Формулы сокращенного умножения

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 3г. Свирск»

Формулы сокращенного умножения

Выполнила ученица 7 «В » класса

Романенко Алиса

 Проверила  учитель математики

Черниговская Татьяна Анатольевна

г. Свирск

2011-2012

Содержание

Введение

В курсе математики 7 класса изучаются  формулы сокращенного умножения, но мне показалось, что это еще не все формулы, которые рассматриваются  в школьном курсе, и я задалась целью узнать о них больше, так как эти формулы помогают рационально выполнять некоторые задания.

В ходе работы мною были рассмотрены вопросы школьной и внешкольной программы, а также исторические сведения по теме. Часть работы посвящена формулам сокращенного умножения, которых нет в учебнике алгебры 7 класса. Эта тема  значимая в курсе математики и  применяется на протяжении всего периода обучения: при умножении многочленов, упрощении алгебраических выражений, сокращении дробей, разложении на множители, решении уравнений и других.  Я хочу углубить свои знания по этой очень интересной теме.

Тема исследования:  «Формулы сокращенного умножения»

Предмет исследования:  Многочлен.

Цель:  рассмотреть вопрос о существовании  других формул сокращенного умножения, которые не рассматриваются в школьной программе

Задачи:

1. Собрать сведения из истории математики о формулах сокращенного умножения.
2. Рассмотреть различные способы возведения в квадрат алгебраической суммы нескольких слагаемых.
3. Изучить способы возведения в  n – ую степень алгебраической суммы двух слагаемых.
4. Подобрать и прорешать задачи с применением формул сокращенного умножения.

Гипотеза исследования:

Я думаю, что,  после изучения данной темы,  и применения ее ение на практике,  я расширю и углублю свои знания, а это будет способствовать развитию логического и творческого мышления в процессе решения проблемных задач. Это поможет мне подготовиться к выпукному экзамену по математике в 9 классе, так как я смогу рационально выполнять некоторые упражнения.

Глава 1. Исторические сведения

Некоторые правила сокращенного умножения были известны еще около 4 тыс. лет назад. Тогда было принято все алгебраические утверждения выражать в геометрической форме. Особенно широко алгебраическими тождествами пользовался в 3 в до н.э. древнегреческий геометр Евклид. У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками  прямых. Они говорили не «а», а «квадрат на отрезке а», не «ав», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками а и в». Например, тождество  ( а + в )=а + 2ав + в во второй книге «Начал» Евклида формулировалось так: « Если прямая линия ( имеется в виду отрезок) как- либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками». Доказательство опиралось на геометрические соображения.

В дальнейшем я приведу пример такого доказательства.

Первым ученым, который отказался от геометрических способов выражения и перешел к алгебраическим уравнениям, был древнегреческий ученый-математик, живший в III веке до н. э. Диофант Александрийский. В своей книге «Арифметика» Диофант формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов рассматривал уже с арифметической точки зрения. Ну а современную символику алгебраические тождества получили благодаря двум математикам, а именно Виету и Декарту(16 век).

На современном уровне развития математики данные формулы были обоснованы Исааком Ньютоном. При небольших значениях n коэффициенты можно найти из треугольника Паскаля. Блез Паскаль триста пятьдесят лет назад придумал специальный инструмент для определения этих самых коэффициентов, который впоследствии назвали  «треугольник Паскаля».

Глава 2.Формулы школьного курса математики

На уроке математики я познакомилась с формулами сокращенного умножения, которые знаю наизусть.

Все они доказываются раскрытием скобок через умножение многочленов и приведением подобных слагаемых.

Разность квадратов:

(a +b) (a – b) = a² - b²                 (1)

Квадрат суммы и квадрат разности:

(a + b)² = a² + 2ab +b²                 (2)

(a – b)² = a² - 2ab + b²                 (3)

Сумма и разность кубов:                                                                            

(a + b) (a² - ab + b²) = a³ +b³        (4)

(a – b) (a² + ab + b²) = a³ - b³        (5)

Куб суммы и куб разности:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³     (6)

(a –b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³        (7)

После чего я  заинтересовалась: а как возвести в квадрат алгеьраическую сумму трех или четырех слагаемых.

Глава 3. Возведение в квадрат суммы нескольких слагаемых

Для чего сначала я рассмотрела три способа возведения в квадрат суммы трех слагаемых (a+b+c)2 .

Первый способ: геометрический.

Сначала разбила квадрат на фигуры, как показано на рисунке. После чего нашла площадь каждого полученного квадрата или прямоугольника.

Так как площадь целой фигуры равна сумме площадей его частей, то получила равенство для площади прямоугольника: S=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2.  После упрощения: S=a2+ b2+c2+2ab+2ac+2bc.

Второй способ: выполнила алгебраическое умножение многочленов.

(a+b+c)*(a+b+c)=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2=a2+ b2+c2+2ab+2ac+2bc.

