Эта удивительная теорема Пифагора

Клочковская муниципальная основная общеобразовательная школа

Шуйского муниципального района Ивановской области

________________________________________________________________

155937 Ивановская область, Шуйский район, д. Клочково, ул. Центральная, д.1

E – mail: klochkovo@list.ru,  тел. 34-522

Эта удивительная теорема Пифагора

Секция математическая

                 Работу выполнили: ученики 9 класса

                                          Бадаев Алексей Иванович

                            домашний адрес:

                      д. Клочково

                                     ул. Почтовая д.4 кв. 4

     и

                                       Саргсян Гайк Гайкович

                                                 Домашний адрес: д. Клочково

                                      ул. Почтовая д.1 кв. 10

                         Руководитель:

                                  учитель математики

                                                Васильева Ирина Алексеевна

                                                        Контактный телефон: 34-522 (раб)

                                   34-513 (дом.)

Март 2010 г.

Оглавление

1. Введение ………………………………………………………………………..  1
2. Доказательства теоремы Пифагора……………………………………………. 2

-  Простейшие доказательства ………………………………………………… 4

- Доказательства методом разложения…………………………………………4

                  - Доказательства методом дополнения (достроения)……………….….…..... 9

                  - Алгебраические доказательства………………………………….….….…… 12

                  - Доказательства, основанные на использовании понятия

                    равновеликости фигур………………………………………………….….…. 14

                  - Другие доказательства…………………………………..……………....…… 16

                  - Свое доказательство теоремы Пифагора……………………………….…… 17

            3. Это интересно………………………………………………………...… .……… 18

            4.  Заключение…………………………………………………………….…….….. 20

            5. Используемая литература…………………………………………………….…. 21

Введение

 Геометрия владеет двумя сокровищами:

     одно из них – это  теорема Пифагора.

Теорема Пифагора. Это одна из самых известных геометрических теорем древности, называемая теоремой Пифагора. Ее и сейчас знают практически все.  

 Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому: "Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах". Действительно, с2 – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а2 и b2 – площади квадратов, построенных на катетах.

Знаменитый греческий философ и математик Пифагор Самосский, именем которого названа теорема, жил около 2,5 тысяч лет тому назад. Дошедшие до нас биографические сведения о Пифагоре обрывочны и далеко не достоверны. С его именем связано много легенд. Достоверно известно, что Пифагор много путешествовал по странам Востока, посещал Египет и Вавилон. В одной из греческих колоний Южной Италии им была основана знаменитая «Пифагорова школа», сыгравшая важную роль в научной и политической жизни древней Греции. Именно Пифагору приписывают доказательство известной геометрической теоремы. На основе преданий, распространенных известными математиками (Прокл, Плутарх и др.), длительное время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна, отсюда и название – теорема Пифагора.

Однако, эту теорему знали за много лет до Пифагора. Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством . Это же самое проделывалось тысячи лет назад при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае, вероятно, и в Мексике. В самом древнем дошедшем до нас китайском математико-астрономическом сочинении «Чжоу-би», написанном примерно за 600 лет до Пифагора, среди других предложений, относящихся к прямоугольному треугольнику, содержится и теорема Пифагора. Еще раньше эта теорема была известна индусам. Таким образом, Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, вероятно, первым сумел его обобщить и доказать, перевести тем самым из области практики в область науки.

         На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Причина популярности теоремы и в ее триединстве: это простота — красота — значимость.  В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание  противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу.

В детском кинофильме «Приключения Электроника» главный герой Электроник на уроке математики привел двадцать способов доказательства теоремы Пифагора. Нас это заинтересовало, и мы решили тоже найти и разобрать двадцать способов доказательства этой теоремы. Мы так увлеклись, что нашли гораздо больше способов и смогли понять из них – двадцать пять. Разбирая разнообразные доказательства теоремы Пифагора, мы нашли еще один способ доказательства. Возможно, он уже существует, но нам он не встретился, и мы взяли на себя смелость назвать его «своим доказательством».

