Раскраска замкнутых и односторонних поверхностей

XXIV Ставропольская краевая открытая научная конференция школьников

Секция: математика

Название работы: «Раскраска замкнутых и односторонних поверхностей»

Автор работы:

Сугакова Ксения Константиновна

Место выполнения работы:  

с. Тугулук,  МКОУ СОШ 8,

 6 класс

Научный руководитель:

Шеховцова Елена Сергеевна,

 учитель математики

МКОУ СОШ 8 с. Тугулук

 Ставрополь, 2013

Оглавление

1. Введение…………………………………………………………...2
2. Проблема четырех красок………………………………………...3
3. Замкнутые и односторонние  поверхности…………….………..5
4. Эйлерова характеристика …………………………………….….6

1. Правильные многогранники…………..………………......6
2. Сфера, тор, лента Мебиуса………………………………..7
3. Теорема Хивуда о раскраске произвольных карт на замкнутой поверхности……………………………………8
4. Раскрашивание примеров замкнутых поверхностей……………………….…………....................9

5. Заключение…………………………………………………….…..10
6. Используемая литература…………………………………………11
7. Приложения…………………………………………………….12-14

I. Введение.

   Предположим, что нам требуется раскрасить географическую карту на глобусе так, что страны – соседки получат разные цвета. Задача для плоскости решена в 1976г. Достаточно ли четырех цветов для раскраски карт на замкнутых поверхностях?

   Можно ли замкнутые поверхности отличить друг от друга иначе, чем на «глазок»? Сможет ли их  различить компьютер по каким – нибудь числовым характеристикам этих поверхностей? Например, если мы нарисовали на некой поверхности карту – отгадает ли компьютер, на какой поверхности она нарисована?

Цели исследования:        

             1) изучение проблемы четырех красок на замкнутых поверхностях;

           2) проведение эксперимента по раскраске правильных многогранников, тора, ленты Мебиуса.

Задачи исследования:

              1) провести подсчет количества цветов, необходимых для раскраски сферы, тора, ленты Мебиуса;

    2) выяснить связь между теоремой Эйлера и раскраской областей.

Гипотеза: вид замкнутой поверхности  зависит от числовой характеристики,  связанной с количеством цветов, необходимых для правильной раскраски карты на поверхности.

Объект исследования: замкнутые поверхности.        

Предмет исследования: правильная раскраска замкнутых поверхностей.

В работе использованы следующие понятия: область, карта, вершина, степень вершины, тор, эйлерова характеристика, замкнутая поверхность, регулярная карта, правильная раскраска.

II. Проблема четырех красок.

Раскрашивая географическую карту естественно пользоваться по возможности меньшим количеством цветов, однако так, чтобы две страны, имеющие общую часть границы (не только общую точку), были окрашены по-разному. В 1852 году Френсис Гутри, составляя карту графств Англии, обратил внимание, что для такой цели вполне хватает четырех красок. Его брат, Фредерик, сообщил об этом наблюдении известному математику О. Де Моргану, а тот - математической общественности. Точная формулировка гипотезы опубликована А. Кэли  1878.

Поначалу проблема не казалась слишком серьезной. Математики рассматривали ее как почти очевидный факт. Тогда же Артур Кэли увлёкся давней и, оказывается, всё ещё не решённой задачей: хватит ли четырёх разных красок, чтобы раскрасить любую карту на глобусе так, что страны-соседки получат разные цвета?

До середины XX века, хотя проблемой четырех красок занимались многие выдающиеся математики, положение с доказательством изменилось несущественно: идеи Дж. Д. Биркгофа позволили П. Франклину в 1913 году доказать гипотезу для карты с не более чем 25 странами. Позже это число было увеличено до 38.

Таково начало доказательства гипотезы Кэли о четырёх красках на сфере. Как пройти от этого начала к желанному концу? Сколько разных вариантов промежуточных карт придётся перебрать ? Решить эту проблему Кэли не успел. Джон Хивуд, молодой доцент Кембриджа — вдохновился успехами Римана и Клейна в классификации замкнутых поверхностей и решил разобраться с раскраской карт на любых поверхностях. Например, тор: сколько попарно граничащих стран можно на нём нарисовать? Сколько таких стран уместится на проективной плоскости или на бутылке Клейна?

 В 1977 году доказательство гипотезы четырех красок было получено    К. Аппелем и У. Хакеном и опубликовано в двух статьях. Значительную часть рутинных проверок выполнил компьютер, но к этому революционному нововведению относятся скептически и по сей день.

Отсутствие доказательства для проблемы четырех красок на плоскости становится еще удивительнее, если учесть, что аналогичные проблемы решены для более сложных поверхностей.

