Проект "Математика и искусство"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Лицей №3»

им. Главного маршала авиации А.Е. Голованова

Россия, 140091, г. Дзержинский Московской обл., пр. Пушкина д. 2.                

тел. 551-45-00, 551-45-09;  факс 551-45-27

Проектная работа на тему:

«Математика и искусство.  

Творчество Леонардо да Винчи»

Работу выполнили: ученицы 10 класса

Дудкина Ульяна

Прикуп Наталья

Учитель: Семёнова Наталья Вячеславовна

2010-2011у.г.

2010 год

Содержание:

Биография Леонардо да Винчи.............................................................................3

Многие грани таланта…………………………………………………………….6

Наука и практика…………………………………………………………………8

Достижения Леонардо в механике и оптики……………………………………9

Леонардо как великий учёный, философ, инженер…………………………...10

Геометрия и ее связь с природой……………………………………………….14

Пять секретов Леонардо да Винчи……………………………………………...16

Леонардо о математике………………………………………………………….17

О тайне Золотого Сечения………………………………………………………20

Биография Леонардо да Винчи

Леонардо-это имя исследователя загадочных явлений, создателя, тревожащих воображение, улыбок, за которыми кроется непознанная глубина, и рук, указывающих в неизвестность, в горные выси. Люди назовут его Итальянским Фаустом. Будучи волшебником, для своих современников, он и по сей день продолжает раскрывать для нас мир. В личности Леонардо все окутано тенью. Загадка кроется с самого рождения

Итальянский живописец, скульптор, архитектор, инженер, техник, ученый, математик, анатом, ботаник, музыкант, философ эпохи Высокого Возрождения. Леонардо да Винчи родился 15 апреля 1452 в местечке Винчи, недалеко от Флоренции.

Отец - сеньор, мессэр Пьеро да Винчи - был богатым нотариусом, так же как и четыре предыдущих поколения его предков. Когда родился Леонардо, ему было около 25 лет. Умер Пьеро да Винчи в 77 лет (в 1504 г.), за свою жизнь имел четырех жен и был отцом десяти сыновей и двух дочерей (последний ребенок родился, когда ему было 75 лет). О матери Леонардо почти ничего не известно: в его биографиях чаще всего упоминается некая "молодая крестьянка" Катерина. В эпоху Возрождения к незаконнорожденным часто относились так же, как к детям, рожденным в законном браке. Леонардо сразу был признан своим отцом, но после рождения был отправлен вместе с матерью в деревню Анхиано. В 4 года его забрали в семью отца, где он получил наачльное образование: чтение, письмо, математика, латынь. Одна из особенностей Леонардо да Винчи - его почерк: Леонардо был левша и писал справа налево, переворачивая буквы так, что текст легче было читать с помощью зеркала, но если письмо было адресовано кому-либо, он писал традиционно. Когда Пьеро было за 30, он переехал во Флоренцию и обосновал там свое дело. Чтобы найти работу для сына, отец привез его во Флоренцию. Будучи незаконно рожденным, Леонардо не мог стать юристом или врачом и отец решил сделать из него художника. В то время художники, считавшиеся ремесленниками и не принадлежавшие к элите, стояли чуть выше портных, но во Флоренции испытывали к живописцам гораздо больше почтения, чем в других городах-государствах. В 1467-1472 Леонардо обучался у Андреа дель Верроккио - одного из ведущих художников того периода - скульптора, бронзолитейщик, ювелира, устроителя праздненств, одного из представителей Тосканской школы живописи. Талант Леонардо-художника был признан учителем и публикой, когда юному художнику едва исполнилось двадцать лет: Верроккьо получил заказ написать картину "Крещение Христа" (Галерея Уффици, Флоренция), второстепенные фигуры должны были писать ученики художника. Для живописи в то время использовались темперные краски - яичный желток, вода, виноградный уксус и цветной пигмент - и в большинстве случаев картины получались тусклыми. Леонардо рискнул писать фигуру своего ангела и пейзаж недавно открытыми масляными красками. По легенде, увидев работу ученика, Верроккио сказал, что "его превзошли и отныне все лица будет писать только Леонардо". Он овладевает несколькими техниками рисунка: итальянский карандаш, серебряный карандаш, сангина, перо. В 1472 Леонардо был принят в гильдию живописцев - гильдию Святого Луки, но остался жить в доме Верроккио. Собственную мастерскую во Флоренции он открыл между 1476 и 1478 годами. 8 апреля 1476 Леонардо да Винчи по доносу был обвинен в садомее и арестован вместе с тремя друзьями. В то время во Флоренции садомея была преступлением, а высшей мерой было сожжение у столба. Судя по записям того времени, многие сомневались в виновности Леонардо, ни обвинителя, ни свидетелей так и не нашли. Избежать сурового приговора, вероятно, помогло и то, что среди арестованных был сын одного из вельмож Флоренции: был суд, но провинившихся отпустили после небольшой порки. В 1482, получив приглашение ко двору правителя Милана Лодовико Сфорца, Леонардо да Винчи неожиданно уехал из Флоренции. Лодовико Сфорца считался самым ненавистным тираном в Италии, но Леонардо решил, что Сфорца будет для него лучшим покровителем, чем Медичи, правившие во Флоренции и не взлюбившие Леонардо. Первоначально герцог взял его в качестве устроителя придворных праздников, для которых Леонардо придумывал не только маски и костюмы, но и механические "чудеса". Великолепные праздники работали на преумножение славы герцога Лодовико. За жалование меньшее, чем у придворного карлика, в замке герцога Леонардо исполнял обязанности военного инженера, гидротехника, придворного художника, позднее - архитектора и инженера. Одновременно Леонардо "работал на себя", занимаясь несколькими направлениями науки и техники одновременно, но за большую часть работы ему не платили, так как Сфорца не обращал никакого внимания на его изобретения. В 1484-1485 годах около 50 тысяч жителей Милана умерло от чумы. Леонардо да Винчи, считавший причиной этого перенаселенность города и грязь, царившую на узких улочках, предложил герцогу построить новый город. По плану Леонардо город должен был состоять из 10 районов по 30 тысяч жителей, в каждом районе должна была быть своя канализация, ширина самых узких улиц должна была равняться средней высоте лошади (через несколько столетий Государственный совет Лондона признал предложенные Леонардо пропорции идеальными и отдал приказ следовать им при разбивке новых улиц). Проект устройства города, как и многие другие технические идеи Леонардо, герцог отверг. Леонардо да Винчи было поручено основать в Милане академию художеств. Для преподавания он составил трактаты о живописи, свете, тенях, движении, теории и практике, перспективе, движениях человеческого тела, пропорциях человеческого тела. В Милане возникает Ломбардская школа, состоявшая из учеников Леонардо. В 1495 году по просьбе Лодовико Сфорца Леонардо начал рисовать свою «Тайную вечерю» на стене трапезной доминиканского монастыря Санта Мария делле Грацие в Милане. 22 июля 1490 Леонардо поселил в своем доме юного Джакомо Капротти (впоследствии он стал звать мальчика Салай - "Демон"). Что бы ни вытворял юноша, Леонардо прощал ему все. Отношения с Салаем были самыми постоянными в жизни Леонардо да Винчи, не имевшего семьи (ни жены, ни детей он не хотел), а после его смерти Салай унаследовал многие картины Леонардо. После падения Лодовика Сфорца Леонардо да Винчи покинул Милан. В разные годы он жил в Венеции (1499, 1500), во Флоренции (1500-1502, 1503-1506, 1507), Мантуе (1500), Милане (1506, 1507-1513), Риме (1513-1516). В 1516 (1517) принял приглашение Франциска I и уехал в Париж.

 Леонардо да Винчи не любил долго спать, был вегетарианцем. По некоторым свидетельствам Леонардо да Винчи был прекрасно сложен, обладал огромной физической силой, обладал недурными познаниями в рыцарских искусствах, верховой езде, танцах, фехтовании. В математике его привлекало только то, что можно увидеть, поэтому для него она прежде всего состояла из геометрии и законов пропорции. Леонардо да Винчи пытался определить коэффициенты трения скольжения, изучал сопротивление материалов, занимался гидравликой, моделированием. К тем областям, которые былиинтересны Леонардо да Винчи относились акустика, анатомия, астрономия, аэронавтика, ботаника, геология, гидравлика, картография, математика, механика, оптика, конструирование оружия, гражданское и военное строительство, планировка городов. Умер Леонардо да Винчи 2 мая 1519 в замке Клу недалеко от Амбуаза (Турень, Франция).

Среди произведений Леонардо да Винчи - живопись, фрески, рисунки, анатомические рисунки, заложившие основу для появления научной иллюстрации, произведения архитектуры, проекты технических сооружений, записные книжки и рукописи (около 7 тысяч листов), «Трактат о живописи» (Леонардо начал писать трактат еще в Милане по просьбе Сфорца, пожелавшего узнать, какое искусство более благородно - скульптура или живопись; окончательный вариант был составлен после смерти Леонардо да Винчи его учеником Ф.Мельци).

Многие грани таланта

"Это был величайший прогрессивный переворот из всех пережитых до того времени человечеством; эра, которая нуждалась в титанах и которая породила титанов по силе мысли, страсти и характеру, по разностронности и учености", - так писал о столетиях Ренессанса любимый нами Фридрих Энгельс.

Но из лучезарной когорты творцов, обогативших планету своим наследием, пожалуй, самая значительная доля оставлена великим Леонардо. Этот уникум родился в селении Анкиано близ маленького, утонувшего в оливковых рощах и виноградниках, городка Винчи - на территории, подвластной Флоренции. Его жизнь и необычайно широкий спектр затронутых деятельностью проблем аукнулись множеством легенд, составленных из правды и вымысла.

