Проект "Создание сборника "Задачи на проценты в нашей жизни"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 1»

Мегион

2013

    Автор – составитель Галимуллин Амир, ученик

10 ф/м класса МБОУ «СОШ № 1», г. Мегион,

Ханты-Мансийский автономный округ – Югра.

    Учитель – консультант Хайржанова Ольга Николаевна, учитель математики МБОУ «СОШ № 1», г. Мегион, Ханты-Мансийский автономный округ – Югра.

    Пособие предназначено для школьников 5-х – 11-х классов,   учителей математики и для тех, кому интересна данная тема. Пособие поможет выпускникам  основной и средней школы при подготовке к экзаменам.

     Данное пособие содержит основные способы решения задач на проценты, задачи на проценты, часто встречающиеся в различных жизненных ситуациях, и их решение, небольшую историческую справку,  интересные факты. В каждом разделе предлагаются  задачи для самостоятельного решения, в конце пособия имеются ответы.

Содержание

Введение

     Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, что например, в выборах приняли участие 52,5% избирателей, промышленное производство сократилось на 11,3%, уровень инфляции составил 8% в год, банк начисляет 12% годовых, молоко содержит 3,2% жира, материал содержит 60% хлопка и 40% полиэстера и т.д.

В настоящее время понимание процентов и умение производить процентные расчеты, необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, экономическую, социологическую и другие стороны нашей жизни. Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки невозможны без умения производить несложные процентные вычисления. Любой человек должен уметь свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью, уметь просчитать различные предложения магазинов, кредитных отделов и различных банков и выбрать наиболее выгодные.

История возникновения процентов

     Слово «процент» происходит от латинского слова

pro centum, что буквально переводится «за сотню», или «со ста». Обозначается знаком «%».    

     Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных таблицах вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определить сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применив так называемое тройное правило, то есть, пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов. Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.

     В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особо много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, то есть сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли  коммерческий секрет фирмы.

     Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в  1584 году Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Симон Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий.

    Симон Стевин

                                                       Таблицы для расчета  

                                                      процентов С.Стевина.              

     Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль и убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Нынче процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

     Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента.

     Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

     Употребление термина «процент» в качестве нормы русского языка начинается с конца XVIII века. Об этом свидетельствует сравнительный анализ текстов двух фундаментальных учебников по математике Ефима Войтеховского (первое издание 1795 года) и Т.Ф. Осиповского (первое издание 1802 года).  В обоих учебниках имеется по несколько задач «на проценты по вкладу»,  но Е. Войтеховский оперирует исключительно сотыми долями, тогда как Т.Ф. Осиповский уже употребляет термин «процент».

     В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые «промилле» (от латинского

 pro mille – «с тысячи»), обозначаемые по аналогии с процентами. Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему ее развитию.

     Если говорить  о предметах, о некоторой заданной совокупности – деньгах, зарабатываемых в семье, материалах, продуктах питания, то процент – это  100 сотых частей самого себя. Поэтому обычно говорят, что величина «принимается за 100%».

     Если речь   идет о проценте от данного числа, то это число принимается за 100%. Например, 1% зарплаты – это сотая часть зарплаты; 100% зарплаты – это 100 сотых частей зарплаты, то есть вся зарплата. Подоходный налог с зарплаты берется в размере 13%, то есть 13 сотых от зарплаты. Надпись «60% хлопка»  на этикетке обозначает, что материал содержит 60 сотых хлопка, то есть более чем на половину состоит их чистого хлопка. 3,2%  жира в молоке означает, что 3,2 сотых массы продукта составляет жир (или, другими словами, в каждых 100 граммах этого продукта содержится 3,2 грамма жира).

     Как известно из практики, с помощью процентов часто показывают изменение той или иной конкретной величины. Такая форма является наглядной числовой характеристикой изменения, характеризующей значимость произошедшего изменения. Например, уровень подростковой преступности повысился на 3%, в этом ничего страшного нет – быть может, эта цифра отражает только естественные колебания уровня. Но,  если он повысился на 30%,  то это уже говорит о серьезности проблемы и необходимости изучения причин такого явления и принятия  соответствующих мер.

Основные способы  

решения задач на проценты

     1). Нахождение части от целого.
Правило: Чтобы найти часть (%) от целого, надо число умножить на часть (проценты, переведенные в десятичную дробь).
     Пример. В классе 32 ученика. Во время контрольной работы отсутствовало 12,5% учащихся.  Сколько учеников отсутствовало?
Решение: 1 способ.  Целое в этой задаче – общее количество учащихся (32).
1) 12,5%  : 100% = 0,125
2) 32 · 0,125 = 4 (уч.) - отсутствовало

 2 способ. Пусть х учеников отсутствовало, что составляет 12,5%. Если 32 ученика – общее количество учеников (100%), то
32 ученика – 100%
х учеников – 12,5%
х = 32·12,5:100 = 4 (уч.) – отсутствовало.

                                 Ответ: в классе отсутствовало 4 ученика.

     2). Нахождение целого по его части.
Правило: Чтобы найти целое по его части (%-ам), надо число разделить на часть (проценты, переведенные в десятичную дробь).
     Пример. Коля истратил в парке аттракционов 120 рублей, что составило 75% всех его карманных денег. Сколько было карманных денег у Коли до прихода в парк аттракционов?
Решение: 1 способ. В этой задаче надо найти целое, если известна данная часть и значение этой части.
1)75%:100% = 0,75
2)120 : 0,75 = 160(руб.) – было у Коли
2 способ. Пусть х рублей  было у Коли, что составляет целое, то есть 100%. Если он потратил 120 рублей, что составило 75%, то
120 рублей – 75 %
х рублей  – 100 %
х = 120·100 :75 = 160(руб.)
                                Ответ: у Коли было 160 рублей.

     3). Выражение в процентах отношения двух чисел.
Типовой вопрос: Сколько процентов составляет одна величина от другой?
     Пример 1. Ширина дачного участка прямоугольной формы  20 м, а длина 32 м. Сколько % составляет ширина от длины? (Длина является основой для сравнения)
Решение: В этой задаче длина участка 32 м составляет 100%, тогда ширина 20 м составляет х%. Составим и решим пропорцию:   20 м  – х %
                      32 м  – 100 %
                      х = 20 ·100 : 32 = 62,5%
                                Ответ: ширина составляет от длины 62,5%.
     Пример 2. Ширина дачного участка прямоугольной формы 20 м, а длина 32 м. Сколько процентов  составляет длина от ширины? (Ширина является основой для сравнения)
Решение: В этой задаче ширина участка 20 м составляет 100%, тогда длина 32 м составляет х%. Составим и решим пропорцию:
20 м  – 100 %
32 м  – х %
х = 32·100 : 20 = 160%
                                Ответ: длина составляет от ширины 160%.
! Обратите внимание на то, как меняется решение в зависимости от изменения вопроса.

     4). Выражение в процентах изменения величины.
Типовой вопрос: На сколько процентов изменилась (увеличилась или уменьшилась) первоначальная величина?
Правило: Чтобы найти изменение величины в % надо:
1) найти, на сколько изменилась величина (без %);
2) разделить полученную величину из пункта 1) на величину, являющуюся основой для сравнения;
3) перевести результат в % (выполнив умножение на 100%).
     Пример 1. Цена платья снизилась с 1250 рублей до 1000 рублей. На сколько процентов снизилась цена платья?
Решение: 1 способ. Основа для сравнения здесь 1250 рублей (т.е. то, что было изначально)
1) 1250 –1000 = 250 (руб.) - на столько изменилась цена платья.
2)  250:1250 ·100% = 20%
2 способ.
1250 –1000 = 250 (руб.) -  на столько изменилась цена платья.
В этой задаче первоначальная цена 1250 рублей - это 100%, тогда изменение цены 250 рублей составляет х%. Составим и решим пропорцию:  1250 руб. – 100%
                                    250 руб. – х%
                                    х = 250 ·100 : 1250 = 20%
                                Ответ: цена платья уменьшилась на 20%.
    Пример 2. Цена платья повысилась с 1000 рублей  до 1250 рублей. На сколько процентов повысилась цена платья?
Решение: 1 способ. Основа для сравнения здесь 1000 рублей  (т.е. то, что было изначально)
1) 1250 –1000 = 250 (руб.) - на столько изменилась цена платья.
2) 250:1000 ·100% = 25%
2 способ.
1250 –1000 = 250 (руб.) -  на столько изменилась цена платья.
В этой задаче первоначальная цена 1000 рублей  100%, тогда изменение цены 250 рублей составляет х%. Составим и решим пропорцию:
1000 руб. – 100 %
250 руб. – х %
х = 250 ·100:1000 = 25%
                                Ответ: цена платья увеличилась на 25%.
! Обратите внимание на то, как меняется решение в зависимости от изменения вопроса.