Простейшие  доказательства

Доказательство на равнобедренном треугольнике

  Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников , чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два.

Теорема доказана.

Доказательство на клетках

На рисунке  воспроизведен чертеж из трактата «Чжоу-би...». Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц измерения. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большем катете—16. Ясно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете

Доказательства методом разложения (аддитивные доказательства)

Эти доказательства основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе

Во всех этих случаях для понимания доказательства достаточно одного взгляда на чертеж; рассуждение здесь может быть ограничено единственным словом: "Смотри!", как это делалось в сочинениях древних индусских математиков. Следует, однако, заметить, что на самом деле доказательство нельзя считать полным, пока мы не доказали равенства всех соответствующих друг другу частей. Это почти всегда довольно не трудно сделать, однако может (особенно при большом количестве частей) потребовать довольно продолжительной работы.

Аддитивное доказательство

Доказательство проведено на фигуре, в шутке называемой «Пифагоровы штаны». Идея его состоит в преобразовании квадратов, построенных на катетах, в равновеликие треугольники, составляющие вместе квадрат гипотенузы.

∆ АВС сдвигаем, как показано стрелкой, и он занимает положение  ∆ КDN. Оставшаяся часть фигуры АКDСВ равновелика площади квадрата АКDС - это параллелограмм АКNВ.

Параллелограмм АКNВ перекладываем так, как зарисовано. Чтобы показать преобразование параллелограмма в равновеликий треугольник, отрезаем на модели треугольник и перекладываем его вниз. Таким образом, площадь квадрата АКDС получи лась равна площади прямоугольника. Аналогично преобразуем площадь квадрата в площадь прямоугольника.

Произведем преобразование для квадрата, построенного на катете а (рис. а):

а) квадрат преобразуется в равновеликий параллелограмм (рис. 6):

б) параллелограмм поворачивается на четверть оборота:

в) параллелограмм преобразуется в равновеликий прямоугольник:

Доказательство Энштейна

Преимуществом этого доказательства является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники.

 Квадрат, построенный на гипотенузе, разбит на 8 треугольников.

         Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C, С принадлежит МN, CK перпендикулярна MN; PO || MN; EF || MN.

Доказательство  ан-Найризия

(Доказательство Нильсена)

На  чертеже приведено доказательство теоремы Пифагора с помощью разбиения ан-Найризия – средневекового багдадского комментатора «Начал» Евклида. В этом разбиении квадрат, построенный на гипотенузе, разбит на 3 треугольника и 2 четырехугольника. Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C.

                                 Доказательство Бетхера

             На рисунке дано весьма наглядное

           разложение Бетхера.

Доказательство Перигаля

 Разложение, указанное на рисунке называют "колесо с лопастями". Это доказательство нашел Перигаль.

Доказательство основано на разрезании квадратов, построенных на катетах, и укладывании полученных частей на квадрате, построенном на гипотенузе.

Через центр  квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельную и перпендикулярную гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа.

Доказательство Гутхейля

Изображенное на рисунке разложение принадлежит Гутхейлю; для него характерно наглядное расположение отдельных частей, что позволяет сразу увидеть, какие упрощения повлечет за собой случай равнобедренного прямоугольного треугольника.

Стул невесты

Доказательство 9 века н.э.

На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н. э., индусы называли "стулом невесты". Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 4 и 2, получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 4 и 2 равными им треугольниками 3 и 1, то получим квадрат, построенный на гипотенузе.

Доказательство Евклида  

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник JCEL - квадрату АGКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе.

В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними:

FB = AB, BC = BD

Угол FBC = углу ABD

  S ∆  ABD = 1/2  S прямоугольника BJLD,

так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично доказываем, что  S ∆ FBC=1\2 S квадрата ABFH

(BF-общее основание, АВ - общая высота). Отсюда, учитывая, что

S ∆ ABD=S ∆ FBC,

имеем

S BJLD = S ABFH.

Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что

S  JCEL=S  ACKG.

Итак,

S  ABFH+S  ACKG= S  BJLD+S  JCEL= S  BCED,

что и требовалось доказать.

Доказательтва методом дополнения (достроения)

Наряду с доказательствами методом сложения можно привести примеры доказательств при помощи вычитания, называемых также доказательствами методом дополнения. Общая идея таких доказательств заключается в следующем.

От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части так, чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом- квадрат, построенный на гипотенузе

Доказательство Леонардо да Винчи

. На рис. к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1. Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат, построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Заметим, что прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK и нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG, составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK, составляющим половину шестиугольника CAJKHB. Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики.

Доказательство Нассир-эд-Дина (1594 г.)

PL – прямая, проходящая через т. С,

FK параллельна PL

Площадь прямоугольника KLOA =  пл. параллелограмма ACPF  =   пл. квадрата ADEC = a2;

(∆ ACB =∆ FDA, следовательно FA = AB = c.

S  KLOA = c*AO; S ACPF = c*AO)

Пл. LGBO = пл. параллелограмма CBMP = пл. квадрата CBNQ =  b2;

(S LGBO = c*BO; S CBMP = c*BO)

Пл. квадрата AKGB = пл. прямоугольника AKLO + пл. прямоугольника LGBO = c2.

Значит,   a2 + b2  = с2

Доказательство Гофмана

Чертеж  иллюстрирует доказательство, приведенное Гофманом (1821 г.). Здесь Пифагорова фигура построена так, что квадраты лежат по одну сторону от прямой AB. Здесь:

Параллелограмм OCLP =  параллелограмму ACLF = квадрату ACED = b2;   (Параллелограммы равны, т.к. состоят из трапеции ОСLP и равных треугольников АОС и FLP).

Площадь параллелограмма CBML =  площади квадрата CBNQ = a2;                  

Площадь параллелограмма OBMP = площади квадрата ABMF = c2;

Параллелограмм OBMP = параллелограмм OCLP + параллелограмм CBML;

Отсюда  a2 + b2  = с2

Доказательство методом вычитания

Познакомимся с другим доказательством методом вычитания. Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника. Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник распадается на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей так чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе. Эти части следующие:

треугольники 1, 2, 3, 4;

прямоугольник 5;

прямоугольник 6 и квадрат 8;

прямоугольник 7 и квадрат 9;

Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на кататах. Этими частями будут:

прямоугольники 6 и 7;

прямоугольник 5;

прямоугольник 1(заштрихован);

прямоугольник 2(заштрихован);

Нам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу расположения фигур. Из рисунка ясно, что:

прямоугольник 5 равновелик самому себе;

четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7;

прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1 (заштрихован);;

прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику 2(заштрихован);

Доказательство закончено.

Алгебраические доказательства

Доказательство через подобие треугольников

Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие.

Приведем в современном изложении одно из таких доказательств, принадлежащих Пифагору.

Дан ∆ ABC – прямоугольный, C – прямой угол,

CM  ┴ AB, b1 – проекция катета b на гипотенузу, a1 – проекция катета a на гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная к гипотенузе.

Из того, что ∆ ABC подобен ∆  ACM следует

b2 = cb1; (1)

из того, что ∆ ABC подобен ∆ BCM следует

a2 = ca1. (2)

Складывая почленно равенства (1) и (2), получим a2 + b2 = cb1 + ca1 = c(b1 + a1) = c2.

Алгебраическое теоремы Пифагора

Дано: АВС, угол С = 90°. АС, СВ – катеты, АВ – гипотенуза.

АС = b; СВ = а; АВ = с.

Доказать: а2 + b2  = с2

Доказательство: Достроим АВС до квадрата.

