Журнал "Математические заметки". Автор Белолипецкая Полина, 9 класс

Журнал «Математические заметки»
Выполнила:ученица 9 «В» классаГБОУ средней Общеобразовательной школы №618города МосквыБелолипецкая ПолинаРуководитель:Макарова Татьяна Павловна, учитель математики
/
Журнал для тех, кто любит точные науки
Содержание
Новости наукиГипотеза Пуанкаре́Обобщённая гипотеза ПуанкареСхема доказательстваИсторияПризнание и оценкиОткрытые математические проблемыТеория чиселЗнаете ли вы?Интересные факты Ряд ФибоначчиТайны шахматного автоматаВеликие математикиЗанимательные задачиАнаграммыКроссвордМатематические ребусыОтветы на задачи
Новости науки
Заседание Московского математического общества 11 октября 2011 годаВо вторник, 11 октября 2011 года, в 18:30 в аудитории 16-10 Главного здания МГУ пройдет заседание Московского математического общества: О гипотезе Ньюмена. Лектор – А. В. Булинский.
В классической работе Ч. Ньюмена (1980) центральная предельная теорема (ЦПТ) доказана для стационарных случайных полей, заданных на d-мерной целочисленной решетке, имеющих суммируемую ковариационную функцию и обладающих свойством ассоциированности (любое семейство независимых случайных величин автоматически является ассоциированным). В этой же статье им была выдвинута гипотеза о справедливости ЦПТ для случайных полей со «слабо расходящимися» частичными суммами ряда, образованного значениями ковариационной функции.
В 1984 Н. Херрндорф дал отрицательный ответ на эту гипотезу, построив контрпример стационарного ассоциированного процесса при d=1, у которого упомянутые частичные суммы имели логарифмический рост, а ЦПТ не выполнялась. В 2005 А. П. Шашкиным было показано, что никакая сколь угодно медленная расходимость (в смысле Караматы) таких частичных сумм не может обеспечить справедливость гипотезы Ньюмена.
В 2011 докладчиком установлено, как следует модифицировать гипотезу Ньюмена при любом натуральном d, чтобы получить необходимые и достаточные условия ЦПТ для стационарных ассоциированных случайных полей. Оказалось, что ключевую роль играет условие равномерной интегрируемости квадратов нормированных частичных сумм случайного поля. Для доказательства используется анализ асимптотического поведения дисперсий сумм, берущихся по «целочисленным» параллелепипедам, как медленно меняющихся функций многих переменных.
Правительство Санкт-Петербурга присудило премию имени П.Л. Чебышева в области математики и механики за 2011 год в размере 300 000 рублей члену Санкт-Петербургского математического общества профессору Виктору Петровичу Хавину за выдающиеся достижения в исследовании аппроксимации в пространствах аналитических функций и гармонических форм и теорем единственности в модельных пространствах
Математический институт Клэя (Clay Mathematical Institute) объявил о присуждении члену математического общества Григорию Яковлевичу Перельману Премии тысячелетия за доказательство гипотезы Пуанкаре.
Гипотеза Пуанкаре́
Гипотеза Пуанкаре́ является одной из наиболее известных задач топологии. Она даёт достаточное условие того, что пространство является трёхмерной сферой с точностью до деформации.
В исходной форме гипотеза Пуанкаре утверждает:
Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.
Обобщённая гипотеза ПуанкареОбобщённая гипотеза Пуанкаре утверждает:
Для любого натурального числа n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.
Исходная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщённой гипотезы при n = 3.
Схема доказательства
Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть, вложенное
), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию. Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме. Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией».
При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии M и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие M можно представить как набор сферических пространственных форм S3 / Γi, соединённых друг с другом трубками . Подсчёт фундаментальной группы показывает, что M диффеоморфно связанной сумме набора пространственных форм S3 / Γi и более того все Γi тривиальны. Таким образом, M является связной суммой набора сфер, то есть, сферой.
История
В 1900 году Пуанкаре сделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В 1904 году он же нашёл контр-пример, называемый теперь сферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для n ⩾ 5 получены в начале 1960—1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом (англ.) (для n ⩾ 7, его доказательство было распространено на случаи n = 5 и 6 Зееманом (англ.)). Доказательство значительно более трудного случая n = 4 было получено только в 1982 году Фридманом. Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.
Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона (англ.)) было найдено только в 2002 году Перельманом. Впоследствии доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных. Доказательство использует поток Риччи с хирургией и во многом следует плану, намеченному Гамильтоном, который также первым применил поток Риччи.