     5). Последовательное изменение величины (числа).
     Пример.  В магазине «Эльдорадо» цену на утюг уменьшили на 15%, а затем увеличили на 20%. На сколько процентов изменилась цена на утюг?
Самая распространенная ошибка: цена увеличилась на 5 %.
Решение: 1 способ.
1) Хотя исходная цена не дана, для простоты решения можно принять её за 100 (т.е. одно целое или 1)
2) Если цена уменьшилась на 15%, то полученная цена составит 85%  или от 100 это было бы 85.
3) Теперь полученный результат надо увеличить на 20%, т.е.
85 – 100%
х – 120% (т.к. цена увеличилась на 20%)
х = 85 ·120:100 = 102
4) Таким образом,  в результате изменений цена 100 (первоначальное значение) изменилась и стала 102, а это означает, что первоначальная цена увеличилась на 2%.
2 способ.

1) Пусть исходная цена х рублей.
2) Если цена уменьшилась на 15%, то полученная цена составит 85% от х, т.е. 0,85х.
3) Теперь полученное число надо увеличить на 20%, т.е.
0,85х – 100%
  у    – 120% (т.к. цена увеличилась на 20%)
у = 0,85х ·120:100 = 1,02х
4) Таким образом в результате изменений цена х (первоначальное значение), является основой для сравнения, а цена 1,02х (полученное значение), тогда

       х – 100%

  1,02х – к%

к =(1,02х ·100):х = 102%

102% - 100% = 2%
                                Ответ: цена на утюг  увеличилась на 2%.

     6). Решение задач с использованием понятия коэффициента увеличения.

Правило: Чтобы увеличить положительное число а на р процентов, следует умножить  число а на коэффициент увеличения  к=(1+0,01р).

Чтобы уменьшить положительное число а на р процентов, следует умножить число а на коэффициент уменьшения           к= (1-0,01р).

     Пример.  Вклад, вложенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 13125 рублей.  Каков был первоначальный вклад при 25% годовых?

Решение: Пусть х (руб.) – размер первоначального вклада, то в конце первого года вклад составит 1,25х,  а в конце второго года размер вклада составит 1,25 ·1,25х.

 Решаем уравнение 1,25 · 1,25х=13125

                                  1,5625х=13125

                                  х=13125:1,5625

                                  х=8400.

                                               Ответ: 8400 рублей.

     7). Решение задач на проценты по формулам.

Формула простых процентов:   Sn = S0(1+), где                      Sn – наращенная сумма (исходная сумма вместе с начисленными процентами), S0 – исходная сумма, р% - процентная ставка от суммы, выраженная в долях за период, n – число периодов начисления.

Формула сложных  процентов:   Sn = S0﴾1+﴿n, где Sn – наращенная сумма (исходная сумма вместе с начисленными процентами), S0 – исходная сумма, р% - процентная ставка от суммы, выраженная в долях за период, n – число периодов начисления.

     Пример. Клиент открыл в банке счет и положил на срочный вклад 500 тысяч рублей. Определите сумму вклада через 2 года, если банк начисляет сложные проценты по ставке 30% годовых и дополнительных вложений не было.

Решение: По формуле сложных процентов S2 = 500 · ﴾1+﴿2 = 500 ·= 845 тысяч рублей.

                                 Ответ: 845 тысяч рублей.

    8). Старинный способ решения задач на проценты (был описан в  «Арифметике» Л.Ф.Магницкого).

     Пример 1. При смешивании 5%-ого раствора кислоты с     40% -ым раствором кислоты получили 140 г  30%-ого раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?

Решение: Друг под другом пишутся содержания кислот имеющихся растворов, слева от них  и примерно посередине – содержание кислоты в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединив написанные числа чёрточками, получим такую схему:

Рассмотрим пары 30 и 5, 30 и 40. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее  и результат запишем в конце соответствующей чёрточки. Получится такая схема:

Из неё делается заключение, что 5%-ого раствора следует взять  10 частей, а 40%-ого 25 частей, т.е. для получения 140 г                 30%-ого раствора нужно взять 5%-ого раствора 40 г,  а 40%-ого  - 100 г  

(10+25 = 35 частей всего,

140:35 = 4 г-вес одной части,

4·10 = 40 г,

4·25 = 100 г)

                             Ответ: 5%-ого раствора 40 г,  а 40%-ого  - 100 г.

     Пример 2. Имеется серебро 12-й, 11-й и 5-й пробы. Сколько и какого серебра надо взять  для получения 1 кг серебра 9-й пробы?

Решение: Применим метод, рассмотренный в примере 1 дважды: первый раз,  взяв серебро с наименьшей и наибольшей пробой, а во второй  раз – с наименьшей и средней пробой. Получим следующую схему:

При этом найдены доли, в которых нужно сплавлять серебро наибольшей и средней пробы (4 и 4). Сложив затем доли серебра наименьшей пробы, найденные в первый и

во второй раз (3+2 = 5), получим долю серебра наименьшей пробы в общем сплаве.

Таким образом, надо взять кг серебра 5-й пробы, кг серебра 12-й пробы, кг серебра  11-й пробы.

Данная задача имеет не единственное решение.  9-й пробы серебро можно получить, сплавляя серебро 5-й и 12-й пробы  в отношении 3:4(1 сплав) или серебро 5-й  и 11-й пробы в отношении 2:4(2 сплав). Соединяя 1 и 2 сплавы в любой пропорции, мы будем получать  различные сплавы серебра 9-й пробы.

                                 Ответ: надо взять кг серебра 5-й пробы,          

               кг серебра 12-й  пробы,  кг серебра  11-й пробы.

     Пример 3. Имеется 240 г 70%-ого раствора уксусной кислоты. Нужно получить        6%-ный раствор кислоты. Сколько граммов воды (0%-ный раствор) нужно прибавить к имеющемуся раствору?

Решение: Составим схему:

Итак, 240:6 = 40 г - составляет одна часть, а воды следует взять 64 части, т.е.  64·40 = 2560 г

                                 Ответ: нужно прибавить к имеющемуся    

                                             раствору 2560 г воды.

     9). Решение задач на проценты с помощью «Квадрата Пирсона».

      Этот способ предложил английский математик и статистик Карл Пирсон.

     Пример 1. Как приготовить 25%-ый раствор сульфата цинка из 76%-ого и 15%-ого растворов? Сколько граммов каждого раствора  потребуется?

Решение: Чертим квадрат 3×3. В левом верхнем и нижнем углу записываем проценты растворов, которые взяли (76% и 15%). В центре квадрата записываем проценты раствора, которые надо получить (25%). По диагонали вычитаем и результаты записываем в правом нижнем и верхнем углу (если в результате вычитания получается отрицательное число, то знак « - » убираем). Получаем количество частей вещества, которое нужно взять.  

                          Ответ: 10 г 76%-ого и 51 г 15%-ого растворов.

Недостатком этого метода является то, что его можно применять только при смешивании двух растворов. То есть если нужно смешать три или более веществ, «квадрат  Пирсона» здесь не поможет.

     Пример 2. В лаборатории имеется 72%-ый раствор серной кислоты. Как из этого и   9%-ого растворов приготовить 630 г 36%-ого раствора?

Решение:          

           Ответ: надо 270 г  72%-ого и 360 г  9%-ого растворов.

     Пример 3. Уксусная эссенция  содержит  80% уксусной  кислоты. Как приготовить   160 г  5%-ого раствора уксусной кислоты для приправы?

Решение:

        Ответ: нужно смешать 10 г  80%-ого раствора и 150 г  воды.

     Пример 4.  Для получения 4 тонн нержавеющей стали, содержащей 20% хрома, на ОАО «Мечел»  сплавили  два сорта стали, содержащие соответственно 30% и 10% хрома. Определить массы каждой марки стали, взятой для сплавления.

Решение:

                    Ответ: 2 т 30% и 2 т 10% хромированной стали.

     Пример 5.  В лаборатории для определения качества молока и молочной продукции имеются два сосуда с молочным продуктом с массовой долей молочного жира соответственно 5% и 25 %. Какаю массу каждого продукта необходимо взять для приготовления 500 г молока 10 %-ной жирности?

Решение:  «Квадрат Пирсона» ещё называют вычислением по правилу «креста». Вводим обозначения:

При вычитании по диагонали из большого числа вычитаем меньшее. Записываем друг под другом массовые доли исходных растворов, а правее между ними – массовую долю раствора, который необходимо приготовить. Из большого значения массовой доли (0,25) вычитаем заданное значение (0,1) и записываем результат справа вверху. Далее из заданного значения массовой доли (0,1) вычитаем меньшее значение (0,05) и записываем результат справа внизу. Числа 0,15 и 0,05 показывают, в каком массовом отношении надо взять молочного продукта с

                                 Ответ: для приготовления 500 г молока            

10 %-ной  жирности  требуется  375 г 5 %-го и 125 г 25 %-го молочного продукта соответственно.

