Исследовательская работа "Великолепная пятерка правильных многогранников"

Оглавление

Введение                                                                                                                       3

Глава 1. Теоретические аспекты исследования правильных многогранников     5

1.1. История многогранников                                                                             5

1.2. Многогранники и тайна мироздания                                                          8

1.3. Многогранники в природе                                                                           9

1.4. Многогранники в искусстве                                                                      14

Глава 2. Практическое исследование правильных многогранников                    18

2.1. Развертки многогранников                                                                        18

2.2. Многогранники из ленты                                                                           19

2.3. Выращивание кристалла поваренной соли                                              21

Заключение                                                                                                                 27

Список использованной  литературы                                                                      28

Введение

Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников,

— одна из самых увлекательных глав геометрии.

Л. А. Люстерник

Есть в школьной математике особые темы,  которые  ждешь  с  нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом.  К  таким  темам  можно отнести   "Правильные   многогранники".   Здесь   не   только    открывается удивительный мир геометрических тел,  обладающих  неповторимыми  свойствами, но и  интересные   научные  гипотезы.  И  тогда  урок  математики  становится своеобразным   исследованием   неожиданных   сторон   привычного   школьного предмета.

Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. "Правильных многогранников вызывающе  мало,  - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по  численности  отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".

Каково же это вызывающе малое количество и почему их именно столько.  А сколько? Оказывается, ровно пять - ни  больше  ни  меньше.  Подтвердить  это можно с помощью развертки выпуклого многогранного угла. В  самом  деле,  для того  чтобы  получить  какой-нибудь  правильный  многогранник  согласно  его определению,  в  каждой  вершине  должно  сходиться  одинаковое   количество граней,  каждая  из  которых  является  правильным  многоугольником?

Интерес человека к правильным многогранникам - проявляли множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.

Согласно Платону форма первоэлемента Земли - куб, Воздуха - октаэдр, Огня - тетраэдр, Воды - икосаэдр, а всему миру творец придал форму пятиугольного додекаэдра. О том, что Земля имеет форму шара, учили Пифагорейцы. По Пифагору, существует 5 телесных фигур: высшее божество само построило Вселенную на основании геометрической формы додекаэдра. Земля подобна Вселенной, и у Платона Земля – тоже додекаэдр.

Если наблюдать и рассматривать многогранные формы, то можно обнаружить некоторые закономерности, имеющие прикладное значение. Некоторые из правильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов, простейших микроорганизмов.

Я решил сам увидеть многогранники в жизни: создать модели многогранников из различных материалов: бумаги, металла, химических веществ.

Имея развертки правильных многогранников, можно склеить их модели из бумаги. Можно вырастить кристалл соли, имеющий форму куба, из насыщенного раствора поваренной соли.

В данной исследовательской работе были поставлены цели: изучить различные теоретические сведения о правильных многогранниках и провести практическое исследование по выращиванию кристалла.

В соответствии с поставленными целями были определены  следующие задачи:

- изучить историю многогранников;

- выяснить где они встречаются в природе и окружающем нас мире;

- описать влияние теории многогранников на науку и искусство;

- пронаблюдать процесс роста кристаллов поваренной соли, имеющих форму куба (гексаэдра);

- обобщить полученную информацию о строении кристалла.

Для решения  поставленных задач  были использованы следующие методы исследования: изучение научно–популярной литературы по теме, обобщение, обработка информации, опыты, наблюдение.

Предмет исследования: правильные многогранники; процесс кристаллизации поваренной соли в правильный многогранник (куб).

Источники исследования: учебные пособия по математики и истории математики, журнальные публикации, материалы интернет-ресурсов.

правильных многогранников

1. История многогранников

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.    

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики - это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.

Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел (рис. 1).

        земля                       гексаэдр      

       вселенная              додекаэдр      

Рис. 1. Соотнесение элементов материи и Платоновых тел

Дальнейшее развитие математики связано с именами  Платона,   Евклида, Архимеда, Кеплера. Все использовали в своих философских теориях правильные многогранники (рис. 2).

Рис. 2. Платон, Евклид, Архимед, Кеплер

Названия  правильных  многогранников  пришли  из  Греции.  В  дословном переводе  с  греческого  "тетраэдр",  "октаэдр",  "гексаэдр",   "додекаэдр", "икосаэдр"  означают:  "четырехгранник",  "восьмигранник",   "шестигранник", "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена  13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют телами  Платона,  так как  они  занимали важное место в  философской  концепции  Платона  об  устройстве  мироздания.