Признание и оценки
Фридман (в 1986 году) и Перельман (в 2006 году) стали Филдсовскими лауреатами.В 2006 году журнал Science назвал доказательство Перельманом гипотезы Пуанкаре научным «прорывом года» («Breakthrough of the Year»). Это первая работа по математике, заслужившая такое звание.В 2006 году Сильвия Назар опубликовала нашумевшую статью «Manifold Destiny», которая рассказывает об истории доказательства гипотезы Пуанкаре.18 марта 2010 года математический институт Клэя присудил Премию тысячелетия за доказательство гипотезы Пуанкаре Г. Я. Перельману, который, однако, отказался её принять.
Открытые математические проблемыОткрытые (нерешённые) математические пробле́мы — проблемы, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве.В научном мире популярна практика составления известными учёными или организациями списков открытых проблем, актуальных на текущий момент. В частности, известными списками математических проблем являются:Проблемы ГильбертаПроблемы ЛандауПроблемы тысячелетияПроблемы СмейлаСо временем опубликованные проблемы из такого списка могут быть решены и, таким образом, потерять статус открытых. Например, большинство из проблем Гильберта, представленных им в 1900 году, на данный момент так или иначе решены.
Теория чисел
Гипотезы о простых числах· Сильная проблема Гольдбаха. Каждое чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел. · Слабая проблема Гольдбаха. Каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел (доказана для всех достаточно больших нечётных чисел). · Гипотеза Артина о бесконечности множества простых чисел, по модулю которых заданное целое число является первообразным корнем. · Гипотеза Лежандра. Для любого натурального n между n2 и (n + 1)2 найдётся хотя бы одно простое число. · Гипотеза Брокарда. Для любого натурального n между и (где pn — это n-ое простое число) найдётся хотя бы четыре простых числа. · Гипотеза Полиньяка. Для любого чётного числа n найдется бесконечно много пар соседних простых чисел, разность между которыми равна n.
Знаете ли вы?
-что Шарль Перро, автор «Красной Шапочки», написал сказку «Любовь циркуля и линейки»?-что Наполеон Бонапарт писал математические труды и один геометрический факт называется «Задача Наполеона»?-что одна из кривых линий называется «Локон Аньезе» в честь первой в мире женщины-профессора математики Марии Гаэтано Аньезе?-что цветок гортензию назвали в честь Гортензии Лепота, известной вычислительницы, которая составляла математические таблицы? Она привезла этот цветок из Индии.-что все современные учебники по геометрии составлены на основе известных «Начал» Евклида (IV в. до н. э.)?
-что Пифагор был победителем из кулачного боя на 58-х Олимпийских играх, проходивших в 548 году до н. э., а затем побеждал еще на нескольких Олимпиадах?-что знаменитый Фалес был спортивным болельщиком и умер на трибуне олимпийского стадиона во время боя Пифагора?-что в 1940 году была напечатана книга, в которой есть 370 различных способов доказательства теоремы Пифагора, а среди них есть доказательства, которое предложил президент США Гарфилд?-что английская королева, прочитав книгу Льюиса Кэрролла «Алиса в Стране чудес», так заинтересовалась ею, что приказала принести ей все книги этого писателя, но была разочарована, потому что в других книгах были математические формулы?-что Франсуа Виета почти было отправлено на костер за то, что ему повезло расшифровать секретную переписку испанского правительства с командованием своих войск? Испанцы считали, что раскрытие их шифра человеческому разуму не под силу и Виету помогал сам Сатана.
Интересные факты
Ряд Фибоначчи
Фибоначчи составил такой ряд из натуральных чисел, который впоследствии оказался полезным в науке: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …Закон образования членов этого ряда очень прост: пер­вые два члена — единицы, а затем каждый последующий член получается путем сложения двух непосредственно ему предшествующих. Например, 2 = 1 + 1, 3 = 1 + 2, 5 = 2 + 3, 8 = 3 + 5 и т. д.Любая пара соседних чисел ряда Фибоначчи удовлетворяет одному из уравнений либо причем большее число является значением неизвестного x, а меньшее — значением неизвестного y. Например,Илиили и т.д. являются корнями первого уравнения, аи т.д. являются корнями второго уравнения.
Ряд Фибоначчи известен не только математикам, но и природоведам.Если листья на ветке сидят одиноко, то они всегда располагаются кругом стебля, но не по окружности, а по винтовой линии, то-есть каждый последующий лист по­выше и в сторону от предыдущего. При этом для каждого вида растений характерен свой угол расхождения двух соседних листьев, который, как утверждают ботаники, выдерживается, более или менее точно во всех частях стебля. Этот угол обычно выражают дробью, показываю­щей, какую часть окружности он составляет. Так, у липы и вяза угол расхождения листьев составляет 1/2 окружности; у бука — 1/3, у дуба и вишни — 2/5, у тополя и груши — 3/8, у ивы— 5/13 и т. д. Тот же угол у данного вида растений сохраняется также и в расположении веток, почек, чешуек внутри почек, цветов.
