Способы умножения многозначных чисел

Введение                          «Счет и вычисления – 

                                                                                           основы порядка в голове». 


                                                                Иоганн Генрих Песталоцци (1746 - 1827) 

Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели.

Актуальность: Математика является одной из важнейших наук на земле и именно с ней человек встречается каждый день в своей жизни. Счет в уме является  самым древним и  простым способом вычисления. Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах вычислений, выполненных с помощью калькулятора. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.

Мне стало интересно, а есть ли еще какие-нибудь способы вычислений? Оказалось, что можно умножать не только так, как предлагают нам в учебниках математики, но и по-другому. Используя интернет-ресурсы, я узнал много необычных способов умножений. Ведь способность быстро производить  вычисления вызывает откровенное удивление.

Цель исследования :

• Найти как можно больше  необычных способов вычислений.
• Научиться их применять.
• Выбрать для себя самые интересные, чем те, которые предлагаются в школе, и использовать их при счете.

Задачи исследования:

1. Познакомиться со старинными способами умножения, такими как: «Ревность, или решётчатое умножение», «Маленький замок», «Русский крестьянский способ», «Линейный способ».

2. Исследовать приемы устного возведения чисел в квадрат и применять их на практике.

 Немного истории.

  Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину  пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века  мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.

   Особенно трудны  в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного  практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления - приемы  один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия. За тысячелетия развития математики было придумано много способов умножения.  Кроме таблицы умножения, все они громоздкие, сложные и трудно запоминаются.  Считалось, что для овладения искусством быстрого умножения нужно особое природное дарование. Простым людям, не обладающим особым математическим даром, это искусство было недоступно.

        И все эти приемы умножения - «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.

  Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые  способы умножения.

1.1.  «Ревность, или решётчатое умножение»

Итальянский математик 15 века Лука Пачоли  приводит 8 способов умножения. На мой взгляд, самые интересные из них – «ревность или решетчатое умножение» и  «маленький замок».

Умножим 347 на 29.

Рисуем прямоугольник, делим его на квадраты, квадраты делим по диагонали. Получается картинка, похожая на решетчатые ставни венецианских домов. От этого и произошло название метода.

Вверху таблицы  запишем число 347, а справа сверху вниз – 29

В каждый квадрат впишем произведение цифр, расположенных в одной строке и одном столбце  с  этим квадратом. Десятки располагаются в верхнем треугольнике, а единицы – в нижнем. Цифры складываются  вдоль каждой диагонали.  Результаты записываются  слева и  справа от таблицы.

Ответ – 10063.

Неудобства этого способа заключаются в трудоёмкости построения прямоугольной таблицы, а сам процесс умножения интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

1.2. «Русский крестьянский способ»

             В России  среди крестьян был распространен способ, который не требовал знания всей таблицы умножения. Здесь необходимо лишь умение умножать и делить числа на 2.

Напишем одно число слева,  а другое справа на одной строке Левое число будем делить на 2, а правое – умножать на 2 и результаты записывать в столбик.  Если  при делении возник остаток, то его отбрасывают. Умножение и деление на 2 продолжают до тех пор, пока слева не останется 1.

Затем вычеркиваем  те строчки из столбика, в которых слева стоят четные числа. Теперь сложим оставшиеся числа в правом столбце.

Ответ – 1972026.

1.3.Китайский способ умножения.

А теперь представим метод умножения, бурно обсуждаемый в Интернете, который называют китайским.  При умножении чисел считаются точки пересечения прямых, которые соответствуют  количеству цифр каждого разряда обоих множителей.

На листе бумаги поочередно рисуем линии, количество которых определяется из данного примера.

Сначала 32: 3 красные линии и чуть ниже - 2 синие. Затем 21: перпендикулярно уже нарисованным, рисуем сначала 2 зеленые, затем - 1 малиновую. ВАЖНО: линии первого числа рисуются в направлении из верхнего левого угла в нижний правый, второго числа - из нижнего левого, в верхний правый. Затем считаем количество точек пересечения в каждой из трех областей (на рисунке области обозначены в виде окружностей). Итак, в первой области ( область сотен) - 6 точек, во второй (область десятков) - 7 точек, в третьей (область единиц) - 2 точки. Следовательно, ответ: 672.

2.Исследовательская часть

Приёмы быстрого счета развивают память. Это касается не только математики, но и других предметов, которые изучаются в школе.

Также хочется добавить в работу способы устного возведения чисел в квадрат без использования калькулятора и, что является необходимым при решении задач ГИА и ЕГЭ, а так же является хорошей тренировкой ума.

      А теперь перейдем к некоторым интересным и мне понравившимся способам устного возведения чисел в квадрат, применяемых на уроках алгебры и геометрии.

2.1. Возведение в квадрат любого двузначного числа.

Если запомнить квадраты всех чисел от 1 до 25, то легко найти и квадрат любого двузначного числа, превышающего 25.

Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50-ю.

Рассмотрим пример:

372=12*100+132=1200+169=1369

(М–25)*100+ (50-M) 2=100M-2500+2500–100M+M2=M2 .

2.2.Квадрат числа, близкого к «круглому».

Вычисление квадратов в разобранных примерах основано на формуле 

                а² = (а + в) (а – в) + в²,

 в которой удачный подбор числа в сильно облегчает выкладки: во-первых, один из сомножителей должен оказаться «круглым» числом (желательно, чтобы ненулевой его цифрой была только первая), во-вторых, само число в должно легко возводиться в квадрат, т. е. должно быть небольшим. Эти условия реализуются как раз на числах а, близких к «круглым».