Флорентиец и сам знал о разносторонности личных дарований. Об этом говорит его письмо к миланскому владыке Людовико Сфорца. В расцвете творческих сил тридцатилетний Леонардо характеризовал себя так:

"Пресветлейший сударь мой! Увидев и рассмотрев попытки тех, кто почитает себя мастерами и конструкторами военных орудий, и найдя, что устройства и действие названных орудий ничем не отличаются от общепринятого, попытаюсь я, без желания повредить кому другому, светлости вашей представиться, открыв ей свои секреты, и затем, когда позволит время, осуществить с успехом все то, что вкратце поименовано будет ниже..."

И далее в девяти пунктах шло перечисление военных секретов. Здесь были методы строительства переносных мостов; способы осушения рвов и разрушения вражеских крепостей; бомбарды, мортиры и снаряды, отличные от заурядных. Он берется также сооружать подземные ходы под рвами; делать повозки, способные прорываться во вражеский стан...

Ну, а занятия мирного времени да Винчи кратко назвал в десятом пункте обращения:

"В отсутствие ратных тягот способен никому не уступать как архитектор общественных и частных зданий, а также как гидростроитель. Еще берусь рисовать картины, ваять и соорудить бронзовую статую, имеющую быть нетленной славой и вечной честью блаженной памяти отца вашего и знаменитого дома Сфорца".

Завершение авторекомендации таково: "А буде что из вышеназванного показалось бы кому невозможным, выражаю готовность сделать опыт в парке вашем или в месте, какое угодно будет вашей светлости".

Через пять с половиной веков нам стало известно, что сей обширный реестр не был самовосхвалением. И к закату жизни автор дополнил его иными гениальными пунктами, а именно: конструкциями паровой мортиры, пружинного автомобиля, танка, мускулолета вертикального старта, подвесного быстросъемного моста, копра для забивки свай, многоствольной артустановки, анемометра, разводного ключа, гидротурбины, редуктора, экскаватора, парашюта, телескопической лестницы, преобразователя поступательного движения во вращательное, колесцового ружейного замка, походного курвиметра, механизма выгрузки рыбы из шаланд.

А ведь на дворе еще лишь занимался XVI век! После кончины великого флорентийца только через 45 лет родится Галилей, через 124 года - Ньютон, через 192 - Ломоносов.

Из своих 67 лет жизни наибольший срок да Винчи пребывал в Италии. Чужбина открылась ему лишь в 1516-м, когда Франциск I купил для Леонардо за 3500 экю поместье в Кло Люсе. Там знаменитый эмигрант окончил не менее знаменитых "Джоконду", "Святого Жана Батиста" и разработал проект роскошного дворца для Франциска I. В том же замке 2.05.1519 и угасла жизнь гения.

Завещанием флорентиец оставил все ученику Франческо да Мелзи (который так никогда и не явил своих талантов). Кухарке Матурине досталось черное, отделанное кожей пальто хозяина.

Ныне замок Кло Люсе является частной собственностью древнего рода Сен-Бриз. К чести аристократических потомков, хозяева поместья деликатно не сидят в кресле и не спят в кровати великого мэтра.

Наука и практика

Не сложись так печально судьба рукописей Леонардо, немало его идей ускорили бы научно-технический прогресс. А методы великого флорентийца прямиком вели в царство истины. "Наука, рождающаяся и кончающаяся в мысли, - писал он, - не обладает правотой, ибо в чисто умозрительных рассуждениях не участвует опыт, без которого нет никакой достоверности".

Или: "Ни одно человеческое исследование не может назваться истинной наукой, не будучи подкреплено математическими доказательствами", а также: "Механика есть рай математических наук, посредством нее достигают математического плода".

Известно, что более других влекла Леонардо жажда высоты. Благодаря ей он разработал конструкции орнитоптера, геликоптера и парашюта. Увы, холодный разум ученого трезво констатировал: мускульной силы человека недостаточно для полета. Требовалась установка пружин, аккумулирующих энергию...

...В окрестностях Флоренции есть гора Монте Чечери - гора Лебедя. С нее Леонардо хотел совершить свой первый в истории подъем на крыльях. Дважды повторил он в "Кодексе о полете птиц" мысль о самой заветной мечте:

"Большая птица начнет первый полет со спины исполинского Лебедя, наполняя изумлением Вселенную, а молвой - все писания. То будет вечная слава гнезду, где она родилась".

...Проект гения опередил время на 500 лет и осуществился, лишь дождавшись успехов бериллиевой металлургии в комплексе с химией полимеров. Американец Б. Аллен в 1977 году на мускулолете "Gossamer Condor" сумел преодолеть одну милю по контуру "восьмерки".

Английский промышленник Г. Кремер назначил самый большой приз в истории авиации (100 тыс. фунтов стерлингов) тому, кто, взлетев без мотора и буксира, пересечет Ла-Манш. На мускулолете "Gossamer Albatross" куш сорвал все тот же Б. Аллен. Случилось это 12 июня 1979 года.

Вот он, триумф знаний, умения, мечты и воли. Ну и, конечно, госпожи удачи.

...Однако и мы, простые смертные, не так уж далеки от науки. Каждый индивидуум в силах подтверждать или опровергать гипотезу еще одного титана мысли, А. Эйнштейна: "Бесконечны лишь Вселенная и глупость человеческая. Хотя относительно бесконечности первой имеются некоторые сомнения".

И не стоит грустить о никчемности, в отличие от великих имен, личного существования. Как заключил упомянутый А. Эйнштейн, любой из нас когда-то просто умрет. А это, в конце концов, тоже совсем неплохо.

Достижения Леонардо в механике и оптики

1. Проекты металлургических печей
2. Проекты прокатных станов
3. Проекты печатных машин. Листы бумаги, обычно загружаемые в печатные прессы вручную, загружались туда автоматически
4. Проекты деревообрабатывающих машин
5. Проекты ткацких станков
6. Машина для производства напильников
7. Машина для производства металлических винтов
8. Машина для производства веревки
9. Машина, пробивавшая дыры в заготовках и чеканившая монету
10. Проект подводной лодки
11. Проект "танка" - конструкции, приводимой в движение восемью воинами, находившимися внутри, и снабженной двадцатью пушками
12. Проект парового ружья - архитронито. В ружье происходил быстрый выброс пара, обеспеченный вмонтированным в ствол клапаном. Пар мог посылать пулю на расстояние 800 метров.
13. Проекты летательных аппаратов и парашюта
14. Проекты каналов и ирригационных систем, проект соединения Флоренции и Пизы посредством канала.
15. Проект механического вертела для приготовления мяса. К вертелу было присоединено подобие пропеллера, который должен был вращаться под действием потоков нагретого воздуха, идущих вверх от огня. К ряду приводов длинной веревкой был прикреплен ротор, усилия передавались на вертел с помощью ремней или металлических спиц. Чем сильнее разогревалась печь, тем быстрее вращался вертел, что предохраняло мясо от подгорания.
16. Инструмент для измерения интенсивности света. Фотометр, нарисованный Леонардо, не менее практичен, чем предложенный американским ученым Бенджамином Румфордом три столетия спустя.
17. Проект лыжеподобных башмаков для хождения по воде
18. Перепончатые перчатки для плаванья
19. Вращающийся вытяжной колпак для дымоходов
20. Вращающиеся мельницы для производства тонких, унифицированных листов металла
21. Проект переносных разборных домов
22. Шлифовальные машины
23. Масляная лампа со стеклянной сферой, наполненной водой для усиления яркости света
24. Разрозненные формулировки принципа инерции, который на протяжении многих лет назывался принципом Леонардо (позднее в сформулированном виде - закона инерции - первого закона Ньютона): «Ничто не может двигаться само собой, движение вызвано воздействием чего-то другого. Этим другим является сила», «движение стремится к сохранению, или, скорее, движущиеся тела продолжают двигаться до тех пор, пока в них продолжает действовать сила движителя (начального импульса)»

