Физика автомобильных пробок

Секция: Физика

«Физика автомобильных пробок»

Асташкина Полина Владимировна

Класс: 11 «Б»

ГБОУ СОШ № 5 «ОЦ»

 г.о. Новокуйбышевск

Руководитель: Бухтоярова Елена Валерьевна,

учитель физики высшей категории

Миненкова Юлия Владимировна,

учитель информатики и ИКТ первой категории

Самара

                                                    Содержание.

1. Введение
2. Актуальность выбранной темы
3. Цели
4. Задачи
5. Гипотеза
6. Методика выполнения работы
7. Теоритическая часть

1) Глава I

                 а) Причины автомобильных пробок

            2) Глава II

                  а) Исследование причин автомобильных пробок

                  б) Кинематический портрет «среднего» водителя – вывод формулы

        8. Практическая часть

               1) Глава III

                   а) Графическая зависимость скорости машин от их количества.

                2) Глава IV

                   а)  Одноминутная «авария»

         9. Вывод

         10. Результаты работы    

         11. Список используемой литературы

Введение.

В работе приведена физическая модель образования автомобильных пробок.

HOMO SAPIENS - человек разумный. Так мы себя называем без тени ложной скромности по отношению к остальным представителям животного мира. Конечно, человеческому разуму есть чем гордиться.

Наши предки на протяжении многих тысячелетий пытались сделать жизнь людей более удобной. Когда стало ясно, что удобнее жить и работать вместе, возникли города, потом появились дороги между ними, и наконец - средства передвижения по ним, т.е. автомобили. Со временем, в городах стало много людей, а на улицах много машин, начали возникать автомобильные пробки, в которых люди попусту теряли время. Поэтому автомобильные пробки можно считать побочным продуктом цивилизации.

Однако, в отличие от экологических последствий цивилизации, причина автомобильных пробок кроется в психологии людей и вполне может быть устранена, если люди будут вести себя действительно разумно.

Большая часть населения нашей страны проводит много времени в пробках и поэтому меня заинтересовал тот факт, от которого зависит положение машин на дорогах. Эта работа произведена для того, чтобы понять, как образуются автомобильные пробки и как можно их предотвратить, опираясь на законы физики.

Актуальность работы. Данная проблема  существует в любом крупном и среднем городе России. Она доставляет много неудобства, как пешеходам, так и самим автомобилистам. С каждым годом машин на дорогах городов становится все больше и больше. При этом и к самим дорогам претензий много: плохое качество, неудобные автомобильные развязки, отсутствие надземных и подземных переходов и объездных дорог для грузовых фур.

Автомобильные пробки являются одним из главных недостатков современных дорог.

Область исследования:  Движение автомобилей в группе.

Цель работы.

1. Получение уравнений, которые являются кинематическим портретом «среднего» водителя.
2. Расчёт данных и сопоставление его с человеческим фактором.

Тема автомобильных пробок является новой из-за относительно недавнего появления самих автомобилей (1896 г), а так же из-за недостаточной распространённости автомобилей среди населения до недавнего времени (80х-90х годов, когда собственно и стали возникать первые дорожные проблемы - так называемые пробки).

Задачи:

-   познакомиться с понятием «автомобильная пробка»,

- определить, каково должно быть положение машин на дорогах относительно друг друга;

- выяснить, как могут повлиять посторонние факторы на образование автомобильной пробки.

Гипотеза. Если автомобильные пробки занимают большую часть нашего времени, то возможно ли создать оптимальное условие для водителей, управляющими своими автомобилями.

Методика выполнения работы: рассматриваем теоретические данные; составляем план дальнейшей практической работы; разбираем ситуацию на дороге при движении автомобилей, выводим формулу; создаём аварийную ситуацию на дороге; выводим формулу; рассматриваем поведение водителей,  а также посторонние факторы; выстраиваем единую картину; анализируем полученный результат.

Глава I

Автомобильная пробка, или как ещё называют дорожный затор - скопление на дороге транспортных средств, движущихся со средней скоростью, значительно меньшей, чем нормальная скорость для данного участка дороги. При образовании затора значительно (до 20 раз и более) снижается пропускная способность участка дороги. Если прибывающий поток транспорта превышает пропускную способность участка дороги, затор растёт лавинообразно.

Причиной пробок на дорогах является поступление потока машин, превышающего их пропускную способность из-за увеличения потока или снижения пропускной способности дороги по многим причинам. Вот некоторые из них: неудовлетворительное, или не соответствующее текущим потребностям устройство дорог, много светофоров, недостаточная ширина или наличие сужений дорог, дорожно-транспортные происшествия, события, приводящие к значительному однократному или периодическому увеличению потока транспортных средств:  часы пик, стихийные бедствия.