Третий способ: представила данную сумму как сумму двух слагаемых и возвела ее в квадрат. ((a+b)+c)2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+ c2+b2+2ab +2ac+2bc.

Во всех трех случаях результат получила одинаковый:

(a+b+c)2=a2+ c2+b2+2ab +2ac+2bc=a2+ c2+b2+2(ab+ac+bc)

Аналогичными способами я вывела формулу для возведения в квадрат суммы четырех слагаемых.

Геометрический способ

(через вычисление площади квадрата) . Таким образом площадь квадрата равна сумме площадей его частей:

S=a2+ b2+ c2+d2+

+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd

Умножение многочленов: (a+b+c+d)*(a+b+c+d)=a2+ab+ac+ad+ab+b2+bc+bd+ac+bc+c2+cd+ad+bd+cd+d2==a2+ b2+ c2+ d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd

Преобразование в квадрат суммы двух слагаемых:

((a+b)+(c+d))2=(a+b)2+2(a+b)(c+d)+(c+d)2=a2+2ab+b2+2ac+2ad+2bc+2bd+c2+

+2cd+d2=a2+ b2+ c2+ d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd

И опять я в каждом случае получила одинаковый результат, то есть 

(a+b+c+d)2=a2+b2+ c2+ d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd=a2+b2+c2+ d2+

+2(ab+ac+ad+bc+bd)

Вывод: После проведенной работы я предположила,  что в квадрат можно возвести  сумму нескольких слагаемых. Подтверждение этому я нашла в справочной литературе:

(a1 + a2 + …+ aп )² = a1² + a2² +…+ 2(a1 a2 + a1 a3 +…+ ai aj +…+ an-1 a.)

Итак, квадрат суммы n слагаемых равен сумме их квадратов плюс удвоенная сумма всевозможных попарных произведений этих слагаемых вида ai aj ,

где i < j.

Глава 4. Возведение многочлена в  n – ую степень

Дальше меня заинтересовало: как возвести сумму двух слагаемых в более высокую степень, например в четвертую, пятую или шестую. И я решила поэкспериментировать.

Для начала я рассмотрела куб суммы двух слагаемых, для чего расписала его в виде произведения суммы двух слагаемых на квдрат тех же слагаемых: (a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3

Потом поработала с четвертой степенью двух слагаемых, представила ее  как результат произведения квадратов двух слагаемых и получила:

(a+b)4=(a+b)2(a+b)2=(a2+2ab+b2)(a2+2ab+b2)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

Аналогичным способом возвела в пятую степень сумму двух слагаемых:

(a+b)5=(a+b)2(a+b)3=(a2+2ab+b2)(a3+3a2b+3ab2+b3)=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+

+5ab4+b5

Попробовала расписать  шестую  степень как произведение квадрата и четвертой степени суммы двух слагаемых:

(a+b)6=(a+b)2(a+b)4=(a2+2ab+b2)(a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4)=a6+6a5b+15a4b2+

+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

Затем  седьмую степень представила как произведение куба суммы и четвертой степени суммы:(a+b)7=(a+b)3(a+b)4=(a3+3a2b+3ab2+b3)*

*(a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4)=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7

Надо  заметить, что данные преобразования можно было производить и другим способом.  Например, сумму двух слагаемых возвести вшестую степень, как произведение кубов тех же самых слагаемых.

Особенно меня удивило то, что все коэффициенты (их я выделила жирным шрифтом), полученные в результате умножения, были симметрическими. Оказалось, что это не спроста, данная закономерность среди коэффициентов многочлена называется «Треугольник Паскаля» по имени его автора.

Глава 5. Треугольник Паскаля

Но кроме законмерности среди коэффициентов прослеживается так же замечательная закономерность и среди степеней получившегося многочлена. Оказывается степени входящих одночленов образуются следующим образом: степень первого слагаемого, начиная с большей,  с каждым разом уменьшается на единицу, а степень второго слагаемого наоборот увеличивается от нулевой до наибольшей.

Строится «Треугольник Паскаля»  следующим образом. В вершине треугольника пишем 1. Единица соответствует выражению (a+b), поскольку любое число, возведённое в нулевую степень, даёт единицу. Достраивая треугольник, ниже пишем ещё по единице. Это коэффициенты разложения того же двучлена, возведённого в первую степень: (a+b)=a+ b. Идём дальше. Стороны треугольника образуют единицы, а между ними — сумма двух единичек, находящихся сверху, то есть 2. Это и есть коэффициенты трёхчлена «квадрат суммы»:  a+2ab+b.

Следующий ряд, как и предыдущий, начинается и заканчивается единицами, а между ними — суммы цифр, находящихся сверху: 1, 3, 3, 1. Мы получили коэффициенты разложения «куба суммы». Ряд коэффициентов двучлена четвёртой степени составят 1, 4, 6, 4, 1 и так далее.