Доказана теорема, которая кажется гораздо более трудной: на торе или на любой другой двусвязной поверхности существуют карты, для раскрашивания которых требуется 7 красок, и семи красок хватает для раскрашивания любой карты. На торе мыслимы такие карты, составленные из семи областей, что каждая область соприкасается с остальными шестью. Для раскраски односторонних поверхностей, таких как лист Мёбиуса, бутылка Клейна, и проективная плоскость, необходимо и достаточно шести красок. На всех двухцветных картах на плоскости все вершины четны, то есть в каждой вершине сходится четное число границ.

Известна «Теорема о двухцветных картах»: любую карту на плоскости можно раскрасить в два цвета тогда и только тогда, когда все ее вершины четны.

Но на «клетчатом» торе эта теорема не выполняется: все вершины на таком торе четны, но для его раскрашивания необходимо взять три краски.

III. Замкнутые и односторонние поверхности.

Замкнутой поверхностью называется любая ограниченная (компактная) фигура, около каждой своей точки устроенная так же, как обычная плоскость.

Если поверхность замкнутая, то есть без края, то каждый разрез должен иметь форму какой-нибудь простой замкнутой кривой (такой раэрез мы будем называть замкнутым). Ясно, что для квадратного листа бумаги число Бетти равно нулю: любой, разрез "от края и до края", очевидно, делит квадрат на два отдельных куска. Если, соединив две противоположные стороны квадрата, склеить из него трубку, то получится, модель, поверхности, топологически отличной от квадрата. Эта новая поверхность пока еще является двусторонней, но край ее состоит уже из двух отдельных замкнутых простых кривых.

Третий тип поверхности, топологически эквивалентной поверхности сферы или куба, можно получить, пepегнyв квадрат по диагонали, а затем склеив его края. Поверхность при этом останется двусторонней, но края у нее больше не будет. Гораздо более интересный результат получится, если, прежде чем склеивать противоположные стороны квадрата, мы перекрутим его на пол - оборота. Мы получим хорошо известный лист Мебиуса (Приложение 1).

 Склеим попарно, не перекручивая, противоположные стороны квадрата. При этом получится поверхность, называемая тором. Она топологически эквивалентна поверхности бублика или куба, в котором просверлено сквозное отверстие (Приложение 2).

IV. Эйлерова характеристика.

В 1752 году Эйлер опубликовал формулу, связывающую между собой количество граней трёхмерного многогранника.

Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его ребер и Г — число граней. Тогда верно равенство В-Р+Г=2.

. 4.1. Правильные многогранники.

Под многогранником мы будем понимать тело, поверхность которого состоит из конечного числа граней, имеющих форму многоугольников.

У правильных многогранников все многоугольники равны и все плоские углы при вершинах равны между собой.

Простым будем называть многогранник без «дыр», так что его поверхность путем деформации может быть переведена в поверхность сферы.

Существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями.

Число χ=В-Р+Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Согласно теореме Эйлера эта характеристика равна 2 (Приложение 6). Эйлерова характеристика не зависит ни от длин ребер, ни от площадей граней, ни от каких – либо углов многогранника. Эйлерова характеристика равна двум независимо от того, выпуклый это многогранник или нет. Главное – чтобы поверхность этого многогранника не имела дыр и была похожа на сферу, а не на рамку.

4.2. Сфера, тор, лента Мебиуса.

      В рассматриваемой проблеме четырех красок предполагается, что карта нарисована или на плоскости, или на сфере. Эти два случая эквивалентны. В самом деле, каждая карта, заданная на сфере, может быть перенесена па плоскость, если проделаем дырочку внутри одной из областей A и затем расплющим оставшуюся часть сферы по плоскости, как мы это делали при доказательстве теоремы Эйлера. Полученная карта на плоскости покажет нам «остров», состоящий из всех нетронутых областей, и «море», состоящее из одной области A. С другой стороны, проделывая всю эту процедуру в обратном направлении, можно любую карту на плоскости превратить в карту на сфере. Итак, вместо карт на плоскости можно ограничиться рассмотрением карт на сфере. Больше того, так как деформации областей и их границ существенно не влияют на нашу проблему, то можно предположить, что граница каждой области есть простой замкнутый многоугольник, состоящий из дуг больших кругов.

     Тор (от лат . torus - выпуклость), геометрическое тело, образуемое вращением круга вокруг непересекающей его и лежащей в одной с ним плоскости прямой. Приблизительную форму тора имеет спасательный круг, баранка. Поверхность, ограничивающую тор, иногда также называют тором.