Учёные, изучающие автомобильные пробки, сравнивают поведение транспортных средств на дороге с потоком жидкости в трубе. Их исследования показали, что при свободном движении по дороге плотного потока автомобилей пробки могут возникать внезапно, например, при неумелом манёвре одного единственного участника движения.

Меры предотвращения заторов можно свести к следующим категориям: увеличение пропускной способности, регулирование доступа к дорогам, и предотвращению ситуаций, приводящих к возникновению и развитию заторов. Не все меры предотвращения заторов подходят для любых ситуаций: те или иные меры в некоторых случаях могут быть не только неэффективны, но и давать противоположный эффект. Рассмотрим на практике и выясним, какой способ является наиболее эффективным и способствующим предотвращению пробок.

 План

1) Попробуем  математически описать  поведение «среднего» водителя за рулем, а именно то, как он изменяет скорость своей машины в зависимости от расстояния до впереди идущей машины и от ее скорости.

2) Графически показываем зависимость величин,  описывающих поведение водителя на дороге и возможность образование «пробок» при заданных параметрах.

 3) Когда положение на нашей модельной кольцевой дороге  стабилизируется, постараемся выяснить, как зависит средняя скорость от количества машин на ней.

 4) Для создания автомобильной пробки сделаем так, что у некоторой машины, например под номером 500, временно (на одну минуту) заглохнет; мотор и возникнет автомобильная пробка, которая потом в течение долгого времени будет влиять на движение.

5) Рассмотрим несколько посторонних факторов, способных повлиять на образование автомобильной пробки.

6) Выясним, как характеристики автомобильной пробки зависят от количества машин на дороге, от поведения водителей и дополнительных трудностей.

Глава II.

Динамика основывается на средней плотности потока машин, это основной показатель в закрытой системе. Причина образования пробки:

1. Плотность потока < 8 машин на километр полосы: Свободное движение.
2. Плотность потока 8-15 мшн/км/пол: Образуются очереди машин за грузовиками.
3. Плотность потока 15-25 мшн/км/пол: Плотный поток, но без очередей, или стоп-волн.
4. Плотность потока 25-55 мшн/км/пол: Стоп - волны.
5. Плотность потока >50 мшн/км/пол: Несколько регионов со стоящим трафиком разделены регионами, где поток движется медленно.

Кинематический портрет ««среднего» водителя.

Человек садится за руль для того, чтобы быстрее преодолеть путь из точки А в точку Б. Поэтому, когда перед ним на дороге нет никаких препятствий, водитель ускоряет свое авто до той скорости υ0, которую считает разумной в данных условиях. Очевидно, что υ0 для городских улиц (60-80 км/ч) должна быть меньше, чем для скоростных автомагистралей (100-120 км/ч).

Формулу разгона можно записать так:

dυ/dt=a(1-(υ/υ0)β),      (1)

где  а ≈ 2 м/с2  - максимальное ускорение «среднего» водителя, которое еще не вдавливает его в кресло,

υ - скорость автомобиля в момент времени t,

β – коэффициент, определяющий скорость реакции системы машина - водитель и может быть очень высоким у агрессивных водителей, разъезжающих на мощных автомобилях.

Эта формула обеспечивает достижение желанной скорости υ0 и ее поддержание в дальнейшем.

Поведение водителя меняется, когда впереди себя он видит машину, следующую в том же направлении. Теперь водитель должен не только использовать скоростные качества своей машины, но и держаться от впереди идущей на некотором безопасном расстоянии, превышающем S0,  причем S0 должно увеличиваться с увеличением скорости υ.  Об этом даже говорится в правилах дорожного движения некоторых стран. Например, в США от водителя требуют увеличивать S0 на длину автомобиля при увеличении скорости на 5 м/с (т.е. 18 км/ч). Ну а так как длина среднего автомобиля 5 м, то зависимость S0 от  υ в этом случае можно записать в следующем виде:

S0 =υt+ Smin ,   (2)

где t - постоянная времени, равная 1с,

Smin - минимальное расстояние между машинами, когда они стоят в автомобильной пробке.

Для того чтобы машины не  царапали друг другу  бамперы,  положим

smin = 2 м. Формулу (2) можно прочесть и по-другому. Так как тормозной путь увеличивается пропорционально начальной скорости, то и дистанция между машинами должна быть больше соответствующего тормозного пути, здесь

t — это допустимое время торможения при обычной езде.

Формула (2) справедлива только для того случая, когда впереди идущая машина имеет такую же скорость,  т.е. υ.  

Представим себе, что для  впереди идущей машины зажегся красный сигнал светофора, и она уменьшила свою скорость на ∆υ. Очевидно, что «средний» водитель сразу же тоже нажмет на тормоз,  чтобы снизить свою скорость на столько же.  Пусть наш водитель не будет очень резко нажимать на тормоз, и отрицательное ускорение машины составит не более Ь = 2 м/с2. Таким образом,  на процесс равнозамедленного торможения будет затрачено ∆υ/b секунд,  которые мы должны прибавить к t в формуле (2), чтобы сделать безопасным движение даже в том случае, когда впереди идущая машина затормозила.