Выводы:

1. В задачах на проценты – переходим от процентов к конкретным величинам. Или, если надо – от конкретных величин к процентам. Внимательно читаем задачу!

2. Очень тщательно изучаем, от чего нужно считать проценты. Если об этом не сказано прямым текстом, то обязательно подразумевается. При последовательном изменении величины, проценты подразумеваются от последнего значения. Внимательно читаем задачу!

3. Закончив решать задачу, читаем её ещё раз. Вполне возможно, вы нашли промежуточный ответ, а не окончательный. Внимательно читаем задачу!

Задачи на проценты в нашей жизни

1). Задачи на проценты в торговле. 

     Задача № 1. Цена 1 кг яблок в магазине «Подсолнух» первоначально составляла  56 рублей.  C декабря месяца цена сначала поднялась на 15%,  а  потом понизилась на 6%, затем снова поднялась на 10%. Какова конечная цена 1 кг яблок?

Решение:

I действие: 56 руб. - 100%

                         х       - 15%

 x= (56·15):100 = 8,4 (руб.)

56 + 8,4 = 64,4 (руб.) – цена 1 кг яблок после повышения цены.

II действие: 64,4 – 100%

                        х    -   6%

 x= (64,4·6):100 ≈ 3,86 (руб.)

      64,4 – 3,86 = 60,54 (руб.) - цена 1 кг яблок после понижения цены.

III действие: 60,54 – 100%

                          х      - 10%

 x = (60,54·10):100 ≈ 6,05 (руб.)

  60,54+6,05 = 66,59 (руб.) - цена 1 кг яблок после повышения цены.

                                     Ответ: цена 1 кг яблок стала  66,59  рубля.

     Задача № 2. Зонт стоил 360 рублей. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре еще на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре?

Решение:

1) Стоимость зонта в ноябре составляла 85 % от 360 руб., т. е. 360·0,85 = 306(руб.).

2) Второе снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта; теперь следует искать 90 % от 306 руб., т. е.

 306·0,9 = 275,4 (руб.)

                                               Ответ: 275 рублей 40 копеек.

     Задача № 3. Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%?

 Решение: Находим 10% от 40

 10:100 ·40 = 0,1·40 = 4 руб.

  40+4 = 44 (руб.)
Новая цена ручки составит 44 рубля.   900 : 44≈20,45, т.е.            20 ручек.

                          Ответ: на 900 рублей можно купить 20 ручек.

     Задача № 4. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Решение: Запомним важное правило: за 100% принимается та величина, с которой мы сравниваем.

 Цена была повышена на 16% по сравнению с чем? — с прежней ценой. Значит, прежняя цена — это 100%, новая цена —  100%+16% = 116%. Составляем пропорцию:

100%   -    х руб.                          

116%  - 3480 руб.                      

Составляем и решаем уравнение 100 ·3480 = 116 · х  

                                                         х = 100 ·3480:116

                                                              х = 3000.

                  Ответ: 3000 рублей стоил чайник до повышения цены.

     Задача № 5. При покупке ребенку новых лыж с ботинками родителям пришлось заплатить на 35 % больше, чем два года назад, причем лыжи подорожали с тех пор на  20 %, а ботинки — на 70 %. Сколько процентов от стоимости лыж с ботинками составляла два года назад стоимость лыж?

Уравнение:

1,2х + 1,7у = (х + у) + 0,35(х + у)
1,2х + 1,7у = х + у + 0,35х + 0,35у
1,2х + 1,7у = 1,35х + 1,35у
1,7у – 1,35у = 1,35х – 1,2х
0,35у = 0,15х
х = 0,35у : 0,15
х = у
х = у
х = у

 · 100%  = у : (у + у) ·100% = у :  у · 100% =

= · 100%  = 70%

                                     Ответ: 70% от стоимости лыж с ботинками  

                                   составляла два года назад стоимость лыж.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Футболка стоила 1200 рублей. После снижения цены она стала стоить 972 рубля. На сколько процентов была снижена цена на футболку? 
2. Цена на электрический чайник была повышена на 17% и составила 2340 рублей. Сколько рублей стоил товар до повышения цены? 
3.  Тетрадь стоит 30 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 450 рублей после понижения цены на 10%? 
4.  Флакон шампуня стоит 150 рублей.  Какое наибольшее число флаконов можно купить на 700 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 35%?
5.  Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 140 рублей за штуку и продает с наценкой 25%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1300 рублей? 
6.  Цену на пальто снизили на 30%, затем новую цену повысили на 30%. Как изменилась цена на пальто?
7. Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10% за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?                                                  
8. Антикварный магазин приобрел старинный кинжал за 30 тысяч рублей. И выставил его на продажу, повысив цену на 60%. Но этот кинжал был продан лишь через неделю, когда магазин снизил его новую цену на 20%. Какую прибыль получил магазин при продаже старинного кинжала?
9. На весенней распродаже в одном магазине шарф стоимостью 350 рублей уценили на 40%, а через неделю еще на 5%. В другом магазине шарф такой же стоимости уценили сразу на 45%. В каком магазине выгоднее купить этот шарф?
10. Во время распродажи масляные краски для рисования стоимостью 213 рублей за коробку продавали на 19% дешевле. Сколько примерно денег сэкономит художественная студия, если она купит партию в 150 коробок?

2). Задачи на проценты в банковском деле.

     В банковском деле различают простые и сложные виды процентов. При использовании простых процентов процент начисляется на первоначальную сумму вклада (кредита) на протяжении всего периода начисления. В случае же со сложными процентами процент в конце каждого интервала начисляется на сумму первоначального вклада (кредита) и начисленных за предшествующие интервалы процентов.

      Рассмотрим пример применения простых и сложных видов процентов. Банк «А» и банк «Б» предлагают вкладчикам срочный вклад на 3 года под 10 % годовых с выплатой процентов в конце срока. Банк «А» при начислении процентов использует схему простых процентов, а банк «Б» – схему сложных процентов. Какой банк Вы выберите для того, чтобы положить на срочный вклад 20 тысяч рублей? По формуле простых процентов рассчитаем будущую стоимость капитала, помещенного в банк «А»: Sn = S0(1+),

S3 = 20000·(1+) = 20000 ·= 26000 рублей.

По формуле сложных процентов рассчитаем будущую стоимость капитала, помещенного в банк «Б»:    Sn = S0﴾1+﴿n

S3 = 20000 · ﴾1+﴿3 = 20000·1,13 = 20000·1,331 = 26620 рублей.

Таким образом,  выгоднее выбрать банк «Б».

     Задача № 1. На банковский счет было положено 10 тысяч рублей.  После того, как деньги пролежали один год,  со счета сняли 1 тысячу рублей.  Еще через год на счету стало 11 тысяч  рублей. Какой процент годовых начисляет банк?

Решение:

Пусть банк начисляет р% годовых.

1) Сумма в 10000 рублей, положенная на банковский счет под р% годовых, через год возрастет до величины

10000 + 0,01p ·10000 = 10000 + 100р руб.

Когда со счета снимут 1000 руб., там останется 9000 + 100р руб.

2) Еще через год последняя величина за счет начисления процентов возрастет до величины 9000 + 100р + 0,01p(9000 + +100р) = р2 + 190р + 9000 руб.

По условию эта величина равна 11000 руб., поэтому имеем квадратное уравнение.

р 2 + 190р + 9000 = 11000;

р 2 + 190р - 2000 = 0

Решим это квадратное уравнение, используя теорему Виета,      p1 = 10, p2 = -200.

Отрицательный корень не подходит.

                                               Ответ: начислялось 10% годовых.

     Задача № 2. Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4% в месяц увеличился за 8 месяцев до 33000 рублей?

Решение:

S0 · (1+8 ·) = 33000,

S0 = 33 000 · = 25000 рублей

                      Ответ: начальный вклад должен быть 25000 рублей.

     Задача № 3. Банк обещал своим клиентам годовой рост  вклада 30%. Какую сумму денег может получить человек, вложивший в этот банк 450 тысяч рублей?

Решение:

1) 450 · 0,3 = 135( тыс. руб.) – «прирост» за год.

2) 450 + 135 = 585( тыс. руб.)

                                    Ответ: в конце года на счете будет  

                                                находиться  585 тысяч  рублей.

Задачу можно было бы решить и иначе: сначала  найти  сколько процентов составит сумма на счете в конце года от первоначальной – 100% + 30% = 130%, а затем вычислить 130% от 450 тысяч рублей.

     Задача № 4. Какую сумму следует положить в банк, выплачивающий 25% годовых, чтобы по истечении года получить 1000 рублей?