Четыре многогранника  олицетворяли  в  ней  четыре  сущности  или  "стихии". Тетраэдр символизировал огонь, так как его вершина устремлена  вверх;  икосаэдр - воду, так как он самый "обтекаемый"; куб -  землю,  как  самый  "устойчивый"; октаэдр - воздух, как  самый  "воздушный".  Пятый  многогранник,  додекаэдр, воплощал  в  себе  "все  сущее",  символизировал  все  мироздание,  считался главным.

Следующий серьезный шаг в науке о многогранниках был сделан в XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783), который без преувеличения «поверил алгеброй гармонию». Теорема Эйлера о соотношении между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, доказательство которой Эйлер опубликовал в 1758 году в «Записках Петербургской академии наук», окончательно навела математический порядок в многообразном мире многогранников (таблица 1).

Вершины + Грани - Рёбра = 2.

Таблица 1

Соотношение числа вершин, ребер и граней правильный многогранников

Если наблюдать и рассматривать многогранные формы, то можно не только почувствовать их красоту, но и обнаружить некоторые закономерности, возможно, имеющие прикладное значение.

1.2. Многогранники и тайна мироздания

Важное место занимали правильные многогранники в  системе  гармоничного устройства  мира  И.  Кеплера.  Все  та  же  вера  в  гармонию,  красоту   и математически закономерное устройство мироздания привела И. Кеплера к  мысли о том, что  поскольку  существует  пять  правильных  многогранников,  то  им соответствуют только шесть планет. По его  мнению, сферы  планет  связаны между собой вписанными в них  платоновыми телами. Поскольку  для  каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной  сфер  совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце.

Кеплер попытался связать со свойствами правильных многогранников некоторые свойства Солнечной системы.

Проделав огромную вычислительную работу, в 1596 году И. Кеплер  в  книге "Тайна мироздания" опубликовал результаты своего открытия. Он предположил, что расстояния между шестью известными тогда планетами выражаются через размеры пяти правильных выпуклых многогранников (Платоновых тел). Между каждой парой "небесных сфер", по которым, согласно этой гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал одно из Платоновых тел. Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр. Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы - додекаэдр. Додекаэдр вписан в сферу Марса, вокруг которой описан тетраэдр. Вокруг тетраэдра описана сфера Юпитера, вписанная в куб (рис. 3). Наконец, вокруг куба описана сфера Сатурна. Тайна мироздания кажется открытой.

Эта модель выглядела для своего времени довольно правдоподобно. Во-первых, расстояния, вычисленные при помощи этой модели, были достаточно близки к истинным (учитывая доступную тогда точность измерения). Во-вторых, модель Кеплера давала объяснение, почему существует только шесть (именно столько было тогда известно) планет - именно шесть планет гармонировали с пятью Платоновыми телами.

Рис. 3. Модель устройства мироздания по И. Кетлеру

Однако даже на тот момент эта привлекательная модель имела один существенный недостаток: сам же Кеплер показал, что планеты вращаются вокруг Солнца не по окружностям (сферам), а по эллипсам (первый закон Кеплера). Нечего и говорить, что позже, с открытием еще трех планет и более точным измерением расстояний, эта гипотеза была полностью отвергнута.

Сегодня можно с уверенностью сказать, что расстояния между планетами не связаны ни с какими  многогранниками.  Впрочем,  возможно,  что  без  "Тайны мироздания", "Гармонии мира" И. Кеплера, правильных многогранников  не  было бы трех  знаменитых  законов  И. Кеплера,  которые  играют  важную  роль  в описании движения планет.

1.3. Многогранники в природе

Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие — в виде вирусов, простейших микроорганизмов.

Кристаллы — тела, имеющие многогранную форму. Вот один из примеров таких тел: кристалл пирита (сернистый колчедан FeS) — природная модель додекаэдра. Пирит (от греч. “пир” — огонь) — сернистое железо или серный колчедан, наиболее распространенный минерал из группы сульфидов. Размеры кристаллов пирита часто достигают нескольких сантиметров и являются хорошим коллекционным материалом. От других подобных ему минералов отличается твердостью: царапает стекло.

В  очень  красивой  книге немецкого биолога начала нашего века Э. Геккеля  "Красота  форм  в  природе" можно  прочитать  такие  строки:  "Природа  вскармливает  на  своем  лоне неисчерпаемое  количество  удивительных  созданий,  которые  по  красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные  искусством  человека  формы".

