дроби и история их происхождения

                                                                          МКС(К)ОУ С(К) ОШ № 37 I,II вида

Дроби и история их происхождения

                                                                   Выполнила: Енькова Ксения,

                                                                                           Ученица 10 А  класса

                                                                    Руководитель:  Бочкарёва Эльвира Владимировна,      

                                                                                                  учитель  математики

                                                                                          г. Новосибирск - 2012

Содержание

1. Введение……………………………………………..……………………………………………………………………. 3

2. Из истории дробей………………………………………………………..........................………………………….…….3

3. Понятие обыкновенной дроби……………..……………………………………………………………………………. 4

4. Сравнение дробей………………………………………………………………………………………………………….. 4

5. Правильные и неправильные дроби……………………..………………………………………………….……………4

6. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями……………………………………………………… 4

7. Деление и дроби…………………………………………………………………..………………………………………. 5

8. Заключение………………………………………………………………………………………………………………. 5

Введение

   С древних времён людям приходилось не только считать предметы (для чего требовались натуральные числа), но и измерять длину, время, площадь, вести расчёты за купленные или проданные товары. Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалось выразить натуральным числом. Приходилось учитывать и части, доли, меры. Так появились дроби.

   В русском языке слово «дробь» появилось в 8 веке, оно происходит от глагола «дробить» - разбивать, ломать на части. В первых учебниках математики (в 17 веке) дроби так и назывались - «ломаные числа». У других народов название дроби связано с глаголами «ломать», «разбивать», «раздроблять».

  Современное обозначение дробей берёт своё начало в Древней Индии; его стали использовать и арабы, а от них в 12-14 веках оно было заимствовано европейцами. В начале в записи дробей не использовалась дробная черта. Черта дроби стала постоянно использоваться лишь около 300 лет назад. Первым европейским учёным, который стал использовать и распространять современную запись дробей, был итальянский купец и путешественник, сын городского писаря Фибоначчи (Леонардо Пизанский). В 1202 году он ввёл слово «дробь». Названия «числитель» и «знаменатель» ввёл в 13 веке Максим Плануд-греческий монах, учёный-математик.

  В старину на Руси использовались монеты достоинством меньше одной копейки: грош-1/2 к. и полушка-1/4 к.  

  В старинных книгах можно встретить такие названия дробей: 1/2-пол, полтина, 1/5-пятина, 1/7-седьмина, 1/10-десятина.

  Каждый ребенок начинает изучение математики со знакомства с целыми числами: 1, 2, 3 и т. д. Таким же путем шло и всё человечество в целом. Постепенно, шаг за шагом, оперируя одними лишь цифрами и сталкиваясь при этом с неожиданными проблемами, люди пришли к выводу, что существуют и другие математические величины помимо обычных цифр и целых чисел. Так, 4 состоит из двух 2; 6 — из трех 2 и т. д. Другими словами, 2 — это 4/2 (4 разделить на 2), а 3 — это 6/2 (6 разделить на 2). Однако из скольких 2 состоит 5? Ясно, что это больше, чем 2, и меньше, чем 3. Такие примеры заставляли людей задуматься о числовых выражениях, находящихся между цифрами. Так, выражение 5/2 (5 разделить на 2) можно назвать «два с половиной»; это означает «единица» + «единица» + «половина единицы». Ясно, что без понимания такого рода информации в современном обществе просто трудно было бы жить. И я решила подробно разобраться в этой теме.

Из истории дробей

  Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Следующей дробью была треть. И у египтян, и у вавилонян были специальные обозначения для дробей 1/3 и 2/3 , не совпадавшие с обозначениями для других дробей.

Египтяне все дроби старались записать как суммы долей, то есть дробей вида 1/n. Например, вместо 8/15 они писали 1/3 + 1/5. Единственным исключением была, как мы сказали дробь 2/3. Иногда это бывало удобно. В папирусе Ахмеса есть задача: "Разделить 7 хлебов между 8 людьми".

  Если резать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов.

А по-египетски эта задача решалась так. Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2 + 1/4 + 1/8. Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезаем пополам, два хлеба - на 4 части и один хлеб - на 8 долей, после чего каждому даем его часть.

