Признаки делимости

Районная научная конференция учащихся

Секция «Математика»

 «Признаки делимости натуральных чисел »

                                                                                      Автор:

                                                                          Еткарева Алина,

                                                                           ученица 6 класса

                                                     ГБОУ СОШ ж.-д.ст. Погрузная

                                                    Научный руководитель:

                                              Степанова Галина Алексеевна

учитель математики  

                                           ГБОУ СОШ ж.-д.ст. Погрузная

С. Кошки

Содержание

Введение………………………………………………………………………...3

1. Глава 1. Немного истории    …………………………………………….4 -5

2. Глава 2. Признаки делимости

 2.1.Признаки делимости натуральных чисел на 2, на 3(9) на 5, на 10,  изучаемые в школе……………………………………………………………….5-6

2.2. Признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, полученные самостоятельно……………………………………………………..6-7

2.3. Признаки делимости на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, описанные в разных источниках.............................................................................................................8-11

3.Глава 3. Применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач...................................................................................................11-14

      Заключение.            …………………………………………………………..15

       Список использованной литературы………………………………………16

Введение

Актуальность: При изучении  темы: «Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10»  меня заинтересовал вопрос о делимости чисел. Известно, что не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. При делении натуральных чисел, мы получаем остаток, допускаем ошибки, в результате - теряем время. Признаки делимости помогают, не выполняя деления, установить, делится ли одно натуральное число на другое. Я решила написать исследовательскую работу по данной теме.

Гипотеза: Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел и на другие числа.

   Объект исследования: Делимость натуральных чисел.

   Предмет исследования: Признаки делимости натуральных чисел.

Цель: Дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изученные мною.

Задачи:

1. Изучить историографию вопроса.
2. Повторить признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10, изученные мною в школе.
3. Исследовать самостоятельно признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000.
4. Изучить дополнительную литературу, подтверждающую правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел и правильность выявленных мной признаков делимости.
5. Выписать найденные из дополнительной литературы признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37.
6. Сделать вывод.
7. Составить слайдовую презентацию на тему: «Признаки делимости».
8. Составить брошюру «Признаки делимости натуральных чисел».

Новизна: 

В ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.

Методы исследования: Сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.

                                                      Глава 1. Немного из истории.

Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен.

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228г.г.).

При изучении темы: «Простые и составные числа» меня заинтересовал вопрос о составлении таблицы простых чисел, так как простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел. Оказывается, над этим же вопросом в свое время задумался живший в 3 веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен. Его метод составления списка простых чисел назвали «решето Эратосфена». Пусть надо найти все простые числа до 100. Напишем подряд все числа до 100.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.

Оставив число 2, зачеркнем все остальные четные числа. Первым уцелевшим числом после 2 будет 3. Теперь, оставив число 3, зачеркнем числа, делящиеся на 3. Затем зачеркнем числа, делящиеся на 5. В результате все составные числа окажутся вычеркнутыми и останутся только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. По этому методу можно составлять списки простых чисел, больших 100.

Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись классы: совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3), дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284: 284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142), фигурных чисел (треугольное число, квадратное число), простых чисел и др.

Блез Паскаль           Пифагор.           Леонардо Пизанский     Эратосфен

                                                  (Фибоначчи)

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Вообще, его пример - это классический случай детской математической гениальности. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машинку, прообраз арифмометра. В ранний период своего творчества (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число. 

Т.о., признаки делимости были известны с давних времен и интересовали математиков.

Глава 2. Признаки делимости

2.1.Признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе.

При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа.

Делителем натурального числа а называют натуральное число b, на которое а делится без остатка.

Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими  равнозначными словами: а кратно b, b - делитель а, b делит а.

Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число.  Например, числа 5,7,19 – простые, т.к. делятся на 1 и само себя.

Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Например, число 14 имеет 4 делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное.

Т.о…..

2.2.Признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, полученные самостоятельно.

Выполняя действия деления, умножения натуральных чисел, наблюдая за результатами действий, я нашла закономерности и получила следующие признаки делимости.

Признак делимости на 4.