Решение:

1)100% + 25% = 125% - составляет 1000 руб. от первоначального вклада.

2)100 ·1000:125 = 800 (руб.) – сумма вклада.

                                               Ответ: сумма вклада 800 рублей.

     Задача № 5. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент сделал вклад в размере 500 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода?

Решение: Для решения задачи достаточно подставить в формулу величину процентной ставки p = 2, число месяцев n = 6  и первоначального вклада S0 = 500:

S = 500 ·(1 + )  = 500 ·1,12= 560 (руб.)

                          Ответ: через полгода на вкладе будет 560 рублей.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Чтобы накопить деньги на мотоцикл, Сергей вклад, размером 20000 рублей, положил в банк под сложные проценты по ставке р% годовых. После того, как вклад пролежал 1 год, банк увеличил процентную ставку на 10%. В конце второго года на счете находилось 28750 рублей. Какова годовая ставка сложных процентов была в первый и второй год?
2. Сколько лежал в банке вклад 20000 рублей, если по ставке 20% годовых (простые проценты), он достиг величины 28000 рублей?
3. Через 6 лет нам нужны деньги в размере 20000 рублей при процентной ставке 20% (сложные проценты). Какую сумму нужно положить в банк?
4. В банк положили 50000 рублей под 30% (при сложных процентах). Какова величина вклада через 4 года?
5. Вкладчик открыл счет в банке, вложив S0 =  100000  рублей по ставке сложных процентов 20% годовых. Вкладчик желает накопить не менее 200000 рублей. Через сколько лет это возможно? Какое наименьшее число лет, при которых вкладчик получит интересующую сумму?
6. Михаил  получил в подарок к своему 25-летию 2000 рублей и положил их в банк, который начисляет в качестве базовой ставки  7% в год. Какова будет сумма этого вклада к тому времени, когда Михаил уйдет на пенсию (в 65 лет)? 
7. Выплачиваемый  банком базовый процент  составляет 10% в год. Через сколько лет удвоится сумма помещенного в этот банк вклада? 
8. Клиент взял в банке кредит 48000 рублей на год под 9% годовых. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег с тем, чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно? 
9. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 рублей на вклад, годовой доход по которому составляет 12%, и решил в течение 6 лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете через 6 лет?
10. Два банковских филиала обслуживали в прошлом году одинаковое количество клиентов. В этом году количество клиентов в первом филиале увеличилось на 150%, а во втором – в 2,5 раза. В каком филиале стало больше клиентов?

3). Задачи на проценты в статистике и

 в теории вероятности.

     Задача № 1.  На экзамене 60 билетов. Олег не выучил 12 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет. Ответ дайте в процентах.

Решение:

1) 60-12 = 48 (б.)- выучил Олег

2) 48:60 ·100% = 80%

                      Ответ: 80%

     Задача № 2. Определите, сколько курящих детей в школе, в которой обучается 500 мальчиков и 600 девочек, если по статистике курящих мальчиков – 60%, курящих девочек – 40%.

Решение: 1) 500 – 100%

                      х     - 60%

                      х =(500·60):100= 300 (м.)

   2) 600 – 100%

         х    – 40%

        х = (600·40):100= 240 (д.)

   3) 300 м. + 240 д. = 540 (дет.).

                                               Ответ: 540 курящих детей  в школе.

     Задача № 3. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? 

Решение: «Зафиксируем» Руслана Орлова. Теперь осталось найти вероятность того, что в паре с ним окажется  бадминтонист из России. Если мы исключили Руслана Орлова из списка спортсменов (мы его «зафиксировали»), то нам осталось выбрать ему пару из 25 спортсменов, из которых 9 участников из России.

То есть число всех возможных исходов равно 25, а число благоприятных исходов равно 9.

Следовательно, p =·100% = 36%

                                               Ответ:  36%

     Задача № 4. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых и дайте в процентах.

Решение: Результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы.

Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность промаха равна 1 – 0,8 = 0,2.

1 выстрел: 0,8

2 выстрел: 0,8

3 выстрел: 0,8

4 выстрел: 0,2

5 выстрел: 0,2

По формуле умножения вероятностей независимых событий, получаем, что искомая вероятность равна:

0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

0,02·100% = 2%

                                               Ответ: 2%.

     Задача № 5.  Два завода выпускают одинаковые детали. Первый завод выпускает 40 % деталей, а второй – 60%. По статистике первый завод выпускает 4% бракованных деталей, а второй – 3%. Найдите процент вероятности того, что случайно выбранная в магазине деталь окажется бракованной.

Решение:

1) 0,4·0,04+0,6·0,03 = 0,034 – вероятность выбора бракованной детали

2) 0,034·100% = 3,4%

                                               Ответ: 3,4%

Задачи для самостоятельного решения.

1. В фирме в данный момент свободно 10 машин: 5 черных, 1 желтая  и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси. Ответ дайте в процентах.
2. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Ответ дайте в процентах.
3. По статистике в среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Ответ дайте в процентах. 
4. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора Михайлова окажется запланированным на последний день конференции? Ответ дайте в процентах.
5. При включении телевизор показывает случайный канал. Лена включает телевизор. В это время по двадцати каналам из сорока показывают рекламу. Найдите вероятность того, что Лена при включении попадет на канал, где реклама в этот момент не идет. Ответ дайте в процентах.
6. В каждой пятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя  найдет приз в своей банке. Ответ дайте в процентах.
7. По статистике около 854 миллионов  взрослых людей в мире не умеют читать. Сколько процентов взрослого населения не умеют читать, если в мире 6,8 миллиарда человек?
8. Из ружья сделано 50 выстрелов, причем 10 пуль пролетели мимо цели. Определите процент попаданий.
9. По статистике средний рост девочек десяти лет равен 150 см. Рост Наташи на 8% выше среднего. Какого роста Наташа?  
10. Вероятность рождения мальчика равна 50%.  В семье есть два мальчика и ждут ещё одного ребенка. Каков процент рождения девочки?

4). Задачи на проценты в демографической науке.

     Объектами  изучения в демографической науке являются население,  его состав и численность (по полу,  возрасту,  национальностям, занятиям, образованию и т.д.),  перемены в нем,  так называемое  движение населения (рождаемость, брачность, смертность, болезни, эмиграция), деятельность населения (сельское хозяйство, промышленность, торговля, кредит, движение на путях сообщения,  страхование,  преступность и т.д.).

     Задача № 1. Средняя продолжительность жизни россиян составляет 66 лет, причём 10% из этих лет мы проживаем за счёт медицины. На сколько лет врачи продлевают жизнь?

Решение:

1. (л) - средняя продолжительность жизни россиян не учитывая медицину.
2. 66 - 60 = 6(л)

                                             Ответ: на 6 лет.

     Задача № 2. Величина прожиточного минимума на одного человека в России в среднем в 2012 году составила 6643 рубля, а в Ханты –Мансийском автономном округе – Югре – 9228 рублей. На сколько процентов величина прожиточного минимума в Ханты –Мансийском автономном округе – Югре выше, чем по России?

Решение:

1) 9228 ·100:6643≈139%

2) 139-100 = 39%

                                               Ответ: на 39%.

     Задача № 3.  В 2012 году средняя продолжительность жизни россиян 70 лет, что составляет 25% от возможной продолжительности жизни человека.  Сколько лет может прожить человек?

Решение: х л – 100%

                70 л – 25%

х = 70·100:25=280

                                            Ответ: человек может прожить 280 лет.

     Задача № 4.  В 2011 году в городе Мегионе  количество родившихся детей составило 893, число умерших – 361. На сколько процентов увеличилось население города, если на начало года было 56380 человек?

Решение:

1. 56380+893-361=56912 (чел.)- число жителей на конец 2011 года
2. 56912·100:56380 ≈ 101%
3. 101-100 = 1%

                                               Ответ: на 1%.

      Задача № 5. Размер месячных доходов на одного жителя города Мегиона в 2009 году составлял 29 986 рублей, а в 2011 году - 33 009 рублей. На сколько процентов увеличился доход на одного жителя за 2 года?

Решение:

1)  33009·100: 29986 = 110%

2) 110-100 = 10%

                                    Ответ: на 10%. 

Задачи для самостоятельного решения.