Наиболее распространены среди растений следующие углы расхождения (в частях окружности): Ряд числителей и ряд знаменателей здесь — числа Фибо­наччи, причем каждая из дробей (начиная с третьей) по­лучается из двух предыдущих путем сложения их числи­телей и знаменателей: и т.д.
Тайны шахматного автоматаОсобенной популярностью пользовался шахматный автомат венгерского механика Вольфганга фон Кемпелена (1734—1804), который показывал свою машину при австрийском и русском дворах, а затем демонстрировал публично в Париже и Лондоне. Наполеон I играл с этим автоматом, уверенный, что меряется силами с машиной. В середине прошлого века знаменитый автомат попал в Америку и кончил там свое существование во время пожара в Филадельфии.Другие автоматы шахматной игры пользовались уже не столь громкой славой. Тем не менее вера в существование подобных автоматически действующих машин не иссякла и в позднейшее время.
В действительности ни одна шахматная машина не действовала автоматически. Внутри прятался искусный живой шахматист, который и двигал фигуры.Тот мнимый автомат, о котором мы сейчас упоминали, представлял собою объемистый ящик, заполненный сложным механизмом. На ящике имелась шахматная доска с фигурами, передвигавшимися рукой большой куклы. Перед началом игры публике давали возможность удостовериться, что внутри ящика нет ничего, кроме деталей механизма. Однако в нем оставалось достаточно места, чтобы скрыть человека небольшого роста (эту роль играли одно время знаменитые игроки Иоганн Альгайер и Вильям Льюис). Возможно, что пока публике показывали последовательно разные части ящика, спрятанный человек бесшумно перебирался в соседние отделения. Механизм же никакого участия в работе аппарата не принимал и лишь маскировал присутствие живого игрока.
Великие математики
Пифагор, VI в. до н. э. (580—500), — древнегреческий философ и математик. Первым заложил основы математики как науки, имел свою школу (школа Пифагора). Ему приписывают открытие так называемого правила Пифагора, хотя геометрическая интерпретация этой проблемы была известна и раньше.Евклид, IV—III вв. до н. э. (примерно 330—275), — один из самых великих греческих математиков античного периода. Основатель математической школы в Александрии. Написал ряд работ по геометрии, оптике и астрономии. В своем известном трактате «Элементы» первым систематизировал и разработал аксиоматику известной в то время геометрии.Архимед, III в. до н. э. (примерно 287—212), — самый великий математик и физик античных времен. Он написал ряд произведений по геометрии и физике. Определил приблизительное значение числа π (3,14), вычислил собственным методом поверхности многих плоских фигур и объемов тел. Основатель гидростатики. И сегодня известны спираль Архимеда, закон Архимеда, аксиома Архимеда.Эратосфен из Кирены, III в. до н. э. (276—194), — великий древнегреческий ученый, написал труды по астрономии, математике, географии и философии. Основатель научной географии. Он занимался измерением объема земного шара и доказывал возможность кругосветного плавания. Придумал метод, при помощи которого можно находить простые числа в их естественном порядке (так называемое сито Эратосфена).Рене Декарт, XVII в. (1596—1650), — французский философ, математик и физик. Создал ряд важных теорем в различных областях математики. С появлением его произведения «Геометрия» началась новая эра в развитии математики с применением координатной системы и введением взаимозависящих переменных величин. Тем самым он установил связь между алгеброй и геометрией и был основоположником аналитической геометрии.Пьер Ферма, XVII в. (1601—1665), — французский математик. Занимался теорией чисел, а также заложил основы теории вероятностей, он автор многих теорем, особенно известен по так называемой великой теореме Ферма.
Леонард Эйлер, XVIII в, (1707—1783), — швейцарский математик, физик и астроном. Один из великих математиков своего времени. Он способствовал развитию теории рядов, ввел так называемые интегралы Эйлера, а в геометрии создал известную теорему, которая также названа его именем. Он доказал большое число теорем теории чисел и нашел частичное решение великой теоремы Ферма.Георг Кантор, XIX—XX вв. (1845—1918), — немецкий математик, один из главных представителей математической мысли на рубеже XIX и XX вв. Основатель современной теории множеств, которая открыла пути к совершенно новым знаниям в математике.Джузеппе Пеано, XIX—XX вв. (1858—1932), — итальянский математик и логик. Ему принадлежат известные исследования, связанные с формально-логической критикой основ арифметики. Он является автором первой аксиоматики натуральных чисел, так называемых аксиом Пеано.Давид Гильберт, XIX—XX вв. (1862—1943), — немецкий математик, который внес значительный вклад в разные области математики. Его считают последним всесторонним математиком. Он занимался, помимо прочего, теорией чисел, математической логикой, основами математики, дифференциальными и интегральными уравнениями и, кроме того, поставил элементарную геометрию на строго аксиоматическую основу. Его труды оказывали значительное влияние на математику XX в.Андрей Николаевич Колмогоров, XX в. (1903—1987), — известный русский математик. Занимался различными областями математики. Внёс значительный вклад в теорию функций, топологию, в математическую логику и функциональный анализ. Он поставил теорию вероятностей на аксиоматическую, основу. Помимо прочего Колмогоров занимается проблематикой математического образования.Никола Бурбаки, XX в., — вымышленное имя большой группы выдающихся французских математиков (которая поставила себе задачу систематизации математики в соответствии с современными взглядами). Группа публикует свои работы в сборнике «Основы математики». Своими работами «Бурбаки» оказали большое влияние на современную математику.
