Пирамида

СОДЕРЖАНИЕ:

• ВВЕДЕНИЕ………………………………………………..3
• ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О ПИРАМИДЕ…….4
• ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ ……………………………………5-20
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………..21-23
• РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ………………………………………24-33
• ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА……………………34

ВВЕДЕНИЕ

Пирамиды – одно из семи чудес света.… Как загадочны эти фигуры! Сколько тайн хранят они в себе! Мне захотелось узнать об этих тайнах, и я решила изучить свойства этой необычной фигуры подробнее, ведь тема «Пирамиды» затрагивает глубокие аспекты современных научных дисциплин и является одной из наиболее актуальных для пытливых умов современных ученых. Пирамиды представляют интерес для математиков, историков, физиков, биологов, медиков, философов. Чем больше мы узнаем о пирамидах, тем больше у нас возникает вопросов. Хотя не стоит забывать и о том, что пирамиды таят в себе ответы на огромное количество вопросов, которыми сейчас задается наука.

Пирамиды, несмотря на свою древность, могут многому нас научить. Исследованием пирамид с использованием новейших приборов занимались американцы, японцы. Пирамиды снимали со спутников. Американская станция "Маринер"' передала фотографии с Марса, на которых изображены такие же пирамиды, что наводит на мысль об их внеземном происхождении. Так что же такое пирамиды? Для ответа на этот вопрос возникают следующие цели и задачи.

ЦЕЛИ: 1. Систематизировать и расширить знания о пирамиде.

             2. Обобщить материал школьного курса о тетраэдре и изучить            

                 свойства тетраэдров, обладающих специальными свойствами.

ЗАДАЧИ:  1. Исследовать данную тему с использованием специальной

                       литературы;

                   2. Развивать практические умения и навыки, применяя изученные

                       свойства.

                   3. Рассмотреть примеры применение пирамид в современной  

                       жизни.

ГИПОТЕЗА: Предположить  и  доказать  многообразие свойств пирамиды и            

                      тетраэдра, применение этих свойств  для решения задач, для        

                       использования в различных областях жизнедеятельности    

                       человека.

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О ПИРАМИДЕ

Усыпальницы египетских фараонов. Крупнейшие из них — пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина в Эль-Гизе в древности считались одним из Семи чудес света. Пирамиды выстроены на левом — западном берегу Нила (Запад — царство мертвых) и возвышались над всем городом мертвых — бесчисленными гробницами, пирамидами, храмами.
     Все пирамиды точно сориентированы по сторонам света, что свидетельствует о высоком уровне астрономических знаний древних египтян, расчет углов наклона граней совершенно безукоризнен. Самая большая из трех — пирамида Хеопса (зодчий Хемиун, 27 в. до н. э.). Ее высота была изначально 147 м, а длина стороны основания — 232 м. Для ее сооружения потребовалось 2 млн. 300 тыс. огромных каменных блоков, средний вес которых 2,5 т. Плиты не скреплялись строительным раствором, лишь чрезвычайно точная подгонка удерживает их. В древности пирамиды были облицованы отполированными плитами белого известняка, вершины их были покрыты медными листами, сверкавшими на солнце (известняковую обшивку сохранила только пирамида Хеопса, покрытие других пирамид арабы использовали при строительстве Белой мечети в Каире).
    В пирамиде Хеопса угол наклона таков, что высота пирамиды равна радиусу воображаемой окружности, в которую вписано основание пирамиды.
Замечательной инженерной находкой древних зодчих и строителей было сооружение в толще каменной кладки над погребальной камерой пяти разгрузочных камер, с помощью которых удалось снять и равномерно распределить колоссальную нагрузку на ее перекрытия. Сооружения в Эль-Гизе своей грандиозностью и видимой бесполезностью поражали воображение уже в древности, что лучше всего передает арабская пословица: «Все на свете боится времени, но время боится пирамид».

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

     Многие ученые предполагали различные трактовки определения пирамиды, например пирамиду Евклид определяет как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся в одной точке (вершине).

     Герон предложил следующее определение пирамиды: это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, и основанием которой служит многоугольник.

 Тейлор определил пирамиду как многогранник, у которого все грани, кроме одной, сходятся в одной точке.

 Лежандр в “Элементах геометрии” так определяет пирамиду: “Телесная фигура, образованная треугольниками, сходящимися в одной точке и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания”.

Чаще всего сталкиваемся со следующим определением:

        Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника — основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания,— вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания (рис. 1).

Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.

Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань — треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды.

Высотой пирамиды, называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

У пирамиды, изображенной на рисунке 1, основание — многоугольник А1А2 …An, вершина пирамиды – S, боковые ребра — SА1, S А2, …, S Аn, боковые грани – SА1А2, SА2А3, ... .

Мы будем рассматривать только пирамиды с выпуклым многоугольником в основании. Такие пирамиды являются выпуклыми многогранниками.

Построение пирамиды и ее плоских сечений

В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение пирамиды строится следующим образом. Сначала строится основание. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем отмечается вершина пирамиды, которая соединяется боковыми ребрами с вершинами основания. На рисунке 1 показано изображение пятиугольной пирамиды.

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники (рис. 2). В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды (рис. 3).

Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью.

Если на грани, не параллельной следу g, известна какая-нибудь точка А, принадлежащая сечению, то сначала строится пересечение следа g секущей плоскости с плоскостью этой грани — точка D на рисунке 4. Точка D соединяется с точкой А прямой. Тогда отрезок этой прямой, принадлежащий грани, есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если точка А лежит на грани, параллельной следу g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному прямой g. Переходя к соседней боковой грани, строят ее пересечение с секущей плоскостью и т. д. В итоге получается требуемое сечение пирамиды.

На рисунке 5 построено сечение четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку А на одном из ее боковых ребер.

