«А такие ли они простые эти простые числа?»,

Районная научно-практическая конференция

школьников «К вершинам знаний»

Секция  «Естественно-математические дисциплины»

Тема: «А такие ли они простые   эти простые числа?»

Выполнили: Игнатьева Кристина, МКОУ Советская СОШ,  10 класс

Руководитель  Онипченко Ольга Павловна, учитель математики, первой квалификационной категории

Контактный телефон: 39-283

2012 год.

 Оглавление

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………………2-3 ст.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Определение простых чисел и способы их нахождения…………………………………..4-5 ст.

Свойства простых чисел…………………………………………………………………….5-6 ст.

Алгоритмы позволяющие определить простое число……………………………………6-7 ст.

Научные гипотезы, связанные с простыми числами…………………………………….7-8 ст

Практическая часть

Решение задач……………………………………………………………………………….8-9 ст.

Опрос учащихся ……………………………………………………………………………9 ст.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………………  9 ст.

СПИСОК ИНФОРМАЦИОННЫХ РЕСУРСОВ …………………………………………10 ст.

Приложение:

Приложение №1 «Решето Эратосфена»……………………………………………………11 ст.

Приложение №2 «Скатерть Улама»…………………………………………………………11 ст.

Приложение №3 «Наибольшее известное простое число» ………………………………..12 ст.

Приложение № 4 «Список задач»…………………………………………………………….13 ст.

Приложение № 5 «Результаты опроса учащихся»………………………………………….14 ст.

ВВЕДЕНИЕ.

Всякий, кто изучает простые числа,

 \бывает, очарован и одновременно ощущает собственное бессилие.

Определение простых чисел так просто и очевидно;

найти очередное простое число так легко;

 разложение на простые сомножители - такое естественное действие.

 Почему же простые числа столь упорно сопротивляются

 нашим попыткам постичь порядок и закономерности их расположения?

Может быть, в них вообще нет порядка,

 или же мы так слепы, что не видим его?
(Ч. Узерелл .  1982)

Каждый человек компетентен в той области, которую он любит, в которой работает. Однако математика пронизывает все науки без исключения, и каждый из нас должен быть в ней более или менее компетентен. В математике есть много удивительного и загадочного, но меня заинтересовали  простые числа.

Изучая литературу по данной теме, я испытывала радость приобщения к творческому мышлению, интуитивно ощущала красоту и величие математики, сознавала всю нелепость широко распространенного мнения,  о ней как о чём-то унылом и застывшем («Разве в математике ещё не всё открыто?»)  Начала понимать, почему математики, говоря о своей науке, нередко прибегают к эстетическим категориям («изящный результат», «красивое доказательство»). Это помогло мне постичь дух истинной математики, способность к восприятию прекрасного. И полюбить ещё больше эту науку

Актуальность исследования: Свойства делимости числа полностью определяются его разложением на простые множители. Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Таким образом, простые числа — элементарные «строительные блоки» натуральных чисел.

   Поэтому я проявила повышенный интерес к ним и поставила цель: исследование закономерностей простых чисел  и выявление их роли в курсе математики.

Поставленная цель предполагает решение следующих задач:

1. Рассмотреть понятие простых чисел и методы их вычисления.
2. Выявить интересные свойства простых чисел.
3. Показать важность и необходимость  изучения простых чисел, и неразрешимость в настоящее время некоторых гипотез связанных с ними.
4. Провести собственный опыт исследования по применению  простых чисел при решении задач.

 Исследование требует формулирования гипотезы.

Гипотеза: Понятие и свойства простых чисел необходимая основа изучения математики.

Объект исследования: простые  числа.

Предмет исследования: использование простых чисел при решении математических задач.

Методы исследования:

теоретические (анализ литературы, интернет ресурсов);

практическое применение

Дальнейшее развитие: использование результатов исследования при обучении школьников

Практическая значимость: Результаты исследования будут использоваться для изучения данной темы на занятиях математического кружка, при подготовке учащихся к математическим олимпиадам и сдачи ЕГЭ.

Прикладные программы:  Текстовый редактор  MS Word, редактор презентаций MS Power Point.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Определение простых чисел и способы их нахождения.

   Первое знакомство с понятием простого числа происходит в 6 классе. Вводится понятие - все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами.  Понятие простого числа является основным при изучении делимости натуральных чисел. Всем известно, что любое число, отличное от 1, можно единственным образом разложить в произведение простых чисел. С помощью простых чисел находится НОД и НОК, а также определение возможности или невозможности представить обыкновенную дробь в виде конечной десятичной.

