3 = 0, 3х 2 + (3 + 2)х + 2 = 0, 2х 2 - 2х - 3х + 3 = 0, 3х 2 + 3х + 2х + 2 = 0. (2х 2 - 2х) - (3х - 3) = 0, (3х 2 + 3х) + (2х + 2) = 0, 2х(х - 1) - 3(х - 1) = 0, 3х(х + 1) + 2(х + 1) = 0, (х - 1) (2х - 3) = 0, (х + 1)(3х + 2) = 0, х – 1 = 0 или 2х - 3 = 0, х + 1 = 0 или 3х + 2 = 0, х 1 = 1 , х 2 =1,5 . х 1 = - 1 , х 2 = - .

Слайд 8

5) Решение квадратных уравнений по теореме, обратной теореме Виета Если числа х 1 и х 2 таковы, что х 1 х 2 = , х 1 + х 2 = - , то х 1 и х 2 корни уравнения. 1)если х 1 х 2 > 0 , х 1 + х 2 < 0 , то корни отрицательны ; 2) если х 1 х 2 < 0 , х 1 + х 2 < 0 , то корни разных знаков (отрицательный корень имеет больший модуль) ; 3) если х 1 х 2 > 0 , х 1 + х 2 > 0 , то корни положительны ; 4) если х 1 х 2 < 0 , х 1 + х 2 > 0 , то корни разных знаков (положительный корень имеет больший модуль). Пример: 1) 3х 2 +10х + 3 = 0, (а = 3, b = 10, с = 3) х 1 х 2 = = = 1= - 3∙(- ), х 1 + х 2 = - = - = - 3 = - = - 3 + (- ) , х 1 = - 3, х 2 = - .

Слайд 9

6) Связь между коэффициентами квадратного уравнения. Если в квадратном уравнении ах 2 + b х + с = 0: 1) 3х 2 +10х + 3 = 0, b = 10 = 3 2 + 1= а 2 +1, с = 3 = а, 1 ) b = а 2 +1, с = а, то х 1 = - а, х 2 = - . х 1 = - 3, х 2 = - . 2) 3х 2 - 10х + 3 = 0, 2) b = - (а 2 +1), с = а, то х 1 = а, х 2 = . b = -10 = - (3 2 + 1) = - (а 2 +1), с = 3 = а, х 1 = 3, х 2 = . 3) 3х 2 + 8х - 3 = 0, 3) b = а 2 - 1, с = - а, то х 1 = - а, х 2 = . b = 8 = 3 2 - 1= а 2 -1, с = - 3 = - а, х 1 = - 3, х 2 = . 4) 3х 2 - 8х - 3 = 0, 4) b = - (а 2 - 1), с = - а, то х 1 = а, х 2 = - . b = - 8 = - (3 2 – 1) = - (а 2 -1), с = - 3 = - а, х 1 = 3, х 2 = - .

Слайд 10

7-А) Формула корней квадратного уравнения х 1,2 = или х 1,2 = . I ) Если D = b 2 - 4ас > 0 , то уравнение имеет два корня. Пример. 3х 2 - 8х - 3 = 0, (а = 3, b = - 8, с = - 3). х 1,2 = = = = , х 1 = = = 3, х 2 = = = - . Или D = b 2 - 4ас = ) = 64 + 36 = 100. х 1,2 = = , х 1 = = = 3, х 2 = = = - .

Слайд 11

7-Б) Формула корней квадратного уравнения I I ) Если D = b 2 - 4ас = 0 , то уравнение имеет один корень ( или два равных): х 1,2 = - . Пример. 4х 2 + 4х + 1 = 0. D = b 2 - 4ас = 4 2 - 4∙4∙1 = 16 - 16 = 0. х 1,2 = - = - . I II ) Если D = b 2 - 4ас < 0 , то уравнение не имеет корней. Пример. 4х 2 + 4х + 5 = 0. D = b 2 - 4ас = 4 2 - 2∙4∙5 = 16 – 80 = - 64 < 0. Уравнение корней не имеет.