Получим четыре равных прямоугольных треугольника (по 2-м катетам), отсюда следует, что гипотенузы равны. Четырехугольник АВМК – ромб.

 т.к. АВС - прямоугольный.

, следовательно,

Если у ромба есть угол 90°, то такой ромб является квадратом: АВМК –квадрат.

Sб.кв.= (a+b)2 =  a2 + 2ab + b2

Sб.кв.=  4S +SABKM  =  4l/2ab +c2  = 2ab+ c2.

Имеем: a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2, т.е. a2 + b2 = c2

Теорема доказана.

Доказательство через косинусы острых углов

Дано: Δ АВС, С = 90°.

Доказать : АВ2 = АС2 + ВС2.    

Доказательство: Проведём высоту CD из вершины прямого угла С. 

Выразим косинус угла А:

                Δ ACD :  cos A = AD / AC,
               Δ АВС:   cos А = AC / AB.

Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно

                                                   AD / AC = AC / AB.

Отсюда, по свойству пропорции, получаем:

АС2 = AD · АВ.                  (1)

Аналогично выразим косинус угла В:

                     Δ ВCD:   cos В = BD / BC,

                     Δ АВС:   cos В = BC / AB.

Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно,

                                               BD / BC = BC / AB.

По свойству пропорции, получаем:

                                              ВС2 = ВD · АВ.                       (2)

Сложим почленно равенства (1) и (2), и вынесем общий множитель за скобки:

АС2 + ВС2 = AD · AB + BD · AB = AB · (AD + BD).

Так как       AD + BD = АВ,  то      АС2 + ВС2 = AB · AB = AB2.

Получили, что      АВ2 = АС2 + ВС2.

Доказательство  Бхаскара

Это доказательство было предложено индусским математиком Бхаскара (XXII в.) и китайцами (1000 лет до н. э.).

Чтобы доказать теорему, достаточно выразить  площадь квадрата, построенного на гипотенузе,   через сумму площадей четырех равных треугольников и площадь внутреннего  квадрата.  

S большого кв. = с2

S одного треугольника  = ½  ab

S мал. кв. = ( a - b)2

S большого кв. = 4* ½ ab + ( a - b)2 = 2ab + a2 – 2ab + b2 = a2 + b2.

Следовательно, a2 + b2  = с2 . Теорема доказана.

Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур

При этом можно рассмотреть доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе данного прямоугольного треугольника «складывается» из таких же фигур, что и квадраты, построенные на катетах. Можно рассматривать и такие доказательства, в которых применяется перестановка слагаемых фигур и учитывается ряд новых идей.

Доказательство первое

На чертеже даны два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадратов отнять  площади четырех одинаковых прямоугольных треугольников с катетами a и b, то останутся равные площади:  a² + b² = c² . Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!»

Доказательство из Древнего Китая 1

Четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой c уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b внутренний - квадрат со стороной c, построенный на гипотенузе. Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся  четыре  затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника, то  образовавшиеся пустота, с одной стороны, равна с², а с другой - a² + b²,

т.е. с² = a² + b².

  Теорема доказана.                                            

Доказательство из Древнего Китая 2

Доказательство подобное предыдущему. Здесь оставшиеся треугольники уложены в два прямоугольника так, что квадраты, построенные на катетах расположены один на другом.

Доказательство Сабита ибн Корра

Доказательство, изобретенное арабским математиком Сабитом ибн Коррой.

Счала мы чертим рядом два квадрата, построенных на катетах, а затем, отрезая и переставляя получившиеся фигуры, складываем из них квадрат гипотенузы.

Другие доказательства

Доказательство Хоукинсa

Это доказательства было опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого - трудно сказать.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).

SCAA'=b²/2

SCBB'=a²/2

SA'AB'B=(a²+b²)/2

Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому :

SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2

Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:

a² + b² = c²

Теорема доказана.

