Теорема Пифагора за страницами учебника геометрии

Слайд 1

Слайд 2

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота- красота- значимость . В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Кроме того, она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы, свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Введение

Слайд 3

ПИФАГОР САМОССКИЙ (ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.) О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове. Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки. Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что египетские боги – в образе полулюдей-полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.

Слайд 4

Обычно открытие теоремы Пифагора приписывают математику Пифагору. Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древнекитайских рукописей показало, что утверждение было известно задолго до Пифагора, возможно, за тысячелетия до него. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.

Слайд 5

В современных учебниках теорема сформулирована так: « В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Во времена Пифагора она звучала так: « Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах». Действительно, с 2 – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а 2 и b 2 – площади квадратов, построенных на катетах

Слайд 6

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников. Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника. А на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. Из рисунка видно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Слайд 7

Смотрите, а вот и "Пифагоровы штаны во все стороны равны" Такие стишки придумывали учащиеся средних веков при изучении теоремы; рисовали шаржи. Вот, например, такие

Слайд 8

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии. Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например с помощью дифференциальных уравнений).

Слайд 9

Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур. При этом можно рассмотреть доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе данного прямоугольного треугольника «складывается» из таких же фигур, что и квадраты, построенные на катетах. Можно рассматривать и такие доказательства, в которых применяется перестановка слагаемых фигур и учитывается ряд новых идей. На рис. 2 изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c2 = a2 + b2. Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!» Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор.

Слайд 10

Доказательство Евклида Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны. Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника — BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.

Слайд 11

Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK. Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, — это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно — AB=AK,AD=AC — равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата — 90°). Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично. Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах.

Слайд 12

Через подобные треугольники Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры . Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C . Проведём высоту из C и обозначим её основание через H . Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC . Введя обозначения получаем Что эквивалентно Сложив, получаем или

Слайд 13

Доказательство Леонардо да Винчи Доказательство Леонардо да Винчи Главные элементы доказательства — симметрия и движение. Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению). Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и GDAB . Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади квадрата, построенного на гипотенузе, плюс площадь исходного треугольника. Последний шаг доделайте самостоятельно

Слайд 14

Доказательство методом бесконечно малых Следующее доказательство при помощи дифференциальных уравнений часто приписывают известному английскому математику Харди , жившему в первой половине XX века. Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и наблюдая изменение стороны a , мы можем записать следующее соотношение для бесконечно малых приращений сторон с и a (используя подобие треугольников):

Слайд 15

ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ "На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломил. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в этом месте река В четыре лишь фута была широка Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?" Задача индийского математика XII века Бхаскары

Слайд 16

Решение D В 3 С 4 А Дано: АВС- прямоугольный, АС=3 фута, А D =4 фута Найти: АВ Решение. А D =ВС+АВ; D В=АВ; АВ = ВС +АС (по т.Пифагора) АВ =9+16=25, АВ=5(фут.) А D =3+5=8(фут.) 1 фут=30,5 см. Ответ.8 футов 244 см.

Слайд 17

Задача из китайской "Математики в девяти книгах" "Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?"

Слайд 18

Задача из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого "Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."

Слайд 19

ПИФАГОРОВА ГОЛОВОЛОМКА Из семи частей квадрата составить снова квадрат, прямоугольник, равнобедренный треугольник, трапецию. Квадрат разрезается так: E, F, K, L – середины сторон квадрата, О – центр квадрата, ОМ ⊥ EF, NF ⊥ EF.

Слайд 20

Значение теоремы Пифагора Теорема Пифагора-это одна из самых важных теорем геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии Также она позволяет по любым двум сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторону.

Слайд 21

Заключение В нашем классе до нас такой работой никто не занимался и вряд ли будет заниматься, так как она требует большой усидчивости, терпения и времени. Но мы не будем останавливаться на достигнутом и планируем в дальнейшем расширять нашу работу. Надеемся, что наша работа стоит наших усилий. Спасибо за внимание!