Леонардо как великий учёный, философ, инженер

Леонардо с юности имел склонность к механике и технике. Величайшая его заслуга состоит в том, что он раньше Бэкона теоретически понял значение опытного исследования и раньше Галилея сумел применить экспериментальный метод к самым разнообразным областям знания.
Да Винчи был отличный математик. он первый в Италии ввел в употребление знаки "+" (плюс) и "-" (минус), изобрел особый инструмент для черчения овалов, впервые определил центр тяжести пирамиды. Изучение геометрии позволило Леонардо впервые создать научную теорию перспективы. "Перспектива, - говорит да Винчи, - есть руль живописи. Она разделяется на три части: 1) укорачивание линий и углов, 2) ослабление окраски предметов находящимся между глазом зрителя и предметами слоем воздуха, 3) ослабление контуров".
Он внимательно изучил Архимеда, которого часто цитирует, и старался пойти далее. Часто ему это удавалось. С замечательной ясностью излагает учёный-художник в общих чертах теорию рычага, поясняя её рисунками; не остановившись на этом, он даёт чертежи, относящиеся к движению тел по наклонной плоскости. Из чертежей ясно, что Леонардо на 80 лет предупредил голландца Стевина и что он уже знал, в каком отношении находится вес двух грузов, находящихся на двух смежных гранях треугольной призмы и соединённых между собой посредством нити, перекинутой через блок.
Однажды понадобилось перенести гробницу святого Киодо. Леонардо соорудил машину из блоков и веревок, облегчающую труд рабочих. Ещё находясь во Флоренции, он предложил "поднять церковь, как гнездо птички, и перенести на другое место". Это рискованное предложение не было принято.
Леонардо исследовал также задолго до Галилея продолжительность времени, необходимого для падения тела, спускающегося по наклонной плоскости и по различным кривым поверхностям. Ещё более любопытны общие начала, или аксиомы, механики, которые пытается установить Леонардо. Многое здесь неясно и прямо неверно, но встречаются мысли, положительно изумляющие.
"Ни одно чувственно воспринимаемое тело,- говорит Леонардо,- не может двигаться само собою. Его приводит в движение некоторая внешняя причина, сила. Сила…не может изменяться ни по форме, ни по напряжению. Если тело движимо силой в данное время и проходит данное пространство, то та же сила может подвинуть его во вдвое меньшее время на вдвое меньшее пространство. Всякое тело оказывает сопротивление в направлении своего движения. Свободно падающее тело в каждый момент своего движения получает известное приращение скорости. Удар тел есть сила, действующая в течение весьма недолгого времени".
Леонардо решительно отрицает возможность perpetuum mobile, вечно движущегося без посторонней силы механизма. По его теории, всякое отраженное движение слабее того, которое его произвело. Опыт показал ему, что шар, брошенный о землю, никогда не поднимается на ту высоту, с которой он брошен. Этот простой опыт убедил Леонардо в невозможности создать силу из ничего и расходовать работу без всякой потери на трение и т. п. Опыты также убедили его, что трение зависит от веса тела, движущегося по неровной поверхности. "На гладкой плоскости, - говорит Леонардо, - трение равно четверти веса движущегося по ней тела". Это - первая попытка определить так называемый коэффициент трения. Сверх того, да Винчи производил опыты над сопротивлением балок и других материалов разрыву, сжатию и сгибанию. Весьма любопытны его механические объяснения движения живых организмов, исходя из которых он нарисовал чертежи "практического фехтования".
Да Винчи знал, что камень, брошенной с высоты башни, не падает к её основанию, а отклоняется в сторону, и приписывал это явление вращению Земли, в чем легко убедиться уже из одного заглавия его трактата ("Della discesa de'gravi combineta colla rotazione della terra" - "О падении тяжелых тел, соединённом с вращением Земли").
Не менее замечательны работы Леонардо да Винчи в области гидростатики и гидродинамики. Он открыл, что в двух сообщающихся сосудах жидкость стоит на одинаковом уровне, если плотность её одинакова, и что давление жидкости на дно не зависит от формы сосуда. Он изучил, что менее плотная жидкость должна подняться выше, чем сообщающаяся с ней более плотная. На этом Леонардо основал свою теорию морских течений: у экватора вода стоит выше, чем в умеренных широтах, и вследствие нарушения равновесия происходят течения. Леонардо пытался измерить скорость истечения воды из сифона. Его занимала также теория водоворота. Еще более отчетливы и замечательны воззрения да Винчи на волнообразное движение.
В области практической физики Леонардо также высказал замечательную изобретательность. Он соорудил весьма остроумный гигрометр: на вертикальном циферблате находится род стрелки или весов с двумя шариками равного веса, из которых один из воска, другой из ваты; в сырую погоду вата намокает, становится тяжелее и перевешивает воск; по количеству пройденных рычагом делений можно судить о степени влажности воздуха. Кроме того, Леонардо изобретал разные насосы, стекла для усиления света ламп, водолазные шлемы. Он первый в Италии изобрел плавательный пояс.
Особенно занимало его воздухоплавание. Он постоянно изучал полет птиц и занимался анатомией птичьего тела. Да Винчи еще в XV столетии изобрел парашют и производил опыты с маленькими шариками и призмами из тончайшего воска, которые надувал теплым воздухом, заставляя их таким образом летать.
Леонардо стоял на шаг от изобретения телескопа: он говорит, что если бы устроить снаряд, в котором лучи имели такой ход, как внутри нашего глаза, это дало бы возможность увеличивать видимые нами небесные тела. Он соорудил даже "искусственный глаз" с целью показать ход лучей внутри нашего глаза. Леонардо знал явление, смущавшее даже новейших физиков, а именно так называемую иррадиацию, в силу которой белый предмет на чёрном поле кажется более, чем равный ему по величине чёрный на белом поле. Леонардо объясняет это явление тем, что когда свет исходит от более яркой поверхности, то впечатление, оказываемое им на сетчатую оболочку, распространяется на более широком пространстве, захватывая соседние нервы, а не только те, на которые непосредственно действует переданное хрусталиком изображение. Леонардо пользовался знанием законов иррадиации не только в своем трактате о живописи, но и в некоторых картинах, например, в "Madonna dell'angello". Явление полутени было в совершенстве изучено Леонардо, и он постоянно пользовался им в живописи. Что касается теории цветов, то он исходил из того положения, что "белый цвет есть причина всех цветов" и что наиболее гармонирующими между собой должны считаться цвета радуги. Леонардо считал в радуге не семь цветов, а восемь: тонкий глаз художника ясно различал то, что смешивается обыкновенным зрением.
В области прикладной физики весьма интересна изобретённая Леонардо паровая пушка. Действие её состояло в том, что в сильно нагретую камеру вводилась тёплая вода, мгновенно превращавшаяся в пары, которые своим давлением вытесняли ядро. Кроме того, он изобрел вертел, вращавшийся посредством токов теплого воздуха.
В качестве военного инженера Леонардо много занимался металлургией. В письме к Лодовико Моро Леонардо писал: "Я умею сооружать особые орудия, которые бросают град снарядов, распространяющих сверх того густой дым, вносящий смятение в ряды врагов". В прилагающихся чертежах встречаются самые разнообразные формы разрывных бомб и снарядов, снабжённых трубками, извергающими пламя и дым при помощи пороха, смолы и серы, заключённой внутри них. Он изобрёл колесницу с вращающимися серпами, которая, врезаясь в неприятельскую пехоту, должна были косить солдат. Гораздо более важны чертежи и объяснения да Винчи, относящиеся к сверлению пушечных жерл и к отливке различных частей орудия. Особенно интересовался он различными бронзовыми сплавами, тем более что бронза была ему нужна ещё для памятника Франческо Сфорца. Весьма подробно исследовал Леонардо обстоятельства полёта снарядов, интересуясь этим предметом не только как артиллерист, но и как физик.
Не менее замечательны размышления Леонардо по вопросам физической астрономии и геологии. Он говорит, что мерцание звёзд есть явление субъективное, зависящее от свойств нашего глаза; что Луна светит не собственным, а отраженным от Солнца светом. Он является одним из первых основателей геологии, утверждая, что находимые в горах ископаемые раковины были некогда отложены морем.
О географических познаниях Леонардо лучше всего свидетельствует начерченная им по указаниям Америго Веспуччи первая карта Америки, хранящаяся в Лондонском музее.
Как художник, рисовавший множество этюдов листьев и деревьев, Леонардо интересовался ботаникой и высказал весьма любопытные мысли об образовании колец древесины, о расположении ветвей и листьев и т. п. Он же первый изобрел способ отпечатывания листьев со всеми их тонкими жилками.
В эпоху, когда химия была алхимией, Леонардо объясняет горение свечи, говоря, что пламя питается воздухом и что внутренняя часть пламени светит менее по той причине, что в ней сгорание неполно. Леонардо пишет целый трактат "О пламени и воздухе".
Не менее интересны философские работы Леонардо да Винчи. "Истолкователем природы, - говорит да Винчи, - является опыт. Он не обманывает никогда; наше суждение иногда обманывается, потому что ожидает результатов, не подтверждаемых опытом. Надо производить опыты, изменяя обстоятельства, пока не извлечем из них общих правил, потому что опыт доставляет истинные правила. Но к чему служат правила? - спросите вы. Я отвечу, что они, в свою очередь, направляют наши исследования в природе и наши работы в области искусства. Они предостерегают нас от злоупотреблений и от недостаточных результатов... Люди, занимающиеся точными науками, теми, которые основаны на математике, и при этом совмещающиеся не с природой, а с книгами, не достойны названия детей природы: я бы назвал их только внуками природы. Она одна учительница истинных гениев. Но посмотрите на глупцов! Они насмехаются над человеком, который предпочитает изучать природу, нежели авторов, учеников этой самой природы... Если я занимаюсь каким-либо предметом, я сначала произвожу опыты, а потом делаю выводы и строю доказательства. Таков метод, которому надо следовать, изучая явления природы".
Планы да Винчи были необычайно широки. Во время засухи и неурожая Леонардо размышлял о способах орошения полей и придумывал разные усовершенствования дренажа. Во время слишком обильных ливней и гроз, губящих жатву, он предлагал устроить такие пушки, которые могут метать разрывные снаряды и разгонять облака.
Интересна изобретенная Леонардо землекопательная машина, состоящие из сложной системы рычагов, движущих одновременно десятки лопат.
В 1492 году герцог Лодовико женился на Беатриче д'Эсте. В то же время надо было довершить план орошения правого берега Тичино и окончить задуманную работу канализации. И вот Леонардо в одно и то же время составляет план с целью сделать реку Мартезану судоходной от Треццо до Милана и тут же занимается устройством хозяйства Беатриче. Он архитектор, он же и живописец, украшающий герцогский дворец. Он сооружает для Беатриче посреди герцогского сада бассейн с красивой купальней, со стенами розового мрамора, с белой ванной, с мозаиками и фигурой Дианы. Он составляет даже рисунки ключей и головок угрей для кранов, выпускающих холодную и горячую воду.
В 1494 году Леонардо на время покинул Милан. Он поселился в Павии, где брал уроки анатомии у генуэзского ученого Марко Антонио делла Торре. Марко резал трупы, а Леонардо рисовал мускулы и кости пером и красным карандашом. К этому времени он уже обладал отличным знанием человеческого тела.
В 1497 году, после смерти молодой герцогини, да Винчи соорудил для Беатриче великолепный мавзолей. Своды храма Милосердной Богоматери были увеличены для его постановки. Леонардо окончил модель мавзолея необычайно быстро.