В случае внезапного ускорения впереди идущей машины все будет наоборот и время t в формуле (2) можно будет уменьшить на ∆υ/а, где а - величина комфортного ускорения (2 м/с2). Таким образом, улучшенная формула для S0,  справедливая в случаях ускоренного или замедленного движений впереди идущей машины, будет иметь вид:

S0 = υt+ Smin+υ(∆υ/b) – для замедленного движения,

S0 = υt+ Smin-υ(∆υ/a) – для ускоренного движения     (3)

Теперь опишем математически алгоритм поведения «среднего» водителя, когда оказывается, что расстояние S между ним и впереди идущей машиной отличается от S0. Если S> S0, то водитель будет ускоряться, стараясь приблизиться к впереди идущей машине, и наоборот.  Формулу, описывающую стратегию регуляции S, можно записать в виде:

dυ/dt=µ(1-( S0/ S)α),   (4)

 где µ - коэффициент численно равный  a для ускоренного движения, b -  для замедленного.

Поскольку даже «средний» водитель, соблюдая дистанцию, все-таки хочет ехать как можно быстрее, то его стратегия описывается комбинацией правых частей формул (1) и (4). Так что вполне возможной стратегией «среднего» водителя может быть среднеарифметическая стратегия, описываемая полу-суммой правых частей соответствующих формул:

dυ/dt=1/2{a(1-(υ/υ0)β)+ µ(1-( S0/ S)α)}     (5)

Можно считать, что формулы (3) и (5) являются кинематическим портретом «среднего» водителя, глядя на который можно предсказать, как он себя будет вести (нажимать на педаль тормоза или газа) в самых разных ситуациях на дороге.

Глава III

После того как мы узнали, что можно ожидать от «средних» водителей, составим график, который имитировал бы взаимодействие трех тысяч таких водителей, едущих по кольцевой дороге длиной 100 км друг за другом не обгоняя. Пусть до начала движения все 3000 машин неподвижны и почти равномерно распределены по длине дороги, а в момент времени t = 0 все водители одновременно начинают двигаться в соответствии с формулами (3) и (5), где υ0 = 120 км/ч.

После начала разгона машина с номером «1» и ее водитель через ветровое стекло видит перед собой машину «2», а тот, в свою очередь, видит машину «3» и т.д. Если N — это число машин на дороге, то около отметки «100 км» стоит машина с номером «N», перед которой уже стоит машина с номером «1», и дорога замыкается.

Составим регрессионную модель, которая имитировала бы взаимодействие водителей, едущих по кольцевой дороге длиной 100 км друг за другом, не обгоняя. Для этого мы находим уравнение, по которому выполняется эта зависимость, и предполагаем дальнейший ход при увеличении числа машин.

Рис 1. Средняя скорость машин в зависимости от их количества

Скорость очень сильно зависит от количества машин (рисунок 1).

 Рис.2. Скорость машины номер «300» в зависимости от времени, прошедшего от начала движения, на дороге с разным количеством машин N = 500, 1000. 2000, 3000, 5000, 8000, 10000.

На рисунке 2 видно, как машины ускоряются и приблизительно через 30 секунд достигают своей оптимальной скорости. Эта скорость очень сильно зависит от того, сколько машин (рисунок 2). Рисунки 1 и 2 демонстрируют всем известную истину - чем меньше машин на дороге, тем до большей скорости можно на ней разогнаться.

Глава IV

После того как машины разогнались и достигли своей оптимальной скорости, спровоцируем возникновение автомобильной пробки на дороге. Для этого остановим машину под номером «500» на одну минуту, «сломав» ее мотор, а потом попросим ее водителя начать движение и догнать уехавшие вперед машины.

Рис.3. Скорости машин в зависимости от их положения на участке дороги между 10-м и 40-м километрами в различные моменты времени, когда на дороге находятся 3000 машин: 1—до остановки, 2 — в конце одноминутной остановки, 3 — через 5 минут после восстановления движения, 4 — через 9 минут, 5 — через 13 минут, 6 — через 20 минут