Создания природы, приведенные в  этой  книге,  красивы  и  симметричны.  Это неотделимое свойство природной гармонии. Но  здесь   видно  и  одноклеточные организмы - феодарии, форма которых точно передает икосаэдр. Чем же  вызвана такая природная геометризация? Может быть, тем, что из  всех  многогранников с таким же количеством граней  именно  икосаэдр  имеет  наибольший  объем  и наименьшую площадь поверхности.  Это  геометрическое   свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи.

Скелет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на  морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее  животное    защищает себя   двенадцатью иглами, выходящими из 12  вершин скелета. Он больше похоже на звёздчатый      многогранник.  

Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление толщи воды.

Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр (рис. 4).

Рис. 4. Строение вируса

Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников:

- куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl;

- монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра;

- кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра;

- сернокислый натрий – тетраэдр;

- бор - икосаэдр.      

Замечено, что наша матушка-Земля последовательно проходит эволюцию правильных объемных фигур. Существует много данных о сравнении структур и процессов Земли с вышеуказанными фигурами. Полагают, что четырем геологическим эрам Земли соответствуют четыре силовых каркаса правильных Платоновских тел: Протозою - тетраэдр (четыре плиты) Палеозою - гексаэдр (шесть плит) Мезозою - октаэдр (восемь плит) Кайнозою - додекаэдр (двенадцать плит).

Существует гипотеза, по которой ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. «Лучи» этого кристалла, а точнее его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. 62 их вершины и середины ребер, называемые узлами, оказывается, обладают рядом специфичecких свойств, позволяющих объяснить многие непонятные явления (рис. 5).

Рис. 5. Икосаэдро-додекаэдрическая структура Земли

Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

Советские инженеры В. Макаров и В. Морозов потратили десятилетия на исследование данного вопроса. Они пришли к выводу, что развитие Земли шло поэтапно, и в настоящее время процессы, происходящие на поверхности Земли, привели к появлению залежей с икосаэдро-додекаэдровым узором. Еще в 1929 году С.Н. Кислицин в своих работах сопоставлял структуру додекаэдра-икосаэдра с залежами нефти и алмазов.

В. Макаров и В. Морозов утверждают, что в настоящее время процессы жизнедеятельности Земли имеют структуру додекаэдра-икосаэдра (рис. 6). Двадцать районов планеты (вершины додекаэдра) - центры поясов выходящего вещества, основывающих биологическую жизнь (флора, фауна, человек). Центры всех магнитных аномалий и магнитного поля планеты расположены в узлах системы треугольников. К тому же согласно исследованиям авторов, в настоящую эпоху все ближайшие небесные тела свои процессы располагают согласно додекаэдро-икосаэдрной системе, что замечено у Марса, Венеры, Солнца. Аналогичные энергетические каркасы присущи всем элементам Космоса (Галактики, звезды и так далее).

Рис. 6. Додекаэдрическая развертка Земли

С позиций изучения симметрии, учи тывая представление о додекаэдро-икосаэдрическом силовом каркасе Земли как планеты, следует признать, что в этом смысле Земля является живым существом. С душою, которую П.А. Флоренский назвал “пневматосфера”, со свободой воли и разумом.

Додекаэдрическая структура, по мнению Д. Винтера (американского математика), присуща не только энергетическому каркасу Земли, но и строению живого вещества. В процессе деления яйцеклетки сначала образуется тетраэдр из четырех клеток, затем октаэдр, куб и, наконец, додекаэдро-икосаэдрическая структура гаструлы. И наконец, самое, пожалуй, главное – структура ДНК генетического кода жизни – представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра. Таким образом, оказывается, что вся Вселенная – от Метагалактики и до живой клетки – построена по одному принципу – бесконечно вписываемых друг в друга додекаэдра и икосаэдра, находящихся между собой в пропорции золотого сечения.

1.4. Многогранники в искусстве

Многогранники - отнюдь не только объект научных исследований. Их формы - завершенные и причудливые, широко используются в декоративном искусстве.                   

Титан Возрождения, живописец, скульптор, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи (1452-1519) — символ неразрывности искусства и науки, а следовательно, закономерен его интерес к таким прекрасным, высокосимметричным объектам, как выпуклые многогранники вообще и усеченный икосаэдр в частности (рис. 7).

Рис. 7. Изображения Леонардо да Винчи додекаэдра

методом жестких ребер (а)  и  методом сплошных граней (б)

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбрехт Дюрер (1471- 1528),  в известной гравюре  «Меланхолия»  на переднем плане изобразил додекаэдр (рис. 8).