25·4=100;  56·4=224;  123·4=492;  125·4=500;  2345·4=9380;  2500·4=10000;

Умножая натуральные числа на 4, я заметила, что числа, образованные из двух последних цифр числа, делятся на 4 без остатка.

Признак делимости на 4 читается так: Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 4. 

Признак делимости на 6.

Заметим, что 6=2·3Признак делимости на 6: Если натуральное число одновременно делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.

Примеры:

216 делится на 2 (оканчивается 6) и делится на 3 (8+1+6=15, 15׃3), значит, число делится на 6.

625 не делится ни на 2, ни на 3, значит, не делится на 6.

2120 делится на 2 (оканчивается 0), но не делится на 3 (2+1+2+0=5, 5 не делится на 3), значит, число не делится на 6.

279 делится на 3 (2+7+9=18, 18:3), но не делится на 2 (оканчивается нечетной цифрой), значит, число не делится на 6.

Признак делимости на 8.

125·8=1000;  242·8=1936;  512·8=4096;  600·8=4800;  1234·8=9872;  122875·8=983000;…

Умножая натуральное число на 8, я заметила такую закономерность, числа оканчиваются на три 0-ля или три последние цифры составляют число, которое делится на 8.

Значит, признак таков. Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры делятся 0 или составляют число, делящееся на 8.

Признак делимости на 15.

Заметим, что 15=3·5 Если натуральное число одновременно делится и на 5 и на 3, то оно делится на 15.

Примеры:

346725 делится на 5 (оканчивается 5) и делится на 3 (3+4+6+7+2+5=24, 24:3), значит, число делится на 15.

48732 делится на 3 (4+8+7+3+2=24, 24:3), но не делится на 5,значит, число не делится на 15.

87565 делится на 5 (оканчивается 5), но не делится на 3 (8+7+5+6+5=31, 31 не делится на 3), значит, число не делится на 15.

Признак делимости на 25.

Выполняя умножение натуральных различных чисел на 25, я увидела такую закономерность: произведения оканчиваются на 00, 25, 50, 75.

Значит, натуральное число делится на 25, если оканчивается на 00, 25, 50, 75.

Признак делимости на 50.

На 50 делятся числа: 50, 100, 150, 200, 250, 300,…  Они оканчиваются либо на 50, либо на 00.

Значит, натуральное число делится на 50 тогда и только тогда, когда оканчивается двумя нулями или 50.

Объединенный признак делимости на 10, 100, 1000, …

Если в конце натурального числа стоят столько же нулей сколько в разрядной единице, то это число делится на эту разрядную единицу.

Примеры:

25600 делится на 100, т.к. числа оканчиваются на одинаковое количество нулей. 8975000 делится на 1000, т.к. оба числа оканчиваются на 000.

Т.о., выполняя действия с числами и подмечая закономерности, я сформулировала признаки делимости и из дополнительной литературы  нашла подтверждение правильности сформулированных мною признаков делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000.

2.3.Признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, описанные в различных источниках.

Из дополнительной литературы я нашла несколько  признаков делимости натуральных чисел на 7.

  Признаки  делимости на 7:

Ι. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7.

Примеры:

478009 делится на 7, т.к. 478-9=469, 469  делится на 7.

479345 не делится на 7, т.к. 479-345=134, 134 не делится на 7.

ΙΙ. Натуральное число делится на 7, если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося числа делится на 7.

Примеры:

4592 делится на 7, т.к. 45·2=90, 90+92=182, 182 делится на 7.

57384 не делится на 7, т.к. 573·2=1146, 1146+84=1230,1230 не делится на 7

ΙΙΙ. Трехзначное натуральное число вида аbа будет делиться на 7, если а+b делится на 7.

Примеры:

252 делится на 7, т.к. 2+5=7, 7/7.

636 не делится на 7, т.к. 6+3=9, 9 не делится на 7.

IV. Трехзначное натуральное число вида bаа будет делиться на 7, если сумма цифр числа делится на 7.

Примеры:

455 делится на 7, т.к. 4+5+5=14, 14/7.

244 не делится на 7, т.к. 2+4+4=12, 12 не делится на 7.