1. В городе N живет 100000 жителей. Среди них 15 % детей и подростков. Среди взрослых 45% не работает (пенсионеры, домохозяйки, безработные). Сколько взрослых работает? 
2. В 1980 году население Земли составляло примерно 4600 миллионов  человек. За последние 500 лет годовой прирост населения составлял в среднем 0,47%. Каким должно было быть население Земли в 2000 году, если вычислить его по этим данным? 
3. В городе Мегионе в 2011 году отделом  здравоохранения  уделялось большое внимание здоровью населения и проведению диспансеризации, охват которой составил 97%. Сколько человек было охвачено медицинскими услугами, если в городе проживает 55762 человека?  
4. Численность работающего населения в 2010 году в городе Мегионе составляла 41282  человека. Какой процент от общего числа жителей составляют  другие категории населения (дети, пенсионеры, безработные и т.д.), если общее число жителей составило 58239 человек?  
5. Численность населения в городе Таганроге в течение двух лет возрастала на 2% ежегодно. В результате число жителей возросло на 11312 человек. Сколько жителей было в Таганроге первоначально?
6. Представители африканского племени ватузи в среднем имеют рост 210 см. Россиянин имеет средний рост 170 см. На сколько процентов рост представителя африканского племени выше роста россиянина?
7. В городе 125 тысяч жителей. 40% из них любят биатлон, из них 60% не смогли посмотреть соревнования по телевизору. Сколько любителей биатлона увидели соревнования по телевизору? Ответ дайте в тысячах человек.
8. В выборах приняло участие 60% всех жителей города, имеющих право голоса. Сколько человек приняло участие в выборах, если в городе 180 тысяч жителей, а право голоса имеют 81% горожан?
9. В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году — на 9% по сравнению с 2009 годом.  Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?
10. Средний вес мальчиков того же возраста, что и Сергей, равен 48 кг. Вес Сергея составляет 120% среднего веса. Сколько весит Сергей?

5). Задачи на проценты в ЖКХ и на различные виды услуг.

     Задача № 1. В газете сообщается, что с 1 октября согласно новым тарифам стоимость 1 кубического метра газа составит 3 рубля вместо 2 рублей 81 копейки. На сколько процентов выросла цена на газ?

Решение: Разность тарифов составляет 0,19 руб., а ее отношение к старому тарифу примерно равно 0,068.  Выразив это отношение в процентах, получим примерно 6,8 %.

Ответ: на 6,8%.

Задача №  2. В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составит 3 рубля 15 копеек вместо 2 рублей  27 копеек. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14,5%?

Решение: Разность тарифов составляет 0,4 рубля, а ее отношение к старому тарифу примерно  равно 0,145. Выразив это отношение в процентах, получим примерно 14,5%.

Дополнительный вопрос. Сколько будет стоить отправка заказного письма, если эта услуга сейчас оценивается в 5 рублей 50 копеек?

Решение: Цена услуги увеличивается на 14,5%, т.е. станет 5,5·1,145 ≈ 6,3 рубля.

Ответ: да, соответствует; 6,3 рубля.

Задача №  3. Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 рублей. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

Решение: Так как 4% от 250 рублей составляют 10 рублей, то за каждый просроченный день сумма оплаты на день  им придется заплатить 250+10 = 260 рублей, на неделю

250+ 10 ·7 = 320 рублей.

Ответ: 320 рублей.

Задача № 4. Стоимость проезда в городском автобусе составляла 1 рубль 60 копеек. В связи с инфляцией она возросла на 150%. Во сколько раз возросла стоимость проезда в автобусе?

Решение: 1) 1,60+1,60 ·1,5= 4(руб.) – стоимость проезда после повышения на 150%;

2) 4 : 1,6 = 2,5.

Ответ: в 2,5 раза.

Задача № 5. У Миши на счете сотового телефона было 10 рублей. Он заплатил за пользование телефоном 120 рублей. Оплачивал он в банкомате, комиссия в котором составляет 5%. Сколько денег оказалось на телефоне у Миши?

Решение: Примем 120 руб. за 100%. Определим комиссию 5% от 120 руб.

120 руб. – 100%

х руб. – 5%

х= 120·5:100 = 6(руб.)

На счет телефона поступит 120 – 6 = 114 руб.

Так как у Миши было 10 руб., то всего на счете будет

114+10 = 124 руб.

                                               Ответ: на счете будет 124 рубля.

Задачи для самостоятельного решения.

1. В начале года тариф на электроэнергию составлял 40 копеек за 1 кВт·ч. В  середине года он увеличился на 50%, а в конце года - еще на 50%. Каков стал тариф в конце года?
2. Стоимость проезда в городском автобусе составляла 5 рублей. В связи с инфляцией она  возросла на 200%. Во сколько раз повысилась стоимость  проезда в автобусе?
3. В этом году тарифы на услуги лодочной станции оказались на 20% ниже, чем в прошлом году. Можно ли утверждать, что в прошлом году тарифы были на 20% выше, чем в нынешнем году?
4. При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 1%. Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. Месячная плата за интернет составляет 350 рублей. Какую минимальную сумму положить в приемное устройство терминала, чтобы на счету фирмы, предоставляющей интернет-услуги, оказалась сумма, не меньшая 350 рублей?
5. Железнодорожный билет для взрослого стоит 530 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 14 школьников и 3 взрослых. Сколько рублей будут стоить билеты на всю группу?
6. В декабре цены на жильё упали на 4%, а в марте выросли на 6%.  На сколько  увеличилась стоимость 1 квадратного метра  жилья, если его первоначальная стоимость 60000 рублей?
7. Первоначальная стоимость коммунальных услуг была 200 рублей, через год она увеличилась на 30%, а еще через  полгода  еще  на  20%.  Сколько  стоят  новые  коммунальные услуги?
8. Ежемесячная плата за квартиру увеличится на 6% и семье придётся платить 1484 рубля. На сколько рублей увеличится плата за квартиру?
9. Типография каждые 2 месяца с начала года повышает цены на свои  услуги  на 5%.  Сколько  стоит  в августе тиражирование календаря,  если  в  январе  того  же  года  цена  составляла  80 рублей?
10. Поездка по железной дороге на новом экспрессе позволила сократить время в пути с 10 часов  до 6 часов. На сколько процентов уменьшилось время поездки?

6). Задачи на концентрацию, смеси и сплавы.

     Задача № 1. Сколько килограммов соли в 10      

килограммах соленой воды, если процентное  

содержание соли составляет 15%?

Решение:

10 · 0,15 = 1,5 (кг) соли.                                            

            Ответ: 1,5 кг.

Процентное содержание вещества в растворе

(например, 15%), иногда называют    

процентным раствором, например, 15%-й  

раствор соли.

     Задача № 2. Сплав содержит 10 кг олова и      15 кг  цинка.  Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Решение: Процентное содержание вещества в сплаве – это часть, которую составляет  вес данного вещества от веса всего сплава.

1) 10 + 15 = 25 (кг) – сплав;

2) 10:25 · 100% = 40% – процентное содержание олова в сплаве;

3) 15:25 · 100% = 60% – процентное содержание цинка в сплаве;

                                        Ответ: 40%, 60%.

     Задача № 3. К 15 л 10%-ого раствора соли добавили 5%-ый раствор соли и получили     8%-ый  раствор. Какое количество литров 5%-ого раствора добавили?

 Решение. Пусть добавили х л 5%-ого раствора соли. Тогда нового раствора стало

 (15 + х) л, в котором содержится 0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ого раствора содержится 15 . 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ого раствора содержится 0,05х (л) соли.

 Составим уравнение.

1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х)

1,5+0,05х=1,2+0,08х

- 0,03х= - 0,3
х = 10.

                                          Ответ: добавили 10 л 5%-ого раствора.

     Задача № 4. 5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%-ых сливок и к смеси добавили 1 литр чистой  воды. Какой  жирности получилась смесь?

Решение.  0,35·5+0,2·4=р·(5+4+1), откуда р=0,255, что составляет 25,5%

                                               Ответ: 25,5%

     Задача № 5. Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230 г золота и 20 г меди, а второй слиток – 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором оказалось 84 % золота. Определить массу (в граммах) куска, взятого от первого слитка.

Решение. Определим процентное содержание золота в обоих слитках.

1) 230+20=250(г) - масса 1 слитка,

2) 230:250=0,92 (92%) - процентное содержание золота в 1 слитке.

3) 240+60=300(г) - масса 2 слитка,

4) 240:300=0,8 (80%)- процентное содержание золота во 2 слитке.