                  Геометрия и её связь с природой.

Для Леонардо всё в природе связано с землёй, связано между собой и управляется схожими статическими и динамическими принципами, подчиняющимися определённым законам. Он полагал, что человек может объяснить естественную философию с помощью видимых свойств рассматриваемого объекта. То, что нельзя увидеть или почувствовать, с точки зрения Леонардо, есть предмет scienza-науки. Однако когда он пишет о scienza, он упоминает не науку в современном понимании этого слова, а интеллектуальный способ видения. В 15 веке scienza имела отношение к широкому кругу систематических, интеллектуальных знаний, базирующихся в общем и целом на теоретических предположениях. К концу 15 века эти предположения состояли из комбинации, философских концепций, отдельных математических множеств (quantita discontinua) и, иногда, некоторых геометрических форм (quantita continua).

Леонардо считал геометрию ключом к пониманию законов природы. С помощью геометрии Леонардо выстраивал перспективу в живописных работах, делая рисунки механизмов, рассчитывал их массу, необходимую для того, чтобы поднять объект блоками, измерял силу, необходимую для того чтобы метательный снаряд летел под разными углами, и др.

Сложные геометрические задачи Леонардо решал «механически», использую компас и циркуль. Все рисунки Леонардо размечал циркулем. Спустя приблизительно два года после набросков, сделанных в 1493 году он чернилами нарисовал вечно движущиеся колеса. И циркули необходимы были ему ,чтобы добиться их круглой формы. В конце 15 века тема вечного двигателя была весьма популярна. Никто не мог добиться непрерывного вечного движения с помощью таких колес, но тем не менее Леонардо считается их создателем.

Приблизительно в1496 году Леонардо познакомился с Лукой Пачоли, для которого для которого сделал рисунки многогранников. Пачоли опубликовал эти рисунки, включая усеченный звездообразный додекаэдр, в своём трактате «О Божественной пропорции»(1498).

В том же году Леонардо создал уникальную роспись в Сала-делле-Ассе во дворце Сфорца. На сводах и стенах этого зала он изобразил ветви  ив, которые затейливо перевязаны декоративными шнурами. Впоследствии часть красочного слоя потускнела и осыпалась, но значительная часть сохранилась и реставрирована.

В этой росписи видно, что Леонардо пытался одновременно добиться эффекта геометрической симметрии природной асимметрии в исполнении деталей.

В последующие годы  художник продолжал работать над визуальными решениями геометрических задач, пытаясь решить, например, проблемы квадратуры круга.

Так же как античное искусство повлияло на живопись Леонардо, древние авторы внесли свой вклад его познания в геометрии. При создании геометрических форм он следовал советам Платона; чтобы создать квадратуру круга, он изучал Архимеда; чтобы удвоить размер куба, он использовал решения Эдокса ил Геликона Сизикуса. Сегодня трудно сказать с уверенностью, какие источники были главными для Леонардо, но мы знаем, что он зачастую просил друзей-учёных предоставить ему информацию или какой-либо манускрипт.

В своём творчестве Леонардо усматривал естественную взаимосвязь геометрических законов, пропорций арифметических формул. Изображал ли Леонардо объект, или исследовал его, он знал, что всё это-отображение самой жизни, красоты или безобразия Природы.

                                              ПРОПОРЦИИ.

Леонардо при создании разнообразных проектов использовал геометрические пропорции. В целом он использовал единицу измерения в одну треть. Извлекая корень из двух в прямоугольнике, он вращал длину диагонали вдоль основания, создавая длинную сторону прямоугольника. В отличие от  общепринятого мнения, Леонардо не использовал так называемое «золотое сечение», в котором меньшая длинна пропорциональна большей длине так же, как большая длина пропорциональна сумме большей и меньшей длин.

Пять секретов Леонардо да Винчи

1. Леонардо многое шифровал, чтобы его идеи раскрывались постепенно, по мере того, как человечество до них "дозреет". Изобретатель писал левой рукой и невероятно мелкими буковками, да еще и справа налево. Но и этого мало - он все буквы переворачивал в зеркальном изображении. Он говорил загадками, сыпал метафорическими пророчествами, обожал составлять ребусы. Леонардо не подписывал своих произведений, но на них есть опознавательные знаки. Например, если вглядываться в картины, можно обнаружить символическую взлетающую птицу. Таких знаков, видимо, немало, поэтому те или иные его детища вдруг обнаруживаются через века. Как было с мадонной Бенуа, которую долгое время в качестве домашней иконы возили с собой странствующие актеры.

2. Леонардо изобрел принцип рассеяния (или сфумато). Предметы на его полотнах не имеют четких границ: все, как в жизни, размыто, проникает одно в другое, а значит, дышит, живет, пробуждает фантазию. Итальянец советовал упражняться в таком рассеянии, разглядывая возникающие от сырости пятна на стенах, пепел, облака или грязь. Он специально окуривал дымом помещение, где работал, чтобы в клубах выискивать образы. Благодаря эффекту сфумато появилась мерцающая улыбка Джоконды, когда в зависимости от фокусировки взгляда зрителю кажется, что героиня картины то нежно улыбается, то хищно скалится. Второе чудо Моны Лизы в том, что она "живая". На протяжении веков ее улыбка изменяется, уголки губ поднимаются выше. Точно так же Мастер смешивал знания разных наук, поэтому его изобретения со временем находят все больше применений. Из трактата о свете и тени происходят начала наук о проникающей силе, колебательном движении, распространении волн. Все его 120 книг рассеялись (сфумато) по свету и постепенно открываются человечеству.

3. Леонардо предпочитал метод аналогии всем другим. Приблизительность аналогии - это преимущество перед точностью силлогизма, когда из двух умозаключений неизбежно следует третье. Но одно. Зато чем причудливее аналогия, тем дальше простираются выводы из нее. Взять хоть знаменитую иллюстрацию Мастера, доказывающую пропорциональность человеческого тела. С раскинутыми руками и раздвинутыми ногами фигура человека вписывается в круг. А с сомкнутыми ногами и приподнятыми руками - в квадрат, при этом образуя крест. Такая "мельница" дала толчок ряду разнообразных мыслей. Флорентиец оказался единственным, от кого пошли проекты церквей, когда алтарь помещается посередине (пуп человека), а молящиеся - равномерно вокруг. Этот церковный план в виде октаэдра послужил еще одному изобретению гения - шариковому подшипнику.

4. Леонардо любил использовать правило контрапоста - противопоставления противоположностей. Контрапост создает движение. Делая скульптуру гигантского коня в Корте Веккио, художник расположил ноги скакуна в контрапосте, что создавало иллюзию особого свободного хода. Все, кто видел статую, невольно меняли свою походку на более раскованную.

5. Леонардо никогда не спешил закончить произведение, ибо неоконченность - обязательное качество жизни. Окончить - значит убить! Медлительность творца была притчей во языцех, он мог сделать два-три мазка и удалиться на много дней из города, например, благоустраивать долины Ломбардии или создавать аппарат для ходьбы по воде. Почти каждое из его значительных произведений - "незавершенка". Многие были испорчены водой, огнем, варварским обращением, но художник их не исправлял. У Мастера был особый состав, с помощью коего он на готовой картине будто специально проделывал "окна незаконченности". Видимо, так он оставлял место, куда бы сама жизнь могла вмешаться, что-то подправить.

Леонардо о математике:

 1. Пусть не читает меня в основаниях моих тот, кто не математик.

 2. Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой.

 3. Удвой квадрат, образуемый диагональным сечением данного куба, и у тебя будет диагональное сечение куба вдвое большего, чем данный: удвой одну из двух квадратных площадей, образуемых при диагональном сечении куба.

Другое доказательство, данное Платоном делосцам геометрическое не потому, что ведется при помощи инструментов - циркуля и линейки и опыт нам его не дает, но оно всецело мысленное и, следовательно геометрическое.

4. Механика есть рай математических наук, посредством нее достигают математического плода.

5. Наука инструментальная или механическая - благороднейшая и по сравнению с прочими всеми наиполезнейшая, поскольку при ее посредстве все одушевленные тела, обладающие движением, совершают все свои действия, каковые движения рождаются из центра их тяжести, помещающегося, за исключением неоднородного веса, в середине; и оно имеет бедность и богатство мышц и также рычаг и противорычаг.

6. Пропорция обретается не только в числах и мерах, но также в звуках, тяжестях, временах и положениях и в любой силе, какая бы она ни была.

7. Если источник света xv будет равен источнику света vy, различие между обоими будет такое же, какое между их величинами.

    Но если большой источник света удален от источника тени, а малый будет по соседству, бесспорно, что тени смогут сравняться по темноте и светлости.

    Если между двумя источниками света будет помещен на равном расстоянии источник тени, то он даст две противолежащие тени, которые по своей темноте будут между собою различаться настолько, насколько различны силы противолежащих источников света, эти тени порождающих.

    Отношение темноты тени ab к тени bс будет такое же, как и расстояний источников света между собою, то есть mn к mf.

    Место ab, будучи ближе к источнику света n, чем bc к источнику света f, будет тем светлее, чем ближе [bc] к своему источнику света по сравнению с f, при предположении, что источники света равной силы.