        Усеченная пирамида

T е о р е м а :  Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду.

Доказательство. Пусть S — вершина пирамиды, А — вершина основания и А'— точка пересечения секущей плоскости с боковым ребром SA (рис. 6). Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии относительно вершины S с коэффициентом гомотетии

k= SA'/ SA

При этой гомотетии плоскость основания переходит в параллельную плоскость, проходящую через точку А', т. е. в секущую плоскость, а следовательно, вся пирамида — в отсекаемую этой плоскостью часть. Так как гомотетия есть преобразование подобия, то отсекаемая часть пирамиды является пирамидой, подобной данной. Теорема доказана.

По теореме  плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды и пересекающая ее боковые ребра, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой (рис. 7). Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями; остальные грани называются боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные (более того, гомотетичные) многоугольники, боковые грани — трапеции.

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту. Очевидно, у правильной пирамиды боковые ребра равны; следовательно, боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины, называется апофемой. Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Т е о р е м а . Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

Доказательство. Если сторона основания а, число сторон п, то боковая поверхность пирамиды равна:

(а1/2)ап=а1п/2= р1/2'

где I — апофема, a p — периметр основания пирамиды. Теорема доказана.

Усеченная пирамида, которая получается из правильной пирамиды, также называется правильной. Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные равнобокие трапеции; их высоты называются апофемами.

Площадь и объём  пирамиды

  Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле:
Sполн = Sбок + Sосн

Если пирамида неправильная, то ее боковая поверхность будет равна сумме площадей ее боковых граней.

               Площадь боковой и полной поверхности усеченной пирамиды

                 Теорема: Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
Дано: n-угольная правильная усеченная пирамида, l – апофема, p и p1 – периметры оснований.

Доказать: Sбок = (p+p1) l 

Доказательство: В правильной усеченной пирамиде все боковые грани – равные между собой трапеции. Пусть основания трапеции a и a1, ее высота k, тогда

 Sгр. = (a + a1) l,

таких граней n, следовательно,

Sбок = n (a + a1) l = (na + na1)l, т.е. Sбок = (p+p1)l

Теорема доказана.

            Измерение объема пирамиды

   Пусть SABC – треугольная пирамида с вершиной S и основанием ABC. Дополним эту пирамиду до треугольной призмы с тем же основанием и высотой (рис. 8). Эта призма составлена из трех пирамид: данной пирамиды

Рис.8

SABCD и еще двух треугольных пирамид SCC1B1 и SCBB1.
У второй и третьей пирамид равные основания – CC1B1 и B1BC и общая высота, проведенная из вершины S. Поэтому у них равные объемы.
У первой и третьей пирамид тоже равные основания – SAB и BB1C и совпадающие высоты, проведенные из вершины C. Поэтому у них тоже равные объемы. Значит, все три пирамиды имеют один и тот же объем. Так как сумма этих объемов равна объему призмы, то объемы пирамид равны SH/3. Итак, объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:
V = 1/3SH

Пусть теперь имеем любую, не обязательно треугольную пирамиду. Разобьем ее основание на треугольники 1, 2, …n . Пирамиды, у которых основаниями являются эти треугольники, а вершинами – вершина данной пирамиды, составляют данную пирамиду. Объем данной пирамиды равен сумме объемов составляющих ее пирамид. Т.к. все они имеют ту же высоту H, что и данная пирамида, то объем ее равен:
V = 1/3H (S1 + S2 + …Sn) = 1/3SH. 

Итак, объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.
                                                     V = 1/3SH

               Объем усеченной пирамиды

 
Пусть дана усеченная пирамида с высотой h и площадями оснований S1 и S2. Если представить себе, что она продолжена до полной пирамиды, то коэффициент подобия полнорй пирамиды и малой пирамиды легко найти, как корень из отношения S2/S1. Высота усеченной пирамиды выражается как h = h1 - h2 = h1(1 - k). Теперь имеем для объема усеченной пирамиды (через V1 и V2 обозначены объемы полной и малой пирамид)

формула объема усеченной пирамиды.

   Выведем формулу площади S боковой поверхности правильной усеченной пирамиды через периметры Р1 и Р2 оснований и длину апофемы а. Рассуждаем точно так же, как и при выводе формулы для объема. Дополняем пирамиду верхней частью, имеем P2 = kP1, S2=k2S1, где k - коэффициент подобия, P1 и P2 - периметры оснований, а S1 и S2 - площади боковых поверхностей всей полученной пирамиды и её верхней части соответственно. Для боковой поверхности найдем (а1 и а2 - апофемы пирамид, а = а1 - а2 = а1(1-k))

формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

 Изо всех рассмотренных пирамид наибольший интерес у меня проявляется к простейшей треугольной пирамиде, называемой тетраэдром. Слово «тетраэдр» образовано из двух греческих слов: tetra – «четыре» и hedra – «основание, грань».

Тетраэдр – это многогранник с наименьшим числом граней. Отрезки, соединяющие вершину тетраэдра с вершинами его основания, называются боковыми ребрами тетраэдра (рис. 9) – PA, PC, PB. Перпендикуляр, опущенный из вершины тетраэдра на  плоскость его основания, называется высотой тетраэдра – PO. Длину этого перпендикуляра также называют высотой тетраэдра.

Геометрия тетраэдра не менее богата, чем геометрия его плоского собрата - треугольника, многие свойства которого в преображенном виде можно найти у тетраэдра. Немало общего имеет тетраэдр и с четырёхугольником - ведь у обоих по четыре вершины. Подобно треугольникам, тетраэдры можно классифицировать по степени их симметричности. Равнобедренному треугольнику отвечает правильная треугольная пирамида.

