Исследовательский проект "Удивительный мир чисел"

Слайд 1

Слайд 2

Подготовила работу Алексеева Настя Цель работы : доказать, что в математике есть удивительные числа. Задачи: Выделить дружественные и совершенные числа чисел среди натуральных чисел; Установить свойства и закономерности этих чисел. Методы исследования : Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет. Систематизация данных. Предмет исследования : натуральные числа

Слайд 3

ИЗ ИСТОРИИ ЧИСЕЛ Число является одним из основных понятий математики. Существует большое количество определений понятию "число". О числах первый начал рассуждать Пифагор. Пифагору принадлежит высказывание "Всё прекрасно благодаря числу". По его учению число 2 означало гармонию, 5 – цвет, 6 –холод, 7 – разум, здоровье, 8 –любовь и дружбу. Первое научное определение числа дал Евклид в труде "Начала».

Слайд 4

СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей (включая 1, но исключая само число). Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число "6". На шестом месте, на званном пиру, возлежал самый уважаемый, самый почетный гость. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в шесть дней, ведь более совершенного числа, среди совершенных чисел, чем "6", нет, поскольку оно первое среди них. Рассмотрим число 6. Число имеет делители 1, 2, 3 и само число 6. Если сложить делители, отличные от самого числа 1 + 2 + 3 то мы получим 6. Значит, число 6 дружественно самому себе и является первым совершенным числом.

Слайд 5

ЭТО ИНТЕРЕСНО Следующим совершенным числом, известным древним, было "28". Мартин Гарднер усматривал в этом числе особый смысл. По его мнению, Луна обновляется за 28 суток, потому что число "28" – совершенное. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала расположены двадцать восемь келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. 28

Слайд 6

ИЗ ИСТОРИИ СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ До Евклида были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть. Благодаря своей формуле, Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128. Почти полторы тысячи лет люди знали только четыре совершенных числа, и никто не знал, могут ли существовать еще числа, которые можно представить в евклидовской формуле, и никто не мог сказать, возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие формуле Евклида.

Слайд 7

СВОЙСТВА СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел. – Все совершенные числа треугольные . Это значит, что, взяв совершенные число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник. – Все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 1 3 + 3 3 + 5 3 … – Сумма обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2. Кроме того, совершенство чисел тесно связано с двоичностью. Числа: 4=2×2, 8 = 2· 2· 2, 16 = 2 · 2 · 2 · 2 и т.д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2n, где n – число перемноженных двоек. – Все совершенные числа ( кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96.

Слайд 8

Дру́жественные чи́сла — два различных натуральных числа , для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу.

Слайд 9

История изучения дружественных чисел Дружественные числа были открыты последователями Пифагора . Правда, пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел – 220 и 284. Только спустя много столетий Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. Одна из них – 17296 и 18416. Но общего способа нахождения таких пар нет до сих пор. Формулу, дающую три пары чисел, открыл, около 850 тыс. лет назад, арабский астроном и математик Табит ибн Кура (826 – 901). Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел. На сентябрь 2007 года известно 11994387пар дружественных чисел. Все они состоят из чисел одной чётности. Существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел, неизвестно. Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа. Но если такая пара дружественных чисел существует, то их произведение должно быть больше.

Слайд 10

Все пары дружественных чисел, значение которых меньше 100000. - Пара 220 и 284 открыта Пифагором, около 500 до н. э. - Пара 1184 и 1210 открыта Паганини в 1860 году. - Пара 2620 и 2924 открыта Эйлером в 1747 году. - Пара 5020 и 5564 (Эйлер, 1747г.) - Пара 6232 и 6368 (Эйлер, 1750) - Пара 10744 и 10856 (Эйлер, 1747) - Пара 12285 и 14595 открыта Брауном в 1939 году - Пара 17296 и 18416 открыта Аль-Банном , около 1300, Фариси , около 1300 и Пьером Ферма в 1636. - Пара 63020 и 76084 (Эйлер, 1747) - Пара66928 и 66992 (Эйлер, 1750) - Пара 67095 и 71145 (Эйлер, 1747) - Пара 69615 и 87633 (Эйлер, 1747) - Пара 79750 и 88730 открыта Рольфом ( Rolf ) в 1964 году.

Слайд 11

Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные и близко связанные с ними дружественные числа. Из огромного многообразия натуральных чисел ученые выделили дружественные и совершенные числа, обладающие рядом очень интересных свойств. Мир полон тайн и загадок. Но разгадать их могут только пытливые. Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел. И мне бы хотелось продолжить изучение чисел, ведь я только знаю натуральные числа. Работа ученицы 6 класса Алексеевой Анастасии