Загадка Рамануджана

Сриниваса Рамануджан Айенгар был первым из индийских математиков современности, получивших известность за пределами своей страны.

Сейчас в республике Индия работает много известных математиков, быстро восстанавливающих в области точных наук былую славу древней индийской культуры.

Но в то время, когда Рамануджан учился и начинал свой творческий путь, в угнетённой тяжким колониальным гнётом Индии не было национальной математической школы. Более того, в Индии начала XX в. негде было получить подготовку к научной деятельности на уровне, соответствующем состоянию тогдашней европейской математики.

Изучение работ Рамануджана представляет большой интерес для любого математика в силу редкой самобытности его результатов и методов и исключительной виртуозности владения аналитическим аппаратом, значительную часть которого Рамануджану пришлось изобретать самому. В свете полученных им результатов особенно поразительным является тот факт, что до последних лет своей жизни он даже не подозревал о существовании теории аналитических функций с её мощнейшим аппаратом. Один из крупнейших английских математиков Годфри Харольд Харди, которому Рамануджан обязан, как мы увидим, весьма многим, писал, что сила Рамануджана как аналитика особенно ярко проявляется в том, что он работал, не зная теоремы Коши и теоремы о вычетах, причём совершенно не ощущал необходимости в этих теоремах при вычислении интегралов и суммировании рядов.

Основная сила Рамануджана состояла в исключительной глубине аналитической интуиции, умении, граничившем с волшебством, поставить и обобщить математический эксперимент и совершенно виртуозном владении формальными выкладками. Более того, Рамануджан до 27 лет вообще не общался ни с кем, кто мог бы руководить его первыми научными исследованиями и оценить их значение.

По мнению Харди, Рамануджан занял бы одно из самых первых мест в истории математики, если бы он родился не в конце XIX в. в захолустном селении южной Индии, а на 100–150 лет раньше в одной из развитых европейских стран.

Это сказано, правда, не совсем удачно. Для расцвета дарования Рамануджана не обязательно было родиться в эпоху господства идей и методов формально-аналитического направления Эйлера–Якоби. Его аналитический гений мог бы ярко раскрыться и в XX в. в освобождённой Индии. Если бы Рамануджан получил нормальное математическое образование, то он и в современных условиях, несомненно, обогатил бы науку многими результатами высшего класса.

С. Рамануджан (1887–1920)

 Рамануджан родился 22 декабря 1887 г. в селении Эрод на юге Индии. Его родители принадлежали к привилегированной касте браминов, но жили бедно и ничем не отличались от окружавших их мелких служащих, торговцев и крестьян. Отец Рамануджана был бухгалтером в маленькой текстильной лавке в городе Кумбаконаме Танджорского района Мадрасской провинции. Имеются сведения о том, что мать Рамануджана была незаурядной волевой женщиной; однако она находилась в плену узких кастовых и религиозных предрассудков и её влияние на столь одарённого сына с точки зрения его научного развития нельзя признать благотворным.

Рамануджан воспитывался в атмосфере легко понятной враждебности ко всему европейскому и в особенности к английскому, причём в окружавшей его среде протест против колониального гнета выражался в строгом соблюдении национальных обычаев, старого уклада жизни и в ограничении традиционной браминской системой воспитания и образования. Естественно, что в отношении математического развития это ставило юного Рамануджана в очень тяжёлые условия, наложившие сильный отпечаток на всю его научную карьеру. Следует также отметить, что британская администрация со своей стороны не прилагала особых усилий к выявлению народных талантов ни в какой области науки и искусства. Таким образом, самобытный гений Рамануджана в течение большей части его короткой жизни оставался предоставленным самому себе.

Когда ему шел пятый год, Рамануджан, как и все мальчики-брамины, был отдан в двухлетнюю школу, по окончании которой он поступил в начальную школу при городской средней школе Кумбаконама, где протекала вся его дальнейшая школьная жизнь. В 1897 г. он окончил начальную школу и занял первое место по результатам стипендиальных экзаменов в районном центре Танджоре, что дало ему право дальнейшего обучения в средней школе за половинную плату. Примерно к этому же времени относятся первые воспоминания о нём его сверстников и старших товарищей. В этих воспоминаниях он рисуется как тихий задумчивый мальчик, редко участвующий в играх и шалостях своих одноклассников.