             Номер             Строки

1.                         1
2.                        1 1
3.                      1 2 1
4.                     1 3 3 1
5.                   1 4 6 4 1
6.                1 5 10 10 5 1
7.             1 6 15 20 15 6 1
8.            1 7 21 35 35 21 7 1

…                                       ……

Сравнивая  два способа решения, заключаю, что применяя для нахождения коэффициентов в разложении  треугольник Паскаля,  возведение в любую степень решается рациональнее. Поэтому, если мне придется возводить двучлен в п-ую степень, я буду применять второй способ.

Дальше я предлагаю рассмотреть примеры, которые прорешала самостоятельно и в которых применяются формулы сокращенного умножения (ФСУ). В некоторых из них я применяла способ группировки, который изучается в курсе математики 7 класса.

Глава 6. Применение формул сокращенного умножения для решения задач.

1. Вычислить рациональным способом:        

а)     (652-322-97*11): (612-362)+(562-262): (662-162)

Решение: данное выражение не очень сложное.  Сначала  я преобразую его и запишу  в виде дроби:

Далее буду вычислять по действиям:

В этом примере я применила формулы разности квадратов и квадрата суммы двух слагаемых.

Ответ: (652-322-97*11): (612-362)+(562-262): (662-162)=4,48

б)      

Решение: в отличие от предыдущего это выражение насыщено различными

формулами. Начинаю выполнять его по действиям, не забывая применять

формулы сокращенного умножения:

Ответ:

При помощи ФСУ можно производить упрощение алгебраических выражений.

2. Упросить выражение:

а)  

Решение:

В этом примере во втором действии я применила формулы разности квадратов и разности кубов двух слагаемых и выполнила сокращение дробей.

Ответ: 

б)    

Решение:

После применения сочетательного закона умножения сначала я использовала формулы разности и суммы кубов, а затем разность квадратов двух слагаемых.

Ответ:

3. Упростить и вычислить:

а)    

Решение: применяю формулы разность квадратов и квадрат разности двух слагаемых.

, подставляю заданное значение в получившееся выражение и вычисляю:

Ответ: -11/3

б)    

Решение:  в данном случае произведу группировку четырех слагаемых, а впоследнем действии распишу формулу разности квадратов:

, теперь вычисления будут более простыми:

Ответ: -25

В данных примерах я не только выполнила упрощение выражений с помощью формул сокращенного умножения, но и произвела вычисления для каждого случая.

Формулы сокращенного умножения также применяют и для решения алгебраических уравнений. Так как в курсе 7 класса уравнения, представленные ниже, не изучаются, то и  решить их другим способом я не могла.

4. Решить уравнение:   а)

Сначала я разложу второе слагаемое на сумму двух слагаемых, а далее применю способ группировки.

Ответ: х=1, х=3

б)

Правую часть уравнения разложу по формуле квадрата разности, а потом выполню действия как в предыдущем примере.

Ответ: х=1/3, х=-3

в)

Сначала применяю формулы разности кубов и квадратов, далее привожу подобные слагаемые и перехожу к решению элементарного уравнения.

Ответ: х=3

г)

Данное уравнение отличается от предыдущих тем, что в нем два неизвестных, поэтому в решении одна переменная будет выражена через другую.

Ответ: а=в, а=2в

Также с помощью ФСУ можно выполнять доказательство тождественно равных выражений.

5. Доказать тождество из «Арифметики» Диофанта:

Решение: свернула  знаменатель первой и третьей дроби в квадрат разности двух слагаемых, привела выражение к общему знаменателю, далее перенесла все в левую часть и привела подобные слагаемые. В результате получила, что левая часть тожественно равна правой.

Заключение

При изучении материала по этой теме, я узнала много нового и интересного. Оказалось, что  формулы сокращенного умножения можно использовать  для рационального вычисления выражений, при упрощении выражений, при решении уравнений, доказательстве тождеств и так далее.

В процессе работы я самостоятельно вывела различные формулы сокращенного умножения, причем некоторые из них доказала несколькими способами, познакомилась с треугольником Паскаля.

 Я прорешала множество интересных задач, которые не встречались на уроке математики. Мне очень нравится предмет математика, я считаю, что те знания, которые я приобрела, готовя эту  работу, пригодятся мне в дальнейшей учебе и подготовке к выпускным экзаменам. Данная тема актуальна, так как математику нельзя представить без формул сокращенного умножения, потому что они  применяются не только в школьном курсе, но и в курсе высшей математики. Созданная мною работа может использоваться другими учащимися и преподавателями математики на своих уроках. Мне понравилось заниматься исследовательской работой.

Список литературы:

1. С. М. Никольский, М. К. Потапов и др. Алгебра 7; М.: «Просвещение», 2008.

2. С. М. Никольский, М. К. Потапов и др. Алгебра 10; М.: «Просвещение», 2008.

3. В. И. Жохов, Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. Дидактические материалы: алгебра 8 класс; М.: «Просвещение», 2003.

4. М. К. Потапов, Я. В. Шевкин. Дидактические материалы: алгебра и начала анализа 10 класс; М.: «Просвещение», 2010.

5. portfolio.1september.ru