Правильная треугольная пирамида переходит сама в себя при поворотах вокруг высоты на 120° и 240°, а также при симметриях относительно плоскостей, проходящих через ось и боковые рёбра. Термин "правильный тетраэдр" обозначает частный случай правильной треугольной пирамиды - тетраэдр, у которого все рёбра равны, т.е. все грани - равносторонние треугольники. Такой тетраэдр обладает наибольшим возможным набором самосовмещений. Имеется 12 поворотов, переводящих его в себя, 6 симметрий относительно плоскостей и ещё 6 движений, сочетающих поворот с симметрией.

Правильный тетраэдр - не что иное, как "стереометрический близнец" самого симметричного треугольника - правильного. Вспомним некоторые теоремы из геометрии треугольника и посмотрим, какие из них можно перенести на тетраэдр.

Медианы  и бимедианы тетраэдра

Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точка пересечения медиан треугольника) противолежащей грани, называется медианой этого тетраэдра.

Теорема. Все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и эта точка делит каждую из медиан в отношении 3:1, считая от вершин.

Доказательство. Проведем доказательство этой теоремы с помощью векторов. Пусть Н1, Н2, Н3, Н4 – центроиды граней соответственно ABC, ABP, BCP, ACP; M – точка, делящая медиану PН1 тетраэдра PABC в отношении PM : MН1 = 3 : 1(рис.10 ). Тогда PM : PH1 = 3 : 4, откуда               PM = 3/4PН1.

Для любой точки О пространства и центроида Н1 грани ABC выполняется    =  1/3 (++)

Тогда OM = OP + PM  = OP + 3/4PН1 = OP + 3/4OН1 – 3/4OP = 1/4OP + 3/4*1/3( OA + OB + OC ) = ¼(OA + OB + OC + OP).

Аналогично доказывается, что для точек K, T и F, делящих медианы CH2, AH3, BH4 тетраэдра в отношении 3 : 1, считая соответственно от вершин C, A и B, выполняется  OK = OT = OF = OM = ¼(OA + OB + OC + OP).

Это означает, что точки M, K, T и F совпадают, т.е. все четыре медианы PH1, CH2, AH3 и BH4 тетраэдра пересекаются в одной точке M  и делятся этой точкой в отношении 3 : 1, считая от соответствующей вершины, что и требовалось доказать.

Рис.10

Отрезок, соединяющий середины противоположных ребер тетраэдра, называется бимедианой тетраэдра.

Теорема. Все бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Доказательство. Пусть точки T, K, L, F, N, H – середины ребер соответственно AB, BC, CA, PA, PB, PC  тетраэдра PABC (рис. 11). Тогда отрезки FK, TH и NL  - бимедианы данного тетраэдра. Докажем, что середины всех этих трех отрезков совпадают.

Так как FH и TK  - средние линии треугольников соответственно APC и ABC,    то FHAC,     FH = ½ AC  и  TKAC,    TK  = ½ AC,   откуда FH = TK  и FHTK. Это означает, что четырехугольник TKHF – параллелограмм, а бимедианы FK и TH  данного тетраэдра являются диагоналями этого параллелограмма, поэтому они точкой  М их пересечения делятся пополам.

Аналогично FN = KL и FNKL ( как средние линии треугольников PAB и CAB). Значит, четырехугольник LKNF – параллелограмм, и его диагонали, которыми являются бимедианы FK и LN данного тетраэдра, делятся точкой их пересечения пополам. Пусть M1  = FK  LN.

Так как серединой отрезка FK является точка М и любой отрезок имеет лишь одну середину, то точка M1 совпадает с точкой М. Это означает, что точка М является серединой и отрезка LN. Таким образом, в точке М пересекаются все три бимедианы тетраэдра PABC и делятся этой точкой пополам. Теорема доказана.

  рис.11

Точка пересечения медиан тетраэдра совпадает с точкой пересечения его бимедиан.

Доказательство. Пусть отрезок KF – бимедиана тетраэдра PABC; H1, H2 – центроиды его граней  соответственно ABC и PBC; М  - точка пересечения его медиан AH2 и PH1 ( рис. 12 ).

Так как AH1 : H1K = PH2 : H2K =  2 : 1, то в плоскости APK по теореме Фалеса H1H2 AP. Значит, APH2H1 – трапеция, диагоналями которой служат медианы AH2 и PH1 данного тетраэдра. По теореме о четырех точках трапеции точка К пересечения продолжений боковых сторон AH1 и PH2 трапеции  APH2H1, точка М пересечения ее диагоналей AH2 и PH1, середины О и F ее оснований H1H2   и  AP лежат на одной прямой. Это означает, что точка М пересечения медиан тетраэдра PABC лежит на его бимедиане KF.

Далее, так как H1H2 AP и AH1 : H1K = PH2 : H2K =  2 : 1, то треугольники KH1H2  и  KAP гомотетичны ( К  - центр гомотетии), при этом

KH2 : KP = 1 : 3  KO : KF = 1 : 3  KO = 1/3KF.

Гомотетичными являются и треугольники MH1H2 и MPA (M – центр гомотетии), при этом MH2 : MA = 1 : 3  H2M : H2A = 1 : 4.

Значит, OM : OF = 1 : 4  MO = 1/4OF. Поэтому KM = KO + OM = 1/2OF + 1/4OF = 3/4OF. А так как AH1 = 2/3AK  и  H1H2 AP , то OF = 2/3KF. Тогда KM = 3/4OF = 3/4*2/3 KF = 1/2 KF.

Это означает, что точка М – середина бимедианы KF тетраэдра. Вследствие того, что середины всех трех бимедиан тетраэдра совпадают, приходим к выводу: точка М пересечения всех медиан тетраэдра PABC ( центроид тетраэдра PABC) является общей серединой  всех бимедиан этого тетраэдра, что и требовалось доказать.