Рамануджан уже во втором классе средней школы задавал старшим товарищам и учителям вопрос о «высшей истине» в математике, так как привык считать, что в каждой области человеческой деятельности существует некая мистическая «высшая истина», первоначало вещей, управляющая данной областью и содержащая в себе всё, что может быть в ней известно. Говорят, что в ответ он получал указания на теорему Пифагора, или на проценты и учёт векселей.

Уже в четвёртом классе средней школы Рамануджан самостоятельно изучил полный курс тригонометрии по двухтомному руководству Лони, которое он одолжил у знакомого студента Мадрасского университета. Этот студент, как рассказывают, был поражён знаниями школьника по тригонометрии и часто обращался к Рамануджану за помощью в решении задач. В пятом классе Рамануджан самостоятельно открыл формулы Эйлера, выражающие синус и косинус через показательную функцию мнимого аргумента, но, узнав, что они уже известны, спрятал свои записи на чердаке дома. Это было его первое столкновение с западной математикой, из которого он понял, что учебник Лони содержит далеко не все известные математические факты. Однако бедность кумбаконамской библиотеки и плохое знание английского языка сильно затрудняли математическое развитие молодого Рамануджана.

Только в 1903 г., когда Рамануджан был в шестом классе, ему удалось при помощи одного знакомого получить единственную книгу по высшей математике, имевшуюся в Кумбаконаме. Это была книга Карра «Сборник элементарных результатов чистой и прикладной математики» , изданная в двух томах в Лондоне в 1880–1886 гг. Книга Карра содержит 6165 теорем и формул, большинство которых приводится без доказательств и выводов; конспективные доказательства намечены только для небольшого числа важнейших теорем. Благодаря связи с именем Рамануджана эта книга, подобная тысяче других книг, была впоследствии подвергнута тщательному анализу. Шубридж Карр окончил Кембриджский университет и подвизался в Лондоне в качестве частного преподавателя математики. Он издал свой сборник в помощь своим ученикам-студентам. По отзыву Харди, книга Карра, которую нельзя назвать выдающейся, всё же имела несомненные достоинства, и прежде всего систематичность подбора теорем и корректность их формулировок. Наряду с главами, посвящёнными элементарной алгебре, тригонометрии и аналитической геометрии, она содержала также главы по дифференциальному и интегральному исчислению, причём формальная сторона интегрального исчисления – в соответствии, по-видимому, с личными вкусами автора – была непропорционально подробно изложена и доведена до весьма сложных формул. Харди писал: «...Рамануджан сделал эту книгу знаменитой, и нет никакого сомнения в том, что она глубоко повлияла на него и явилась отправным пунктом его карьеры. Такая книга должна была иметь некоторые достоинства; и действительно, книга Карра... не является просто третьесортным учебником, а представляет собой книгу, написанную со знанием дела и с любовью к предмету...». Несколькими строками ниже Харди дал следующую заключительную оценку книги Карра: «В целом, если рассматривать её как пособие для мальчика с таким дарованием, книга Карра совсем не плоха, и восприятие Рамануджаном материала было изумительным».

В составленном Харди в 1921 г. некрологе цитируется следующая выдержка из письма одного школьного товарища Рамануджана: «Он брал книгу Карра из библиотеки колледжа и с удовольствием выводил содержащиеся в ней формулы... Уже тогда он рассказывал товарищам о своих математических открытиях... Он обладал исключительной памятью и с легкостью цитировал полный список санскритских корней, он знал громадное число знаков в разложениях 2, , e и других чисел в десятичные дроби...».