Слайд 12

8)Решение квадратных уравнений с «четным» вторым коэффициентом Если b = 2 k (ах 2 + 2 k х + с = 0), то х 1,2 = . Пример. 3х 2 - 8х - 3 = 0, (а = 3, b = - 8 = 2∙(-4), k = - 4,с = - 3). х 1,2 = = = = , х 1 = = = 3, х 2 = = - .

Слайд 13

9 )Решение квадратных уравнений с применением циркуля и линейки Корни квадратного уравнения a х 2 + b х + c = 0 можно рассматривать как абсциссы точек пересечения окружности с центром Q , проходящей через точку А (0;1), и оси Ох. Решение уравнения сводится к построению на координатной плоскости окружности с центром Q и радиусом QA ( для этого и понадобятся инструменты) и определению абсцисс точек пересечения окружности с осью Ох. Возможны три случая:

Слайд 14

9-А)Решение квадратных уравнений с применением циркуля и линейки Если QA > , то окружность пересекает ось Ох в двух точках M (х 1 ;0) и N (х 2 ;0), уравнение имеет корни х 1 , х 2 . Пример. 2х 2 + 8х - 10 = 0. х 0 = = = - 2; у 0 = = = - 2. Корни уравнения х 1 = 1, х 2 = - 5.

Слайд 15

9-Б)Решение квадратных уравнений с применением циркуля и линейки Если QA = , то окружность касается оси Ох в точке M (х 1 ;0) , уравнение имеет корень х 1 . Пример. 3х 2 – 6х +3 = 0. х 0 = = = 1; у 0 = = = 1. Корень х = 1.

Слайд 16

9-В)Решение квадратных уравнений с применением циркуля и линейки Если QA < , то окружность не имеет общих точек с осью Ох, уравнение не имеет корней. Пример. 2х 2 - 8х + 10 = 0. х 0 = = = 2; у 0 = = = 3. Корней нет.

Слайд 17

10-А)Графическое решение квадратных уравнений I способ. Строят график функции у = ах 2 + b х + с и находят абсциссы точек его пересечения с осью Ох. Пример. х 2 - 2х - 3 = 0. Строим график функции у = х 2 - 2х - 3. 1) х 0 = - = - = 1, у 0 = у(х 0 ) =1 2 - 2∙1 - 3 = - 4. Значит, вершиной параболы служит точка (1;-4), а осью параболы – прямая х = 1. 2) Возьмем на оси Ох две точки, симметричные относительно оси параболы, например х = - 1 и х = 3. Имеем: у(-1) = у(3) = 0. Построим на координатной плоскости точки (-1;0) и (3;0). Через точки (-1;0), (1; - 4), (3;0) проводим параболу. Корнями уравнения х 2 - 2х - 3 = 0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью Ох. Значит, корни уравнения: х 1 = - 1, х 2 = 3.

Слайд 18

10-Б)Графическое решение квадратных уравнений II способ. В уравнении ах 2 + b х + с = 0 переносят второй и третий члены в правую часть, то есть получают ах 2 = - b х – с. Строят в одной системе координат графики функций у = ах 2 и у = - b х – с; находят точки их пересечения. Абсциссы точек пересечения являются корнями исходного уравнения. Пример. х 2 - 2х - 3 = 0. Преобразуем уравнение к виду х 2 = 2х + 3. Построим в одной системе координат Графики функций у = х 2 и у = 2х + 3. Они пересекаются в двух точках: А(-1;1) и В(3;9). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В. Значит, х 1 = - 1, х 2 = 3.

Слайд 19

11) Метод введения новой переменной. Пример. (5х + 3) 2 - 3 (5х + 3) + 2 = 0. Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получаем квадратное уравнение 25х 2 + 15х + 2 = 0, которое можно решить любым способом. Но удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной и позволяет свести решение к более простому случаю. Пусть 5х + 3 = t , тогда имеем: t 2 – 3 t + 2 = 0, откуда t 1 = 1; t 2 = 2. Произведем обратную замену и вернемся к переменной х: Если t =1, то 5х + 3 = 1, х 1 = - 0,4 . Если t =2, то 5х + 3 = 2, х 2 = - 0,2.