Рис. 8. Гравюра А. Дюрера «Меланхолия»

Голландский художник Мориц Корнилис Эшер (1898-1972)создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей. Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные (рис. 9).

Рис. 9. Гравюра М.К. Эшера «Четыре тела»

На картине художника Сальвадора Дали  «Тайная Вечеря» (рис. 10) Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного  додекаэдра. Форму додекаэдра, по мнению древних,  имела  ВСЕЛЕННАЯ, то есть они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности  правильного додекаэдра.

Рис. 10. Сальвадор Дали. «Тайная Вечеря»

Всем известны египетские пирамиды (рис. 11). Великая пирамида была построена как гробница Хуфу, известного грекам как Хеопс. Он был одним из фараонов, или царей древнего Египта, а его гробница была завершена в 2580 году до н.э. Позднее в Гизе было построено еще две пирамиды, для сына и внука Хуфу, а также меньшие по размерам пирамиды для их цариц. Пирамида Хуфу, самая дальняя на рисунке, является самой большой. Пирамида его сына находится в середине и смотрится выше, потому что стоит на более высоком месте.

Рис. 11. Египидские пирамиды

Итак, правильные многогранники открыли нам попытки ученых  приблизиться к  тайне  мировой  гармонии   и   показали   неотразимую   привлекательность геометрии.

Глава 2. Практическое исследование правильных многогранников

2.1. Развертки многогранников

Доказательство того, что существует ровно пять правильных выпуклых многогранников, очень простое. Рассмотрим развертку вершины такого многогранника. Каждая вершина может принадлежать трем и более граням.

Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника - равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла дадут в развертке 180°. Если теперь склеить развертку в многогранный угол, получится тетраэдр - многогранник, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани. Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. Добавление пятого треугольника даст угол 300° - мы получаем развертку вершины икосаэдра. Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360° - эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.

Для получения модели многогранника удобно сначала изготовить развёртку его поверхности (рис. 12). При этом необходимыми инструментами являются клей и ножницы. Модели многогранников можно сделать, пользуясь одной разверткой, на которой будут расположены все грани.
                       

Рис. 12. Развертки многогранников

Обычно модели многогранников конструируют из разверток. Но есть и другой способ.

Математики давно уже доказали возможность построения трехмерных объектов из ленты. На рис. 13 показано, как получить тетраэдр, перегибая бумажную ленту по сторонам расчерченных на ней равносторонних треугольников.

Рис. 13

Аналогичным способом можно свернуть куб (рис. 14). Его грани также выстраиваются в цепочку, а чтобы изменить направление ленты для завершения формообразования, достаточно перегнуть ее по диагонали квадрата (задача на построение куба из ленты публиковалась в журнале. "Наука и жизнь" № 10, 1972 год).

Рис. 14

Так, ничем на первый взгляд не примечательная бумажная лента при нанесении на ее поверхность узора превращается в заготовку для построения самых разнообразных многогранников. На основе различных узоров можно создать все правильные многогранники, кроме додекаэдра. Это объясняется отсутствием у плоских узоров осей симметрии 5-го, 7-го и высших порядков - иначе говоря, сплошной узор из пятиугольников построить невозможно.

Рис. 15

Построение октаэдра и икосаэдра осуществляется на основе узора из правильных треугольников (рис. 15 и рис. 16). Свернув для октаэдра кольцо из шести, а для икосаэдра - из десяти треугольников, перегибаем ленту в обратную сторону и продолжаем сворачивать такие же кольца.

Рис. 16

Узоры наших лент - это частный случай сетей симметрии Шубникова - Лавеса (рис. 17).

Треугольные ячейки получаются наложением двух пар зеркальных гексагональных решеток, развернутых друг относительно друга на 90°, а квадратные - совмещением квадратных решеток под углом 45° друг к другу. С этих позиций процесс образования многогранников из фокуса превращается в теоретически обоснованное и закономерное явление.

Рис. 17

В самом деле, когда сворачивается кольцо будущего многогранника, то в буквальном смысле производится перенос элементарной ячейки решетки на определенный шаг, то есть осуществляется переносная симметрия. Меняя направление формообразования за счет перегиба ленты в обратную сторону, производим мысленный поворот ячейки вокруг узла решетки, то есть проявляется уже симметрия поворотная. Стало быть, заготовка из ленты обеспечивает поворотно-переносную симметрию. Такая поворотно-переносная симметрия в наших построениях может осуществляться с углами поворотов; 30° 45°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°. В этом и состоит весь секрет способа образования из плоской ленты объемных тел.