  Рис.12

Тетраэдр и сферы

Любой треугольник имеет единственную вписанную и единственную описанную окружность. Точно так же у любого тетраэдра есть единственная вписанная (касающаяся всех граней, рис.13) и единственная описанная (проходящая через вершины, рис.14) сферы. Центр вписанной сферы равноудалён от всех граней и лежит на пересечении биссекторных плоскостей двугранных углов, образованных гранями (т.е. шесть биссекторных плоскостей проходят через одну точку), а центр описанной сферы равноудалён от всех вершин и лежит на пересечении перпендикуляров, восстановленных к граням из центров их описанных окружностей (т.е. четыре перпендикуляра также пересекаются в одной точке).

        рис.13                                                         рис.14

Но кроме граней и вершин тетраэдр имеет ещё и рёбра. Возникает вопрос: можно ли провести сферу, касающуюся всех его шести рёбер (её называют полувписанной)?...Иногда(рис.15). Здесь тетраэдр ведёт себя, как четырёхугольник, и условие существования полувписанной сферы повторяет признак описанного четырёхугольника: такая сфера существует тогда и только тогда, когда суммы длин каждой пары противоположных рёбер тетраэдра равны между собой. По сути дела, это всё тот же планиметрический признак, но применённый к пространственным четырёхугольникам - в данном случае четырёхугольникам, образованным двумя парами противоположных рёбер тетраэдра. Тетраэдры, имеющие полувписанную сферу, называются каркасными. Но вот довольно неожиданный факт: оказывается тетраэдр является каркасным тогда и только тогда, когда суммы его противоположных двугранных углов равны!

рис.  15                                                                                                                                  

Параллелепипед, описанный около тетраэдра.

Не менее интересен следующий факт.

Пусть дан тетраэдр A1C1BD. Мы знаем, что через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести единственную плоскость, параллельную другой прямой. Проведем через каждое ребро данного тетраэдра плоскость, параллельную скрещивающимся с ним ребру.

                                                                                              рис.16

Проведенные три пары параллельных плоскостей при взаимном пересечении образуют некоторый параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (рис.16), который называется описанным около данного тетраэдра A1C1BD. Ребра данного тетраэдра являются диагоналями граней параллелепипеда, а середины ребер тетраэдра – центрами этих граней. Но отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра – это его бимедианы. Отсюда следует, что все бимедианы тетраэдра проходят через центр О параллелепипеда делятся этим центром пополам. Это означает, что центр параллелепипеда, описанного около тетраэдра, совпадает с центроидом данного тетраэдра.

Параллельные грани ABCD и A1B1C1D1 этого параллелепипеда содержат скрещивающиеся ребра A1C1  и  BD данного тетраэдра A1C1BD. Это означает, что расстояние между основаниями ABCD и A1B1C1D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равно его высоте h  и равно расстоянию между скрещивающимися ребрами A1C1  и  BD тетраэдра A1C1BD.

Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 можно разбить на 5 тетраэдров – данный тетраэдр A1C1BD и ещё четыре тетраэдра: A1ABD; BB1A1C1; C1CBD; DD1A1C1.  Объём  каждого из четырех последних  тетраэдров равен одной трети высоты h параллелепипеда, умноженной на половину площади его основания ABCD, т.е. одной шестой части объёма V полученного параллелепипеда.

Таким образом,

                V A1C1BD = V – 4*1/6V = 1/3V = 1/3 h* SABCD  = 1/3h*(1/2AC * BD * sin ) = 1/6h * A1C1 * BD * sin ,

где   - угол между диагоналями AC и BD параллелограмма ABCD. А так как ACA1C1,  ТО ВЕЛИЧИНА УГЛА МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ диагоналями A1C1  И  bD ТЕТРАЭДРА A1C1BD ТАЖЕ РАВНА .

Получим: V A1C1BD = 1/6h * A1C1 * BD * sin .

Объём тетраэдра равен одной шестой произведения длин любых двух его скрещивающихся ребер, расстояния между ними и синуса угла между прямыми, содержащими эти ребра.

Ортоцентрический тетраэдр

Медианы тетраэдра "ведут себя примерно" - как и в треугольнике, они всегда проходят через одну и туже точку. Иначе обстоит дело с высотами - перпендикулярами, опущенными из вершин тетраэдра на противоположные грани. Высоты треугольника пересекаются в одной точке - ортоцентре. То же верно и для некоторых тетраэдров, в частности для правильных треугольных пирамид.

И всё же ортоцентр  существует у достаточно широкого класса тетраэдров. Они так и  называются – ортоцентрические  тетраэдры.

Тетраэдр, все четыре высоты которого пересекаются в одной точке, называется ортоцентрическим тетраэдром. Точка, принадлежащая всем четырем его высотам, называется ортоцентром этого тетраэдра.

Любой из них  можно получить,  взяв  в качестве основания  произвольный  треугольник и соединив его вершины с любой  точкой на перпендикуляре к его плоскости, восстановленном из его ортоцентра (рис.17). И обратно, основания всех высот ортоцентрического тетраэдра - ортоцентры его граней. Приведём несколько критериев (т.е. необходимых и достаточных условий) ортоцентричности:

1) тетраэдр является ортоцентрическим тогда и только тогда, когда его противоположные рёбра перпендикулярны;

2) середины всех шести рёбер лежат на одной сфере;

3) все рёбра описанного параллелепипеда равны;

4) суммы квадратов противоположных рёбер равны.

Об одном виде ортоцентрических тетраэдров стоит сказать отдельно - о тетраэдре, в вершине которого  сходятся три взаимно перпендикулярных ребра. Очевидно, эта вершина H и будет его ортоцентром.

Такой тетраэдр называется прямоугольным. Для него выполняется своего рода "теорема Пифагора": если S1, S2 и S3 - площади его прямоугольных граней ("катетов"), а S - площадь четвёртой грани ("гипотенузы"), то 

S2= S12+S22+ S32.

