С2

Слайд 1

Слайд 2

Выполняя задания части С, необходимо записывать каждый свой шаг, пояснять каждое действие; Максимальный балл за задание С₂ - 2: Если задание выполнено правильно, но допущена арифметическая ошибка, ставится 1 балл, Если в ответе дан только один ответ или решена только одна часть задания, ставится 1 балл; Критерии оценивания задания С₂ Вы можете посмотреть в 318 кабинете.

Слайд 3

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ и А₁С.

Слайд 4

А В С А₁ В₁ С₁

Слайд 5

Основные понятия задачи: Правильная призма – это прямая призма (боковые ребра и боковые грани перпендикулярны основаниям), в основании которой лежит правильный многоугольник (в данной задаче – правильный треугольник).

Слайд 6

Угол между прямыми – обязательно острый угол; Угол между скрещивающимися прямыми можно заменить на угол между пересекающимися прямыми.

Слайд 7

А₁В₁ || АВ, значит, искомый угол равен углу В₁А₁С. А В С А₁ В₁ С₁

Слайд 8

Теорема косинусов Для данной задачи СВ₁²=А₁В₁²+А₁С²- 2А₁В₁·А₁С· cos В₁А₁С. Выразим cosB₁A₁C : Найдём А₁С по теореме Пифагора: А В С А₁ В₁ С₁ 1 1

Слайд 9

Ответ:

Слайд 10

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка Е – середина ребра А₁В₁. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и BD₁.

Слайд 11

A B C D A₁ B₁ C₁ D₁ E

Слайд 12

Решение задачи: Введем систему координат D xyz : DA – ось абсцисс DC – ось ординат DD ₁ - ось аппликат Примем сторону куба за 2 единичных отрезка. A B C D A₁ B₁ C₁ D ₁ E x y z 0 2 2 2

Слайд 13

Найдём координаты точек А, Е, В, D₁ : А(2,0,0), Е(2,1,2), В(2,2,0), D₁(0 ,0,2). Найдём координаты векторов АЕ, BD₁ : По определению AB b₁-a₁;b₂-a₂ ; b₃-a₃ AE 2-2;1-0;2-0 , AE 0;1;2 BD₁ 0-2;0-2;2-0 , BD₁ -2;-2;2

Слайд 14

По определению Cos α = | a ₁ ·b ₁ + a ₂ ·b ₂ + a ₃ ·b ₃| a₁²+a₂²+a₃² b₁²+b₂²+b₃² ∙ Для данной задачи Cos (AE,BD ₁)= = = = = = = = | 0·(-2)+ 1·(-2)+ 2·2 | 0²+1²+2² (-2)²+(-2)²+(2)² ∙ 2 5 ∙ 12 2 60 2 4 ∙ 15 2 15 2 1 15 15 15

Слайд 15

Ответ: 15 15

Слайд 16

A B C D A₁ B₁ C₁ D₁ E Продлим грань DD₁C₁C. Перенесём АЕ на вектор ED₁ . При этом А→А₁, Е→ D ₁. Достроим ∆А̕ D₁B . Искомый угол – угол А̕ D₁B . Пусть ребро куба равно а, тогда А ̕ С=1,5а, ВС=а = > А ̕ В=а 3,25 (по теореме Пифагора); A ̕ D ₁ =AE=a 1,25; D ₁ B= a 3. По теореме косинусов a ² =b ² +c ² -2bc ∙ cos α => cos α = A ̕ b ² +c ² -a ² 2bc

Слайд 17

Подставим в формулу данные задачи: Cos α = Cos α = = = = Ответ: b ² +c ² -a ² 2bc Cos α = A̕D₁²+D₁B²-A̕B² 2A̕D₁·D₁B 1,25a²+3a²-3,25a² 2a 1,25 · a 3 a ² 2a ² 3,75 1 15 15 15 15 15