Слайд 20

12-А)Решение квадратного уравнения с помощью номограммы 1) Значение q > 0 , p < 0. ( Оба корня положительны, если они существуют) Пример. 1) z 2 - 9 z + 8 = 0. Номограмма дает корни z 1 = 8, z 2 = 1 . 2) z 2 – 4,5 z + 2 = 0. Номограмма дает корни z 1 = 4, z 2 = 0,5

Слайд 21

12-Б)Решение квадратного уравнения с помощью номограммы 2 ) Значение q < 0 . ( Корни разных знаков) Пример. 1) z 2 + 5 z - 6 = 0 . Номограмма дает положительный корень z 1 = 1 , а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из - p , т.е . z 2 = - p - 1 = - 5 -1 = - 6 . 2) z 2 - 2 z - 8 = 0. Номограмма дает положительный корень z 1 = 4 , отрицательный равен z 2 = - p - z 1, z 2 = 2 - 4 = - 2 .

Слайд 22

12-В)Решение квадратного уравнения с помощью номограммы 3) Значения q >0, p > 0. ( Оба корня отрицательны, если они существуют). Пример. z 2 + 4 z + 3 = 0. Берем z = - t и находим по номограмме два положительных корня t 1 и t 2 уравнения t 2 - 4 t + 3 = 0, это t 1 = 1 и t 2 = 3, а затем z 1 = - t 1 = -1 , z 2 = - t 2 = - 3 .

Слайд 23

12-Г)Решение квадратного уравнения с помощью номограммы Замечание. Если коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, то выполняют подстановку z = kt и решают с помощью номограммы уравнение t 2 + t + = 0, где k берут с таким расчетом, чтобы имели место неравенства - 12,6 ≤ ≤ 12,6; - 12,6 ≤ ≤ 12,6. Для уравнения z 2 - 25 z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5 t , получим уравнение t 2 - 5 t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t 1 = 0,6 и t 2 = 4,4; откуда z 1 = 5∙ t 1 = 5 ∙ 0,6 = 3,0 , z 2 = 5∙ t 2 = 5 ∙ 4,4 = 22,0.

Слайд 24

13-А) Геометрический способ Пример . х 2 + 10х – 39 = 0. Представим уравнение в виде: х 2 + 10х = 39. Строим квадрат площадью х 2 . На его сторонах достраиваем четыре равных прямоугольника общей площадью 10х Площадь каждого прямоугольника х, а стороны: х и . Теперь дополняем полученную фигуру до квадрата четырьмя равными квадратами. Площадь каждого из них равна , а площадь всех четырех: 4∙ = 25. Итак, площадь составленного из девяти фигур квадрата (х+5) 2 = 39 + 25,т.е. (х + 5) 2 = 64. Сторона этого квадрата х + 5 = 8, откуда х 1 = 3. Другой корень будет х + 5 = - 8,т.е . х 2 = - 13 Х + 5 Х + 5

Слайд 25

13-Б)Геометрический способ S=(x-3) 2 S= 3∙(x – 3) Пример 2) х 2 - 6х - 16 = 0. Представим уравнение в виде: х 2 - 6х = 16. Строим квадрат со стороной х, его площадь S = х 2 . Внутри его строим квадрат площадью S = (х - 3) 2 . Кроме полученного квадрата, внутри большого квадрата находятся квадрат с площадью S = 9 и два прямоугольника с площадями S = 3(х - 3) = 3х - 9. Следовательно, площадь данного квадрата равна сумме площадей внутренних фигур: (х - 3) 2 + 2∙(3х - 9) + 9 = х 2 , (х - 3) 2 + 6х - 18 + 9 = х 2 , (х - 3) 2 + 6х - 9 = х 2 , (х-3 ) 2 = х 2 - 6х+9, но х 2 - 6х = 16, следовательно , (х - 3) 2 = 16+ 9, (х - 3) 2 = 25, откуда сторона квадрата х - 3 = 5, т.е. х 1 = 8. Другой корень будет х - 3 = - 5, т.е . х 2 = - 2. S= 3∙(x – 3) S = 9 х х