В самом деле, проекции трёх "катетов" на "гипотенузу" разбивают её на три треугольника. Поскольку при проекции площадь фигуры умножается на косинус угла между её плоскостью и плоскостью проекции, то 

S= S1 cos α1 +S2 cos α2 +S3 cos α3, (*)

где α1 - угол между плоскостями "гипотенузы" и соответствующего "катета". В то же время каждый из "катетов" совпадает с проекцией "гипотенузы" на его плоскость, поэтому 

cos α = Si /S. Остаётся подставить выражения косинусов через площади в уравнение (*).

Свойства ортоцентрического тетраэдра:

10. В ортоцентрическом тетраэдре противоположные ребра в каждой из трех пар взаимно перпендикулярны;

20. Основания высот ортоцентрического тетраэдра являются ортоцентрами его граней;

30. В ортоцентрическом тетраэдре равны суммы квадратов длин пар противоположных ребер;

40. В ортоцентрическом тетраэдре все бимедианы равны.

Равногранный тетраэдр 

    Как мы определяем правильный, или равносторонний, треугольник? Естественно, как треугольник, все стороны которого равны. А что такое "стороны" тетраэдра? Если считать, что это рёбра, то аналогичное стереометрическое определение приведёт к понятию правильного тетраэдра. Но, может быть, "сторонами" тетраэдра следует считать его грани? Тогда мы приходим к следующему определению: тетраэдр, все грани которого равны (т.е. являются равными треугольниками), называется равногранным. (рис.18)

На первый взгляд равногранный тетраэдр – это правильный тетраэдр, и никакой другой.  В действительности гранью равногранного  тетраэдра может быть любой остроугольный  (и только остроугольный) треугольник.

Перечислим важнейшие свойства равногранных тетраэдров. Первые два свойства указывают и общий способ их построения:

1. описанный параллелепипед равногранного тетраэдра - прямоугольный;
2. развёртка тетраэдра, полученная при разрезании его по трём сходящимся в одной вершине рёбрам,- треугольник, этот треугольник должен быть остроугольным, потому что тупоугольный или прямоугольный при сгибании по средним линиям не сложится в тетраэдр;
3. набор самосовмещений произвольного равногранного тетраэдра не так богат, как у правильного тетраэдра; у него имеется три оси симметрии (это общие перпендикуляры, проведённые к противоположным рёбрам, они же бимедианы). Однако этих симметрий хватает, чтобы можно было совместить любые две указанные грани или вершины, но не рёбра;
4. все трёхгранные углы равны;
5. все медианы ( тетраэдра) равны;
6. все высоты ( тетраэдра) равны;
7. центры вписанной и описанной сфер и центроид совпадают;
8. радиусы описанных окружностей граней равны;
9. периметры граней равны;
10. площади граней равны.

    Замечательно, что все эти свойства равносильны друг другу и каждое из них в отдельности обеспечивает равногранность тетраэдра. Пожалуй, более всего впечатляет свойство 10: для равенства граней тетраэдра достаточно, чтобы было равны между собой их площади!

Правильный тетраэдр

Правильным тетраэдром называется тетраэдр, все грани которого – равные правильные треугольники ( рис. 19).

                          Правильный тетраэдр является и ортоцентрическим,
                                           и равногранным, поэтому он обладает всеми

        свойствами каждого из этих тетраэдров.

        Это означает, что в правильном тетраэдре:

                                  все боковые  ребра образуют с плоскостью основания равные

                           углы; все боковые грани правильного тетраэдра образуют

                                       с плоскостью основания равные двугранные        углы.

Вращающееся кольцо тетраэдров

Вращающееся кольцо тетраэдров:

1) может содержать n≥6 тетраэдров;

2) когда n чётно, фигура стремится принять симметричную форму;

3) особенно хороша форма при n=10;

4) когда n нечётно, из-за полного отсутствия симметрии картина становится, пожалуй, ещё более захватывающей;

5) при n≥22 кольцо может заузливаться.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Применение пирамид в современной жизни.

 Египетские жрецы использовали энергию Пирамид для духовного преобразования людей. Избранные, допущенные в Пирамиду, получали там «Второе рождение».

 А как – же наши технологии, наука и все человечество сумели применить на практике столь Возвышенные знания Пирамид?

 Несомненным, является традиция, практически у всех народов в архитектурном решении при строительстве церквей, храмов и мечетей в форме пирамид.

 Пирамидальные крыши домов и хат, как и шатры древних кочевников, сохраняют глубинные знания о пользе формы для жизни и здоровья их обитателей. А тот факт, что в деревнях жители сохраняли мясо, колбасы, рыбу и сыры не в холодных погребах, а на чердаках, под соломенными крышами, заслуживает современного осмысления. Продукт как бы вялился и сублимировался, при этом отсутствовали гнилостные процессы, и происходило его обеззараживание.

 В ХIХ веке в России, неподалеку от города Торжка в имении графа Львова была построена каменная Пирамида высотой 11 метров . Но уже не с целью ритуалов и высоких Божественных практик, а с конкретным земным и практическим применением. Данная Пирамида была задумана и исполнена как винные погреба и вина из Пирамиды графа Львова славились в окрестных губерниях.

 Дело в том, что эффект формы Пирамиды создает силовые поля ускоряющие процессы жизнедеятельности. Вино, являясь органическим веществом, обилует микроэлементами, жизнедеятельность которых и отвечает за созревание и старение винных качеств. А отсюда и вкус, а поэтому и выдержка в винах из погребов Пирамиды!

 В середине ХХ века русский ученый М. В. Сарятин исследовал Пирамиды Египта и перешел к практике. Его опыты показали, что «излучаемая Пирамидой радиация обладает чрезвычайно сильным воздействием на человеческое тело».

