Удивительная красота - математические фракталы.

Удивительная красота – математические фракталы

Автор работы Киркина Виктория, ученица 9 «В» класса

Актуальность:

      В современном мире всё стремительно меняется. Это касается и самой старой науки – математики. Это модное понятие семимильными шагами идёт по планете, завораживая своей красотой и таинственностью, проявляясь в самых неожиданных областях: метеорологии, философии, географии, биологии, механике и даже истории и политике. Фракталы стали незаменимыми помощниками астрофизиков, медиков, геологов. Фрактальное моделирование как инструмент для изучения неупорядоченных систем, каковыми являются нефтегазовые месторождения, стало технологической потребностью. Фрактальные модели упрощают анализ движения жидкости или газа, что важно для индустриальных технологий разработки месторождений нефти и газа. Модели, построенные на основе фрактальных изображений, позволяют с большой точностью моделировать космическое пространство и ткани внутренних органов живых организмов.

    Объект исследования: фрактальная геометрия.

Предмет исследования: фракталы.

Цель данной работы: обобщение и систематизация данных о фракталах, посредством использования различных способов представления информации.

 Для достижения поставленной цели предполагается решение следующих задач:

1. сбор и дополнение сведений о фракталах;

2. разработка и усовершенствование способов представления полученной информации в форме, доступной большей части школьного сообщества;

 3. сохранение  данных о фракталах в печатном и электронном вариантах;

4. популяризация фрактальной геометрии среди членов школьного коллектива.

 Поставленные задачи решаются посредством использования следующих методов исследования: частично-поисковый, анализ и обобщение научной литературы по теме, моделирование.

Гипотеза  нашего исследования заключается в следующем: если материал о фракталах обобщить, систематизировать и  представить в доступных формах членам школьного коллектива, то основы фрактальной геометрии будут доступны каждому ученику, пользователю, что необходимо для всестороннего развития современного человека.

Много в пространстве невидимых форм и неслышимых звуков,

         Много чудесных в нем есть сочетаний и слова и света,

            Но передаст их лишь тот, кто умеет и видеть и слышать,

                     Кто, уловив лишь рисунка черту, лишь созвучье, лишь слово,

        Целое с ним вовлекает созданьев наш мир удивлений.

                                                         ( А.Толстой)

  Каждого может заинтересовать одно из современных открытий, которому всего  лишь тридцать лет – открытие фракталов – удивительно красивых и таинственных геометрических объектов.

    На уроках геометрии мы изучаем окружности, параллелограммы, прямоугольники, ромбы, квадраты, треугольники, их свойства. Однако в природе большей частью объекты «неправильные» - шероховатые, зазубренные, изъеденные ходами и отверстиями. По  этому поводу родоначальник фракталов Б. Мандельброт в своей книге «Фрактальная геометрия природы» замечает следующее: «Почему геометрию часто называют «холодной и сухой»? Одна из причин заключается в её неприспособленности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака -  не сферы, горы – не конусы, береговые линии – не окружности, древесная кора не гладкая, а молния распространяется не по прямой.

     Фракталы очень  красивы. Так сказочно, обворожительно, волнующе (какие еще есть эпитеты?) красивы. Математика вся пронизана красотой и гармонией, только эту красоту надо увидеть.

     Разноцветные изображения фракталов поражают своей совершенной гармонией. Поэтому можно смело повесить картину фрактала дома на стену и разыграть своих друзей, одноклассников, родственников, сказав, что это работа известного художника, и она куплена за бешенные деньги на супермодной выставке современного авангардизма.

                 Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Пеано нарисовал особый вид линии (рисунок №1). Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм.
На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии (Часть 1 и 2 рисунка 1). Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость.

   Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). И одно из определений фрактала - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно). Фрактал - это такой объект, для которого не важно, с каким усилением его рассматривать в увеличительное стекло, но при всех его увеличениях структура остается одной и той же. Большие по масштабу структуры полностью повторяют структуры, меньшие по масштабу.

       Наиболее простое определение звучит так: фракталом называется структура, состоящая из частей, которые, в каком – то смысле, подобны целому.

    Фракталы – это геометрические объекты с удивительными свойствами:

любая её часть содержит его уменьшенное изображение. То есть, сколько фрактал не увеличивай, из любой его части на вас будет смотреть его маленькая копия.

    Типы фракталов.

Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это:

1. геометрические фракталы
2. алгебраические фракталы
3. системы итерируемых функций
4. стохастические фракталы

Геометрические фракталы

     Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.

