Метод вспомогательной окружности

Слайд 1

ВЫПОЛНИЛИ УЧАЩИЕСЯ 10 «А» КЛАССА КОЛУМБЕТ МИЛА, ЗИНИНА АННА. НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: СИГУТОВА ТАТЬЯНА ВИКТОРОВНА – УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ. «Метод вспомогательной окружности»

Слайд 2

Один мудрец сказал: « Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – треугольник. Он также неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность - душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите свою»

Слайд 3

Актуальность Существует причина, по которой мы решили выбрать для исследовательской работы тему: «Метод вспомогательной окружности». На следующий год нам предстоит сдать экзамены, а материал, который дается в наших учебниках не достаточен. Более глубокое изучение различных методов дополнительных построений, может привести к ответу более коротким путем.

Слайд 4

Гипотеза, цель и задачи исследования. Гипотеза: если изучить методы дополнительных построений, в частности метод вспомогательной окружности, то это будет способствовать более успешному решению задач в курсе геометрии и на ЕГЭ по математике. Цель: Приобретение знаний и умений по применению метода вспомогательной окружности. Для решения поставленной проблемы и проверки сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи: 1. Определить виды различных дополнительных построений, особенности их реализации; установить место и значение задач, решаемых с помощью дополнительных построений,. 2. Изучить существующий метод вспомогательной окружности. 3. Определить теоретическую базу, необходимую для реализации данного метода. 4. Выявить требования к наборам задач по их признакам, методику работы с ними. 5. Осуществить экспериментальную проверку разработанной методики.

Слайд 5

Теоремы и их следствия

Слайд 6

Теоремы и их следствия Если для четырех точек плоскости А, В, М, К выполняется одно из следующих условий: а) точки М и К расположены по одну сторону от прямой АВ и при этом <АМВ = <АКВ; (рис. 1) б) точки М и К расположены по разные стороны от прямой АВ и при этом <АМВ + <АКВ = 180 ,(рис. 2) то точки А, В, М, К лежат на одной окружности

Слайд 7

Признаки 1.Если дан правильный треугольник, то можно провести окружность с центром в любой из его вершин и радиусом, равным длине его стороны, либо описать около него окружность, которая разобьется вершинами треугольника на равные дуги по 120 0 каждая. 2.Если дан прямоугольный треугольник, то вокруг него описывается окружность, центром которой является середина гипотенузы, а радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе этого треугольника. 3.Если удается установить, что суммы противоположных углов выпуклого четырехугольника равны, то вокруг него описывается окружность.

Слайд 8

Признаки 4.Если дан квадрат, прямоугольник или равнобедренная трапеция, то вокруг них описывается окружность. 5.Если для четырех точек плоскости А, В, К и М выполняется условие: точки М и К расположены по одну сторону от прямой АВ и при этом ∟АМВ = ∟АКВ, то точки А, В, М и К лежат на одной окружности (Заметим, что если ∟АМВ = ∟АКВ = 90 0 , то точки А, В, М и К расположены на окружности с диаметром АВ. ). 6.Если в треугольнике заданы биссектриса и медиана или биссектриса и серединный перпендикуляр, проведенные к одной и той же стороне, то около треугольника описывается окружность, а биссектриса продолжается до пересечения с нею. Продолжение биссектрисы и серединный перпендикуляр, проходящий через основание медианы, встретятся в середине дуги, стягиваемой стороной, к которой они проведены.

Слайд 9

Задача 1 В выпуклом четырехугольнике АВСD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О.

Слайд 10

Задача 2 В окружности проведены параллельные хорды АВ, FC, ED известно, что AD ∩ CE = M, BE ∩FD = N доказать, что МN ║ АВ.

Слайд 11

Задача 3 В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине B и углом α при вершине A точка D - середина гипотенузы, а точка C ‘ симметрична точке C относительно прямой BD . Найдите угол AC ’ B . А В С С ’ D

Слайд 12

Вывод Метод вспомогательной окружности при решении сложных нестандартных задач по геометрии очень быстро приводит к цели, позволяет решаемую задачу свести к элементарным задачам решения которых известны или легко могут быть получены. Вспомогательные построения позволяют сократить и упростить вычисления. Нестандартные дополнительные построения – один из самых эффективных приемов решения задач. Дополнительные (вспомогательные) построения – это существенный этап решения геометрических задач; стандартные приемы таких построений необходимо запоминать, а нестандартные – приобретать с опытом. Поэтому мы надеемся продолжить нашу работу в разделе стереометрия.

Слайд 13

Спасибо за внимание!