Занимательные задачи
Турнир мудрецовОднажды король решил выяснить, кто из двух придворных мудрецов мудрее. Для этого он устроил турнир со следующими условиями:требовалось найти два наименьших целых положительных числа, заданных через их сумму и сумму их квадратов.Первому мудрецу сообщили сумму чисел, второму - сумму квадратов. Между мудрецами состоялся следующий диалог:- Пока что я не знаю этих чисел, начал первый мудрец.- Я тоже не в состоянии их вычислить, - признался его противник- А вот теперь я догадался! - вскричал первый и назвал правильный ответ.Что это были за числа?
АнаграммыВ заплатах шея и бока,На всех глядит он свысока.Но разгадать загадку захотев,На "П" смените букву "Ф".Теперь наоборот прочтитеИ во Франции город найдите.Читаем мы направо смело -Геометрическое тело.Прочтем же справа мы налево -Увидим разновидность древа.До каких пор волк в лес бежит?Ответ: До середины, дальше он бежит из лесу.В каком случае шесть детей, две собаки, четверо взрослых, забравшись под один зонтик, не намокнут? Ответ: Если не будет дождя.Что получиться если интеллект и режущий инструмент разбавить без «П» пением?Ответ: ум-нож-ение
Кроссворд
По горизонтали2.Точка плоскости, равноудалённая от всех точек окружности.4.Отрезок, соединяющий вершины треугольника.6.Часть прямой.8.Всякое множество точек, конечное или бесконечное, на плоскости или в пространстве.9.Множество всех точек прямой, лежащих между двумя данными её точками.10.Единица длины.13.Английская мера длины.14.Одно из измерений параллелепипеда.15.Многогранник.16.Старинная мера массы.18.Самая большая хорда окружности.20.Фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.21.Столетие.22.Французский математик, который ввёл прямоугольную систему координат.23.Единица массы.24.Единица времени.По вертикали1.Множество всех точек координатной плоскости (х ; у), где х - аргумент, у - значение функции.2.Единица массы.3.Сторона грани.5.Место, занимаемое цифрой в записи числа.7.Компонент действия вычитания.11.Знак действия.15.Сотая часть числа.17.Буква греческого алфавита.18.Расстояние между концами отрезка.19.Отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой.
ОтветыПо горизонтали. 2. Центр. 4. Сторона. 6. Луч. 8. Фигура. 9. Отрезок. 10. Метр. 12. Разность. 13. Ярд. 14. Ширина. 15. Пирамида. 16. Пуд. 18. Диаметр. 20. Угол. 21. Век. 22. Декарт. 23. Тонна. 24. Секунда.По вертикали. 1. График. 2. Центнер. 3. Ребро. 5. Разряд. 7. Уменьшаемое. 11. Минус. 15. Процент. 17. Дельта. 18. Длина. 19. Радиус.
Математические ребусы
 
 
 
 
 
 
 
Ответы на задачиТурнир мудрецовБыли выбраны числа 1 и 7.Разобраться в решении головоломки достаточно просто. Если сумма двух чисел превышает 3, то найти их не представляется возможным, о чем и сообщил первый мудрец своей первой фразой. Его противник также не сумел определить числа по сходной причине: несколько пар чисел, возведенных в квадрат, давали в сумме то число, которое было ему известно. Но много ли таких чисел? Возможны следующие равенства сумм квадратов:50 = 52+52 = 12+7265 = 42+72 = 12+8285 = 62+72 = 22+92125 = 52+102 = 22+112 и т.д.Наименьшую сумму чисел, возводимых в квадрат, дают 1 и 7.АнаграммыЖираф-ПарижКуб-букОтветы на математические ребусыПоказательНаклоннаяПодобиеСтереометрияТеорема ПифагораТеоремаОтрезокЗадача