  Поле Пирамиды способно исцелять ткани, пораженные раком и обновлять мертвые ткани человека. При этом применяется батарея, состоящая из четырех элементов, обрамленных 10 – сантиметровой полусферой из красного дерева. Затем – аналогичное количество Пирамид, поставленных друг на друга. Уже сама форма этих Пирамид позволяет им служить гальваническим элементом. 

Сарятин обнаружил, что в пучке зеленого излучения Пирамиды есть исцеляющие лучи, вылечивающие туберкулез и другие болезни.

  В медицинской клинике профессора Гарсфиса в Калифорнии (США), к потолку в палатах подвешены 72 Пирамиды, выполненные из алюминиевых прутиков. Подобное ноу-хау ускоряет процесс выздоровления пациентов.

 Из работ болгарского ученого Милева, было установлено, что Пирамидки, ориентированные на север – юг, устраняют вредное излучение геопатогенных зон.

 Наибольшую известность и резонанс в научных кругах получили работы московского исследователя Пирамид А.Е.Голод. Александром Голодом и его научной группой были построены десятки Пирамид особой формы во многих меcтах Планеты. Но наиболее известны 22 метровая Пирамида из пластика на берегу озера Селигер и Пирамида под Москвой высотой 44 метра .  Наличие данных действующих лабораторий в форме Пирамид «Золотого сечения» позволило проводить научные изыскания и эксперименты целому ряду институтов в различных областях науки.

Вот, что говорит сам Голод: «В зоне воздействия Пирамиды проявляются явления, которые сегодня можно отнести к феноменологии. Даже при морозе в 40 градусов  внутри Пирамиды не замерзает обычная вода. При резком встряхивании бутылки с такой переохлажденной водой, она замерзает за 2-3 секунды. Существенно меняют свои физические и химические свойства многие вещества: полупроводники, углеродные материалы и др. При этом удивительно то, что эти вещества как бы оживают. Их свойства изменяются во времени по синусоидальному закону с достаточно большой амплитудой.

   Происходит спонтанная зарядка конденсаторов, изменяется температурный порог сверхпроводимости, изменяется масштаб физического времени. Под воздействием поля Пирамиды в несколько раз изменяется вес физических тел.

  ПРЕДЛАГАЮ ПРОСТРАНСТВЕННО-ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ ЖИЗНИ,  СТРАТЕГИЮ  и  АЛГОРИТМ ЕЕ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ
Феноменологию жизни можно представить в виде египетской Пирамиды, включающей следующие составляющие (см. рис.1):
- Основание, ее фундамент (fundament);
- Центральная ось (conscious, t-время);
- Вершина  (apex).
- Грани Пирамиды:
-  Личность или «власть» (a)
-  Социум (b)
-  Экология (c)
         -  Экономика (d)
 

 Основанием пирамиды является ГЕНОФОНД ЖИЗНИ - совокупность всех генов всего живого, от вируса до человека. При желании его можно сосчитать. Скажем, известно, что у человека 46 хромосом, в которых содержится 3 млрд. нуклеотидов. Генотип каждого живого существа известен, и можно с уверенность сказать, что и генофонд Жизни не представляет никакой тайны.
Центральная ось пирамиды - СОЗНАНИЕ жизни с временным вектором развития, устремленным к вершине. Чем выше по оси к вершине, тем выше сознание, тем меньше степень разрушения жизни. В самом низу – пещерное сознание животного, инфузории, микроба…
Вершина пирамиды – ТОЧКА АБСОЛЮТНОЙ ГАРМОНИИ, соединения всех граней пирамиды, точка совершенства (условно – Человек Совершенный, трон Иисуса).
Грань «ЛИЧНОСТЬ» или «ВЛАСТЬ».
Грань «СОЦИУМ» включает иерархически упорядоченные сообщества, объединяемые по самым разным целям и признакам, образующие социальные «человейники» (например, партии), живущие по социальным законам (законы Мерфи, Паркинсона, Карнеги, закон альтруистического эгоизма, Закон Божий…). 
«Грань «ЭКОЛОГИЯ» - состояние живой и неживой материи, растительный и животный мир, их взаимоотношения, антропогенное загрязнение окружающей среды, защита от загрязнения и устойчивое развитие, поиск гармонии отношений между человеком и природой.
Грань «ЭКОНОМИКА» - потоки материальных благ. Деньги - эквивалент любого вида деятельности, состоятельности, богатства, власти, всего материального. Перераспределение благ обусловливает борьбу за существование среди людей. Законы экономики определяют справедливость и несправедливость.
ПИРАМИДА – ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЖИЗНИ, (БРЭНД). Все ее составляющие формализованы, их можно выразить количественно (квантифицировать), а значит подвергать количественному анализу, сопоставлять, использовать для управления. На известном расстоянии от основания вверх по центральной оси находится место устойчивой жизни (site vita sustanable, SVS), “золотая середина”…
Предлагаемая  пространственная  модель жизни в виде четырехгранной пирамиды, составляющие которой включают весь арсенал знаний о состоянии генофонда жизни, сознания, личности (власти), социума, экологии и экономики, путях ее развития и совершенствования, является ярким олицетворением жизни - явления, представленного как материальными (ген, клетка, особь…) так и духовными (честь, совесть, любовь, совершенство) составляющими.
 

ПРИЛОЖЕНИЕ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Задача по теме: «Сечение плоскостью».

  Изобразите тетраэдр DABC и отметьте точки M и N на ребрах BD и CD и внутреннюю точку К  грани ABC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.

Решение:

   Обозначим секущую плоскость буквой a.  Тогда Ma,  Na, MCDB, NCDB, aCDB=MN.

   Возможны два случая: 1) MNBC=P,  2) MNBC. Рассмотрим их раздельно.