        Классические примеры геометрических фракталов - Снежинка Коха, Лист, Треугольник Серпинского).

Геометрические фракталы

     Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.

        Классические примеры геометрических фракталов - Снежинка Коха, Лист, Треугольник Серпинского).

                                             Снежинка Коха

Из геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является первый - снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого ___ заменяется на 4 линии каждая длиной в 1/3 исходной _/\_. Таким образом, с каждой итерацией длина кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций - получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длины. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь. Можно это сделать то же самое методами и фигурами из евклидовой геометрии, но это долго и трудно. Для построения геометрических фракталов хорошо приспособлены так называемые L-Systems. Суть этих систем состоит в том, что имеется определенных набор символов системы, каждый из которых обозначает определенное действие и набор правил преобразования символов. Назовём данное построение первым свойством фрактала.

Треугольник Серпинского

Второе свойство фракталов - самоподобие. Возьмем, например, треугольник Серпинского. Для его построения из центра треугольника мысленно вырежем кусок треугольной формы, который своими вершинами будет упираться в середины сторон исходного треугольника. Повторим эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до бесконечности. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его - получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием.

Драконова ломаная

Драконова ломаная относится к классу самоподобных рекурсивно порождаемых геометрических структур. Ломаная нулевого порядка представляет собой просто прямой угол. Изображение фигуры каждого следующего порядка строится путем рекурсивных замен каждого из отрезков фигуры младшего порядка на два отрезка, сложенных также в виде прямого угла.

При этом каждый первый угол оказывается "вывернутым" наружу, а каждый второй - вовнутрь. Несмотря на внешнюю простоту, построение драконовой ломаной - увлекательная алгоритмическая задачка, решение которой может потребовать от нас определенных мыслительных усилий.

     Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул.

Чтобы проиллюстрировать алгебраические фракталы обратимся к классике - множеству Мандельброта. 

Для его построения нам необходимы комплексные числа.

  На рисунке, изображающем множество Мандельброта я взяла небольшой участок и увеличила его до размеров всего экрана (как в микроскоп). Что же мы видим? Проявление самоподобности. Не точной самоподобности, но близкой и с ней мы будем сталкиваться постоянно, увеличивая части нашего фрактала больше и больше. До каких же пор мы можем увеличивать наше множество? Так вот если мы увеличим его до предела вычислительной мощности компьютеров, то покроем площадь равную площади солнечной системы вплоть до Сатурна.

Стохастические фракталы

Типичный представитель данного класса фракталов "Плазма". Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру и, пожалуйста, фотореалистичные горы готовы.

                             Применение фракталов

1. Генерация изображений природных объектов

  Геометрические фракталы применяются для получения изображений деревьев, кустов, береговых линий и т. д. Алгебраические и стохастические — при построении ландшафтов, поверхности морей, карт раскраски, моделей биологических объектов и др.

Механика жидкостей

Фракталами хорошо описываются следующие процессы, относящиеся к механике жидкостей и газов:

1. динамика и турбулентность сложных потоков;
2. моделирование пламени;
3. изучение пористых материалов, в том числе в нефтехимии.

Биология

1. Моделирование популяций;
2. биосенсорные взаимодействия;
3. процессы внутри организма, например, биение сердца.

Литература

  Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В элементы текста

Моделирование: построение собственных фракталов. ( обязательно сделать презентации!)тектуальных фракталах потенциально бесконечно повторятся 

Заключение.

     Новый раздел математики – фрактальная геометрия ещё очень молода, и ей предстоит большое будущее.Задачи, которые открываются перед новой областью математики, сложны и многообразны. Возможно, совсем скоро – это будет новая наука.

    Если раньше учёным приходилось иметь дело, в основном, с числами и формулами, то теперь их работа стала гораздо интереснее. Создавая программы построения фракталов можно так увлечься, что можно стать художником. Сегодня это уважаемый вид искусства – фрактальные изображения. Выставки фрактальных изображений проходят в музеях всего мира, большое количество конкурсов проводятся в компьютерной сети Интернет.

    Результатом моего исследования является:

1. Материал о фракталах мной систематизирован, он доступен каждому старшекласснику.

2. Исследованный материал дает мне возможность строить фрактальные изображения, любоваться созданной собственноручно картиной с помощью компьютера.

3. Знания о фракталах поможет в будущей профессии, ведь они сегодня во всех отраслях экономики.