Исследовательская работа "Изучение фигурных чисел"

Муниципальное  автономное образовательное учреждение

 Средняя общеобразовательная школа №38

Октябрьского района городского округа

город Уфа Республики Башкортостан

Изучение фигурных чисел

                                                                              Автор:  Александрова Кристина Игоревна, ученица 6б класса МАОУ СОШ №38

 Октябрьского района г. Уфа РБ

Научный руководитель: Епифанова Галина Григорьевна,

 учитель математики, МАОУ СОШ №38

Октябрьского района г.Уфа РБ

Уфа

2012

Содержание

Введение………………………………………………………………………...... 3

1. История фигурных чисел ……………….. ……………………...………..…. 4
2.  Виды фигурных чисел……………………..…………………………..……6

1. Линейные числа.
2. Плоские числа.
3. Телесные числа.
4. Многоугольные числа.

1. Треугольные числа.
2. Квадратные числа.
3. Пятиугольные числа.

5. Пространственные фигурные числа

Заключение…………………………………………………………..……...…..12

Список используемой литературы…………………………………..……...…13

Введение

    Фламандский математик Симон Стевини писал «Среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью…».

    Ещё вначале VI века до н.э. греческие математики обнаружили интересный способ рассмотрения чисел, который можно назвать как полуарифметический - полугеометрический. Способ состоял в том, что, используя камешки одинаковой величины и формы, можно выкладывать числа с помощью фигур. Я заинтересовалась этим и решила выяснить, действительно ли существуют числа, которые можно выкладывать в виде геометрических фигур?

Я решила узнать, какие числа называются фигурными, на какие виды эти числа делятся, применение и историю возникновения фигурных чисел, научиться самой «выкладывать» фигурные числа и познакомить своих одноклассников с фигурными числами. Для этого был проведен поиск литературы, как в библиотеке, так и в Интернете.

1. История фигурных чисел.

Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске - абаке. По этой причине греки не знали нуля, т.к. его невозможно было "увидеть". Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий "числовой атом", из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу "границей между числом и частями", т.е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней "семя и вечный корень". Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как "числового атома", роднило ее с точкой, считавшейся "геометрическим атомом". Вот почему Аристотель писал: "Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения". Т.о. пифагорейские числа в современной терминологии - это натуральные числа.

   Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Поэтому их изучением занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл,Диофант Александрийский и другие. Гипсикл (II век до н. э.) дал общее определение m-угольного числа  как суммы n членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна ( . ). Диофант написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней. О фигурных числах много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским (II век), установившие ряд зависимостей между фигурными числами разных размерностей. Большой интерес к фигурным числам проявили индийские математики и первые математики средневековой Европы (Фибоначчи, Пачоли, Кардано и др.).

    В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Валлис, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. Ферма сформулировал (1637) так называемую «золотую теорему»:

1. Всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел;
2. Всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел (Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов);
3. Всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел:
4. и т. д.

    Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полное доказательство сумел дать Коши в 1813 году.

    Много лет назад, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, мы обнаружим, что получаются все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три.

    Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными. 

2. Виды фигурных чисел.

1. Линейные числа.

     Линейные числа (т.е. простые числа) - числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию (1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,...):  

    - линейное число 5.

2. Плоские числа.

    Плоские числа - числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (4,6,8,9,10,12,14,15,...):

 - плоское число 6 = 2 • 3.

3. Телесные числа.

  Телесные числа, выражаемые произведением трех сомножителей (8,12,18,20,24,27,28,...):

  - телесное число 8 = 2 • 2 • 2.

4.  Многоугольные числа.

1. Треугольные числа.

Треугольное число – это число кружков, которые можно выложить в форме равностороннего треугольника.

Последовательность треугольных чисел Тп для n = 0, 1,2, … начинается так 0,1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …. ,  n(n-1).

     3                 6                   10

Заметим, что
        1 = 1
        3 = 1 + 2
        6 = 1 + 2 + 3
      10 = 1 + 2 + 3 + 4
      15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 
      . . . 
 Эта закономерность сохраняется и дальше. Можно вывести формулу для получения треугольных чисел:

Тn = 1 + 2 + 3 + ... + n.

   На вид она довольно проста, но для вычислений не пригодна, поэтому представим ее в следующем виде: Tn = n(n+1).

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91…

1+3=4 (т.е.22), 3+6=9 (т.е. 32), 6+10=16 (т.е. 42) и т.д.

2. Квадратные числа.

    Квадратные числа — (1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...,n2,...) выражаются произведением двух одинаковых чисел, т.е. являются полными квадратами.

    4                9                         16

   Пифагорейцы наглядно видели, что каждый квадрат отличается от следующего на «гномон», то есть на уголок с равными сторонами, в котором нечетное число точек – вершина плюс дважды взятое число точек на стороне гномона (по-гречески слово «гномон» исходно означало солнечные часы).

    Древнегреческий ученый Диофант нашел простую связь между треугольными числами Т и квадратными К:

8Т+1=К.

  Можно наглядно представить эту формулу Диофанта на примере числа 10.
   На рисунке изображены 81 клеточки, размещенные в квадрате. Они образуют квадратное число К. Одна клеточка занимает центр квадрата, а остальные 80 сгруппированы в 8 треугольных чисел Т в форме восьми "прямоугольных треугольников". Получается: 8Т+1=К.

3. Пятиугольные числа.

1, 5, 12 ,22, 35, 51, 70, 92, 117,…, n(3n-1)

5.                                     12

5.  Пространственные фигурные числа.

   Кроме плоских фигурных чисел, существуют еще пространственные фигурные  числа.
   Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.:

1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, ...

Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5х5х5=125... и так далее.
   Теперь понятно, почему про такие числа говорят: «два в кубе», «три в кубе», «девять в кубе»?

Заключение

Работая по данной теме, я пришла к следующим выводам:

1. Фигурные числа, действительно, существуют: они выкладываются в виде геометрических фигур;
2. Выделяются несколько видов данных чисел;
3. Фигурное представление чисел помогло «открыть» ряд  математических законов
4. Фигурные числа – это интересно!

Список используемой  литературы.

1.  Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего
2. Египета, Вавилона и Греции.
3. Бендукидзе А. Фигурные числа. Физико-математический журнал, Квант,, 1974г., №6.
4. Детская энциклопедия: Я познаю мир. Математика. Сост. А.П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова
5. Энзенбергер Х.М. Дух числа. Математические приключения. Харьков. 2005