    А впервые  понятие простых чисел ввел древнегреческий учёный Пифагор. Со времен древних греков простые числа оказываются столь же привлекательными, сколь и неуловимыми. Математики постоянно испытывают разные способы их «поимки»,  но до сих пор единственным по-настоящему эффективным и простым остаётся  способ, найденный александрийским математиком и астрономом Эратосфеном, который назван «Решето Эратосфена».

    Метод этот очень прост. Пусть надо найти все простые числа меньше чем 100.Напишем подряд числа от 2 до 100и, оставивчисло2,выбросим все остальные чётные числа. Для этого достаточно, начав с числа 3,командовать «раз, два» и выбрасывать числа на которые попадает команда «два!». Первым уцелевшим числом (кроме числа 2)будет 3. Теперь, начиная со следующего за ним числа 4,будем командовать «раз, два, три!»  и выбрасывать числа,  на которые придётся команда «три!»  Это будут числа 6,9,12, и т.д. В конце концов, останутся только простые числа (приложение №1)

   Почему  «решето»? Потому что греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычёркивали, а выкалывали иглой, поэтому  таблица в конце вычислений напоминала решето.  В этом решете «отсеиваются»  простые числа от составных.

     Нахождением простых чисел занимались не только в древности, но  и в настоящее время. Одним из способов нахождения простых чисел является Скатерть Улама . Названная в честь Станислава Улама спираль чисел натурального ряда, на которой отмечены клетки, соответствующие простым числам (приложение №2).

     Скатерть Улама была открыта случайно — однажды математику довелось присутствовать на очень длинном и скучном докладе. Чтобы развлечься, он начертил на листке бумаги вертикальные и горизонтальные линии, чтобы заняться составлением шахматных этюдов. Но вместо этого он стал нумеровать клетки: в центре поставил единицу, а затем, двигаясь по спирали, двойку, тройку и т. д. При этом он машинально отмечал простые числа. Оказалось, что простые числа стали выстраиваться вдоль диагональных прямых. Это заинтересовало Улама, и позже он вместе с Майроном Л. Стейном и Марком Б. Уэллсом продолжил это исследование на ЭВМ MANIAC Лос-Аламосской лаборатории, использовав магнитную ленту, на которой были записаны 90 млн. простых чи3сел.

Свойства простых чисел

    Каковы бы не были успехи в нахождении списка простых чисел, но еще Евклид утверждал: "Надо перемножить все известные простые числа между собой и прибавить к полученному произведению единицу. Если получится простое число, то оно будет больше известного нам простого числа. Если же получится составное, то в нём обнаружим простые множители, отличные от известных нам простых чисел. Поэтому существуют простые числа, которые больше любого из известного нам" Из этого утверждения можно сделать вывод: множество всех простых чисел бесконечно.

     Большие заслуги в области изучения простых чисел принадлежат русским и советским математикам. П.Л.Чебышев(1821-1894)доказал, что между любым натуральным числом, большим 1,и числом, вдвое большим данного (например,2и4,3и6,10и20 и т .д.),всегда имеется хотя бы одно простое число. И.М.Виноградов(1891-1983) установил, что любое достаточно большое нечетное  число можно представить в виде суммы трех простых чисел, например:  7=2+2+3 ,           9=3+3+3=2+2+5

         Рассмотрим ещё несколько интересных свойств.

1. Если p — простое, и p делит ab, то p делит a или b. Доказательство этого факта было дано Евклидом и известно как лемма Евклида. Оно используется в доказательстве основной теоремы арифметики.
2. Если p — простое, а a — целое, то a p − a делится на p (малая теорема Ферма).
3. Всякое простое число, большее 3, представимо в виде 6k + 1 или 6k − 1, где k — некоторое натуральное число. Отсюда, если разность между последовательными простыми числами одинакова, то она кратна 6.
4. Если p > 3 — простое, то p2 − 1 кратно 24 (справедливо также для всех нечётных чисел, не делящихся на 3).
5. Теорема Грина-Тао (англ.). Существуют сколь угодно длинные арифметические прогрессии, состоящие из простых чисел.

     Но никто не знает, как распределены в натуральном ряду простые числа. Есть ли закономерность? В среднем, при увеличении чисел, простые среди них попадаются все реже. И это всё, что математики могут сказать на сегодняшний день. Существуют сколь угодно длинные отрезки ряда натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа. С другой стороны, встречаются даже очень большие простые числа, разность между которыми равна 2. Такие простые числа называются «близнецами». До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно множество таких близнецов. Вот парочка из них (чрезвычайно громадных): 10 006 427 и 10 006 429.

Алгоритмы позволяющие определить простое число.

