Золотое сечение

Муниципальное казенное образовательное учреждение

Милюковская  основная общеобразовательная школа

Шуйского муниципального района Ивановской области

____________________________________________________________

155938 Ивановская область, Шуйский район, д. Милюковка,  д.70

( 8 – ( 49- 351) 36-749 < E mail milukovka_school@mail.ru

Золотое сечение

Секция математическая

                                                                            Работу выполнил: ученик 9 класса

                         Краснов Юрий

                         Руководитель:

                                   учитель математики

                                                   Васильева Ирина Алексеевна

2012-2013 уч.г.

Золотое сечение

Сегодня мы познакомимся с необычной пропорцией, которую называют  золотым сечением и даже “божественной пропорцией”.

«Геометрия владеет двумя

сокровищами –  теоремой Пифагора и золотым сечением,

и если первое из них можно

сравнить с мерой золота,

 то второе – с драгоценным камнем…»

                                       Иоганн Кеплер

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в книге Евклида  «Начала».  Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались многие ученые. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

Так что же такое «золотое сечение»?

Золотое сечение – гармоническая пропорция

В математике пропорцией называют равенство двух отношений: a : b = c : d.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

1) на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС  - это пропорция.

2) на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);

3) таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.

Последнее деление и есть золотое сечение.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или наоборот, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

Построение отрезка в золотой пропорции

Чтобы разделить отрезок в золотой пропорции, пользуются циркулем и линейкой.

1)Для этого строят прямоугольный треугольник, у которого один катет в два раза больше другого BC = 1/2 AB,

2) с помощью циркуля отложим отрезок CD=CB,

3) с помощью циркуля отложим отрезок AE=AD.

Полученная при этом точка  Е  делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Если высоту человека принять за 1, а больший отрезок обозначить через Х, то меньший отрезок будет равен

Х-1 . Получаем  пропорцию                  1:Х=Х:(1-Х).

Решив это уравнение, 

 получим иррациональное

число  0,618… (1, 618)

Это число Ф (фи) – названо в честь древнегреческого скульптора Фидия.

Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям

Упрощенно такое соотношение можно представить как 2/3 или 3/5. Замечено, что объекты, содержащие в себе "золотое сечение", воспринимаются людьми как наиболее гармоничные.

Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, т.е. отношение ширины к длине даёт число φ, называется Золотым прямоугольником.

Равнобедренный треугольник, основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении:  называется золотым.

Правильный пятиугольник называют еще пентагоном.

Если в пентагоне провести все диагонали, то в результате  получим пятиугольную звезду – пентаграмму.

Точки пересечения диагоналей в пентаграмме являются точками золотого сечения диагоналей (отношение синего отрезка к зелёному, красного к синему, зелёного к фиолетовому, равны 1.618). При этом эти точки пересечения диагоналей образуют новую пентаграмму.

Здание военного ведомства США имеет форму правильного пятиугольника и поэтому получило название «Пентагон».

Золотое сечение в природе

Идеальным, совершенным считается тело, пропорции которого составляет золотое сечение. Основные пропорции были определены Леонардо да Винчи, и художники стали сознательно их использовать.

       Основное деление человеческого тела – это деление точкой пупа. Отношение расстояния от пупа до ступни к расстоянию от пупа до макушки составляют золотое.

Все кости человека выдержаны в пропорции золотого сечения.  Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению.

Очень совершенна форма стрекозы, которая создана по законам золотой пропорции: отношение длины хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

Многие насекомые в горизонтальном разрезе имеют простые асимметричные формы, основанные на золотом сечении.

      У живородящей ящерицы длина ее хвоста относится к длине остального тела в золотой пропорции.

Линия,  проведенная по наиболее широкому месту яйца, делит его на части «a» и «b» так, что часть «а» относится к части «b» в золотой пропорции.

 Рассматривая расположение листьев на общем стебле, растений можно заметить, что между двумя парами листьев (А и С) Третья расположена в месте золотого сечения (в точке В)

Золотое сечение в архитектуре

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).

Шедеврами архитектуры являются многие русские храмы.

Перед вами Храм Василия Блаженного на Красной площади.

А это Собор Нотрдам де Пари в Париже.

Золотое сечение в живописи

В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников.

Например, в большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении, близком к коэффициенту золотого сечения.

А, выбирая размеры самой картины, старались, чтобы ее стороны находились в золотом отношении.

Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».

Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на"золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).

Золотое сечение в литературе

Одним из ярких примеров золотого сечения в литературе служит роман  А.С.Пушкина “Евгений Онегин”. "Кульминацией 8 главы является объяснение Евгения в любви к Татьяне - строка "Бледнеть и гаснуть ... вот блаженство!". Эта строка делит всю восьмую главу на две части - в первой 477 строк, а во второй - 295 строк. Их отношение равно 1,617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции! Это великое чудо гармонии, совершенное гением Пушкина!".

Золотое сечение в музыке

В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого «кульминационного взлета», высшей точки, причем такое построение характерно не только для произведения в целом, но и для его отдельных частей. Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения, обычно она смещена. Изучая  мелодии Бетховена, Шопена, Скрябина, было установлено, что во многих из них вершина, или высшая точка, находится в точке золотого сечения.

Золотое сечение пронизывает всю историю искусства: пирамиды Хеопса, знаменитый греческий храм Парфенон, большинство греческих скульптур памятников, непревзойденная Джоконда Леонарда да Винчи, картины Рафаэля, Шишкина, этюды Шопена, музыка Бетховена, Чайковского, стихи Пушкина … вот далеко не полный перечень выдающихся произведений искусства, наполненных чудесной гармонией основанной на золотом сечении.