Парадоксы и софизмы.

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 49»

«Парадоксы и софизмы»

«Правильно понятая ошибка
– это путь к открытию».
И. П. Павлов.

Выполнил:

обучающийся 7 Г класса

Калугин Вадим

   Руководитель:

учитель математики

Яковлева Лилия Геннадьевна

г. Новокузнецк, 2012

    Цель проекта:

1. Показать какое место занимают парадоксы и софизмы в развитии таких дисциплин, как математика, логика, философия, риторика.

2. Улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.

2.     Задачи проекта:

1.  Изучить теоретический материал по данной теме.

2.  Расширить кругозор в области парадоксальных умозаключений и софизмов  

     различного вида.

  3.  Показать взаимосвязь математики с другими предметными дисциплинами.

Оглавление

1. Введение.

      Парадокс - неожиданное, непривычное, расходящееся с традицией утверждение, рассуждение или вывод. В логике – противоречие, полученное в результате внешне логически правильного рассуждения, приводящее к взаимно противоречащим заключениям.  Парадокс в более узком и специальном значении - это два противоположных, несовместимых утверждения, для каждого из которых имеются кажущиеся убедительными аргументы. Наиболее резкая форма парадокса - антиномия, рассуждение, доказывающее эквивалентность двух утверждений, одно из которых является отрицанием другого.

      Софизм – (от греческого sophisma , «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка») - умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.
     Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.

2. Историческая справка.

         Софизмы появились еще в Древней Греции. Они тесно связаны с философской деятельностью софистов — платных учителей мудрости, учивших всех желающих философии, логике и, особенно, риторике (науке и искусству красноречия). Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали разнообразные логические, риторические и психологические приемы. К логическим приемам нечестного, но удачного ведения дискуссии и относятся софизмы. Однако, одних только софизмов для победы в любом споре недостаточно. Ведь если объективная истина окажется не на стороне спорящего, то он, в любом случае, проиграет полемику, несмотря на все свое софистическое искусство. Поэтому помимо различных логических, риторических и психологических уловок в их арсенале была важная философская идея (особенно дорогая для них), состоявшая в том, что никакой объективной истины не существует: сколько людей, столько и истин. Софисты утверждали, что все в мире субъективно и относительно. Если признать эту идею справедливой, то тогда софистического искусства будет вполне достаточно для победы в любой дискуссии: побеждает не тот, кто находится на стороне истины, а тот, кто лучше владеет приемами полемики.
      Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического анализа. Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой — семиотической: за счёт метафоричности речи, нарушающих однозначность мысли и приводящих к смешению значений терминов, или же логической: подмена основной мысли (тезиса) доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода), использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах.

Антиномия – противоречие между двумя суждениями, одинаково логически доказуемыми.

3. Парадоксы.

1. Парадокс «Лжеца».

Исходная (древняя) формулировка представляет собой рассказ о том, как некий Эпименид, уроженец острова Крит, в пылу спора воскликнул: «Все критяне - лжецы!». На что услышал возражение: «Но ведь ты сам - критянин! Так солгал ты или нет?». Если предположить, что Эпименид сказал правду, то выходит, что он, как и все критяне, - лжец. А значит, он солгал. Если же он солгал, тогда получается, что он, как и все критяне, - не лжец. А значит, он сказал правду. Действительно, согласно свидетельству дренегреческого историка Плутарха (I в. н.э.), критяне пользовались в древности дурной славой людей, действующих обманом, хитростью и воровскими уловками. Эпименид был прав, говоря о лжецах (в том числе и о себе). Получается прямо по Бернсу:

Нет, у него не лживый взгляд,

Его глаза не лгут.

Они правдиво говорят,

Что их владелец - плут.

Это рассуждение, вообще говоря, некорректное, в нем есть явные ошибки. Если Эпименид солгал, то отрицание фразы «все Критяне лжецы» будет звучать так: «не все Критяне лжецы», а вовсе не так: «все критяне не лжецы». Но если внести такое исправление в рассуждение, доказательство развалится. Если Эпименид лжец, а остальные критяне - нет, то никакого парадокса не возникает.

Другая ошибка заключается в том, что лжецами мы называем не тех, кто лжет всегда, а тех, кто делает это всего лишь часто. Соответственно, даже если Эпименид - лжец, то не обязательно он солгал именно в этой фразе. Снова доказательство разваливается там, где написано: «А значит, он солгал». Может, в этот раз не солгал, а вообще он и другие критяне - лжецы и лгут регулярно. Снова нет парадокса.

В средние века распространенной была такая формулировка:

- Сказанное Платоном - ложно, - говорит Сократ.

- То, что сказал Сократ, - истина, - говорит Платон.

Возникает вопрос, кто из них высказывает истину, а кто ложь?

Парадокс «Лжец» произвел громадное впечатление на греков. И легко понять почему. Вопрос, который в нем ставится, с первого взгляда кажется совсем простым: лжет ли тот, кто говорит только то, что он лжет? Но ответ «да» приводит к ответу «нет», и наоборот. И размышление ничуть не проясняет ситуацию. За простотой и даже обыденностью вопроса оно открывает какую-то неясную и неизмеримую глубину.