1. Проводим прямую MN. Pa ,  Ka , PABC, KABC, a ABC=PK. Проводим прямую PK. Пусть она пересекает сторону AC  и AB в точках E и F. Проводим отрезки NE и MF. Искомое сечение – четырехугольник MNEF.
2.  Через точку K проводим EFBC. Проводим отрезки NE и MF. Искомое сечение - четырехугольник MNEF.

 Задача по теме: «Усеченная пирамида».

 Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 дм и 2 дм, а боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту и апофему пирамиды.

Решение:

Пусть O и O1 – центры оснований усеченной пирамиды.

1. Из ABC получаем: AB = R, где R = AO, откуда AO = , OK = =.
2. Из A1B1C1 находим: A1O1 = , O1M = .
3. EK = OK – OE, OE = O1M, отсюда EK =  -  = .
4. Из AA1F имеем: AF = AO – FO,  FO = A1O1.  AF = - = . (A1F)2 = AA12 – AF2 =  =  = .
5. Из MEK получаем: MK2 = ME2 + EK2 =  =  =.

 Ответ: дм,   дм.

Задача по теме: «Правильная пирамида».

 Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона ее основания  a, а площадь боковой грани равна площади сечения, проведенного через вершину пирамиды и большую диагональ основания.

Решение:

1. SASB=1/2*AB*h, Sсеч = ½*FC*SO, по условию задачи SASB=Sсеч, следовательно  ½*AB*h=FC*1/2SO

AB*h=FC*SO

a*h=2*a*SO

h=2*SO

SO=1/2*h

2. По теореме Пифагора из SOK  найдём  h

SO2+OK2=SK2

¼*h2+3/4*a2=h2

¾*h2=3/4*a2

h=a

3)     S бок=6*SASB

         S бок= 6* ½ a*a=3a2

ОТВЕТ:   Sбок=3a2

Задача по теме: «Площадь пирамиды».

 Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

1. Рассмотрим параллелограмм ABCD: AB=5; AD=4; BD=3, отсюда AB2=AD2+BD2, т.е. ABD – прямоугольный, D равен 900, BD – высота.

SABCD=AD*BD, SABCD=4*3=12 м2

c другой стороны SABCD=AB*h

                                   12 = 5*h

                                    h = 2,4 м

2)     Грани ASD и BSD – прямоугольные треугольники

         SASD=SBSD=1/2 *AD*SD

         SD===2,5 м

         отсюда SASD=SBSD=1/2 *4*2,5=5 м2.

           Грани ASB и DSC – остроугольные треугольники

        SASB=SDSC=1/2 *AB*SK

         SK===0,4 м

        отсюда SASB=SDSC=1/2 *5*0,4* = м2

3)     Sпол=2*SASB+Sосн

        Sпол=2*5+2*+12= (22+2)м2

ОТВЕТ:   Sпол = (22+2) м2

Задача по теме: «Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды ».

В правильную усеченную четырехугольную пирамиду с высотой боковой грани a можно вписать шар. Найдите площадь ее боковой поверхности.

Решение:

Пусть p и q – длины сторон оснований пирамиды. Тогда площадь боковой грани равна a(p+q)/2.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через центр вписанного шара перпендикулярно одной  из сторон основания. Это сечение является описанной трапецией с боковой стороной a и основаниями p и q.

Следовательно,  p + q = 2a.

             Поэтому  Sбок=4a2.

ОТВЕТ: Sбок=4a2.

Задача по теме: «Объём пирамиды».

   В треугольной пирамиде двугранные углы при ребрах основания равны a . Найдите ее объём, если длины рёбер основания равны a, b и c.

Решение:

Пусть h – высота пирамиды, V – ее объем, S – площадь основания.

Если a  - угол между плоскостями боковых граней и плоскостью основания, то расстояние от проекции вершины на плоскость основания до любой прямой, содержащей ребро основания, равно h*ctga. Согласно этому h = r * tga, где r – радиус вписанной окружности основания. Следовательно,

VSABC=S*h/3

VSABC=S*r*tga/3

VSABC=S2*tga/3p

VSABC = (p-a)*(p-b)*(p-c)* tga/3, где p = (a + b + c)/2.

ОТВЕТ: VSABC = (p-a)*(p-b)*(p-c)* tga/3.

Задача по теме: «Объём усеченной пирамиды».

          Основания усеченной пирамиды – равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны m и n (m>n). Две боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны к основанию, а третья составляет с ним      угол  . Найдите объём усеченной пирамиды.

ДАНО:

ACBA1B1C1- усеченная пирамида

ABC и A1B1C1- прямоугольные

AC=CB, A1C1=C1B1

AB=m, A1B1=n

НАЙТИ:

Vусеч. пирамиды

Решение:

1. Построим C1MA1B1 и CNAB, отрезок MN. Так как  ABCN и ABC1C, то плоскость C1CNMAB, MNAB, MN – апофема.
2. Проведем MTCN, MT – высота пирамиды. MNT= - линейный угол двугранного угла MABC.
3. C1M=MB1=

CN=NB=

TN=CN-C1M=-=

В MTN:  = tg

   MT = TN* tg =  * tg

   AB = AC*, m = AC*, AC =

    SABC = ½ * m2/2 = m4/4

    SA1B1C1 = n2/4

Vусеч. пир = 1/3 * MT*( SABC + SA1B1C1 + )

Vусеч.пир = 1/3 *  * tg * (m4/4 + n2/4 + ) = * tg* (m2+n2/4 + mn/4) = 1/24 *  tg * (m-n)*(m2+mn+n2) = (m3-n3)/24 * tg

ОТВЕТ: Vусеч пир= (m3-n3)/24 * tg

Задача по теме: «Объём правильной усеченной пирамиды».

 Стороны оснований правильной усеченной  треугольной пирамиды равны a и 0,5a, апофема боковой грани равна a. Найдите объём усеченной пирамиды.