    Однако на практике вместо получения списка простых чисел зачастую требуется проверить, является ли данное число простым. Алгоритмы, решающие эту задачу, называются тестами простоты.  Существует множество полиномиальных тестов простоты, но большинство их являются вероятностными (например, тест Миллера — Рабина) и используются для нужд криптографии.  Только в 2002 году было доказано, что задача проверки на простоту в общем виде полиномиально разрешима. Но предложенный детерминированный тест Агравала — Каяла — Саксены имеет довольно большую вычислительную сложность, что затрудняет его практическое применение. Существует ряд чисел, простота которых может быть установлена эффективно с использованием специализированных алгоритмов.

Числа Мерсенна — числа вида Mp = 2p − 1, где p — простое число. Числа Ферма — числа вида , где n — неотрицательное целое число По состоянию на ноябрь 2011 года известно только 5 простых чисел Ферма (для n = 0, 1, 2, 3, 4), и высказана гипотеза, что других простых чисел Ферма нет. Числа Вудалла (англ.) — числа вида .

Числа Куллена (англ.) — числа вида . Числа Прота — числа вида , причем k нечетно и 2n > k .Числа Куллена являются частным случаем чисел Прота при k = n. Числа Ферма являются частным случаем чисел Прота при k = 1 и n = 2m.

Для поиска простых чисел обозначенных типов в настоящее время используются проекты распределенных вычислений GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen or Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home.(приложение №3)

Научные гипотезы, связанные с простыми числами.

И хотя на протяжении многих веков ведётся изучение простых чисел. До сих пор существует много открытых вопросов относительно простых чисел, наиболее известные из которых были перечислены Эдмондом Ландау на пятом Международном математическом конгрессе:  

1. Проблема Гольдбаха (первая проблема Ландау): доказать или опровергнуть, что каждое чётное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел.
2. Вторая проблема Ландау: бесконечно ли множество «простых близнецов» — простых чисел, разность между которыми равна 2?
3. Гипотеза Лежандра (третья проблема Ландау) верно ли, что для всякого натурального числа n между n2 и (n + 1)2 всегда найдётся простое число?
4. Четвёртая проблема Ландау: бесконечно ли множество простых чисел вида n2 + 1, где n — натуральное число?

Открытой проблемой является также существование бесконечного количества простых чисел во многих целочисленных последовательностях, включая числа Фибоначчи, числа Ферма.

Казалось бы, простые числа – чего уж может быть проще. А, оказывается, можно сделать еще столько открытий, и столько проблем ждут своего доказательства.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Решение задач

В ходе исследовательской работы  у меня собралась целая подборка задач объединенных темой простые числа (приложение № 4)

Оказывается, задачи с использование понятия простого числа предлагаются на олимпиадах и на ЕГЭ. Яс удовольствием рассмотрела решение некоторые из них.

1.  Найти тройку  простых чисел p,q,r таких, что четвертая степень любого из них, уменьшенная на 1, делится на произведение двух остальных (задача математической олимпиады для учащихся 10-11 классов)
   Решение: Пусть   p< q qr/p4-1
   .
   q или r не могут делить , т.к.
   qr не может делить , т.к. .
   Выходит что q /(p+1) или r/(p+1).
   Но из того, что q и r больше p  следует, что  q = p+1 или r = p+1.
   Существует только два подряд идущих простых числа 2 и 3, так как все остальные четные числа составные. Тогда тройка чисел, которая удовлетворяет условиям это 2, 3 и 5.
2. На доске написаны восемь простых чисел, каждое из которых больше двух. Может ли их сумма равняться 59?(задача математической олимпиады для учащихся 9 класса)

 Решение: Нет. Сумма не может получиться нечетной, так как все простые числа, кроме двойки, - нечетные, а сумма восьми нечетных чисел четна.

3. Число P равно произведению 11 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее число натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число P? (задача С-6 из ЕГЭ-2010 г)

Решение:

Любое натуральное число N представимо в виде произведения
N = (p1 k1)*(p2 k2)*... и т.д.,
где p1, p2 и т.д. - простые числа, а k1, k2 и т.д. - целые неотрицательные числа.

Например,
15 = (3 1)*(5 1)
72 = 8*9 = (23)*(3 2)

Так вот, общее количество натуральных делителей числа N равно
(k1+1)*(k2+1)*...

Итак, по условию, P = N1*N2*...*N11, где
N1 = (p1k[1,1])*(p2k[1,2])*...
N2 = (p1k[2,1])*(p2 k[2,2])*...
...,
а это значит, что
P = (p1 (k[1,1]+k[2,1]+...+k[11,1]))*(p2(k[1,2]+k[2,2]+...+k[11,2]))*...,

и общее количество натуральных делителей числа P равно

(k[1,1]+k[2,1]+...+k[11,1]+1)*(k[1,2]+k[2,2]+...+k[11,2]+1)*...