Векторное доказательство

Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство: b + c = a

откуда имеем

c = a - b

Если возвести обе части равенства в квадрат, то получим

c²=a²+b²-2ab

Так как вектор a перпендикулярен вектору b, то ab = 0, откуда

c² = a² + b² или c² = a² + b²

Теорема доказана.

Доказательство Гарфилда

 (Доказательство Вальдхейма)

На рисунке  три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна

во втором  случае площадь трапеции равна

Приравнивая эти выражения, получаем

теорему Пифагора: a2 + b2  = с2 .

Свое доказательство

Разбирая множество различных доказательств теоремы Пифагора, мы нашли  еще один вариант доказательства.  Возможно, такое доказательство уже существует, но нам оно не встретилось, и поэтому, мы взяли на себя смелость назвать его «своим доказательством».

Четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой c уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a + b, а внутренний - квадрат со стороной c, построенный на гипотенузе. Если квадрат со стороной с  вырезать, то площадь образовавшейся пустоты можно найти двумя способами:

1. Площадь пустоты равна площади вырезанного квадрата, т.е. с2.

2. Площадь пустоты можно найти, если из площади большого квадрата вычесть площадь оставшихся четырех треугольников (0.5 ab * 4 = 2 ab)

(a + b)2 – 2 ab = a2 + 2 ab + b2 – 2ab = a2 + b2. Следовательно,  с²=a² + b². Теорема доказана.

Это интересно

• Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда «ослиным мостом» или «бегством убогих», потому что некоторые слабые ученики  пытались не понять, а зазубрить доказательство. «Ослиный мост» - непроходимый мост. И поэтому возникали, вот такие  карикатуры, сопровождающие чертежи к доказательству теоремы.

• «Пифагоровы тройки»

Далеко не у всех прямоугольных треугольников, катеты которых соотносятся как целые числа, гипотенуза также выражается целым числом, например, треугольник с катетами одинаковой длины.  Если бы его катеты были соизмеримы с гипотенузой, то квадрат гипотенузы был бы равен двум одинаковым квадратам катетов. Но известно, что среди квадратных чисел нет двух таких, одно из которых составит ровно половину другого. Поэтому катеты этого треугольника несоизмеримы с гипотенузой: нельзя найти такой меры, которая нацело укладывалась бы как в катете, так и в гипотенузе.

Это - великое открытие пифагорейских математиков. Это Пифагоровы тройки:

• В Греции была выпущена почтовая почтовая марка по случаю переименования острова Самос в остров Пифагорейон.

      На марке -надпись: «Теорема Пифагора. Эллас. 350  

      драхм».

      Эта красивая марка - почти единственная среди многих  

      тысяч существующих, на которой изображен  

      математический факт.

• В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать, но для всех очевидно, что математический факт,  выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

• Формулировка теоремы Пифагора в стихах.:

Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдём:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим
И таким простым путём
К результату мы придём.

Заключение

Теорема Пифагора по праву считается самой важной в курсе геометрии и заслуживает пристального внимания. Она является основой решения множества геометрических задач и базой для изучения геометрического курса в дальнейшем; содержит богатейший исторический материал.

Теорема Пифагора встречается в разных областях наук. Например: в физике, астрономии, архитектуре и в других. Но так же Пифагор и его теорема воспеты в литературе. Существуют много легенд, мифов, рассказов, песен, притчей, небылиц, анекдотов,  об этой теореме

Уделом истины не может быть забвенье,

Как только мир ее увидит взор,

И теорема та, что дал нам Пифагор,

Верна теперь, как в день ее рожденья.

Суть истины вся в том, что нам она – навечно,
Когда хоть раз в прозрении её увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас, как для него, бесспорна, безупречна …

(Отрывок из стихотворения немецкого писателя-романиста А. Шамиссо)

Используемая  литература

1. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе. М., 1982.

3. Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961.

4. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.

5. Приложение к газете «Первое сентября». 24/2001

6. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений/А.В. Погорелов.- М.: Просвещение, 2007.