Рисунок 3 иллюстрирует, как возникает и живет автомобильная пробка, когда на дороге находятся 3000 машин, т.е. в среднем 30 машин на одном километре. Результаты моделирования показали, что в конце одноминутной остановки машины номер «500» около 50 машин, следовавших за ней, тоже остановились, и таким образом пробка продвинулась почти на полкилометра в сторону, противоположную движению. Поэтому даже после того как машина с номером «500» (первичная причина автомобильной пробки) продолжила свое движение, догоняя ушедший вперед транспорт, остановившиеся за ней бампер к бамперу машины, став вторичным источником пробки, продолжали задерживать возобновление нормального движения. Как следствие этого, автомобильная пробка продолжала перемещаться в сторону, противоположную движению транспорта. Так, через 5 минут после «починки» мотора, когда машина с номером «500» уже проехала около 12 км и догнала уехавшие вперед машины, созданная ею пробка продвинулась почти на 2,5 км от места «аварии». Такое «встречное» движение автомобильной пробки сохранилось даже тогда, когда пробка начала рассасываться и все машины на дороге начали двигаться. Как показало моделирование, скорость встречного движения пробки составляет около 500 м/мин. Через 2-3 минуты после возобновления движения пробка меняет направление своего перемещения на попутное движению транспорта.

Рис.4. Скорости машин в зависимости от их положения на участке дороги между нулевым и 30-м километрами в различные моменты времени, когда на дороге находятся 4000 машин, а желаемая скорость составляет 120 км/ч: 1 — до остановки, 2 - в конце одноминутной остановки, 3 — через 3 минуты после восстановления движения, 4 — через 5 минут, 5 — через 10 минут, 6 — через 20 минут

Если считать временем жизни автомобильной пробки интервал, когда минимальная скорость на дороге снижена на 30%, то пробка, проиллюстрированная рисунком 4, длилась не больше 10 минут. Известно, что последствия аварий на дороге становятся гораздо более серьезными, если они происходят в часы пик, когда плотность машин на дороге увеличена. Продемонстрируем это на нашей модели, увеличив плотность машин.

Рисунок 4 показывает, какие последствия может иметь одноминутная «авария» в часы пик, когда плотность машин возрастает до 40 на километр. Теперь «авария» приведет к остановке большего числа автомобилей, следующих за неисправным. Через одну минуту их будет уже более 60, и все они станут вторичными источниками возникшей пробки, когда машина с номером  500 будет догонять оторвавшийся вперед транспорт. В результате пробка начинает двигаться навстречу движению транспорта с той же скоростью около 500 м/мин, но, в отличие от предыдущего случая, в часы пик пробка может не рассосаться в течение очень долгого времени или даже может стать постоянной. Причиной «вечной» пробки служит динамическое равновесие между количеством машин, останавливаемых этой пробкой, и числом счастливчиков, вырывающихся из ее плена.

Возможным «лекарством» от автомобильных пробок в часы пик может быть уменьшение плотно стоящих в пробке автомобилей.

Рис.5. Скорости машин в зависимости от их положения на участке дороги между 5-м и 35-м километрами в различные моменты времени, когда желаемая скорость уменьшается до 80 км/ч: 1 —до остановки, 2-в конце одноминутной остановки, 3 — через 5 минут после восстановления движения, 4 — через 7 минут, 5 — через 10 минут, 6 — через 15 минут,7-через 20 минут

К сожалению, как только впереди идущий автомобиль останавливается, мы стараемся приблизиться к нему как можно плотнее, считая, что этим мы приближаем для себя момент выхода из пробки. Очевидно, что такая стратегия ошибочна. Приближаясь чересчур близко к бамперу впереди стоящего автомобиля, мы ограничиваем величину ускорения будущего разгона (см. формулу (5)), а значит, и количество машин, освобождающихся из плена в единицу времени, что может сделать пробку «вечной».

Вывод:

Для того чтобы не создавать «вечных» автомобильных пробок, достаточно снизить свою «желаемую» скорость υ0  (см. формулу (1)) до той величины, которая оптимальна для данной плотности машин (см. рисунок 2). Например, для дороги с 4000 машин υ0 могла бы быть порядка 80 км/ч. Какой была бы ситуация в таком случае при одноминутной «аварии», показано на рисунке 5. Видно, что образование и рассасывание пробки в этом случае очень похоже на то, что происходит при 3000 машинах и «желаемой» скорости 120 км/ч.  Продолжительность такой пробки, состоящей из действительно разумных водителей, составляет всего 8 минут.

Итак, «Не приближайтесь к бамперу впереди идущей машины!»

Основные результаты работы

1. Сформулировано понятие «автомобильная пробка»
2. Описаны возможные причины возникновения автомобильной пробки
3. Рассмотрены формулы для решения проблемы связанной с пробками
4. Рассмотрена ситуация одноминутной аварии
5. Получен способ решения автомобильных пробок

Литература.

1. Журнал «Квант»,  2003 г.
2. INFO24.BY (Региональный инфопортал);
3. Аktiv.com.ua НАУКА
4. Занимательная физика в вопросах и ответах, сайт  Елькина Виктора.

 Заслуженный учитель РФ.  

5.  http://sci-lib.com/article1223.html