    Тот источник тени отбросит две производные тени равной темноты, у которого будут два источника света равной величины, удаленные от него на одинаковое расстояние.

 8. И если глаз совы увеличивает во 100 раз свой зрачок в названной тьме, то зрительная способность возрастает во 100 раз, что дает прирост зрительной способности на 100 градусов; и, так как равны вещи не одолевают одна другую, птица видит во тьме зрачком, увеличенным во 100 раз, как днем - зрачком, уменьшенным на 99/100 и если скажешь ты что такое животное света дневного не видит, а по тому и прячется, на это тебе ответ, что птица только потому прячется днем, чтобы избавиться от скопища птиц, которые большой стаей всегда окружают ее с большим шумом, и часто были бы они мертвы, не укрывайся они в гротах и пещерах высоких скал.

 9. Здесь нужна стрелка, показывающая часы, точки и минуты. Чтобы измерить, как велик путь, проходимый течением ветра.

     Колесо повозки оборачивается на протяжении 10 локтей, откуда следует, что диаметр равен 3 4/22 локтя. И доказывается [тем, что], если этот диаметр будет умножен на 3 1/7, увидишь, что это произведение составит 10 в точности. И если нужен тебе простой способ находить диаметр любого круга, возьми круг известного диаметра, равный 22, в котором диаметр равен 7, каковой диаметр при умножении на З 1/7 даст 22; либо по тройному правилу: если окружность 22 дает мне диаметр 7, что даст мне окружность 10? Сделай и найдешь, что даст тебе 3 4/22. Итак, когда колесо повозки совершит полный оборот, оно отмерит тем самым 10 локтей земли, то есть 1/300 часть мили, равной 3000 локтей, а колесо m продвинется только на пространство одного из своих зубцов, которых у него 300; отсюда ясно, что, когда колесо m совершило полный оборот, повозка в точности отмерила расстояние одной мили, а колесо f подвинулось только на пространство одного из своих зубцов, и то же сделало колесо n, показывающее стрелкой своей каждую милю - не иначе, чем часовая стрелка часов свои часы; но колесо f, вместо того чтобы показывать [глазу], заставляет ухо слышать шум или звук,  производимый  маленьким камнем, падающим в сосуд, способный улавливать звук.

 10. Древние наши пользовались различными приемами, чтобы увидеть, какой путь совершает корабль в каждый час; среди них Витрувий излагает один в своем сочинении об архитектуре - способ, который ошибочен вместе с прочими; и это - мельничное колесо, краев которого касаются морские волны, и посредством полных его обращений начертывается прямая линия, представляющая спрямленную линию окружности этого колеса. Но подобное изобретение имеет применение лишь на ровных и неподвижных поверхностях озер; а если вода движется вместе с кораблем равным движением, тогда такое колесо остается неподвижным, и если движение воды более или менее быстро в сравнении с движением корабля, то и тогда колесо не имеет движения, равного движению корабля, так что подобное изобретение мало имеет цены.

    Существует другой способ, осуществляемый на основе известного из опыта расстояния между одним островом и другим; производится это посредством легкой доски, ударяемой ветром, которая становится тем более или менее наклонной, чем ударяющий ее ветер более или менее быстр, и это - у Батиста Альберти.

    [На полях] Способ Батиста Альберти, производимый на основе известного из опыта расстояния между одним островом и другим. Но такое изобретение удается лишь с кораблем, подобным тому, на котором сделан подобный опыт, да и надобно, чтобы был он с той же нагрузкой, и тем же парусом, и тем же положением паруса, и теми же размерами волн. Но мой способ годен для всякого корабля, как с веслами, так и с парусом; и, будь он мал или велик, широк или длинен, высок или низок, всегда годен.

 11.Удар, обладая кратчайшей, почти мгновенной жизнью, внезапно производит в противолежащем предмете свое великое и быстрое действие, которое кончено прежде, чем дойдет до основания ударяемого предмета; поэтому обнаружишь ты большее расширение у вершины ударяемого предмета, нежели у основания его.

12. Способ знать качество и густоту воздуха и знать, когда будет дождь.

13. Возможно определить ухом расстояние громового удара при виде молнии по сходству с звуком эхо.

О тайне Золотого Сечения

Понятие гармонии

Известный итальянский теоретик архитектуры Леон-Баттиста Альберти, написавший много книг о зодчестве, говорил о гармонии следующее:

"Есть нечто большее, слагающееся из сочетания и связи трех вещей (числа, ограничения и размещения), нечто, чем чудесно озаряется весь лик красоты. Это мы называем гармонией, которая, без сомнения, источник всякой прелести и красоты. Ведь назначение и цель гармонии - упорядочить части, вообще говоря, различные по природе, неким совершенным соотношением так, чтобы они одна другой соответствовали, создавая красоту... Она охватывает всю жизнь человеческую, пронизывает всю природу вещей. Ибо все, что производит природа, все это соизмеряется законом гармонии. И нет у природы большей заботы, чем та, чтобы произведенное ею было совершенным. Этого никак не достичь без гармонии, ибо без нее распадается высшее согласие частей".

В Большой Советской Энциклопедии дается следующее определение понятия "гармония":

"Гармония - соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в единое органическое целое. В гармонии получают внешнее выявление внутренняя упорядоченность и мера бытия".

"Формул красоты" уже известно немало. Уже давно в своих творениях люди предпочитают правильные геометрические формы - квадрат, круг, равнобедренный треугольник, пирамиду и т.д. В пропорциях сооружений отдаются предпочтение целочисленным соотношениям.

      Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Эту пропорцию называли по разному - "золотой", "божественной", "золотым сечением", "золотым числом", "золотой серединой".

                                                                                 рис. 1

    "Золотая пропорция" - это понятие математическое и ее изучение - это прежде всего задача науки. Но она же является критерием гармонии и красоты, а это уже категория искусства и эстетики. И наш Музей, который посвящен изучению этого уникального феномена, является, несомненно, научным музеем, посвященным изучению гармонии и красоты с математической точки зрения".

      С понятием «золотое сечение» связывают гармонию Природы. При этом с гармонией, как правило, связывают принципы симметрии в живой и неживой Природе.

     Поэтому всеобщностью  проявления принципа золотого сечения сегодня уже никого не удивишь. И каждое новое открытие в сфере выявления еще одной золотой пропорции уже никого не поражает, разве что самого автора такого открытия.

           Всеобщность этого принципа ни у кого не вызывает сомнения.  В различных справочниках приводятся сотни формул, связывающих ряд Фибоначчи с золотым сечением, в том числе и ряд формул, отражающих взаимодействия в мире элементарных частиц [92].

       Среди этих формул хочется отметить одну- бином Ньютона для золотой пропорции

где  -число перестановок.

    А бином Ньютона, как известно,  отражает степенную  функцию двойственного отношения.

Данная формула привязывает бином золотого отношения к Единице.

         Без этого принципа, по сути дела, нельзя рассмотреть ни одной фундаментальной проблемы.  В милогии эта пропорция обоснована как  принцип самодостаточности. И все же несмотря на всеобщность золотая пропорция на практике используется далеко не всегда, и не везде.

МОНАДА И ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

     Принципы симметрии лежат в основе теории относительности, квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики, физики элементарных частиц. Выше было показано, что симметрия - это одна из форм проявления двойственности. Поэтому нет ничего удивительного в том, что эти принципы наиболее ярко выражаются в свойствах инвариантности законов природы.  В [1,2] показано, что симметрия и асимметрия не просто взаимосвязаны друг с другом, а они являются разными формами проявления закономерности двойственности.

              Закономерность двойственности является одним из основных механизмов эволюции живой и неживой материи. Действительно, способность к размножению у живых организмов можно естественно объяснить только тем, что в процессе своего развития организм полностью достраивает свою оболочку и попытка дальнейшего усложнения структуры приводит, в силу закономерности об ограниченности и замкнутости, к трансформации из организма с внутренней двойственностью в организм с внешней двойственностью, т. е. удвоению, которое осуществляется путем деления оригинала. Затем процесс повторяется. Закономерность двойственности является ответственной за создание дублирующих органов в живом организме. Это дублирование не является следствием эволюции живых организмов.

           В основе золотого сечения лежит  простая пропорция, которая хорошо видна на рисунке золотой спирали:

    Правила золотого сечения были известны еще в Вавилонии и древнем Египте. Пропорции пирамиды Хеопса, предметов из гробницы Тутанхамона, других произведений древнего искусства красноречиво об этом свидетельствуют, а сам термин “золотое сечение” принадлежит Леонардо да Винчи.    С тех пор многие шедевры искусства, архитектуры и музыки выполняются при неукоснительном соблюдении золотой пропорции, несомненно отражающей строение наших сенсорных оболочек – глаз и ушей, головного мозга – анализатора геометрических, цветовых, световых, звуковых и других образов.

             Золотое сечение обладает еще одной тайной.  Оно скрывает в себе  свойство самонормирования.

        Академик Толкачев В.К. в своей книге "Роскошь системного мышления" так пишет об этом важном свойстве золотого сечения: 

«Когда-то Клавдий Птолемей разделил равномерно рост человека на 21 отрезок и выделил две основные части: большую (мажор), состоящую из 13-и отрезков, и меньшую (минор) - из 8-и. При этом оказалось, что отношение длины всей фигуры человека к длине ее большей части равно отношению большей части к меньшей....