Пусть х масса куска, взятого от 1 слитка, (300-х)- масса куска, взятого от 2 слитка, получим уравнение:

                                 0,92х+0,8(300-х)=0,84·300

                                  0,92х+240-0,8х=252

                                  0,12х=12

                                  х=100

                                        Ответ: 100 г.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Садовник для поливки роз смешивает удобрение «Росток» с 30%-ым содержанием калия и удобрение «Розочка» с 10%-ым содержанием калия и получает  600 граммов  15%-ого раствора. Сколько граммов  каждого удобрения было взято?
2. Смешали 4 литра 15%-ого водного раствора некоторого вещества с 6 литрами  25%-ого водного раствора того же вещества. Сколько процентов составляет концентрация полученного раствора?
3. Смешав 30%-ый  и 60%-ый растворы кислоты и,  добавив 10 кг чистой воды, получили 36%-ый  раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-ого  раствора той же кислоты, то получили бы 41%-ый  раствор кислоты. Сколько килограммов 30%-ого  раствора использовали для получения смеси?
4. Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
5. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй – 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
6. Имеется два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
7. Из сосуда, доверху наполненного 93%-м раствором кислоты, отлили 1,5 литра жидкости и долили 1,5 литра 69%-го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 85%-й раствор кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд?
8. Кусок сплава меди и цинка в 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?
9. Хозяйке для засолки огурцов необходимо получить 6%-ый раствор уксусной кислоты, используя 70%-ый раствор уксусной кислоты и воду. Сколько необходимо взять 70%-ого раствора и воды, чтобы получить 700 г раствора необходимой концентрации?  
10.  В санатории «Солнечный» готовят ванну из морской и пресной воды. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?

7). Задачи на проценты в экологии. 

     Задача № 1. В 1 м2 городского воздуха содержится около 5000 микробов. А в 1 м2 лесного массива - около 500 микробов. Какой процент микробы 1м2 лесного массива составляют от микробов 1м2 городского воздуха?

Решение:

500:5000 = 0,1 = 10%.

                                 Ответ: 10%

     Задача № 2. В 2007 году было посажено саженцев 250 га, а в 2008 году и в  2009 году площадь саженцев составила 72% от площади, засаженной в  2007 году. Сколько гектаров саженцев было посажено в  2008 и 2009 году?

Решение:

  (га)

                                               Ответ: по 180 га.

     Задача № 3. В городе через канализационную очистительную систему (КОС) в 2009 году поступало 2840 тонн загрязняющих веществ. Из них 23% проходят недостаточную очистку, а 7% остаются без очистки. Какое количество загрязняющих веществ возвращается в природные водоемы  практически без очистки?

Решение:

1) 23% +7% = 30 %

      2) (т)

                                               Ответ: 852 тонны.

     Задача № 4.  Сколько тонн отходов от автотранспорта было выброшено в 2005 году в атмосферу  города, если угарный газ составил 10300 тонн, оксид азота составил 13% от величины угарного газа, оксиды серы составили 3,5% от величины угарного газа?

Решение:

1)10300:100·13 =1339 (т)

2)10300:100·3,5 =360,5 (т)

3)10300+1339+360,5= 11999,5 (т)

                                               Ответ: 11999,5 тонн.

     Задача № 5. В 2007 году от пожаров погибло 10 га леса, в 2008 — в два раза больше, в 2009 году — в 7 раз больше, чем в 2008 году. На сколько процентов увеличилась площадь леса, погибшего от пожаров?

Решение:

1. 10 · 2 = 20(га) – погибло в 2008 году
2. 20 · 7 = 140(га) – погибло в 2009 году
3. %
4. 1400% – 100% = 1300 %

                                               Ответ: на 1300%.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Влажность воздуха к полудню по сравнению с утренней снизилась на 12%, а затем повысилась на 5% по сравнению с полуднем. Сколько процентов от утренней влажности составляет влажность воздуха к вечеру и на сколько процентов она снизилась?  
2.  На острове Мадагаскар  из 28 местных видов птиц вымерло 24. Определите этот, самый высокий в мире, процент исчезнувших птиц. 
3. Гектар лиственного леса вырабатывает 2 килограмма  летучих защитных веществ, а гектар хвойного леса - 250% от этой величины. Сколько килограммов  летучих защитных веществ вырабатывает гектар хвойного леса?
4. В настоящее время леса  на планете занимают около 40 млн. км2. Ежегодно  эта величина уменьшается на 2%. Когда  планета  останется без своих «легких», если этот процесс не остановить?
5. В мире ежегодно добывается  1600 млн. м3 древесины, около 20% всей древесины идет на топливо. Сколько кубических метров древесины сжигается?
6. В суровую зиму  в лесу может погибнуть до 90% птиц. Если в лесу обитало 3400 птиц, то сколько птиц осталось?  
7. Муравьи очищают лес от мусора, они могут переносить груз, в 10 раз превышающий собственный вес. Сколько лет живет муравей, если его продолжительность жизни составляет 1% от продолжительности жизни  Мамонтова дерева (2500 лет)?
8. В России лесом занято около 1 млрд. га, в том числе 80% всей площади – хвойными. Бором занято около 25%, а еловыми лесами – около 17% всей площади хвойных лесов. Сколько гектаров занимают бор и еловые леса?
9. Один гектар леса в течение года способен поглощать столько углекислого газа, сколько его выдыхают 232 человека. Сколько процентов это составляет от общего числа людей, проживающих в городе Мегионе в 2010 году (численность составила 56405 человек)?
10. В лесных насаждениях происходит самоизреживание. Сколько сосновых деревьев придется на 1 га к 100 годам жизни леса, если вначале было 10000 деревьев на 1 га, к 40-летнему возрасту деревьев осталось 25% их числа, а к 100 годам жизни леса осталось только 21% деревьев, которые оставались к 40-летнему возрасту?

8). Задачи на проценты в промышленности

и в сельском  хозяйстве. 

     Задача № 1. После уплаты всех налогов, которые в сумме составили 30% от дохода, предприниматель оставил себе на законном основании 35000 рублей. Какова была величина чистого дохода предпринимателя?

Решение: Пусть х - это чистый доход предпринимателя, тогда

х-0,3х=35000

0,7х=35000

х=50000                          

                                 Ответ: 50000 рублей.

     Задача № 2.  После реконструкции завод увеличил выпуск продукции на 30%. Спустя некоторое время выпуск продукции увеличился на 10%, а после замены оборудования еще на 15%. На сколько процентов увеличился первоначальный выпуск продукции?

 Решение: Пусть х- это первоначальный выпуск продукции, тогда  х+0,3х=1,3х – выпуск продукции после увеличения на 30%;

1,3х+1,3х ·0,1=1,43х – выпуск продукции после увеличения еще на 10%;

1,43х+1,43х ·0,15=1,6445х – выпуск продукции после увеличения еще на 15%;

1,6445х – х = 0,6445х или 64,45%.  

                                               Ответ: на 64,45%.

     Задача № 3. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?

Решение: Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40. Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах – 25%.

                                               Ответ: 25%.

      Задача № 4. В феврале цена на нефть увеличилась на 12% по сравнению с январской. В марте цена нефти упала на 25%. На сколько процентов мартовская цена изменилась  по сравнению с январской?

Решение. Если  х – январская цена нефти, то февральская цена нефти равна  (1 +0,01·12)х = 1,12х. Чтобы вычислить мартовскую цену у на нефть, следует умножить февральскую цену 1,12х на (1-0,01·25)=0,75, т.е. у =0,75 ·1,12х=0,84х, мартовская цена отличается от январской на ·100 –100 = =84-100 = -16(%), т.е. цена упала на 16 %

                                               Ответ: цена упала на 16%.

     Задача № 5. Завод произвёл за год 40000 автомобилей, а в следующем году –  только 36000 автомобилей. Сколько процентов это составило по отношению к выпуску предыдущего года?

Решение:   36000 : 40000 · 100 = 90% .

                                        Ответ: 90%.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Зарплату рабочему повысили сначала на 10%, а через год еще на 20%. На сколько процентов повысилась зарплата по сравнению с первоначальной?
2. Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов, необходимо  теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня? 
3. По плану фермерское хозяйство должно  продать государству 1400 тонн мяса, но хозяйство выполнило план на 120%. Сколько тонн мяса продало фермерское хозяйство  государству?
4. Объемы ежемесячной добычи нефти на первом, втором и третьем месторождениях относится как 7:6:14. Планируется уменьшить месячную добычу нефти на первом месторождении на 14% и на втором – тоже на 14%. На сколько процентов нужно увеличить добычу нефти на третьем месторождении, чтобы суммарный объем добываемой за месяц нефти не изменился?
5. При проверке влажности зерна она оказалась равной 16%. 200 кг зерна просушили, после чего зерно стало легче на 20 кг. Найти влажность зерна после просушки (с точностью до 0,1%).
6. Один рабочий обтачивает за неделю 960 изделий и израсходовал на это 12 резцов, другой рабочий на обточку 640 таких же деталей израсходовал 10 резцов. Кто экономнее расходовал резцы и на сколько процентов?
7. Бригада косарей в первый день скосила половину луга и еще 2 га,  а во второй день 25% оставшейся части и последние 6 га. Найти площадь луга.
8. Выпуск продукции завода за 4 года увеличился в 16 раз. На сколько процентов в среднем увеличился выпуск продукции за каждый год по сравнению с предыдущим годом?
9. Прибыль компании в 2009 году по сравнению с 2008 годом уменьшилась на 10%, а прибыль в 2010 году по сравнению с 2009 годом увеличилась на 25%. Рассчитайте величину прибыли, которую получила компания в 2008 году, если в 2010 году компания получила 315000 рублей прибыли. 
10. Доля бракованной продукции в 1 партии изделий бриллиантовых украшений составила 1%, во 2 партии - 1,5%, а в третьей - 2%. Первая партия составляет 35% всей продукции, вторая - 40%. Определить средний процент бракованной продукции.