Таким образом, ясно, что могут существовать только два типа лент с углами разбивки, кратными 30° и 45°. Из них получается четыре правильных многогранника: куб, октаэдр, тетраэдр, икосаэдр - и целое семейство однородных многогранников. В прекрасном сочинении Иоганна Кеплера "О шестиугольных снежинках" есть очень меткое замечание: "Среди правильных тел первым по праву считается куб, первозданная фигура, отец всех остальных тел, Октаэдр, имеющий столько же вершин, сколько у куба граней, является как бы его супругой..." Действительно, все элементы образующихся из нашей ленты сложных форм являются элементами куба или октаэдра, либо того и другого вместе.

Лента имеет лицо и оборот, которые попеременно или одновременно участвуют в построении граней тела; каждый перегиб позволяет вести формообразование в двух направлениях. Отсюда нетрудно представить целое семейство игр-головоломок на основе ленты. Например, сложить рисунок, узор, орнамент, фрагменты которого разбросаны по ленте в заданном порядке.

2.3. Выращивание кристалла поваренной соли

Процесс выращивания не требует наличия каких-то особых химических препаратов. У нас всех есть пищевая соль (или поваренная соль), которую мы принимаем в пищу. Кристаллы поваренной соли NaCl представляют собой бесцветные прозрачные кубики. Этапы выращивания кристаллов поваренной соли:

1. Налить воды в ёмкость (например стакан) и поставьте его в кастрюлю с тёплой водой (не более 50°С - 60°С).

2. Насыпать пищевую соль в стакан и оставить минут на 5, предварительно помешав. За это время стакан с водой нагреется, а соль растворится. Желательно, чтобы температура воды пока не снижалась.

3. Добавить ещё соль и снова перемешать. Повторять этот этап до тех пор, пока соль уже не будет растворяться и будет оседать на дно стакана. Получен насыщенный раствор соли.

4. Перелить полученный раствор в чистую ёмкость такого же объёма, избавившись при этом от излишек соли на дне.

5. Выбрать любой понравившийся более крупный кристаллик поваренной соли и положите его на дно стакана с насыщенным раствором. Можно кристаллик привязать за нитку и подвесить, чтобы он не касался стенок стакана.

6. Через 2-3 дня можно заметить значительный рост кристаллика. Если повторить всё то же ещё раз (приготовить насыщенный раствор соли и опустить в него этот кристаллик), то он будет расти гораздо быстрее (извлечь кристаллик и использовать уже приготовленный раствор, добавляя в него воды и необходимую порцию пищевой соли).

7. Необходимо помнить, что раствор должен быть насыщенным, то есть при приготовлении раствора на дне стакана всегда должна оставаться соль (на всякий случай). Для сведений: в 100г воды при температуре 20°С может раствориться приблизительно 35г поваренной соли. С повышением температуры растворимость соли растёт.

Опыты по выращиванию кристаллов

Опыт № 1.

Цель:  получить насыщенный раствор поваренной соли.

Оборудование: соль, вода, стакан.

Ход  работы:

Приготовил ёмкость-стакан отмерил  две части  воды и одну часть поваренной  соли. Попросил взрослого нагреть мне две части  воды. Залил горячей водой  одну часть поваренной соли в стеклянный стакан  и  помешивал до тех пор, пока она не перестала растворяться. В стакане растворилась только часть соли. Дальнейшие добавки соли у меня не растворялись и легли на дно стакана в виде осадка. Когда соль  совсем перестала  растворяться  я слил  получившийся раствор  в другой стакан, чтобы на дно стакана с раствором не попало ни одной крупинки.

Вывод: я получил насыщенный раствор для опыта.

Опыт № 2

Цель: выращивание кристаллов.

Оборудование: два стакана: стакан №1 с насыщенным раствором поваренной соли, стакан №2  со  слабым (ненасыщенным )раствором поваренной соли, две нитки с  кристалликами- «затравками».

Ход  работы:

Помещаем в каждый стакан нитки с кристалликами- «затравками и начинаем вести наблюдение (таблицы 2, 3, 4, 5, 6).

Таблица 2

Итоги наблюдений 1-ой недели опыта

Выводы:

1. Что происходит в стакане № 1, определить пока трудно.
2. В стакане № 2 происходит  процесс растворения кристалла – «затравки», так как в стакане находится  ненасыщенный раствор соли.