Решение:

1. Vусеч. пир = 1/3 * h*( SABC + SA1B1C1 + ), где h = O1O.
2. Проведем MTAN.

TN = ON – O1M,  ON = ,   O1M  = B1C1 / 2.

ON = ,  O1M = =,

TN = -=.

3. Из MTN: MT=O1O===
4. SABC=;    SA1B1C1==
5. Vусеч.пир= 1/3* a/4**(++) = =

ОТВЕТ:  Vусеч.пир=

 Задача по теме: «Ортоцентрический тетраэдр».

 Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре выполняется соотношение OH2 = 4R2 – 3d2, где O – центр описанной сферы, H – точка пересечения высот, R -  радиус описанной сферы, d – расстояние между серединами противоположных ребер.

Решение:

    Пусть K  и  L – середины ребер AB и CD.Точка H  лежит в плоскости, проходящей через CD перпендикулярно AB, а точка O  - в плоскости, проходящей через K перпендикулярно AB. Эти плоскости  симметричны относительно центра масс M тетраэдра – середины отрезка KL. Рассматривая такие плоскости для всех ребер, получаем, что точки  H и O симметричны относительно M, а значит, KHLO – параллелограмм. Квадраты его сторон равны R2 – AB2/4 и R2 – CD2/4, поэтому

OH2=2(R2 – AB2/4) + 2(R2 – CD2/4) – d2 =

=4R2 – (AB2 + CD2)/2 – d2.

   Рассматривая сечение, проходящее через точку M параллельно AB и CD, получаем, что AB2 + CD2 = 4d2.

Задача по теме: «Равногранный тетраэдр».

 Докажите, что все грани тетраэдра равны тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

а) сумма плоских углов при какой-либо вершине равна 1800 и, кроме того, в тетраэдре есть две пары равных противоположных ребер;

б) центры вписанной и описанной сфер совпадают;

в) радиусы описанных окружностей граней равны;

г) центр масс и центр описанной сферы совпадают.

Решение:

а) Пусть AB=CD, AC=BD и сумма плоских углов при вершине А равна 1800. Докажем, что AD=BC. Для этого достаточно проверить, что ACD =BAC. Но как сумма углов треугольников ACD, так и сумма плоских углов при вершине А равны 1800; кроме того, DAB=ADC, так как DAB=ADC.

б) Пусть O1 и O2  - точки касания вписанной сферы с гранями ABC и BCD. Тогда

O1BC=O2BC.  Из условия задачи следует, что O1 и O2  - центры описанных окружностей указанных граней. Поэтому BAC = BO1C/2 =BO2C/2  = BDC.

Аналогичные рассуждения показывают, что каждый из плоских углов при вершине D  равен соответствующему углу треугольника ABC, а значит, их сумма равна 1800. Это утверждение справедливо для всех вершин тетраэдра.

в) Углы ADB и ACB опираются на равные хорды в равных окружностях, поэтому они равны или составляют в сумме 1800. Предположим сначала, что для каждой пары углов граней тетраэдра, опирающихся на одно ребро, имеет место равенство углов. Тогда, например, сумма плоских углов при вершине D равна сумме углов треугольника ABC, т.е. равна 1800. Сумма плоских углов при любой вершине тетраэдра равна 1800, поэтому он равногранный.

Докажем теперь, что случай, когда углы ADB и ACB не равны, невозможен. Предположим, что ADB  ACB. Пусть для определенности угол ADB тупой. Поверхность тетраэдра ABCD можно так «развернуть» на плоскость ABC, что образы Da, Db и Dc точки D попадут на описанную окружность треугольника ABC; при этом направление поворота боковой  грани вокруг ребра основания выбирается в соответствие с тем, равны ли углы, опирающиеся на это ребро, или же они составляют в сумме 1800. В процессе разворачивания точка D движется по окружностям, плоскости которых перпендикулярны прямым AB, BC и CA. Эти окружности лежат в разных плоскостях, поэтому любые две из них имеют не более двух общих точек. Но две общие точки есть у каждой пары этих окружностей: точка D и точка, симметричная ей относительно плоскости ABC. Следовательно, точки Da, Db и Dc попарно различны. Кроме того, ADb=ADc, BDa = BDc и CDa = CDb. Развертка выглядит следующим образом: в окружность вписан треугольник ADcB c тупым углом Dc; из точек A и B проведены хорды ADb и BDa, равные ADc и BDc соответственно; C – середина одной из двух дуг, заданных точками Da и Db. Одна из середин этих дуг симметрична точке Dc относительно прямой, проходящей через середину отрезка AB перпендикулярно ему; эта точка нам не подходит. Искомая развертка изображена на рисунке 1. Углы при вершинах Da, Db и Dc шестиугольника ADcBDaCDb дополняют до 1800 углы треугольника ABC, поэтому их сумма равна 3600. Но эти углы равны плоским углам при вершине D тетраэдра ABCD, поэтому их сумма равна меньше 3600. Получено противоречие.

г) Пусть K и L – середины ребер AB и CD, O – центр масс тетраэдра, т.е. середина отрезка KL. Так как O – центр описанной сферы тетраэдра, то треугольники AOB и  COD равнобедренные, с равными боковыми сторонами и равными медианами OK и OL. Поэтому AOB = COD, а значит, AB=CD. Аналогично доказывается равенство других пар противоположных ребер.

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Математика для  школьников, 2007, №2

2. Атанасян Л.С.  Геометрия 10-11 класс. М.: «Просвещение» 2003

3. Алексин А.Г. Что такое? Кто такой?  М.: «Дрофа»  2001

4. http://www.devious.by.ru

5. Прасолов В.В. Задачи по стереометрии. М.: «Наука» 1989

6. Саакян С.М. Изучение геометрии. М.: «Просвещение» 2003