   Проиллюстрировать золотое отношение можно следующим образом. Если единичный отрезок разделить на две неравные части (мажор и минор) так, что длина всего отрезка (т.е. мажор + минор = 1) относится к мажору точно так же, как мажор относится к минору:

                                  (мажор + минор) / мажор = мажор / минор = Ф,

то такая задача имеет решение в виде корней уравнения х2 - х - 1 =0, численное значение которых:

                                    х1 = - 0,618033989...,   х2 = 1,618033989...,

      Первый корень обозначается буквой "Ф", а второй "- Ф", но мы будем пользоваться иными обозначениями: Ф=1,618033989..., а  Ф-1= 0,618033989...

    Это - единственное число, которое обладает свойством быть ровно на единицу больше своего обратного отношения".

        Отметим, что другое уравнение х2 - y- 1 =xy  превращается в тождество при следующих значениях

                                  х1 = + 0,618033989...,   y1 =- 1,618033989...,

                                  x2 = -1,618033989...,     y2=  0,618033989...,

        Может быть в совокупности эти корни и порождают животворящий крест- крест  золотого сечения?

       Уравнение золотого сечения

                                                                            Ф2-Ф=1

    где Ф1 = -Ф-1= - 0,618033989..., и  Ф2 = Ф1=1,618033989...,

 удовлетворяют свойству самонормирования, позволяющее строить более сложные "конструкции" по "образу и подобию".

     Подставляя корни в уравнение  х(х-1)=1, мы получим

                                               Ф1(Ф1-1)= 1,618..*1,618..-1,618..=2,618..-1,618..=1

                                               Ф-2-(-Ф-1)=0,382...+0,6181=1.

 Таким образом, данное уравнение  отражает не только  принцип самонормирования, вытекающего из Единого закона эволюции двойственного отношения (монады), но и связь золотого сечения с биномом Ньютона (с монадой).

Нетрудно показать, что  будут справедливы следующие  тождества

                                                 Ф-2=0,382...;

                                                 Ф-1=0,618...;

                                                 Ф1=1,618...;

                                                 Ф2=2,618...;

Откуда непосредственно можно увидеть, что  корни   уравнения Ф2-Ф=1 обладают еще и другим и замечательными свойствами  Ф1Ф-1=Ф0 =1            и

                                          Ф-1(Ф1-1)= 1-Ф-1;    Ф1(Ф-1-1)=1-Ф1=1;

Оно характеризует инвариантность одной математической монады в другую, путем умножения её на обратную величину, т.е. можно сказать, что корни уравнения золотого сечения сами формируют        золотую, самонормированную монаду <Ф-1,Ф1>.

    Поэтому данное уравнение по праву можно назвать уравнением золотого сечения.

Дополнительные свойства этого уравнения может узнать каждый, используя  бином Ньютона и производящие функции (Преемственность).

         Нетрудно понять, что  процесс все более сложных "золотых монад" будет осуществляться  "по образу и подобию", т.е. этот процесс будет периодически повторяющимся, а все результаты оказываются как бы замкнутыми в рамки золотого сечения.

    Но, пожалуй, самые замечательные свойства золотого сечения связаны, в первую очередь, с уравнением золотого сечения, приведенным выше. Это уравнение является двойственным

                                                                  х2 + х - 1 =0.

Корни этого уравнения численно равны:

                                    х1 = + 0,618033989...,   х2 = -1,618033989...,

Это значит, что уравнения золотого сечения формируют крест золотого сечения с перекладинами

                                                          рис. 2

        Вот он, поистине золотой  крест, лежащий в основе мироздания!

     На правом рисунке непосредственно видно, что значения выражения в полюсах  вертикальной перекладины равны 1.  Из креста  на левом рисунке  видно также, что при каждом переходе с одной перекладины на вторую осуществляются самонормировки. Самонормировка происходит как при сложении, так и при умножении. Разница получается только в знаке. И это не случайно.

        При  движении по перекладинам  мы получаем еще четыре  значения

1. при  сложении: 0 и 0,
2. при умножении: -0,382.., и -2,618.

    Нетрудно показать, что  будут справедливы следующие  тождества

                                                 Ф-2=0,382...;

                                                 Ф-1=0,618...;

                                                 Ф1=1,618...;

                                                 Ф2=2,618...;

     Используя ряд этих  значений, и совершая обход по кресту мы получим еще один золотосеченный крест.

 Нетрудно показать,  как из этих крестов, сформировать двойной крест, порождающий   закон Куба.

             рис. 3

        Ниже мы покажем, что шесть полученных значений полностью вписываются в рамки сложного отношения - уникальной закономерности, известной из проективной геометрии.

А сейчас мы приведем еще один рисунок, который непосредственно  говорит о связи золотого сечения и Куба Закона.

                                                                   рис. 4

Сравните этот рисунок, нарисованный еще Леонардо да Винчи, с предыдущим. Увидели?

        Поэтому  гимн золотому сечению можно    продолжать до бесконечности. Так итальянский математик Лука Пачолли в своем труде "Божественная пропорция"  приводит 13 свойств золотого сечения, снабжая каждое из них эпитетами - исключительное, несказанное, замечательнейшее, сверхъестественное, и т.д.

        Трудно сказать, связаны ли эти свойства с числом 13 или нет.  Но вот хроматическая гамма связана и с числом 13, и с числом 8. Так, пропорцию 13/8 можно представить как 8/8+5/8. С этими

пропорциями связываются и  многие духовные знания (Путь к себе).

    3. РЯДЫ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

       Из вышеприведенных свойств золотого сечения следует вывод, что ряд

                         ...;    Ф-2=0,382...; Ф-1=0,618...;  Ф0;   Ф1=1,618...;  Ф2=2,618...;  ...;

может быть продолжен как вправо, так и влево.

      Более того, умножение это ряда  на Ф+n или Ф-n порождает новый ряд, сдвинутый соответственно вправо или влево от  исходного. Коэффициенты   Ф+n или Ф-n можно считать коэффициентами подобия золотосеченных рядов.

          Золотосеченные ряды могут формировать натуральный ряд целых чисел.

         Посмотрите, эти числа имеют удивительные свойства.  Они формируют не только Великие Пределы двойственных"золотых монад". Они формируют Великие Пределы  триад (числа 5, 8,..).

       Они формируют и крест (число 9).

        Но существуют и другие, более фундаментальные золотосеченные ряды. В первую очередь следует привести формулу "золотого" бинома Ньютона.

     Бином Ньютона  уже изначально свидетельствует о существовании монады (двойственного отношения) и его свойства лежат в основе биномиальных рядов (арифметический треугольник и др.). Теперь можно сказать и о том, что все биномиальные ряды могут быть выражены через  золотую пропорцию. Золотая монада бинома Ньютона отражает еще одно важнейшее свойство  мироздания. Она является нормированной (единичной).      

            В [140] приводится следующая схема эволюции монады 1=(0,62+0,38)m.

                                                                                         рис. 4-1

Видите, на каждом уровне иерархии каждое золотое число раскладывается, по образу и подобию.

Из этих отношений нетрудно увидеть, как формируется золотой арифметический треугольник.

                                                                                           рис. 4-2

И вот мы уже непосредственно выходим на схему эволюции Великого Предела ТАЙ-ЦЗИ (Книга перемен).

                                                                                 рис. 4-3

   Видите, как эволюция Великого предела ТАЙ-ЦЗИ, производящих функций арифметического треугольника и золотого бинома Ньютона сливаются в одну схему, порождаемую природными операционными механизмами Единого закона эволюции двойственного отношения.

О СВЯЗИ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ С РЯДОМ ФИБОНАЧЧИ

         Природа как бы решает задачу сразу с двух сторон и складывает полученные результаты. Как только получает в сумме 1, то  осуществляет переход в следующее измерение, где начинает строить все  сначала. Но тогда она и должна строить это золотое сечение по определенному правилу. Природа не пользуется золотым сечением сразу. Она его получает путем последовательных итераций.    Она для порождения золотого  сечения  пользуется другим рядом, - рядом Фибоначчи.

                                                                                                 Рис.  5

Рис. 6.  Спираль золотого сечения и спираль Фибоначчи

              Замечательным свойством этого ряда является то, что по мере увеличения чисел ряда отношение двух соседних членов этого ряда асимптотически приближается к точной пропорции Золотого сечения (1:1,618) основе красоты и гармонии в окружающей нас природе, в том числе и в человеческих отношениях [59]. Отметим, что сам Фибоначчи открыл свой знаменитый ряд, размышляя над задачей о количестве кроликов, которые в течении одного года должны родиться от одной пары. У него получилось, что в каждом последующем месяце после второго число пар кроликов в точности следует цифровому ряду, которое ныне носит его имя. Поэтому не случайно, что и сам человек устроен по ряду Фибоначчи. Каждый орган устроен в соответствии с внутренней, или внешней двойственностью.

         Следует сказать, что спираль Фибоначчи может быть двойной. Существуют многочисленные примеры этих двойных спиралей, встречающихся повсюду. Так спирали подсолнухов всегда соотносятся  с рядом Фибоначчи. Даже в обычной сосновой шишке можно увидеть эту двойную спираль Фибоначчи. Первая спираль идет в одну сторону, вторая - в другую. Если посчитать  число чешуек в спирали, вращающейся в одном направлении, и число чешуек в другой спирали, можно увидеть, что это всегда  два последовательных числа ряда Фибоначчи. Может быть восемь в одном направлении и 13 в другом, или 13 в одном и 21 в другом [3].

        В чем разница между спиралями золотого сечения и спиралью Фибоначчи?  Спираль золотого сечения идеальна. Она соответствует  Первоисточнику гармонии. Эта спираль не имеет ни начала, ни конца. Она бесконечна. Спираль Фибоначчи имеет начало, от которого она начинает “раскрутку”. Это очень важное свойство. Оно позволяет Природе после очередного замкнутого цикла осуществлять строительство новой спирали с  “нуля”.

