Исследовательская работа по математике "Признаки делимости"

XIII республиканский научный конкурс молодых исследователей «Шаг в будущее»

Секция: Математика

Признаки делимости

Автор: Золотько Максим МОУ «СОШ № 2 ст. Архонская», 5 «Б» класс

Научный руководитель: Кальянова Марина Тазретовна, учитель математики

г. Владикавказ 2011 год.

Аннотация.

При изучении действий над натуральными числами наша учительница рассказала о признаке делимости четных чисел. Она сообщила нам, что мы будем на уроках математики изучать и другие признаки делимости на 5, 3, 9, 10. И стало интересно, существуют ли другие признаки делимости, откуда они возникли? Наверняка, существуют более интересные и сложные признаки.

Вот и целью данной работы стало исследование признаков делимости на числа от 1 до 20, кроме тех, что мы изучаем в школьном курсе математики. Объектом данного исследования выступают признаки делимости.

Изучением признаков делимости занимались с древних времен. Великий французский ученый Блэз Паскаль нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, решение вопроса о делимости чисел признаки делимости сводят к действиям над небольшими числами в уме. Практически все известные ныне признаки делимости являются частным случаем признака Паскаля. Новизна результатов исследования заключается в том, что данная работа систематизирует знания о признаках делимости и, думаю, что многие ровесники и старшеклассники не знают, что существуют другие признаки делимости, кто их открыл. А, ведь знание их значительно упрощает процесс вычисления.

В ходе написание исследовательской работы следующие методы научного исследования:

Эмпирический метод: анализ систем знаний о признаках делимости.

Теоретический метод: изучение литературы.

Содержание

1. Введение                        3
2. Признак и его частные случаи        5
3. Признаки делимости на составные числа        7
4. Применение признаков делимости        8
5. Заключение        9

Список литературы        10

Введение

Математика - одна из великих наук, изучением которой занимались многие великие ученые, такие как Декарт, Паскаль и другие.

Степень разработанности проблемы. Изучением признаков делимости занимались с древних времен. Великий французский ученый Блэз Паскаль нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, решение вопроса о делимости чисел признаки делимости сводят к действиям над небольшими числами в уме. Практически все известные ныне признаки делимости являются частным случаем признака Паскаля. Достаточно много различной информации можно найти в книгах, энциклопедиях, Интернете.

Признак Паскаля

Блэз Паскаль(19.6.1623— 19.8.1662) - один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем названы единица давления (паскаль) и весьма популярный сегодня язык программирования.

Круг математических интересов Паскаля был весьма разнообразен. Паскаль нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число (трактат «О характере делимости чисел»), [3] Общий вид признака Паскаля

В энциклопедиях признак Паскаля описывают следующим образом:

1. Признак делимости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление. Как правило, основано на действиях с частью цифр из записи числа в позиционной системы счисления (обычно десятичной). [3]
2. Признак Паскаля — универсальный признак делимости, позволяющий для любых целых а и b определить, делится ли а на Ь. [1,34]

Основные частные случаи

Признак делимости на 2: число делится на 2 без остатка тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру.

Признаки делимости на 3 и 9: число делится на 3 (9) без остатка тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 3 (9).

Признак делимости на 4: число делится на 4 без остатка тогда и только тогда, когда если число, состоящее из двух его последних цифр, делится на 4.

Признак делимости на 5: число делится на 5 без остатка тогда и только тогда, когда оно заканчивается на цифру 5 или 0.

Признак делимости на 7: число делится на 7 без остатка тогда и только тогда, если результат вычитания удвоенного последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Признак делимости на 11: Число делится на 11 без остатка тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11.

Признак делимости на 17: число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17. Признак делимости на 19: число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19. [4]

Признаки делимости на составные числа

Зная основные признаки делимости на простые числа, можно вывести признаки делимости на составные числа:

Признак делимости на 6: число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и сумма цифр делится на 3. т.к. 6 = 2-3, т.е. число должно делиться на 2 и на 3. [3]

Признак делимости на 12: число делится на 12 тогда и только тогда, когда две последние

цифры делятся на 4 и сумма цифр делится на 3.

т.к. 12= 4 ∙ 3, т.е. число должно делиться на 4 и на 3. [3]

Признак делимости на 14: число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7. т.к. 14= 2 • 7, т.е. число должно делиться на 2 и на 7. [3]

Признак делимости на 15: число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 5 и на 0 и сумма цифр делится на 3. т.к. 15= 3 • 5, т.е. число должно делиться на 3 и на 5.

Признак делимости на 18: число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и сумма его цифр делится на 9. т.к18= 2 • 9, т.е. число должно делиться на 2 и на 9.

Признак делимости на 20: число делится на 20 тогда и только тогда, когда число заканчивается на 0 и предпоследняя цифра четная, т.к. 20 = 10 • 2 т.е. число должно делиться на 2 и на 10. [2] Все выше перечисленные признаки обобщены в виде таблицы. (Приложение)

Применение признаков делимости

 Пример 1: Проверьте делится ли без остатка 378015 на 3; на 5; на 11. Решение:

Число 378015 делится на 3, так как сумма его цифр равна: 3 + 7 + 8 + 0 + 1+ 5 = 24, а это число делится на 3. Данное число делится на 5, так как его последняя цифра 5. Наконец, число делится на 11, так как суммы его чётных цифр: 3 + 8 + 1 = 12 и нечётных цифр 7 + 0 + 5 = 12 равны. [4] Пример 2: Проверьте делится ли число

а)        845 без остатка на 13;

б)        646 без остатка на 19.

Решение: а) 845 делится на 13, так как 84 + (4 х 5) = 104 делится на 13.

б) 646 делится на 19, так как 64 + (6 х 2) = 76 делится на 19).

Задания для самостоятельного решения:

1. Даны натуральные числа от 1000 до 1030 (всего 31 число). Выбрать какие из них делятся на: а) 2; б) 3; в) 5; г) 9; д) 10.
2. Попробуй догадаться на сколько нулей должно оканчиваться число чтобы делится на 100, на 1000.