        V. Трехзначное натуральное число вида ааb будет делиться на 7, если 2а-b делится на 7.

Примеры:

882 делится на 7,т.к. 8+8-2=14, 14/7.

996 не делится на 7, т.к. 9+9-6=12, 12 не делится на 7.

        VI. Четырехзначное натуральное число вида bаа , где b-двухзначное число, будет делиться на 7, если b+2а делится на 7.

        Примеры:

2744 делится на 7, т.к. 27+4+4=35, 35/7.

1955 не делится на 7, т.к. 19+5+5=29, 29 не делится на 7.

        VII. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

        Примеры:

483 делится на 7, т.к. 48-3·2=42, 42/7.

564 не делится на 7, т.к. 56-4·2=48, 48 не делится на 7.

        VIII. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа на соответствующие остатки получаемые при делении разрядных единиц  на число 7, делится на 7.

        Примеры:

10׃7=1 (ост 3)

100׃7=14 (ост 2)

1000׃7=142 (ост 6)

10000׃7=1428 (ост 4)

100000׃7=14285 (ост 5)

1000000׃7=142857 (ост 1) и снова повторяются остатки.

Число 1316 делится на 7, т.к. 1·6+3·2+1·3+6=21, 21/7(6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3- ост. от деления 10 на 7).

Число 354722 не делится на7,т.к. 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 не делится на 7(5-ост. от деления 100 000 на 7;  4 -ост. от деления 10 000 на 7; 6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7;  3-ост. от деления 10 на 7).

Признаки делимости на 11.

I. Число делится на 11, если разность суммы цифр стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах кратна 11.

Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет слева направо.

Пример:

2135704   2+3+7+4=16,  1+5+0=6,  16-6=10,  10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.

1352736      1+5+7+6=19,   3+2+3=8,   19-8=11,  11 кратно 11, значит, это число делится на 11.

II. Натуральное число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.

Пример: Определим, делится ли число 12561714 на 11.

Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14;  12+56+17+14=99, 99 делится на 11, значит, данное число делится на 11.

III. Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа равна цифре, которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр.

Примеры:

594 делится на11, т.к. 5+4=9,  9-в середине.

473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7- в середине.

861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6.

Признак делимости на 12.

Натуральное число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и 4 одновременно.

Примеры:

636 делится на 3 и на 4, значит, оно делится на 12.

587 не делится ни на 3, ни на 4, значит, оно не делится на 12.

27126 делится на 3, но не делится на 4, значит, оно не делится на 12.

Признаки делимости на 13.

I. Натуральное число делится на 13, если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 13.

Примеры:

Число 465400 делится на 13, т.к. 465 – 400 = 65,   65 делится на 13.

Число 256184 не делится на 13, т.к. 256 – 184 = 72,   72 не делится на 13.

II. Натуральное число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры, умноженной на 9, из этого числа без последней цифры , делится на 13.  

Примеры:

988 делится на 13, т.к.  98 - 9·8 = 26,  26 делится на 13.

853 не делится на 13, т.к.  85 - 3·9 = 58,  58 не делится на 13.

Признак делимости на 14.

Натуральное число делится на 14 тогда и только тогда,  когда оно делится на 2 и на 7 одновременно.

Примеры:

Число 45826 делится на 2, но не делится на 7, значит, оно не делится на 14.

Число 1771 делится на 7, но не делится на 2, значит, оно не делится на 14.

Число 35882 делится на 2 и на 7, значит, оно делится на 14.

Признак делимости на 19.

Натуральное число делится на 19 без остатка тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Следует учесть, что число десятков в числе надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.

Примеры:

1534   десятков-153,  4·2=8,  153+8=161, 161 не делится на 19,значит, и 1534 не делится на 19.

1824          182+4·2=190, 190/19, значит, число 1824/19.

Признаки делимости на 37.

I. Натуральное число делится на 37, если сумма чисел, образованных тройками цифр данного числа в десятичной записи делится соответственно на 37.

Пример: Определим, делится ли число 100048 на 37.

100/048      100+48=148, 148 делится на 37, значит, и число делится на 37.

II. Трехзначное натуральное число, написанное одинаковыми цифрами делится на 37.

Пример:

Числа 111, 222, 333, 444, 555, …делятся на 37.