9). Задачи на процентное содержание компонентов  в различных  веществах.

Задача № 1. Виноград содержит 90%  влаги, а изюм — 5%.

Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?

1. Внимание! Если вам встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог — знайте, что на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось 90%  воды, значит, «сухого вещества» было 10%. В изюме 5%  воды и 95%  «сухого вещества». Пусть из х кг винограда получилось 20 кг изюма. Тогда 10%  от х равно 95%  от 20
2. Составим уравнение:
3.         0,1х=0,95·20
   0,1х=19
4.         х=19:0,1
5.         х=190
                                          Ответ: 190 кг.

     Задача № 2. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?              

Решение: 1) 22 · 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах;

     2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих.                                              

                                             Ответ: 2,5 кг.

     Задача № 3. Свежие груши содержали 72% воды, а сухие - 20%. Сколько сухих фруктов получится из 20 кг свежих груш?

Решение: В свежих грушах сухой остаток составляет 100% - 72% = 28%. В 20 кг свежих груш сухой остаток составляет 20·0,28 = 5,6 (кг). В сухих грушах сухой остаток составляет 100% - 20% = 80%. 5,6 кг сухого остатка будет в 5,6:0,8 = 7 кг сухих фруктов.

                                               Ответ: 7 кг.

     Задача № 4. Хранили 20 кг крыжовника, ягоды которого содержат 99% воды. Содержание воды в ягодах уменьшилось до 98%. Сколько крыжовника получилось в результате?

Решение: На первый взгляд, кажется, что вес ягод мало изменился, но это только на первый взгляд! Вес сухого «вещества» в ягодах составлял 100-99=1(%), или 20·0,01=0,2(кг). После сушки его вес составляет 100-98=2(%) от нового веса ягод. Найдём новый вес ягод: 0,2:0,02=10(кг).

                     Ответ: после сушки вес ягод уменьшился в два раза.

     Задача № 5. Сколько килограммов  белых грибов надо собрать для получения 1 килограмма  сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных  грибов?

Решение: 1 кг сушеных грибов – это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е. 1 кг : 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е.

10 кг : 0,05 = 20 кг.

                                               Ответ: 20 кг.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Из 25 килограммов  свежих яблок получили 4 килограмма

сушёных. На сколько процентов уменьшилась масса яблок при сушке?

2. Фасоль содержит 23% белка, 55% крахмала и 1,8% жиров. Сколько килограммов белка, крахмала и жиров содержится в 15 килограммах фасоли?
3. Влажность свежих грибов  99%, сушеных – 98%. Как изменился вес грибов после подсушивания?
4. Из молока получается 10% творога. Сколько творога получают из 40 кг молока?
5.  Арбуз массой 20 кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%.  Какова теперь масса арбуза?
6. Полученный при сушке винограда изюм составляет 32% всей массы винограда. Из какого количества винограда получится 2 кг изюма?
7. Свежие фрукты содержат 78% воды, а сухие – 12% воды. Сколько килограммов сухофруктов получится из 40 килограммов свежих фруктов?  
8. В траве влага составляет 70 % от общей массы, а в сене – 10% от общей массы. Сколько нужно взять травы, чтобы заготовить 1000 кг сена?
9. Из молока получается 21% сливок, а из сливок – 24% масла. Сколько нужно взять молока, чтобы получить 630 кг масла?  
10.  Из пшеницы получается 80% муки. Сколько муки получится из 200 кг пшеницы?

10). Задачи,

связанные с процентными вычислениями

в литературных произведениях.

     Задача № 1. В романе М. Е. Салтыкова-Щедрина  «Господа Головлевы» Петя, сын Порфирия Владимировича,  проиграл в карты казенные 3000 рублей и попросил у бабушки эти деньги взаймы. Он говорил:  «Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц». Подсчитайте, сколько денег готов вернуть Петя через год, согласись бабушка на его условия.

Решение: Расчет делаем по формуле сложных процентов

 S=S0· (1+r/100)n

S0 =3000 рублей, r = 5% в месяц, n = 12 месяцев.                      

 S=3000·(1+5/100)12 = 3000·(21/20)12 = 3000·(1,05)12 = 5387,57 ≈ ≈5400 (руб.) 

                                              Ответ: ≈ 5400 рублей.      

     Задача № 2.  В романе М. Е. Салтыкова-Щедрина «Господа Головлевы»  читаем: «Порфирий Владимирович… сидит у себя в кабинете. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если б маменька Арина Петровна подаренные ему при рождении дедушкой Петром Иванычем, на зубок, сто рублей ассигнациями не присвоила себе, а положила бы вкладом в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего восемьсот рублей ассигнациями». Под какой процент годовых надо было маменьке  положить сторублевый вклад, чтобы через, например, 50  лет он увеличился в восемь раз?

 Решение: На вклады с длительными сроками хранения банки начисляют сложные проценты.

Процент годовых найдем из уравнения 100·(1+0,01p)50 = 800

                                                                    (1+0,01p)50 = 8

                                                                    1+0,01p = 1,0425

                                                                     0,01р = 0,0425

                                                                    p = 4,25%.

Прямо скажем, не так уж и много, даже по нынешним меркам!

                                               Ответ: 4,25%

     Задача № 3. В романе Джека Лондона «Маленькая хозяйка большого дома» даётся следующий материал для математического расчёта:
«Посреди поля возвышался стальной шест, врытый глубоко в землю. С верхушки шеста к краю поля тянулся трос, прикреплённый к трактору. Механики нажали рычаг – и мотор заработал.
Машина сама двинулась вперёд, описывая окружность вокруг шеста, служившего его центром.
– Чтобы окончательно усовершенствовать машину, – Грэхем, – вам остаётся превратить окружность, которую она описывает, в квадрат.
– Да, на квадратном поле пропадает при такой системе очень много земли.

Грэхем произвёл некоторые вычисления, затем заметил:
– Теряем примерно три акра из каждых десяти.
– Не меньше».
Решение:
Расчёт неверен: теряется меньше, чем 0,3 всей земли.
Пусть, а  – сторона квадрата. Площадь такого квадрата S□ = а2. Диаметр вписанного круга

равен также а,  его площадь S0=

Пропадающая часть квадратного участка составляет:

 Видно, что необработанная часть квадратного поля составляет не 30%, как полагали герои американского романиста, а только 22%.

                                               Ответ: необработанная часть  

                                                квадратного поля составит 22%.

     Задача № 4. В рассказе А.П.Чехова  «Каникулярные работы институтки  Наденьки  N» студентка Наденька решает такую задачу: «Три купца взнесли для одного торгового предприятия капитал, на который, через год, было получено 8000 рублей  прибыли. Спрашивается: сколько получил каждый из них, если первый взнес 35000 рублей, второй 50000 рублей, а третий 70000 рублей?»

Решение Наденьки: «Чтобы решить эту задачу, нужно сперва узнать, кто из них больше всех взнес, а для этого нужно все три числа повычитать одно из другого, и получим, следовательно, что третий купец взнес больше всех, потому что он взнес не 35000 и не    50000, а 70000. Хорошо. Теперь узнаем, сколько из них каждый получил, а для этого разделим 8000 на три части так, чтоб самая большая часть пришлась третьему. Делим: 3 в восьми содержится 2 раза. 3·2=6. Хорошо. Вычтем 6 из восьми и получим 2. Сносим нолик. Вычтем 18 из 20 и получим еще раз 2. Сносим нолик и так далее до самого конца. Выйдет то, что мы получим 2666, которая и есть то, что требуется доказать, то есть каждый купец получил 2666руб., а третий, должно быть, немножко больше».

 А на самом деле решение следующее:

 1) 35000 + 50000 + 70000 = 155000 руб. – 100%

 2) 155000 : 100 = 1550 руб. – 1%

 3) 8000 : 1550 ≈ 5,16 %

 4) 35000 : 100 · 5,16 ≈ 1806,45 (руб.) – получит прибыли 1 купец

 5) 50000 : 100 · 5,16≈ 2580,65 (руб.) – получит прибыли 2 купец

 6) 70000 :100 · 5,16≈ 3612,90 (руб.) – получит прибыли  3 купец.         

             Ответ: 1806,45 рублей, 2580,65 рублей  и 3612,90 рублей.

     Задача № 5.  В повести Оноре де Бальзака  «Гобсек» дается такое содержание:  «Господин Дервиль взял у ростовщика Гобсека сумму в 150000 франков сроком на 10 лет под 15% годовых».  Найдите разницу при расчете по формулам простых и сложных процентов?