     Лист Мёбиуса (ле́нта Мёбиуса, петля́ Мёбиуса) — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное Евклидово пространство. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.

4.3. Теорема Хивуда о раскраске произвольных карт на замкнутой поверхности

Теорема Хивуда.( о раскраске произвольных карт на замкнутой поверхности).

А. Если χ(М)>0, то любая карта на M правильно раскрашивается шестью цветами.

Б. Если χ(M)=0, то любая карта на M правильно раскрашивается семью цветами.

В. Если χ(М)<0, то любая карта на М правильно раскрашивается C(χ) цветами, где

Из теоремы следует:

А. Это сфера или проективная плоскость, лента Мебиуса. В этом случае нам достаточно взять 6 цветов. Для сферы достаточно 4 цветов.

Б. Это тор или бутылка Клейна. В этом случае нам достаточно взять 7 цветов.

В. Это кренделя. Достаточно 8 цветов (Приложение 3).

4.4. Раскрашивание примеров замкнутых поверхностей

  Результатом практической части работы стало получение правильных раскрасок примеров замкнутых поверхностей: платоновых тел, сферы, тора, ленты Мебиуса.

           Додекаэдр допускает две интересных раскраски. Первая - раскраска в четыре цвета. Однако при такой раскраске противоположные грани, лежащие в параллельных плоскостях, получают различный цвет. Второй вариант - раскраска в шесть цветов, при которой противоположные грани окрашены одинаково (Приложение 4).

         Икосаэдр имеет две эффектные пятицветные окраски. Во-первых, он может быть раскрашен так, чтобы у каждой вершины встречались все пять цветов (но противоположные грани при этом не будут окрашены одинаково). При другом варианте окраски противоположные грани окрашены одинаково, но у всех вершин, кроме двух диаметрально противоположных "полюсов", один из цветов встречается дважды (Приложение 5). Однако, самая экономичная раскраска состоит из трех цветов.

         Куб можно правильно раскрасить  тремя цветами, тетраэдр четырьмя, октаэдр двумя цветами (Приложение 6).

V. Заключение.

В ходе исследования были рассмотрены теорема Эйлера и теорема Хивуда, которые помогают дать ответ на вопрос о числовых характеристиках топологических поверхностей.

Теорема Эйлера имеет огромное значение  в геометрии. Эта теорема породила новое направление в математике – топологию.

Проведен эксперимент по раскраске правильных многогранников, тора, ленты Мебиуса.

Был проведен подсчет количества цветов, необходимых для раскраски сферы, тора, ленты Мебиуса.

         Экспериментальным путем была подтверждена гипотеза о том, что вид замкнутой поверхности  зависит от числовой характеристики,  связанной с количеством цветов, необходимых для правильной раскраски карты на поверхности.

VI.  Используемая литература.

1. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения / Перевод: Ю.А.Данилова. – М.: Мир, 1971. – 511с.
2. Проблема четырех красок – Википедия. ru.wikipedia.org›wiki/Проблема_четырёх_красок
3. Проблема четырех красок: неоконченная история доказательства (Самохин А.В. , 2000),     Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате МАТЕМАТИКА www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/1062.html
4. Проблема четырех красок. www.alexlarin.com/viewtopic.php
5. Проблема четырех красок — Проблема четырёх красок Проблема четырёх красок математическая задача, предложенная Гутри (англ.) в 1852 году. www.dic.academic.ru
6. Мартин Гарднер. Остров пяти красок. www.scilib.narod.ru/Math/Gardner/5paints.htm
7. Эйлерова характеристика https://ru.wikipedia.org/wiki/Эйлерова_характеристика 
8. Введение в топологию. http://sbiryukova.com/Met_pos/18_1_6.htm
9. Долбилин Н. П. Жемчужины теории многогранников (Серия «Библиотека «Математическое просвещение»). М.:МЦНМО, 2000.

nÄ.ÅsÆ_Ç{ÅhÇhÈ.É_ÇsÊsÄ.ÅsË_Ì.ÍZξÏÑÐRijÒ_ÇsÓ

Ô7Õ»ÖV×sØhÙ_Ú.Û.ܯݢջÞ_ß.Ú.Ú.ÖVÛ.Þ_à³Þ_à_ߢá.Û.Û.ÚsâhÞ_ã

Приложение 1

 Приложение 2

Приложение 3

Замкнутые поверхности

Приложение 4

Раскраска додекаэдра

Четыре цвета                                         Шесть цветов

Приложение 5

Раскраска икосаэдра

Первый вариант                                     Второй вариант

Приложение 6.

Платоновы тела