 192² = 200*184 + 8² = 36864, / (192+8)(192-8)+ 8²/

 412² = 400*424 + 12² = 169744, /(412-12)(412+12)+ 12²/

2.3.  Возведение в квадрат чисел от 40 до50.

2.4.  Возведение в квадрат чисел от 50 до60.

Чтобы возвести в квадрат число шестого десятка (51,52,53,54,55,56,57,58,59)
надо к числу единиц прибавить 25 и к этой сумме приписать квадрат числа единиц.
Например:
54*54=(4+25)*100+4*4=2916
57*57=(7+25)*100+7*7=3249

2.5.  Возведение в квадрат числа, оканчивающееся на 5.

Число десятков умножаем на следующее число десятков и прибавляем 25.

15*15 = 10*20+ 25=225            или   (1*2 и приписываем справа 25)

35*35 =30*40 +25= 1225                (3*4 и приписываем справа 25)

65*65 = 60*70+25=4225                (6*7 и приписываем справа 25)

 2.6. Квадрат числа, оканчивающегося на 1.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 1, нужно заменить эту единицу на 0, возвести новое число в квадрат и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 1 на 0.

Пример № 6. 712 = ?

71→70→702=4900→4900+70+71=5041=712.

2.7. Квадрат числа, оканчивающегося на 6.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 6, нужно заменить  цифру 6 на 5, возвести новое число в квадрат (описанным ранее способом) и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 6 на 5.

Пример №7. 562 =?

56→55→552=3025(56=30→3025) →3025+55+56 = 3136= 562.

2.8.Квадрат числа, оканчивающегося на 9.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 9, нужно заменить эту цифру 9 на 0 (получим следующее натуральное число), возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 9 на 0.

Пример №8. 592 =?

59 → 60→602=3600→ 3600 – 60 – 59 = 3481= 592.

2.9.Квадрат числа, оканчивающегося на 4.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 4, нужно заменить  цифру 4 на 5, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 4 на 5.

Пример № 9. 842=?

84→85→852=7225(89=72→7225) →7225 – 85 – 84 = 7056 =842.

2.10.При возведении в квадрат часто бывает удобно воспользоваться формулой (аb)2=а2+b22аb.

Пример № 10.

412 = (40+1)2=1600+1+80=1681.

Заключение

При выполнении исследовательской работы мне понадобились не только те знания, которые имеются у меня, но и необходимая работа с дополнительной литературой.

1. В ходе моей работы я нашел и освоил различные способы умножения многозначных чисел и могу констатировать следующее - большинство способов умножения многозначных чисел основаны на знании таблицы умножения

- способ «решетчатое умножение» ничуть не хуже, чем общепринятый. Он даже проще, поскольку в клетки таблицы заносятся числа прямо из таблицы умножения без одновременного сложения, присутствующего в стандартном методе;

           -«русский крестьянский» способ умножения гораздо проще рассмотренных ранее способов. Но он также очень громоздкий.

           Из всех найденных мною необычных способов счета более интересным показался способ «решетчатого умножения или ревность». Я показал его своим одноклассникам, и он  им  тоже очень понравился.

          Самым простым мне показался китайский способ умножения, который использовали китайцы, так как он не требует знаний таблицы умножения.                   Научившись считать всеми представленными способами, я пришел  к выводу: что самые простые способы это те, которые мы изучаем в школе, может быть они для нас более привычны.

         2. Я узнал некоторые приемы устного счета, которые помогут  мне  в жизни. Мне было очень интересно работать над проектом. Я изучил новые для меня способы умножения, рассмотрел различные приемы возведения чисел в квадрат. Многие вычисления связаны с формулами сокращенного умножения, которые я изучил на уроках алгебры. Используя  упрощенные приёмы устных вычислений, я теперь могу производить наиболее трудоёмкие  арифметические действия  без применения калькулятора и компьютера. Заинтересовался не только я, но и мои родители. Я показал приемы устного умножения своим друзьям и одноклассникам. Знание упрощенных приемов устных вычислений особенно важно в тех случаях, когда не имеешь в своем распоряжении таблиц или калькулятора. У меня появилось желание продолжить эту работу и узнать ещё приемы устного счёта. Я думаю, что моя работа не пройдет для меня зря, все полученные знания я смогу использовать при сдаче ГИА и ЕГЭ.

Список литературы

1. Глейзер, Г. И.  История  математики  в  школе. – М.: Просвещение, 1964. – 376 с.

2. Перельман Я. И. Занимательная арифметика: Загадки и диковинки в мире чисел. – М.: Издательство 1994. – С. 142-144.

3. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика /Глав. ред. Аксенова М. Д. – М.: Аванта+, 2003. – С. 130-131.

     4. Катлер, Э. Система быстрого счета по Трахтенбергу.  Мак–Шейн. 1967.

5. http://marketerka.livejournal.com/9154.html

          6. http://math-school.narod.ru/history_of_mathematics

Научно – практическая конференция учащихся

«В науку шаг за шагом».

Необычные способы умножения.

                                                        Выполнен учеником

                                                        7 «А» класса

                                                        МБОУ «СОШ № 2»

                                                        Агафуровым Максимом.

                                                        Руководитель –

                                                        учитель математики

                                                        Лукьянова Ольга Алексеевна.

Донской, 2013 г.