Т.о., все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

     1группа- когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми) – это признаки делимости на 2, на 5,на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на 50;

    2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа – это признаки делимости  на3, на 9, на 7(1 признак), на 11, на 37;

    3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа – это признаки делимости на 7, на 11, на 13, на 19;

    4 группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости –это признаки делимости на 6, на12, на 14, на 15.

Глава 3. Применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач.

Признаки делимости применяются при нахождении НОД и НОК, а также при решении текстовых задач на применении НОД и НОК.

Задача 1:   (Использование общих делителей и НОД)

Ученики 5  класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг.  Сколько было пятиклассников, и сколько учебников купил каждый из них?

Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем:        203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

Из практических соображений следует, что учебников не может быть 29. также число учебников не может равняться 1, т.к. в этом случае учеников было бы 203. Значит, пятиклассников – 29 и каждый из них купил по 7 учебников.

Ответ: 29 пятиклассников; 7 учебников

Задача 2. Имеется 60 апельсинов, 165 орехов и 225 конфет. Какое наибольшее число одинаковых подарков для детей можно сделать из этого запаса? Что войдёт в каждый набор?

 Решение: 

Количество подарков должно быть делителем каждого из чисел, выражающих количество апельсинов, конфет и орехов, причем наибольшим из этих чисел. Поэтому надо найти НОД данных чисел.  НОД (60, 175, 225) = 15.  Каждый подарок будет содержать: 60 : 15 = 4 – апельсина,    175 : 15 = 11 – орехов и  225 : 15 = 15 – конфет.        

Ответ: В одном подарке – 4 апельсина, 11 орехов, 15 конфет.

Задача 3: В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, 1/2 - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?        

Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42 : 7 + 42 : 3 + 42 : 2) = 1 – 1 неуспевающий.

Математические  отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.

 Ответ: 1 работа.

Задача 4.

В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?

 Решение: В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное количество детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).

 Ответ:  В первом классе – 34 ученика, во втором классе – 36 учеников.

Задача 5.

Какое наименьшее число одинаковых подарков можно сделать из 320 орехов, 240 конфет, 200 яблок? Сколько орехов, конфет и яблок будет в каждом подарке?

Решение:     НОД(320, 240, 200) = 40 (подарков),  тогда в каждом подарке будет: 320:40 = 8 (орехов);   240: 40 = 6 (конфет);   200:40 = 5 (яблок).

Ответ: В каждом подарке по 8 орехов, 6 конфет, 5 яблок.

Задача 6.Два автобуса отправляются от одной площади по разным маршрутам. У одного из автобусов рейс туда и обратно длится 48 мин, а у другого 1 ч 12 мин. Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой же площади?

Решение:    НОК(48, 72) = 144 (мин).     144 мин = 2 ч 24 мин.

Ответ:   Через 2 ч 24 мин автобусы снова встретятся на этой же площади.

Задача 7.     Дана таблица:

В пустые клетки впишите следующие числа: 17, 22, 36, 42, 88, 48, 57, 77, 81.

Ответ:      

Задача 8.

Напишите какое – нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее из таких чисел, наименьшее из них.

Ответ:   Наибольшее – 987652413,  наименьшее – 102347586.

Задача 9.

Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: Может оканчиваться только на цифру 7. Таких чисел 4: 167,  257, 347, 527.

Т.о, мы убедились в применении признаков делимости натуральных чисел при решении задач.

 Заключение.

В процессе работы я познакомилась с историей развития признаков делимости.  Сама правильно сформулировала признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000., чему нашла подтверждение из дополнительной литературы.   Рботая с разными источниками, я убедилась в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел.

Из дополнительной литературы нашла задачи, при решении которых применяются признаки делимости натуральных чисел.

Знание и использование выше перечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления,  экономит время; исключает вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Следует отметить, что формулировки некоторых признаков сложноваты. Может быть, поэтому они не изучаются в школе.

 Собранный мной материал я оформила в виде брошюры, которую можно использовать на  занятиях математикой, на занятиях математического кружка. Учителя математики могут использовать его при изучении данной темы. Также рекомендую ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.

