Фракталы и фрактальная геометрия

Работу выполнили ученицы 8 «Б» класса

Токтулатова Дария и Ерина Вероника.

МАОУ «СОШ №30 г. Йошкар-Олы».

Научный руководитель: учитель математики

Микубаева Эльвира Владимировна

Фракталы и фрактальная геометрия.

Слово “фрактал” — это что-то, о чем много людей говорит в наши дни, от ученых до учеников средней школы. Оно появляется на обложках многих учебников математики, научных журналов и коробках с компьютерным программным обеспечением. Наша работа посвящена данной актуальной теме, а именно фракталам.

Цель нашей работы: изучение фракталов как самоподобные геометрические фигуры, рассмотрение их видов, применение в современном мире, нахождение фракталов среди обыденных вещей. 

 Задачи: знакомство с историей возникновения и  развития фрактальной геометрии; с понятием фрактала, с различными видами фракталов; применение фракталов в науке и технике; изучение фрактальных объектов в природе,  создание собственного фрактального изображения.

Данная работа затрагивает предметные области: математика, биология, география, физика. В результате проведения исследовательской работы мы  получили представление о фракталах, нашли ответы на интересующие вопросы.

Фракталы и фрактальная геометрия.

История возникновения.

Проблема изучения самоподобных объектов, с необычными, с точки зрения классической математики свойствами, была рассмотрена еще в конце XIX – начале XX века в работах Жюлиа, Пуанкаре, Пеано, Кантора, Хаусдорфа и других известных ученых. Но именно Мандельброт был первым, кому удалось объединить разрозненные научные результаты и показать их практическую значимость.

Термин фрактал  был впервые использован для описания самоподобных структур в работе франко-американского математика Бенуа Мандельброта "Фракталы" в 1975 году.

Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Бенуа Мандельброта  "Фрактальная геометрия природы". Мандельброт положил начало систематическому изучению фракталов. Своими яркими и фундаментальными работами он пробудил всеобщий интерес к фрактальной геометрии.

Что такое фракталы?

Фрактал — термин, означающий сложную геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Такие  фигуры имеют  свои  особенности (дробление на части, подобное целому, или одно и то же преобразование, повторяющееся при уменьшающемся масштабе).

 Во фрактальной стpyктyрe любая произвольная точка пространства является точкой разветвления.

На рисунке представлено фрактальное дерево, созданное с помощью компьютера английским ученым Майклом Бэтти . Каждая веточка дерева разделяется на две , чтобы в итоге создать фрактальный купол . Иллюстрация слева представляет шесть итераций или ветвлений . На тринадцатой итерации ( иллюстрация справа ) дерево приобретает уже более реалистические черты. Такое рекурсивное моделирование может генерировать различные разновидности деревьев с помощью изменения фрактального числа.

В основном фракталы классифицируют по трём группам:

1. Геометрические фракталы
2. Алгебраические фракталы
3. Стохастические фракталы

Рассмотрим подробнее каждую из них.

1.Геометрические фракталы

Именно с них и начиналась история фракталов. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к ней применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру.  Рассмотрим 2 классических примера.

Кривая Коха.     Кривая Коха была описана в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом (1870-1924) .

Алгоритм построения

Единичный отрезок делим на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без средней трети; в результате образуется ломанная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3; на следующем шаге повторяем описанную выше операцию для каждого из четырех получившихся звеньев; этот процесс продолжается неограниченно; предельная кривая и есть кривая Коха.

Треугольник Серпиньского. В 1915 году польский математик Вацлав Серпиньский (1882-1969) придумал красивый фрактальный объект – треугольник Серпиньского (его еще называют салфеткой или решетом Серпиньского).

Алгоритм построения

Процесс построения начинается с равностороннего треугольника.   На 1-ом шаге делим стороны треугольника пополам и соединяем середины сторон отрезками. В результате получаем три новых равносторонних треугольника, соединенных вершинами. Далее применяем аналогичное преобразование к каждому из образованных треугольников. Продолжая этот процесс до бесконечности, получим фрактал – треугольник Серпиньского.

2. Алгебраические фракталы

Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул. Алгебраические фракталы могут быть линейными и нелинейными. Линейные фракталы - это фракталы, определяемые линейными функциями, то есть уравнениями первого порядка. Значительно богаче и разнообразнее нелинейные фракталы - это фракталы, определяемые нелинейными функциями. Примерами алгебраических фракталов  являются Множество Мальдеьброта, Множество Жюлиа

3.Стохастические фракталы

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. Получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д.

Типичным представителем этой группы фракталов является «плазма».

Фракталы в природе 

Природа зачастую создаёт удивительные и прекрасные фракталы, с идеальной геометрией и такой гармонией, что просто замираешь от восхищения.

Морские раковины, Молнии

Лёд, морозные узоры, павлины, От увеличенного изображения листочка, до ветвей дерева - во всём можно обнаружить фракталы.

Применение фракталов в науке и технике. 

Изучение фракталов открывает замечательные возможности, как в исследовании бесконечного числа приложений, так и в области чистой математики. Фракталы находят все большее и большее применение в науке.

Это возможно потому, что фракталы позволяют

1. намного упростить сложные процессы и объекты, что очень важно для моделирования;
2. описать нестабильные системы и процессы и,
3. самое главное, предсказать будущее таких объектов

С помощью теории фракталов стали объяснять   эволюцию галактик и  развитие клетки, возникновение гор и  образование облаков,  движение цен на бирже и развитие общества  и семьи.

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов. В биологии они применяются  для моделирования популяций, описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Также фрактальную геометрию используют для проектировании антенных устройств. Впервые это применено американским инженером Натаном Коэном.

Одно  из наиболее мощных приложений фракталов лежит в компьютерной графике. Это фрактальное сжатие изображений. Существуют алгоритмы для сжатия изображения с помощью фракталов. Они  являются результатом работы исследователя Технологического института шт. Джорджия Майкла Барнсли.

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети.

Фракталы широко применяются для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее.

Фракталы неисчерпаемы, как неисчерпаемы их приложения в науке, технике и искусстве. Но не следует забывать о том, что и фракталы — не более чем упрощенная модель реальности, которая не может претендовать на роль универсального ключа к описанию природы. Мы помним, что мир устроен не только причудливей, чем мы думаем, но и причудливей, чем мы можем предполагать. Литература:

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы.
2. Третьяков Ю.Д. Дендриты, фракталы и материалы // Соросовский образовательный журнал.

Интернет ресурсы:

1. http://www.fractals-main.ru/perelman_page0.html:
2. http://lol54.ru/education/uvgsfeshshht_informative/28368-ogromnaja-podborka-fraktalov-fractals-176-sht..html 
3. .http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%F0%E0%EA%F2%E0%EB

4.  http://3dfractal.ru/stati-o-fraktalah/31.html