В краткой биографии Рамануджана, принадлежащей преподавателю  Кумбаконамского колледжа Сешу Айару и высокому правительственному чиновнику Мадрасской провинции Рамачандра Рао, этот важный период жизни Рамануджана описывается так: «Перед Рамануджаном открылся новый мир, по которому он бродил в восхищении. Книга Карра по-настоящему пробудила дремавшие в нём силы. Он с жадностью принялся за вывод приведенных в ней формул и доказательства теорем. Так как он при этом не мог пользоваться никакими другими книгами, то каждое найденное им доказательство являлось для него самостоятельным исследованием. Сначала он обратился к методам построения магических квадратов. Затем его внимание привлекла к себе геометрия; пытаясь решить задачу о квадратуре круга, он нашёл исключительно хорошую приближённую формулу для длины окружности, по которой длина земного экватора может быть вычислена с точностью до нескольких футов. Вскоре он разочаровался в геометрии и, занявшись алгеброй, открыл несколько новых рядов. Рамануджан любил говорить, что формулы ему внушает во сне богиня Намаккаль. Интересно отметить, что он действительно часто, вставая по утрам с кровати, тут же записывал готовые формулы, после чего быстро проверял их; впрочем, строгие доказательства не всегда ему удавались. Все эти результаты он заносил в записную книжку, которую имел обыкновение показывать математикам, интересовавшимся его работой».

По поводу этого свидетельства индийских биографов Рамануджана Харди писал: «Я умышленно процитировал эти последние фразы, но не потому, что придаю им большое значение – я так же мало заинтересован в     , как и Вы, – а потому, что мы теперь подходим к тяжелой и трагической части карьеры Рамануджана, и должны, насколько это нам возможно, попытаться понять его психологию и уяснить себе окружавшую его атмосферу».

Сешу Айар и Рамачандра Рао знали молодого Рамануджана лично и располагали многими местными сведениями от людей, общавшихся с Рамануджаном. Поэтому их рассказ о нём содержит много ценного фактического материала, но он окрашен их собственными этико-философскими воззрениями и симпатиями к религиозным учениям индуизма. С другой стороны, с 1914 по 1919 г. Харди почти ежедневно встречался с Рамануджаном и беседовал с ним на всевозможные темы. В первой главе своих лекций о Рамануджане Харди  кратко касается основных этапов жизни Рамануджана и даёт свою оценку Рамануджану как человеку. При этом Харди иногда резко расходится с Сешу Айаром и Рамачандра Рао, в частности по вопросу о религиозности Рамануджана. Харди не утверждает, что Рамануджан был убеждённым атеистом, но цитирует высказывания самого Рамануджана, свидетельствующие о его равнодушии к вопросам религии; однако Рамануджан соблюдал многочисленные условности индуистского ритуала, чтобы не огорчить своих религиозных родных и друзей. В частности, он был всю жизнь вегетарианцем, и даже в последние два года своей жизни, когда вегетарианская диета тяжело сказывалась на его здоровье (он умер от туберкулёза), не отказался от неё.

Шестой класс был последним классом средней школы. В 16 лет Рамануджан по окончании школы выдержал приёмные испытания в Мадрасский университет и в январе 1904 г. приступил к занятиям на первом курсе Кумбаконамского колледжа, входившего в состав Мадрасского университета. За свои первые успехи он получил специальную стипендию, предназначавшуюся для особо успевающих по английскому языку и математике. Однако вскоре его учебные дела в колледже пошли всё хуже и хуже, так как он отдавал всё время собственным математическим исследованиям, результаты которых он регулярно заносил в свои, ставшие впоследствии знаменитыми, записные книжки Он перестал выполнять задания, пропускал много занятий и в конце концов был оставлен на первом курсе. В жизни Рамануджана началась полоса неудач, длившаяся почти 10 лет. В течение 1905 г. он бродил по центральной Индии в районах, лежащих к северу от его родных мест, затем вернулся в Кумбаконам, пытался продолжить учёбу в колледже, но не был допущен к занятиям, уехал в Мадрас, поступил там в 1906 г. в университет, но заболел и вновь вернулся домой в Кумбаконам. В 1907 г. он сделал попытку сдать экзамены за первые два курса университета экстерном, но провалился. После этого до 1909 г. он не имел определённых занятий, если не считать того, что всё это время он неустанно занимался математикой, исписывая всё новые и новые страницы своих записных книжек. В 1909 г. Рамануджан женился и начал поиски работы. В 1910 г. он обратился по поводу своего устройства к индийскому математику Рамасвами Айару, основателю Индийского математического общества. Рамасвами Айар, просмотрев записные книжки Рамануджана, убедился в том, что имеет дело с человеком необычных способностей, хотя всей силы таланта Рамануджана он никак не подозревал. Он направил Рамануджана к Сешу Айару, который тогда был преподавателем Кумбаконамского колледжа и знал Рамануджана ещё как студента. Сешу Айар устроил Рамануджана на временную работу, но через несколько месяцев Рамануджан вновь остался без работы. Наконец, в декабре 1910 г. Рамануджану немного улыбнулось счастье: он был представлен влиятельному сановнику Рамачандра Рао, который сыграл важную роль в жизни Рамануджана. Однако улучшение положения Рамануджана заставило себя ждать еще три года, когда Рамануджану был, наконец, подсказан самый важный шаг в его жизни: письмо к Харди в Кембридж.