В дальнейшем можно рассмотреть такие вопросы:

- вывод признаков делимости;

- выяснить,существуют ли еще признаки делимости, для исследования которых у меня не хватает пока знаний?

Список использованной  литературы (источников):

1. Галкин В.А. Задачи по теме «Признаки делимости ».// Математика, 1999.-№5.-С.9.
2. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.- М.: Просвещение, 1984.
3. Каплун Л.М. НОД и НОК в задачах. // Математика, 1999.- №7. – С. 4-6.
4. Пельман Я.И. Математика – это интересно ! – М.: ТЕРРА – Книжный клуб, 2006.
5. Энциклопедический словарь юного математика./ Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989. – С. 352.
6. Internet

Признаки         делимости

На 5.

Если число оканчивается на 0, 5.

На 2.

Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8

На 10.

Если число оканчивается на 0

На 3 (9).

Если сумма цифр числа делится на 3 (9).

Ответ:      

Задача 8.

Напишите какое – нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее из таких чисел, наименьшее из них.

Ответ:   Наибольшее – 987652413,  наименьшее – 102347586.

Задача 9.

Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: Может оканчиваться только на цифру 7. Таких чисел 4: 167,  257, 347, 527.

           Признак делимости на 2

Если натуральное число оканчивается на 2, 4, 6, 8, 0, то оно делится на 2 без остатка.

Признак делимости на 5.

Если число оканчивается на 0 или  5, то оно делится на 5 без остатка.

Признак делимости на 3

Если  сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3.

Примеры

684 : 3, т. к. 6+ 8 + 4=18 ,  18 : 3, значит и число : на 3.

763 не : на3, т.к. 7+6+3=16, 16 не : на 3,значит 763 не: на 3.

Признак делимости на 9

Если  сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

Примеры

765 : 9, т. к. 7+6+5=18, 18 : 9, значит 765 : 9

881 не : на9, т.к. 8+8+1=17, 17 не : на 9, значит 881 не : на 9.

Признак делимости на 4.

25·4=100;  56·4=224;  123·4=492;  125·4=500;  2345·4=9380;  2500·4=10000; …

Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 4. 

Признак делимости на 6.

Заметим, что 6=2·3Признак делимости на 6:

Если натуральное число одновременно делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.

Примеры:

816 делится на 2 (оканчивается 6) и делится на 3 (8+1+6=15, 15׃3), значит, число делится на 6.

625 не делится ни на 2, ни на 3, значит, не делится на 6.

2120 делится на 2 (оканчивается 0), но не делится на 3 (2+1+2+0=5, 5 не делится на 3), значит, число не делится на 6.

279 делится на 3 (2+7+9=18, 18:3), но не делится на 2 (оканчивается нечетной цифрой), значит, число не делится на 6.

Признак делимости на 7.

Ι. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7.

Примеры:

478009 делится на 7, т.к. 478-9=469, 469 делится на 7.

475341 не делится на 7, т.к. 475-341=134, 134 не делится на 7.

ΙΙ. Натуральное число делится на 7, если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося числа делится на 7.

Примеры:

4592 делится на 7, т.к. 45·2=90, 90+92=182, 182/7.

мин, а у другого 1 ч 12 мин. Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой же площади?

Решение:    НОК(48, 72) = 144 (мин).     144 мин = 2 ч 24 мин.

Ответ:   Через 2 ч 24 мин автобусы снова встретятся на этой же площади.

Задача 7.     Дана таблица:

В пустые клетки впишите следующие числа: 17, 22, 36, 42, 88, 48, 57, 77, 81.

Решение: В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное кол-во детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).

 Ответ:  В первом классе – 34 ученика, во втором классе – 36 учеников.

Задача 5.

Какое наименьшее число одинаковых подарков можно сделать из 320 орехов, 240 конфет, 200 яблок? Сколько орехов, конфет и яблок будет в каждом подарке?

Решение:     НОД(320, 240, 200) = 40 (подарков),  тогда в каждом подарке будет: 320:40 = 8 (орехов);   240: 40 = 6 (конфет);   200:40 = 5 (яблок).