        Эти факты еще раз подтверждают, что закон о двойственности дает не только качественные, но и количественные результаты. Они заставляют задуматься о том, что окружающий нас Макромир и Микромир эволюцирует по одним и тем же законам- законам иерархии, и что эти законы едины для живой и для неживой материи. Закон двойственности является виновником того, что Иерархия, имея в своем багаже только один этот алгоритм формирования инвариантных оболочек, позволяет строить производящие функции этих оболочек, строить Единый Периодический Закон  Эволюции Материи [2].  Пусть мы имеем  следующую производящую функцию

При n=1 мы будем иметь производящую  функцию вида

и т.д.  Теперь попробуем определять очередной член производящей функции по рекуррентной зависимости, полагая, что  этот член функции будет получаться путем суммирования ее двух последних членов. Например,  при n=1, значение третьего члена ряда будет равно 2. В итоге мы получим  ряд (1-1х+2х2). Тогда,  умножая  производящую функцию на  оператор (1-х) и используя рекуррентную зависимость для вычисления очередного члена ряда, мы и получим  искомую производящую функцию. Обозначая через  значение n-го члена ряда, а через  предыдущее значение этого ряда и полагая n=1,2,3,….  процесс последовательного формирования членов ряда можно  изобразить следующим  образом (табл. 1).

                             Таблица 1.

          Из таблицы видно, что после получения очередного результирующего члена ряда, этот член подставляется в исходный многочлен и производится сложение с предыдущим, затем новый результирующий член подставляется в исходный ряд и т. д. В результате мы  получаем  ряд Фибоначчи. Из таблицы непосредственно видно, что ряд Фибоначчи обладает свойством инвариантности относительно оператора (1-х) -   он   формируется как  ряд, получаемый в результате умножения ряда Фибоначчи на  оператор (1-х), т.е.   производящая функция ряда Фибоначчи при умножении на оператор (1-х) порождает саму себя. И это замечательное свойство также является следствием проявления закономерности о двойственности.  Действительно в [1], [2], было показано, что многократное применение оператора вида  (1+х) оставляет структуру  многочлена неизменной, а ряд Фибоначчи обладает дополнительным,  еще  более замечательными свойствами: каждый член этого ряда является суммой двух его последних членов.  Поэтому Природе не надо помнить сам ряд Фибоначчи. Надо только помнить последние два члена ряда и оператор вида  P*(x)=(1-x), ответственного за данный алгоритм  удвоения, чтобы получать без ошибки ряд Фибоначчи.

        Но почему   в Природе  именно этот ряд играет решающую роль?  На этот вопрос может дать исчерпывающий ответ концепция тройственности, определяющая условия ее самосохранения. При нарушении «баланса интересов»  триады одним из ее «партнеров», «мнения» двух других «партнеров» должны быть скорректированы. Особенно наглядно концепция тройственности проявляется в физике, где из кварков построили «почти» все элементарные частицы.  Если вспомнить, что отношения дробных зарядов кварковых частиц составляют ряд , а это и есть первые члены ряда Фибоначчи, которые необходимы для  формирования других элементарных частиц.

Возможно, что спираль Фибоначчи может играть решающую роль и в формировании закономерности ограниченности и замкнутости иерархических пространств. Действительно, представим, что на каком-то этапе эволюции спираль Фибоначчи достигла совершенства (она стала неотличима от  спирали золотого сечения) и по этой причине частица должна  трансформироваться в следующую «категорию».

       Чудесные свойства ряда Фибоначчи проявляются и в самих числах, являющихся членами этого ряда.  Расположим члены ряда Фибоначчи по вертикали., а затем  вправо, в порядке убывания, запишем натуральные числа

1

2

3    2

5    4   3

8    7   6   5

13 12 11 1

1

0   9  8

21 20 19 18 17 16 15  14 13

34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34

....

        Каждая строчка начинается и завершается числом Фибоначчи, т. е. в каждой строчке всего два таких числа. Подчеркнутые числа — 4, 7, 6, 11, 10, 18, 16, 29, 26, 47, 42  обладают особыми свойствами (второй уровень иерархии ряда Фибоначчи):

(5-4)/(4-3)  = 1/1

(8-7)/(7-5) = 1/2 и   (8-6)/(6-5)   = 2/1

(13-11)/(11-8) = 2/3 и (13-10)/(10-8) = 3/2

(21-18)/(18-13) = 3/5 и (21-16)/(1б-13) = 5/3

(34-29)/(29-21) = 5/8 и (34-26)/(26-21) = 8/5

(55-47)/(47-34) = 8/13 и (55-42)/(42-34) = 13/8

        Мы получили дробный ряд Фибоначчи, который, возможно,  «исповедуют» коллективные спины  элементарных частиц и атомов химических элементов.

           Следующий уровень иерархии образуется в результате дробления интервалов между числами Фибоначчи и выделенными числами. Например, на третью ступень иерархии встанут числа 52 и 50 из интервала 55—47. Процесс структурирования ряда натуральных чисел может быть продолжен, т.к.  свойства   периодичности и многоуровневости строения материи отражается даже в свойствах самого ряда Фибоначчи.

    Но у ряда Фибоначчи имеется еще одна тайна, вскрывающая сущность периодичности изменения свойств двойственного отношения (монады). Выше был определен диапазон изменения свойств двойственного отношения, характеризующего его норму самодостаточности

U=<2/3, 1)

Построим для данного диапазона ряд Фибоначчи

L=1,l2,l3,l4 >=<(-1/3), 0+(-1/3), (-1/3)+(-1/3), (-1/3)+(-2/3) >= <-1/3, -1/3, -2/3, -3/3>

        Мы получим L-тетраэдр, характеризующий возрастающую спираль эволюции двойственного отношения.  Продолжим этот процесс. Попытка выйти за пределы данного диапазона нормы самодостаточности приведет к его нормированию, т.е. первым элементом в D-тетраэдре будет характеризоваться нормой самодостаточности, равной 1,0. Но, продолжая далее этот процесс, мы будем вынуждены постоянно производить перенормировку. Следовательно, эволюция не может продолжаться? Но, в самом вопросе имеется и ответ. После перенормировки эволюция должна начаться сначала, но в противоположную сторону, т.е. при формировании "параллельного" D-тетраэдра должен измениться знак числа  и ряд Фибоначчи начинает обратное движение.

D=1,d2,d3,d4 >=<(1/3), 0+(1/3), (1/3)+(1/3), (1/3)+(2/3) >= <1/3, 1/3, 2/3, 3/3>

        Тогда общий ряд , характеризующий норму самодостаточности "звездного тетраэдра"  будет характеризоваться соотношениями

U==const

       Устойчивое состояние  звездного  тетраэдра  будет зависеть от соответствующего сопряжения   L- и D- тетраэдров. При U=1  будем иметь куб. При  U=2/3    мы получим самодостаточный звездный тетраэдр, с самодостаточными L- и D- тетраэдрами. При  меньших значениях устойчивое состояние звездного тетраэдра будет достигаться только совместными усилиями  L- и D- тетраэдрами.  Очевидно, что в этом случае  минимальное значение нормы самодостаточности звездного тетраэдра будет равно  U=1/3, т.е. два не самодостаточных тетраэдра совместными усилиями образуют самодостаточный звездный тетраэдр U. В самом общем случае устойчивые состояния  звездного тетраэдра U можно проиллюстрировать, например, следующей схемой.

        Рис. 7

        На последнем рисунке приведена фигура, напоминающая мальтийский крест, с восемью вершинами. т.е.  эта фигура снова навевает ассоциации со звездным тетраэдром.   

О чудесных свойствах ряда Фибоначчи, о его периодичности свидетельствует следующая информация (Михайлов Владимир Дмитриевич,«Живая информационная Вселенная», 2000 г., Россия, 656008, г. Барнаул, ул. Партизанская дом. 242). 

с.10. "Законы «золотой пропорции», «золотого сечения» связаны с цифровым рядом Фибоначчи, открытого в 1202 году, является направлением в теории кодирования информации.

          За многовековую историю познания чисел Фибоначчи, образуемый его членами отношения (числа) и их различные инварианты скрупулезно изучены и обобщены, но так полностью и не расшифрованы.

          Математическая последовательность ряда чисел Фибоначчи представляет из себя последовательность чисел, где каждый последующий член ряда, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233… до бесконечности.

…Цифровой код цивилизации можно определить с помощью различных методов в нумерологии. Например, с помощью приведения сложных чисел к однозначным (к примеру: 13 есть (1+3)=4, 21 есть (2+3)=5 и т.д.) Проводя подобную процедуру сложения со всеми сложными числами ряда Фибоначчи, получим следующий ряд из 24 цифр:

                                 1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9

 далее сколько не преобразовывай числа в цифры, через 24-ре цифры цикл будет последовательно повторяться бесконечное количество раз…

…не является ли набор из 24 цифр своеобразным цифровым кодом развития цивилизации?

С.17 Если Пифагорийскую Четверку в последовательности 24-х цифр Фибоначчи разделить между собой (как бы переломить) и наложить друг на друга, то возникает картина взаимоотношений  12-ти дуальностей противоположных цифр, где каждая пара цифр в сумме дает 9-ку (дуальность, рождающая троичность)....