Рамачандра Рао был математиком только в том смысле, что имел университетское математическое образование; его административная деятельность не давала ему возможности творчески заниматься математикой. Но он был первым, кто распознал математический гений Рамануджана и, не задумываясь, употребил всё свое влияние для облегчения жизни и обеспечения научной карьеры Рамануджана. Небезынтересно привести его собственное описание первой встречи с Рамануджаном «Несколько лет тому назад мой племянник, совершенно не знакомый с математикой, обратился ко мне со словами: «Дядя, у меня был посетитель, говоривший что-то о математике; я его не понял; может быть, Вы выслушаете его и установите, есть ли какой-нибудь смысл в том, что он говорит?» И вот, в самодовольном сознании своей математической мудрости, я разрешил Рамануджану предстать передо мной.. В комнату вошел юноша, довольно полный, низкого роста, небритый и в несколько растерзанном виде, держа в руке потрёпанную записную книжку; во всём его облике замечательными были только глаза – казалось, что они светились. Он был невыразимо беден. Он убежал из Кумбаконама в Мадрас, чтобы найти досуг для занятий математикой. Он ничего другого не хотел, не искал ни признания, ни почестей. Он искал досуга, т. е. просил, чтобы его обеспечили простейшей пищей без затраты сил с его стороны, чтобы он мог продолжать свои мечтания. Он открыл свою записную книжку и начал объяснять некоторые свои открытия. Я сразу же увидел, что имею дело с чем-то необычным; я недостаточно много знал, чтобы понять его. Я попросил его прийти еще раз, и он пришёл. Во второй раз он понял, что я мало знаю, и показал мне несколько более простых результатов. Но и эти результаты далеко выходили за пределы известных мне книг, и я уже не сомневался в том, что он – замечательный математик. Потом, шаг за шагом, он рассказал мне про эллиптические интегралы и гипергеометрические ряды и, наконец, посвятил меня в свою теорию расходящихся рядов, которая ещё не была объявлена миру 4. Я был покорён и спросил его, что же он хочет от меня. Он ответил, что он просит немного денег, чтобы существовать и заниматься своими исследованиями».

Рамачандра Рао сначала помогал Рамануджану из личных средств, а затем, видя, что Рамануджан тяготится таким положением, устроил его на работу в управление почт Мадраса с окладом 30 рупий в месяц. В почтовом ведомстве он работал с февраля 1912 г. по май 1913 г., когда его судьба, наконец, окончательно определилась благодаря вмешательству Харди.

В 1911 г. в «Журнале Индийского математического общества» появились в печати первые задачи Рамануджана, сообщённые Сешу Айаром. Первая собственная статья Рамануджана появилась несколько позже в том же году . К 1912 г. установилась репутация Рамануджана как математика, во всяком случае на его родине. О нём знали уже некоторые работавшие в Индии англичане, в частности профессор Мадрасского высшего технического училища Гриффитс и директор Мадрасского почтового ведомства сэр Фрэнсис Спринг. Однако при рассмотрении этого периода жизни Рамануджана всё же создается впечатление, что окружавшие его люди при всём хорошем отношении к нему по-прежнему не имели представления о правильной подготовке Рамануджана к научной работе в области математики и считали, что для него сделано всё, на что он имел право рассчитывать.