Ответ: В каждом подарке по 8 орехов, 6 конфет, 5 яблок.

Задача 6.

Два автобуса отправляются от одной площади по разным маршрутам. У одного из автобусов рейс туда и обратно длится 48

57384 не делится на 7, т.к. 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 не делится на 7.

ΙΙΙ. Трехзначное натуральное число вида аbа будет делиться на 7, если а+b делится на 7.

Примеры:

252 делится на 7, т.к. 2+5=7, 7/7.

636 не делится на 7, т.к. 6+3=9, 9 не делится на 7.

IV. Трехзначное натуральное число вида bаа будет делиться на 7, если сумма цифр числа делится на 7.

Примеры:

455 делится на 7, т.к. 4+5+5=14, 14/7.

244 не делится на 7, т.к. 2+4+4=12, 12 не делится на 7.

           V. Трехзначное натуральное число вида ааb будет делиться на 7, если 2а-b делится на 7.

Примеры:

882 делится на 7,т.к. 8+8-2=14, 14/7.

996 не делится на 7, т.к. 9+9-6=12, 12 не делится на 7.

        VI. Четырехзначное натуральное число вида bаа , где b-двухзначное число, будет делиться на 7, если b+2а делится на 7.

Примеры:

2744 делится на 7, т.к. 27+4+4=35, 35/7.

1955 не делится на 7, т.к. 19+5+5=29, 29 не делится на 7.

VII. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

        Примеры:

483 делится на 7, т.к. 48-3·2=42, 42/7.

564 не делится на 7, т.к. 56-4·2=48, 48 не делится на 7.

VIII. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа на соответствующие остатки получаемые при делении разрядных единиц  на число 7, делится на 7.

        Примеры:

10׃7=1 (ост 3)

100׃7=14 (ост 2)

1000׃7=142 (ост 6)

10000׃7=1428 (ост 4)

100000׃7=14285 (ост 5)

1000000׃7=142857 (ост 1) и снова повторяются остатки.

Число 1316 делится на 7, т.к. 1·6+3·2+1·3+6=21,  21/7 (6-остаток от деления 1000 на 7; 2-остаток от деления 100 на 7; 3- остаток от деления 10 на 7).

Число 354722 не делится на7,т.к. 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 не делится на 7(5-остаток от деления 100 000 на 7;  4 -остаток от деления 10 000 на 7; 6-остаток от деления 1000 на 7; 2-остаток  от деления 100 на 7;  3-остаток от деления 10 на 7).

Количество подарков должно быть делителем каждого из чисел, выражающих количество апельсинов, конфет и орехов, причем наибольшим из этих чисел. Поэтому надо найти НОД данных чисел.  НОД (60, 175, 225) = 15.  Каждый подарок будет содержать: 60 : 15 = 4 – апельсина,    175 : 15 = 11 – орехов и  225 : 15 = 15 – конфет.        

Ответ: В одном подарке – 4 апельсина, 11 орехов, 15 конфет.

Задача 3: В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, ½ - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?        

Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42 : 7 + 42 : 3 + 42 : 2) = 1 – 1 неуспевающий.

Математические отношение отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.

 Ответ: 1 работа.

Задача 4.

В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?

Примеры:

25600 делится на 100, т.к. числа оканчиваются на одинаковое количество нулей.

8975000 делится на 1000, т.к. оба числа оканчиваются на 000.

Задача 1:   (Использование общих делителей и НОД)

Ученики 5 «А» класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг.  Сколько было пятиклассников, и сколько учебников купил каждый из них?

Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем:

       203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

Из практических соображений следует, что учебников не может быть 29. также число учебников не может равняться 1, т.к. в этом случае учеников было бы 203. Значит, пятиклассников – 29 и каждый из них купил по 7 учебников.

Ответ: 29 пятиклассников; 7 учебников

Задача 2. Имеется 60 апельсинов, 165 орехов и 225 конфет. Какое наибольшее число одинаковых подарков для детей можно сделать из этого запаса? Что войдёт в каждый набор?

 Решение: 

Признак делимости на 8.