1                 1       8                 =9

2                 1       8                 =9

3                 2       7                 =9

4                 3       6                 =9

5                 5       4                 =9

6                 8       1                 =9

7                 4       5                 =9

8                 3       6                 =9

9                 7       2                 =9

10               1       8                 =9

11               8       1                 =9

12               9       9                 =18=1+8=9 (моя редакция)

1        1                                                     1                          1          75025

2        1                                                     1                          1          75025

3        2                                                     2                          2          150050

4        3                                                     3                          3          225075

5        5                                                     5                          5          375125

6        8                                                     8                          8          600200

7        4        1+3                                       13                        4          975325

8        3        2+1                                       21                        3          1575525

9        7        3+4                                       34                        7          2550850

10      1        5+5=10=1                             55                        1          4126375

11      8        8+9=17=1+7                        89                        8          6677225

12      9        1+4+4                                   144                      9          10803600

13      8        2+3+3                                   233                      8          17480825

14      8        3+7+7=17=1+7=8                377                      8          28284425

15      7        6+1+0=7                               610                      7          45765250

16      6        9+8+7=24=2+4=6                987                      6          74049675

17      4        1+5+9+7=22=2+2=4            1597                    4          119814925

18      1        2+5+8+4=19+1+9=10=1     2584                    1          193864600

19      5        4+1+8+1=14=1+4=5            4181                    5          313679525

20      6        6+7+6+5=24=2+4=6            6765                    6          507544125

21      2        1+0+9+4+6=20=2                10946                  2          821223650

22      8        1+7+7+1+1=17=1+7=8       17711                  8          1328767775

23      1        2+8+6+5+7=28=2+8=10=1 28657                  1          2149991425

24      9        4+6+3+6+8=27+2+7=9       46368                  9          3478759200"

         Данная информация свидетельствует о том, что все "дороги ведут в Рим", т.е. множество периодически повторяющихся  случайностей, совпадений. мистификаций и т.д., сливаясь в единый поток, с неизбежностью приводят к выводу о существовании  периодической закономерности, отражаемой  в ряде Фибоначчи.

    А теперь рассмотрим еще одно, быть может,  самое замечательное свойства  ряда Фибоначчи.

    На странице "Монадные формы" мы отмечали, что существует всего пять уникальных форм, имеющих первостепенное значение. Они называются Платановыми телами. Любое Платоново тело имеет некоторые особые характеристики.

    Во-первых, все грани такого тела равны по размеру.

    Во-вторых, ребра Платонова тела — одной длины.

    В-третьих, внутренние углы между его смежными гранями равны.

 И, в-четвертых, будучи вписанным в сферу, Платоново тело каждой своей вершиной касается поверхности этой сферы.

 Рис. 8

             Есть только четыре формы помимо куба (D), имеющие все эти характеристики. Второе тело (В) — это тетраэдр (тетра означает «четыре»), имеющий четыре грани в виде равносторонних треугольников и четыре вершины. Еще одно тело (C) — это октаэдр (окта означает «восемь»), восемь граней которого — это равносторонние треугольники одинакового размера. Октаэдр содержит 6 вершин. Куб имеет 6 граней и восемь вершин.   Два других Платоновых тела несколько сложнее. Одно (E) называется икосаэдр, что означает «имеющий 20 граней», представленных равносторонними треугольниками.  Икосаэдр имеет 12 вершин. Другое (F) называется додекаэдр (додека — это «двенадцать»). Его гранями являются 12 правильных пятиугольников. Додекаэдр имеет двадцать вершин.

      Эти тела обладают замечательными свойствами быть вписанными все всего в две фигуры - сферу и куб. Подобная взаимосвязь с Платоновыми телами прослеживается во всех сферах. Так, например, системe орбит планет солнечной системы можно представить в виде вложенных друг в друга Платоновых тел, вписанных в соответствующие сферы, которые и определяют радиусы орбит соответствующих  планет солнечной системы.        

        Фаза А (рис. 8) характеризует начало эволюции монадной формы.  А потому эта форма является как бы самой простой (сферой). Затем рождается тетраэдр, и т.д. Куб,  расположен в этой гексаде напротив сферы и потому он  обладает сходными свойствами. Тогда  свойствами,  сходными с тетраэдром должны обладать монадная форма, расположенная в гексаде напротив тетраэдра. Это  икосаэдр. Формы додекаэдра должны быть «родственны» октаэдру. И, наконец, последняя форма снова становится сферой. Последняя становится  первой! Кроме того, в гексаде должна наблюдаться  преемственность эволюции  двух соседних Платоновых тел. И, действительно, октаэдр и куб, икосаэдр и додекаэдр взаимны. Если у одного из этих многогранников соединить отрезками прямых  центры граней, имеющих общее ребро, то получится другой многогранник.  В этих свойствах кроется их эволюционное происхождение друг от друга. В  Платоновой  гексаде  можно выделить две триады: «сфера-октаэдр-икосаэдр» и «тетраэдр-куб-додекаэдр», наделяющие соседние вершины собственных  триад свойствами взаимности.               

    Эти фигуры обладают еще одним замечательным качеством. Они связаны крепкими узами с рядом Фибоначчи -<1:1:2:3:5:8:13:21:...>, в котором каждый последующий член равен сумме двух предыдущих. Вычислим  разности между членами ряда Фиббоначи и числом вершин в Платоновых телах :

                                                   рис. 9

1. 2=2-А=2-2=0 (нулевой "заряд"),
2. 3=3-В=3-4=-1 (отрицательный "заряд"),
3. 4=5-С=5-6=-1 (отрицательный "заряд"),
4. 5=8-D=8-8=0 (нулевой "заряд"),
5. 6=13-Е=13-12=1 (положительный "заряд"),
6. 7=21-F=21-20=1 (положительный "заряд"),

    На первый взгляд может показаться, что  "монадные заряды" Платоновых тел отражают как бы несоответствие идеальных форм от ряда Фибоначи.  Однако, полагая, что начиная с  куба, Платоновы тела могут формировать ВЕЛИКИЕ ПРЕДЕЛЫ (Великий Предел), то становится ясным, что додекаэдр и икосаэдр, отражая взаимодополнительное соответствие между число граней и числом вершин, характеризуемых числами 12 и 20, фактически выражают собой соотношения 13 и 21 ряда Фибоначчи.

     Посмотрите, как происходит нормирование ряда Фибоначчи.

                               1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...

                                                       12, 20, .....

                                                         1,   1,   2,   3,   5,   8,   13

        Первая строка отражает "нормальный"  алгоритм формирования ряда Фибоначчи.

   Вторая строка начинается с икосаэдра, в котором 13 вершина оказалась центром структуры, отражая свойства ВЕЛИКОГО ПРЕДЕЛА. Аналогичный ВЕЛИКИЙ ПРЕДЕЛ имеется и у додекаэдра.

    Эти два кристалла порождают новое измерение - нормированную монаду "икосаэдр-додекаэдр", которая и начинает формировать новый виток ряда Фибоначчи (третья строка).

      Первые Платоновы тела как бы отражают фазу анализа, когда происходит разворачивание ВЕЛИКОГО ПРЕДЕЛА из монады (1,1). Вторая фаза -синтез новой монады и сворачивание ее в ВЕЛИКИЙ ПРЕДЕЛ.

    Так ряд Фибоначи порождает "золотую пропорцию", ответственную за рождение гармонии всего сущего, поэтому и Платоновы тела также будут характеризовать свойства всех материальных структур. Так,  атомы всегда соотносятся с пятью Платоновыми телами. Даже если  разбирать  на части очень сложную молекулу, в ней можно найти  более простые формы, и они всегда могут быть прослежены до одного из пяти Платоновых тел — независимо от того, какова ее структура. Не имеет значения, что это — металл, кристалл или что-то еще, — структура всегда восходит к одной из пяти первоначальных форм.

       Следовательно, мы приходим к выводу, что число используемых природой первозданных монадных форм является ограниченным и замкнутым.  К такому же выводу пришел еще много веков назад Платон, который считал, что сложные частицы элементов имеют форму многогранников, при дроблении эти многогранники дают треугольники, которые и являются  истинными  элементами мира. 

     Достигнув самой совершенной формы, природа берет эту форму в качестве элементарной и начинает строить следующие формы, используя последние в качестве «единичных» элементов. Поэтому все высшие формы неорганических, органических, биологических и полевых форм материи обязательно должны будут связаны с более простыми монадными кристаллами. Из этих форм должны строиться и самые сложные - высшие формы Высшего разума. И эти свойства монадных кристаллов должны проявляться на всех уровнях иерархии: в структуре элементарных частиц, в структуре Периодической системы элементарных частиц, в структуре атомов, в структуре Периодической системы химических элементов, и т.д. Так, в химических элементах, все подоболочки и оболочки могут быть представлены в форме монадных кристаллов. Естественно, что внутренняя структура атомов химических элементов должна отражаться в структуре кристаллов и  клетках живых организмов.

         «Любая форма есть производное  одного из пяти Платоновых тел. Без исключений. И не имеет значения, какова структура кристалла, она всегда основана на одном из Платоновых тел...» [3].

    Так в свойствах Платоновых тел отражается гармония золотого сечения и механизмы его порождения рядом Фибоначчи.

          И снова мы приходим к самому фундаментальному свойству ЕДИНОГО ЗАКОНА - ПЕРИОДИЧНОСТИ.

       Библейское "И ПОСЛЕДНИЙ СТАНОВИТСЯ ПЕРВЫМ" отражается во всех творениях мироздания. На следующем рисунке приводится  схема хроматической гаммы, в которой  13-я нота находится  за "границей осознанного мира", а любая соседняя пара может порождать новую хроматическую гамму (Законы Абсолюта).

                                                                       рис. 10

      Данный рисунок отражает принципы, в соответствии с которыми формируется ЕДИНОЕ САМОСОГЛАСОВАННОЕ ПОЛЕ ГАРМОНИИ ВСЕЛЕННОЙ.