  Но складывать такие дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/п. А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от 2/5 до 2/99 записаны в виде сумм долей. С помощью этой таблицы выполняли и деление чисел.

  Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Еще сложнее обстояло дело с делением. Совсем иным путем пошли вавилоняне. Они работали только с шестидесятеричными дробями. Так как знаменателями таких дробей служат числа 60, 602, 603 и т. д., то такие дроби, как 1/7, нельзя было точно выразить через шестидесятеричные: выражали через них приближенно. Так как система счисления у вавилонян была позиционной, они действовали с шестидесятеричными дробями с помощью тех же таблиц, что и для натуральных чисел.

  Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной. А работать с обыкновенными дробями было уж совсем трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям. Сначала их писали весьма сложно, но постепенно перешли к современной записи. Сейчас ЭВМ используют двоичные дроби, которые когда-то применяли и на Руси: половина, четь, полчети, пол-полчети и т.д.

  Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью - весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь не шла о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги.

  А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия. Даже сейчас иногда говорят: "Он скрупулезно изучил этот вопрос". Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово "скрупулезно" от римского названия 1/288 асса - "скрупулус". В ходу были и такие названия: "семис" - половина асса, "секстане" - шестая его доля,             3 "семиунция" - полунции, то есть 1/24 асса, и т. д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было для этих дробей помнить и таблицу сложения, и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твердо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию (3/2 унции, то есть 1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из них дошли до нас.

  Из-за того что в двенадцатеричной системе нет дробей со знаменателями 10 или 100. римляне затруднялись делить на 10. 100 и т. д. При делении 1001 асса на 100 один римский математик сначала получил 10 ассов, потом раздробил асе на унции и т. д. Но от остатка он не избавился. Чтобы не иметь дела с такими вычислениями, римляне стали использовать проценты. Они брали с должника лихву (то есть деньги сверх того, что было дано в долг). При этом говорили: не "лихва составит 16 сотых суммы долга", а "на каждые 100 сестерциев долга заплатишь 16 сестерциев лихвы". И сказано то же самое, и дробей использовать не пришлось! Так как слова "на сто" звучали по-латыни "про центум". То сотую часть и стали называть процентом. И хотя теперь дроби, а особенно десятичные дроби, известны всем, проценты все-таки применяются и в финансовых расчетах, и в планировании, то есть в различных областях человеческой деятельности. А раньше применяли еще и промилли - так называли тысячные доли (по-латыни "про милле" - на тысячу). В отличие от процентов, которые обозначают знаком %, промилли обозначают %0.

  В греческих сочинениях по математике дробей не встречалось. Греческие ученые считали, что математика должна заниматься только целыми числами. Возиться с дробями они предоставляли купцам, ремесленникам, а также астрономам, землемерам, механикам и другому "черному люду". Но старая пословица гласит: "Гони природу в дверь - она влетит в окно". Поэтому и в строго научные сочинения греков дроби проникали "с заднего хода". Кроме арифметики и геометрии, в греческую науку входила музыка. Музыкой греки называли учение о гармонии. Это учение опиралось на ту часть нашей арифметики, в которой говорится об отношениях и пропорциях. Греки знати: чем длиннее натянутая струна, тем ниже получается звук, который она издает, а короткая струна издает высокий звук. Но у всякого музыкального инструмента не одна, а несколько струн. Для того чтобы все струны при игре звучали "согласно", приятно для слуха, длины звучащих частей их должны быть в определенном отношении. Поэтому учение об отношениях и дробях использовалось в греческой теории музыки.

  Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель - снизу и не писали дробной черты. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.

Понятие обыкновенной дроби

На рисунке круг разделен на две равные части. Равные части называют долями. Название долей зависит от того, на сколько равных частей разделена одна целая (единица) или предмет, принимаемый нами за единицу. Например: если круг разделить на две равные части, то получим вторые доли: если на три равные части, то третьи доли; если на четыре равные части, то четвертые доли и т.д. Вторые, третьи, четвертые доли получили особые названия: половина, треть, четверть.

  Определение: Одну долю или несколько равных долей единицы называют дробью или дробным числом.