125·8=1000;  242·8=1936;  512·8=4096;  600·8=4800;  1234·8=9872;  122875·8=983000;…

Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры делятся 0 или составляют число, делящееся на 8.

Признаки делимости на 11.

I. Число делится на 11, если разность суммы цифр стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах кратна 11.

Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет слева направо.

Пример:

2135704   2+3+7+4=16,  1+5+0=6,  16-6=10,  10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.

1352736      1+5+7+6=19,   3+2+3=8,   19-8=11,  11 кратно 11, значит, это число делится на 11.

2135704   2+3+7+4=16,  1+5+0=6,  16-6=10,  10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.

1352736      1+5+7+6=19,   3+2+3=8,   19-8=11,  11 кратно 11, значит, это число делится на 11.

II. Натуральное число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.

Пример: Определим, делится ли число 12561714 на 11.

Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14;  12+56+17+14=99, 99 делится на 11, значит, данное число делится на 11.

III. Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа равна цифре, которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр.

Примеры:

594 делится на11, т.к. 5+4=9,  9-в середине.

473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7- в середине.

861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6.

Признак делимости на 12.

Натуральное число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и 4 одновременно.

Примеры:

636 делится на 3 и на 4, значит, оно делится на 12.

587 не делится ни на 3, ни на 4, значит, оно не делится на 12.

27126 делится на 3, но не делится на 4, значит, оно не делится на 12.

Признаки делимости на 37.

I. Натуральное число делится на 37, если сумма чисел, образованных тройками цифр данного числа в десятичной записи делится соответственно на 37.

Пример: Определим, делится ли число 100048 на 37.

100/048      100+48=148, 148 делится на 37, значит, и число делится на 37.

II. Трехзначное натуральное число, написанное одинаковыми цифрами делится на 37.

Пример:

Числа 111, 222, 333, 444, 555, …делятся на 37.

Признак делимости на 25

Натуральное число делится на 25, если оно оканчивается на 00, 25, 50, 75.

Признак делимости на 50.

На 50 делятся числа: 50, 100, 150, 200, 250, 300,…  Они оканчиваются либо на 50, либо на 00.

Натуральное число делится на 50 тогда и только тогда, когда оканчивается двумя нулями или 50.

Объединенный признак делимости на 10, 100, 1000, …

Если в конце натурального числа стоят столько же нулей сколько в разрядной единице, то это число делится на эту разряд-

ную единицу.

Признаки делимости на 13.

I. Натуральное число делится на 13, если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 13.

Примеры:

Число 465400 делится на 13, т.к. 465 – 400 = 65,   65 делится на 13.

Число 256184 не делится на 13, т.к. 256 – 184 = 72,   72 не делится на 13.

II. Натуральное число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры, умноженной на 9, из этого числа без последней цифры , делится на 13.  

Примеры:

988 делится на 13, т.к.  98 - 9·8 = 26,  26 делится на 13.

853 не делится на 13, т.к.  85 - 3·9 = 58,  58 не делится на 13.

Признак делимости на 14.

Натуральное число делится на 14 тогда и только тогда,  когда оно делится на 2 и на 7 одновременно.

Примеры:

Число 45826 делится на 2, но не делится на 7, значит, оно не делится на 14.

Число 1771 делится на 7, но не делится на 2, значит, оно не делится на 14.

           Признак делимости на 15.

Заметим, что 15=3·5. Если натуральное число одновременно делится и на 5 и на 3, то оно делится на 15.

Примеры:

346725 делится на 5 (оканчивается 5) и делится на 3 (3+4+6+7+2+5=24, 24:3), значит, число делится на 15.

48732 делится на 3 (4+8+7+3+2=24, 24:3), но не делится на 5,значит, число не делится на 15.

87565 делится на 5 (оканчивается 5), но не делится на 3 (8+7+5+6+5=31, 31 не делится на 3), значит, число не делится на 15.

Признак делимости на 19.

Натуральное число делится на 19 без остатка тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Следует учесть, что число десятков в числе надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.

Примеры:

1534   десятков-153,  4·2=8,  153+8=161, 161 не делится на 19,значит, и 1534 не делится на 19.

1824          182+4·2=190, 190:19, значит, число 1824 : 19.