Решение:  Если бы расчеты велись по формуле  сложных процентов, то:

S10 = 150000· (1 + 0,01·15)10 ≈ 606834 франка.
Если бы расчёты велись по формуле простых процентов: S10 = 150000·(1 + 0,01·15·10) = 375000 франков.                                       

Разница - 231834 франка.

                                   Ответ: разница составит 231834 франка.          

Интересные факты

1. Самый большой прирост населения с начала 2010 года зафиксирован в Индии (1,6%), самое большое падение - в Японии (-0,088%)
2. Масса крови в организме человека составляет около 8% его массы.
3. Самая длинная кость в организме человека  - бедренная, ее длина составляет обычно 27,5% от роста человека.
4. Общий вес мышц у мужчины составляет около 40% от веса тела, а у женщины - около 30%.
5. Известно, что медузы на 98-99% состоят из воды, тем не менее, медуза не растворяется в море, ее можно взять в руки.
6. Все  животные и растительные существа состоят из воды: животные – на 75%,  рыбы – на 75%,  картофель - на 76%, яблоки - на 85%, помидоры - на 90%, огурцы - на 95%, арбузы - на 96%. Даже человек состоит из воды. 86% воды содержится в теле у новорожденного и до 50% у пожилых людей.
7. Если человек теряет 2% воды от массы своего тела, то у него возникает сильная жажда. Если проценты потерянной воды увеличатся до 10%, то у человека начнутся галлюцинации. При потере в 12% человек не сможет восстановиться без помощи врача. При потере в 20% человек умирает.
8. Вода не только дарит жизнь, но может и отнимать ее. 85% всех заболеваний в мире передается с помощью воды.
9. В мире всего 9% левшей (ведущая левая рука).
10. Человек пользуется лишь 10-ю процентами собственного мозга.
11. Организм человека состоит (в массовом отношении): из воды – на 60%, из белка – на 14%, из жиров – на 10%, из углеводов – на 1%, из золы – на 5% и других веществ.
12. Общая длина кровеносных сосудов человека — примерно 100000 км.  В покое кровь распределена так: 25%  –  в мышцах,  25% –  в почках, 15%  – в сосудах стенок кишечника, 10% – в печени, 8% –  в мозгу, 4% – в венечных сосудах сердца, 13% – в сосудах легких и других  органах.
13. Страна с наибольшим количеством языков: Папуа - Новая Гвинея. Хотя английский язык является в этой стране официальным, на самом деле это чистая формальность: по-английски здесь говорит не более 2% населения. Жители Папуа - Новой Гвинеи используют более 820 различных языков, что составляет 12% языков мира.
14. Самая образованная страна в мире - Канада. 50% населения этой страны имеют образование не ниже среднего специального. За Канадой следует

Израиль — 45% и Япония — 44%.

15. Страна - крупнейший производитель кислорода в мире: Россия. В Сибири растёт примерно 25% мировых лесов, которые охватывают площадь больше, чем континентальная часть США, что делает Россию самым мощным в мире переработчиком углекислого газа в ценнейший кислород.
16. Страна - крупнейший производитель опиума: Афганистан. Здесь производится невероятные 95% от всего опиума в мире.
17. Самая засушливая страна: Ливия. 99% Ливии покрыто пустыней, в некоторых регионах дождей не бывает десятилетиями.
18. Страна с самым большим количеством озёр: Канада. 60% всех озёр мира находятся на территории Канады,  более 3000000 озёр, занимающих 9% канадских земель.
19. Страна с самыми толстыми гражданами: Науру. 95% населения этого маленького островного государства имеют избыточный вес. Причина? Ничего особенного, они просто слишком много едят и мало двигаются.
20. Воздух на 78% состоит из азота.

Ответы

             1). Задачи на проценты в торговле.

             1) 19%;     2) 2000 рублей;     3) 16 тетрадей;    4) 7 штук;          

             5) 7 штук;   6) снизилась на 9%;    7) 33,1%;    

             8) 8,4 тысячи рублей;    

             9) во втором;   10) ≈ 6000 рублей.

            2). Задачи на проценты в банковском деле.

            1) 15%, 25%;        2) 2 года;         3) 6697 рублей;      

            4) 142805 рублей;     5) 4 года;          6) 7600 рублей;            

            7) 8 лет;       8) 4360 рублей;      

            9) 3947,65 рубля;        10) одинаково.

            3). Задачи на проценты в статистике и в теории  

                вероятности.

            1) 10%;     2) 25%;          3) 99,5%;        4) 16%;    

            5) 50%;         6) 20%;     7) ≈ 13%      

            8) 80%;           9) 159 см;      10) 50%.

           4). Задачи на проценты в демографии.

           1) 46750 человек;          2) 5100 млн. человек;    

           3) 54089 человек;          4) 29%;    

           5) 280000 человек;         6) 19%;      

           7) 80 тысяч человек;       8) 87480 человек;    

           9) 47088 человек;         10) 57,6 кг.

           5). Задачи на проценты в ЖКХ и на различные виды услуг.

           1) 90 копеек;       2) в 2 раза;    

           3) нет, т.к. за 100% берется разная величина;              

           4) 360 рублей;       5) 5300 рублей;           6) 1056 рублей;            

           7) 312 рублей;              8) на 84 рубля;          

           9) 92,61 рубля;             10) на 40%.

           6). Задачи на концентрацию, смеси и сплавы.

           1) 150 гр., 450 гр.;          2) 21%;           3) 60 кг;    

           4) 9 кг;            5) на 100 кг;                   6) 18 кг;        

           7) 4,5 л;          8) 13,5 кг;                    

           9) 60 г кислоты, 640 г воды;      10) 70 кг.

          7). Задачи на проценты в экологии.

          1) 92,4%, снизилась на 7,6%;         2) ≈ 86%;    

          3) 5 кг;     4) через 50 лет;

          5) 320 млн. м3;           6) 340 птиц;           7) 25 лет;

          8) 200 млн. га и 136 млн. га;       9) 0,41%;    

         10) 525 деревьев.

          8). Задачи на проценты в промышленности

                и в сельском  хозяйстве.

          1) на 32%;          2) на 25%;          3) 1680 тонн;  

          4) 13%;              5) 6,7%;              6) первый рабочий на 20%;                  

          7) 20 га;              8) 100%;             9) 2800 рублей;                      

          10) 1,45%.

   9). Задачи на процентное содержание компонентов в  

        различных  веществах.

          1) 84%;       2) 3,45 кг белка, 8,25 кг крахмала, 0,27 кг жира;      

          3) уменьшился в 2 раза;                  4) 4 кг;

          5) 10 кг;              6) 6,25 кг;               7) 10 кг;

          8) 3000 кг;          9) 12500 кг;           10) 160 кг.

Литература

1. Алешковский,  И.А. Математика в экономике. Экономико-математические задачи на проценты и доли/ И.А. Алешковский 3-е изд., испр. и перераб. - М.: «МАКС Пресс», 2006. – 80 с.
2. Бродский,  Я. С. Статистика. Вероятность. Комбинаторика / Я. С.  Бродский.  - М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008. — 544 с.
3. Васильев, В. П. Экономика для школьников и абитуриентов / В. П. Васильев.  - М.: Дело и сервис, 2005. – 132 с.
4. Глеман,  М. Вероятность в играх и развлечениях: Элементы теории вероятностей в курсе средней школы. Пособие для учителя / М.  Глеман, Т. Варга. Пер. с фр. А. К. Звонкина.  - М.: Просвещение, 2009. — 176 с.
5. Катасонов, В.Ю. О проценте: ссудном, подсудном, безрассудном. Хрестоматия современных проблем «денежной цивилизации» / В.Ю Катасонов. – М:  «НИИ школьных технологий», 2011. – 304 с.
6. Лютикас, В. С. Факультативный курс по математике. Теория вероятностей / В. С. Лютикас.  - М.: Просвещение, 2009. – 198 с.
7. Морошкин,  В.А. Практикум по финансовому менеджменту: технология финансовых расчетов с процентами /  В.А. Морошкин.  - М.: «Финансы и статистика» , 2005. – 78 с.
8. Прокопенко,  Н. И. Задачи на смеси и сплавы / Н.И. Прокопенко.- М.: Чистые пруды, 2010. – 215 с.

                          Интернет – ресурсы.

1. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия (CD-диск) www.KM.ru
2. http://historic.ru/books/item/
3. http://slovari.yandex.ru
4. http://school-sector.relarn.ru
5. http://ru.wikipedia.org/wiki/
6. http://www.bymath.net/studyguide/ari/ari15.html
7. http://math-prosto.ru/?page=pages/percent/percent3.php