Таблица 3

Итоги наблюдений 2-ой недели опыта

Выводы:

1. В стакане № 1 идет процесс кристаллизации.
2. В стакане № 2 кристалл-«затравка» растворился, то  есть закончился процесс растворения.
3. Понижение уровня раствора в стаканах связано с испарением воды.

Таблица 4

Итоги наблюдений 3-ей недели опыта

Выводы:

1. В стакане № 1 идет процесс кристаллизации.

2. Испарением  воды продолжается.

Таблица 5

Итоги наблюдений 4, 5, 6 недели опыта

Выводы:

1. В стакане № 1 идет процесс кристаллизации.

2. В обоих стаканах   испарение  воды продолжается.

3. В стакане №2  тоже начался процесс  кристаллизации, но позднее, когда раствор стал насыщенным, и выразился в образовании налёта на  стенках стакана.                                    

Таблица 6

Итоги наблюдений 7-ой недели опыта

Выводы:

1. Стакан № 1. Прошёл процесс кристаллизации, выразившийся в образовании кристалликов на нитке и на стенках стакана.
2. Стакан № 2. Образование кристалликов на стенках стакана.

Общие выводы:

1. Поваренная соль состоит из кристаллов.

2. При соприкосновении кристаллов соли с водой, они растворяются.

3. Быстрее всего кристаллы  соли могут образовываться в насыщенном растворе поваренной  соли.

4. По мере того как вода испаряется, соль снова  образует кристаллы.

5. В домашних условиях  можно вырастить кристаллы при необходимых условиях. Условиями образования кристаллов соли в домашних условиях являются:

А) наличие насыщенного солевого раствора;

Б) ниточки с затравкой.

Если частицы, из которых состоит кристалл соединить прямыми линиями, то получится «скелет» кристалла – пространственная кристаллическая решетка (рис. 18). Для поваренной соли она представляет собой кубик с ребром, в её узлах расположены молекулы, которые я еще не знаю.

Рис. 18. Сравнение фото и рисунка кристалла

Заключение

С древних времен правильные многогранники – удивительные символы симметрии, привлекали внимание множества выдающихся мыслителей от Платона, Пифагора, Евклида до современных ученых в различных областях науки.

Идеи Пифагора, Платона, И. Кеплера о связи правильных многогранников  с гармоничным устройством мира уже в  наше  время  нашли  свое  продолжение в интересной научной гипотезе, авторами которой (в начале 80-х годов)  явились московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла,  оказывающего  воздействие на  развитие  всех  природных  процессов,  идущих  на  планете.  

Широкое проявление правильных многогранников в природных структурах послужило причиной огромного интереса к этому разделу геометрии в современной науке.

Сейчас возникла новая волна интереса к правильным многогранникам. Это связано с той ролью, которую в современной науке играют соображения  симметрии, связанные с кристаллографией.

В результате проведенных исследований я узнал, что:

- существует лишь пять выпуклых правильных многогранников (показываю модели) - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Доказательство этого факта известно уже более двух тысяч лет;

- правильные многогранники существуют в природе (в частности, в виде кристаллов);

- вырастить  кристаллы поваренной соли, имеющих форму гексаэдра,  можно и в домашних условиях.

Список использованной  литературы

1. Александров А.Д. Что такое многогранник? / А.Д. Александров // Математика в школе. – 1981. - № 1-2. – С. 15-18.
2. Болтянский В.Г. Выпуклые многоугольники и многогранники / В.Г. Болтянский, И.М. Яглом // Математика в школе. – 1966. - № 3. – С. 12-17
3. Вейль Г. Симметрия / Пер. с англ. Б.В. Бирюкова, Ю.А. Данилова; под ред. Б.А. Розенфельда. – М.: Наука, 1968. – 278 с.
4. Ворошилов А.В. Математика и искусство. - М.: Просвещение, 1992. – 352 с.
5. Рыбников К.А. История математики: Учебник. - М.: Изд-во МГУ, 1994. - 495 с
6. Смирнов Е.Ю. Группы Кокстера и правильные многогранники // Летняя школа «Современная математики». – Дубна. – 2008. – 95 с.
7. Теория многогранников // http:/polyhednon2008.narod.ru.
8. Энциклопедия для детей. Я познаю мир. Математика. – М: Издательство АСТ, 1999. – 290 с.

огонь                   тетраэдр

вода                     икосаэдр

воздух                   октаэдр