Это выражение принимает минимальное значение, если все числа N1...N11 являются последовательными натуральными степенями одного и того же простого числа, начиная с 1: N1 = p, N2 = p2, ... N11 = p11.

То есть, например,
N1 = 2 1 = 2,
N2 = 2 2 = 4,
N3 = 2 3 = 8,
...
N11 = 211 = 2048.

Тогда количество натуральных делителей числа P равно
1+(1+2+3+...+11) = 67.

Ответ: 67

Практическая работа  «Опрос учащихся школы по теме»

В ходе выполнения исследовательской работы я задумалась: Насколько учащиеся нашей школы осведомлены о простых числах? Выявить степень информированности позволила

практическая работа  «Опрос учащихся школы по теме»

Район исследования: МОУ Советская СОШ

Объекты наблюдений и исследований: учащиеся МКОУ Советской СОШ

Предметы наблюдений и исследований: знания учащихся по теме «Простые числа»

Количество опрошенных:  27 человек.

Состав: учащиеся школы.

Вопросы и результаты (приложение №4)

Выводы:     Проводя опрос по теме исследования, я убедилась, что большинство учащихся знают тему «Простые числа» в объёме школьной программы. Но, к сожалению, в ходе опроса ученики не указали применение темы при решении олимпиадных  задач и при решении задач С-6 из ЕГЭ. А так же мало знают о занимательных фактах связанных с простыми числами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ: В данной работе  была рассмотрена очень интересная тема. Конечно, я изучила ее не полностью, но мои исследования заинтересовали не только меня, но и участников опроса, учителей. Собранный материал может помочь в подготовке к ЕГЭ и математическим олимпиадам, а так же для развития общего кругозора.

Выдвинутая в начале работы гипотеза подтвердилась. Понятие и свойства простых чисел необходимая основа изучения математики.

СПИСОК ИНФОРМАЦИОННЫХ РЕСУРСОВ

Э.Р. Нурк, А.Э. Тельгмаа «Математика-6 класс»

Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк «Алгебра -7 класс»

Л.Ф. Пичурин За страницами учебника алгебры

И.Я. Депман, Н.Я.Виленкин За страницами учебника математики

http://fm2577.narod.ru

http://mindspring.narod.ru

http://mindspring.narod.ru

http://www.geometry2006.narod.ru/Lecture/prime/prime.htm

http://www.natalimak1.narod.ru/prost.htm

http://dxdy.ru/topic41732.html

http://e-ypok.ru/node/297

http://live.mephist.ru/show/mathege-solutions/id/61/

 http://ru.wikipedia.

Приложение:

Приложение №1 «Решето Эратосфена»

Приложение №2 «Скатерть Улама»

Чтобы отмеченная закономерность проявилась, не обязательно начинать спираль с единицы. Например, значения многочлена x2 + x + 41 выстраиваются по диагоналям у спирали, начинающейся с числа 41 (рис. 3).

Приложение №3 «Наибольшее известное простое число»

Издавна ведутся записи, отмечающие наибольшие известные на то время простые числа. Один из рекордов поставил в своё время Эйлер, найдя простое число 231 − 1 = 2147483647.

Наибольшим известным простым числом по состоянию на февраль 2011 года является 243112609 − 1. Оно содержит 12 978 189 десятичных цифр и является простым числом Мерсенна (M43112609). Его нашли 23 августа 2008 года на математическом факультете университета UCLA в рамках проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна GIMPS. Числа Мерсенна выгодно отличаются от остальных наличием эффективного теста простоты: теста Люка — Лемера. Благодаря ему простые числа Мерсенна давно удерживают рекорд как самые большие известные простые.За нахождение простых чисел из более чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр. EFF (Фонд Электронных Рубежей — основанная в июле 1990 в США некоммерческая  правозащитная организация) назначила  денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США. Ранее EFF уже присуждала призы за нахождение простых чисел из 1 000 000 и 10 000 000 десятичных цифр.

 Таблица 3. Наибольшее известное простое число.

Приложение № 4 «Список задач»

1.     Докажите, что числа вида 8n + 1 – составные.

2.     Докажите, что число 9991 – составное.

3.     Докажите, что числа вида n4 + 4 – составные при n > 1.

4.     Найдите все простые числа p, для которых p + 10 и p + 14 – простые.

5.     Докажите, что число 29 + 512 – составное.

6.     Найдите все натуральные n, при которых 2n – 1 и 2n + 1 – простые.

7.     Найдите НОД чисел p2 –1 для всех простых p, больших трех и меньших 2010.

Приложение № 5 «Результаты опроса учащихся»