Дробные числа записывают с помощью натуральных чисел и черты. Например, одну четвертую долю записывают так:

1 /4. Такие записи, как ¼ и ¾ называют обыкновенными дробями. В дроби число, стоящее над чертой, называют числителем дроби, а число, стоящее под чертой, называют знаменателем дроби. Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей разделена единица, а числитель дроби показывает, сколько таких частей взято. Читают дроби так: сначала называют числитель, потом знаменатель. Например: 2/5 читают: две пятых; 7/100: семь сотых.

При чтении дробей надо помнить: числитель дроби - количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т.д.), а знаменатель - порядковое числительное (седьмая, сотая, двести тридцатая и т.д.).

Сравнение дробей

Разделим круг на 4 равные части. Две такие части вместе составляют половину круга. Значит, 2/ 4круга равны 1/2круга. Поэтому говорят, что дроби 4 /2 и 1/2 равны и пишут: 2/4 = 1/2.

На координатном луче равные дроби соответствуют одной и той же точке. Две равные дроби обозначают одно и то же дробное число. Дробные числа можно сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить. Для краткости обычно говорят о сравнении, сложении, вычитании, умножении и делении дробей. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель.

Точка на координатном луче, имеющая меньшую координату, лежит слева от точки, имеющей большую координату. 

Правило чтения равенств и неравенств, содержащих дробные числа, те же, что и правша чтения равенств с натуральными числами.  

Правильные и неправильные дроби

  Пирог разрезали на 5 равных частей и 3 части. 3положили на тарелку. На ней оказалось 3/5 пирога. Если положить все 5 частей, то на тарелке будет 5/5 пирога, то есть весь пирог. Значит 5/5 = 1.Возьмем еще один такой же пирог и разрежем его тоже на 5 равных частей. Если на тарелку положить, например 11 частей, то там будет 11/5 пирога. В дроби 3/5числитель меньше знаменателя. Такие дроби называют правильными. В дроби 5/5 числитель равен знаменателю, а в дроби 11/5 числитель больше знаменателя. Такие дроби называют неправильными.

  Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называют правильной дробью. Дробь, в которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной дробью.   Правильная дробь меньше единицы, а неправильная дробь больше или равна единице.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают, а знаменатель оставляют тот же.                                                                                                        

Буханку хлеба разделили на 8 равных частей (долей). Сначала на тарелку положили 2 доли, а потом еще 5 долей. На тарелке оказалось 7 долей, то есть 7/8буханки: 2/8 + 5/8 =(2 + 5)/8 = 7/8  

Деление и дроби

  При   вычитании   дробей   с   одинаковыми   знаменателями   из   числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют тот же. Выражения и уравнения, содержащие обыкновенные дроби, читают по тем же правилам, что и соответствующие выражения и уравнения с натуральными числами.

 Разделим 2 одинаковых яблока между тремя детьми. Число 2 не делится нацело на 3, Поэтому разделим каждое яблоко на 3 равные части и дадим каждому ребенку по одной части от каждого яблока.

Каждая часть – это 1/ 3 яблока, а две такие части – это 2/ 3 яблока,  значит,   каждый   ребенок   получит 2/3  яблока. Дробь 2/3 получилась при делении 2 яблок на 3 равные части. Поэтому черту дроби можно понимать как знак деления: 2/3= 2: 3. 

  С помощью дробей можно записать результат деления двух любых натуральных чисел. Если деление выполняется нацело, то частное является натуральным числом. Если же разделить нацело нельзя, то частное является дробным числом.   Запишем число 3 в виде дроби со знаменателем 5. Для этого надо найти такое число, при делении которого на 5 получилось бы  3. Таким числом является 3*5, то есть 15. Значит, 3=15:5. Любое натуральное число можно записать в виде дроби с любым натуральным знаменателем. Числитель этой дроби равен произведению числа и этого знаменателя. Мы знаем, что a:c + b:c = (a + b): c. По-другому это равенство можно записать так: (a + b) : c = a : c + b : c. Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные частные.        

Заключение

  Тема дробей очень полезна, а главное, практична. Она пригодится в дальнейшей жизни, т.к. дроби широчайшим образом используется в современной жизни.

      Выполняя работу, я познакомилась с обыкновенными, правильными и неправильными дробями, разобралась с разными видами дробей.

      После более близкого знакомства с дробями я стала их уважать.    

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

 1/5 пирога