Теперь «Лжец» - этот типичный бывший софизм - нередко именуется королем логических парадоксов. Ему посвящена обширная научная литература. И, тем не менее, как и в случае многих других парадоксов, остается не вполне ясным, какие именно проблемы скрываются за ним и как следует избавляться от него.

2. Парадокс «Крокодил и мать».

В Древней Греции пользовался большой популярностью рассказ о крокодиле и матери, совпадающий по своему логическому содержанию с парадоксом «Протагор и Еватл».

Крокодил выхватил у египтянки, стоявшей на берегу реки, ее ребенка. На ее мольбу вернуть ребенка крокодил, пролив, как всегда, крокодилову слезу, ответил:

- Твое несчастье растрогало меня, и я дам тебе шанс получить назад ребенка. Угадай, отдам я его тебе или нет. Если ответишь правильно, я верну ребенка. Если не угадаешь, я его не отдам.

Подумав, мать ответила:

- Ты не отдашь мне ребенка.

- Ты его не получишь, - заключил крокодил. - Ты сказала либо правду, либо неправду. Если то, что я не отдам ребенка, - правда, я не отдам его, так как иначе сказанное не будет правдой. Если сказанное - неправда, значит, ты не угадала, и я не отдам ребенка по уговору.

Однако матери это рассуждение не показалось убедительным.

- Но ведь если я сказала правду, то ты отдашь мне ребенка, как мы и договорились. Если же я не угадала, что ты не отдашь ребенка, то ты должен мне его отдать, иначе сказанное мною не будет неправдой.

Кто прав: мать или крокодил? К чему обязывает крокодила данное им обещание? К тому, чтобы отдать ребенка или, напротив, чтобы не отдать его? И к тому и к другому одновременно. Это обещание внутренне противоречиво, и, таким образом, оно не выполнимо в силу законов логики.

4. Софизмы.

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

1. Арифметические софизмы.

Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними.
Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

3. «Чётное и нечётное»

«5 есть 2 + 3 («два и три»).
Два — число чётное,
три — нечётное, выходит,
что пять — число и чётное и нечётное. В чем ошибка?

4. «Один рубль не равен ста копейкам»
   

Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е.
Если a=b, c=d, то ac=bd.
Применим это положение к двум очевидным равенствам
1 р.=100 коп, (1)
10р.=10*100коп.(2)
перемножая эти равенства почленно, получим
10 р.=100000 коп.
и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что
1 р.=10 000 коп.
таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

В чем ошибка?

5. Дважды два - пять!

 Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство:

 4:4= 5:5

 После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства будем иметь:

4∙(1:1)=5∙(1:1) или

(2∙2)(1:1)=5(1:1)

Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения

4(1:1)=5(1:1) Устанавливаем:

2∙2=5.

6.  «Единица равна нулю»

Возьмем уравнение x-a=0

Разделив обе его части на х-а, получим

 (х-а)/(х-а)=0/(х-а)  

Откуда сразу же получаем требуемое равенство

 1=0

2. Алгебраические софизмы.

7. « Если “a” больше “b”, то “a” всегда больше, чем “2b”»

Возьмем два произвольных положительных числа a и b, такие, что a > b.
Умножив это неравенство на b,
получим новое неравенство ab > b·b,

отнимем от обеих его частей a·a,
получим неравенство ab-a·a > b·b - a·a, равносильное a(b-a) > (b+a)(b-a).
Разделим обе части неравенства на b-a получим a > b+a,

прибавим к этому неравенству почленно исходное неравенство a > b

имеем 2a >2b+a
откуда a > 2b

Итак, если a > b
a > 2bГде ошибка?

8. « Всякое число равно своему удвоенному значению»

Запишем очевидное для любого числа а тождество а2-а2= а2-а2. Вынесем а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получив: а(а-а)=(а+а)(а-а) (1)Разделив обе части на а-а, получим
                                        а=а+а
                                        а=2а

3.  Логические софизмы.

    Кроме математических софизмов, существует множество других. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

1. «Лекарства»

«Лекарство, принимаемое больным, есть добро.
Чем больше делать добра, тем лучше.
Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

2. «Не знаешь то, что знаешь»

«Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?»
— «Нет». —
«Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?»
— «Знаю».
— «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь»

3. «Равен ли полный стакан пустому?»

Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.

5.  Заключение.

       На примере рассмотренных парадоксов мы ясно ощутили волшебную силу слова (или, точнее, если воспользоваться выражением, силу «вольности речи»). Она-то и делает парадоксы столь сложными и вместе с тем столь привлекательными.

      О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии, а значит достижение истины.

6. Литература:

1. «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия» - М.: «Кирилл и Мефодий», 2004
2. Ф. Ф. Нагибин, Е. С. Канин «Математическая шкатулка»
3. Ресурсы сети Интернет: http://ru.wikipedia.org/wiki/Софизм
                                            http://slovari.yandex.ru/