К началу 1913 г. близкие к Рамануджану индийские математики настойчиво рекомендовали ему вынести свои результаты из записных книжек на более компетентный и строгий суд: послать их в центр математической мысли Британской империи – Кембриджский университет.

До начала XX в. Кембриджский университет не принадлежал к числу крупнейших мировых математических центров. Но в начале XX в. молодые математики Харди и Литлвуд подняли уровень математических исследований и математического образования в Кембридже. Благодаря своей энергии и исключительной научной продуктивности, Харди уже в молодые годы стал известным учёным, возглавившим крупную математическую школу. Харди был всего на 10 лет старше Рамануджана, но он имел возможность приобщиться ко всей тысячелетней мировой математической культуре, тогда как Рамануджан имел в своём распоряжении только пару старых элементарных учебников и могучий математический гений.

 Вот первое замечательное письмо к Харди:

«Мадрас, 16 января 1913 г.

Дорогой сэр,

разрешите мне сказать о себе, что я – чиновник бухгалтерии Мадрасского управления почт с окладом всего лишь в 20 фунтов стерлингов в год. Мне сейчас около 23 лет. Я не имею университетского образования, но я закончил школу. После окончания школы я всё своё свободное время занимался математикой. Я не следовал регулярной системе обучения, по которой занимаются в университетах, а избрал свою дорогу. Особенно усердно я занимался расходящимися рядами, и результаты, которые я получил, местные математики называют «поразительными». Так же как в элементарной математике мы придаём степени an при отрицательном и дробном показателе n такое значение, чтобы оставались в силе все законы, справедливые при целом положительном n, мои исследования были устремлены к тому, чтобы придать смысл эйлерову интегралу второго рода для всех значений n. Мои друзья, окончившие университет, говорят мне, что

справедливо только для положительных n. Они утверждают, что это интегральное соотношение неверно, когда n отрицательно. Предполагая, что оно верно для положительных n, а также, что определяющее равенство n(n) = (n + 1) справедливо всегда, я придаю смысл этим интегралам и утверждаю, что при этих условиях интеграл верен и для всех отрицательных и дробных значений n. На этом основаны все мои исследования, и я развил эти рассуждения до такой степени, что местные математики не в состоянии следовать за мной в моих более высоких полётах. Не так давно мне встретилась Ваша книга «Порядки бесконечности», в которой я на стр.36 нашёл утверждение, что до сих пор ещё не найдено определённого выражения для числа простых чисел, меньших данного числа. Я нашёл выражение, которое даёт очень хорошее приближение к истинному результату, так как ошибка ничтожно мала. Я прошу Вас просмотреть прилагаемые материалы. Я беден и не могу сам их опубликовать, но если Вы найдёте среди них что-либо ценное, то прошу Вас это опубликовать. Я не сообщаю Вам ни моих выкладок, ни полученных окончательных выражений, а только намечаю пути, по которым я шёл. Так как я очень неопытен, я буду высоко ценить любой совет, который Вы мне соблаговолите дать. С просьбой извинить меня за доставленные хлопоты, я остаюсь, дорогой сэр, искрение Ваш С. Рамануджан. 

Мой адрес: Бухгалтерия почтового управления, Мадрас, Индия».

Самый текст письма, как видно, весьма наивен как в стилистическом, так и в математическом отношении, но «прилагаемые материалы» поразили Харди. По поводу этого первого и дальнейших писем Рамануджана Харди заметил: «...письма очевидным образом написаны не самим Рамануджаном, а по его просьбе каким-нибудь местным грамотеем, но – что самое важное – математические формулы в них несомненно принадлежали Рамануджану и только ему одному».

От реакции Харди на первое письмо Рамануджана зависела вся дальнейшая судьба последнего. Поэтому приведём свидетельство самого Харди о том впечатлении, которое произвели на него первые письма Рамануджана.

Харди выделяет в качестве наиболее представительных для раннего творчества Рамануджана следующие 15 результатов из примерно 120, содержавшихся в письмах: 7