Исследовательская работа "Вокруг квадратного трехчлена"

Заявка на участие в Лобачевских чтениях.

1. МОУ СОШ № 1
2. кол-во участников 1
3. вид выступления – защита творческой (исследовательской) работы
4. тема «Вокруг квадратного трехчлена»
5. выступающий Синицын Максим Владимирович, 11 А
6. руководитель Салова Н.В.

Тезисы.

В работе рассмотрены приемы решения задач с параметрами части С ЕГЭ, решение которых сводится к исследованию квадратного трехчлена.

Поставлена проблема  (задание С3, 2007 г.):

Найдите все значения а,  для которых при каждом х из промежутка значение выражения не равно значению выражения .

При ее решении приходим к необходимости исследования расположения корней квадратного трехчлена.

Формулируются задачи:

1. Экспериментальным путем:

1. исследовать влияние коэффициентов a, b, c на некоторые свойства квадратного трехчлена;
2. изобрести условия, при которых квадратный трехчлен обладает тем или иным свойством;

2. Найти подтверждение полученных результатов в научной литературе;
3. Применить полученную информацию на решение поставленной проблемы.
4. Составить банк задач, решаемых при помощи исследования квадратного трехчлена.

Здравствуйте. Я представляю вам нашу работу «Вокруг квадратного трехчлена».

В своей работе мы рассмотрели приемы решения задач с параметрами части С ЕГЭ, решение которых сводится к исследованию свойств квадратного трехчлена.

Задачи с параметрами являются одними из наиболее трудных задач курса математики. Их решение представляет собой исследование функций, входящих в условие задачи, и последующее решение уравнений или неравенств с числовыми коэффициентами. При решении уравнений (неравенств) с параметрами необходимо выяснить, при каких значениях параметра заданное уравнение (неравенство) имеет решение, и найти все эти решения. В том случае, когда хотя бы одно из допустимых значений параметра не исследовано, задание не считается решенным.

В течение многих лет задачи с параметрами включаются в вступительные экзамены в ВУЗ, а в последние годы такие задачи предлагаются при сдаче ЕГЭ.

В задании С3 ( ЕГЭ-2007 г.)была дана задача:

Найдите все значения а,  для которых при каждом х из данного промежутка значение выражения  не равно значению выражения .

При ее решении мы столкнулись с необходимостью исследования расположения корней квадратного трехчлена. Для себя мы сформулировали следующие задачи:

1. Экспериментальным путем:

1. исследовать влияние коэффициентов a, b, c на некоторые свойства квадратного трехчлена;
2. изобрести условия, при которых квадратный трехчлен обладает тем или иным свойством;

2. Найти подтверждение полученных результатов в научной литературе;
3. Применить полученную информацию на решение поставленной проблемы.
4. Составить банк задач, решаемых при помощи исследования квадратного трехчлена.

Для изучения свойств корней часто бывает полезна хорошо известная теорема Виета: если квадратный трехчлен y=ax2 + bx + c имеет корни х1 и х2, то . Приведем один из примеров использования теоремы Виета для определения знаков корней квадратного трехчлена.

Задача 1.

Пусть квадратный трехчлен ax2 + bx + c имеет два корня х1 и х2, причем х1<х2. Верно ли, что: (пауза)

1. Если а>0 и с<0, то . Следовательно, корни х1 и х2 – разных знаков, и один из них (больший) положительный.
2. Если а<0 и b>0, то сумма корней положительна. Но отсюда еще не следует, что оба корня положительны. Итак, данное утверждение неверно.
3. Если а<0, b>0 и c<0, то  и . Следовательно, корни одного знака (их произведение положительно) и оба положительны, – если бы они оба были отрицательны, то их сумма не могла бы быть положительной.
4. Если а<0, b<0 и c>0, то  и . Следовательно, корни разных знаков, причем больший по модулю – отрицательный. Поэтому утверждение неверно.
5. Если а<0, b<0 и c<0, то сумма чисел, обратных корням – отрицательна. Утверждение верно.
6. Если оба корня отрицательны,  и . Отсюда следует, что каким бы ни было а(пауза), b и с – одного знака. Утверждение верно.

Информация, даваемая параметрами a, b и c, чрезвычайно богата и разнообразна. Например, для квадратного трехчлена y(х)=ax2 + bx + c число с – это значение у при х=0: у(0)=с, число (a+b+c) – это значение у при х=1, а число (a–b+c) – это значение у при  х= –1.  Аналогично, зная значение у в разных точках, можно получать другие соотношения для a, b и c (и наоборот).

Рассмотрим задачу конкурса «Кенгуру» на соотношения между a, b и с.

Заметим, что a<0 (если бы ветви параболы были направлены вверх, то неравенство y(x)<0 не могло бы выполняться при всех х – парабола не смогла бы «поместиться» под осью Ох. Тогда ответ (А) означает, что a+b+c>0, т.е. у(1)>0, что неверно.  Ответ (В) означает, что y(-1)∙y(0)<0, что неверно, поскольку оба множителя по условию отрицательны. Рассмотрим неравенство из ответа (С): так как нам известно, что a<0, это означает, что y(-1)=a-b+c<0, что верно по условию . Таким образом, условие (С) выполняется.

Убедимся в том, что ответы (D) и (Е) не подходят. Поскольку a<0 и c=y(0)<0, то ответ (D) не верен. В ответе (Е) имеем неравенство (показать) , т.е. (показать) , что означает y(-1)∙y(1)<0 – неверно, поскольку каждый множитель отрицателен.

Ответ: С

Далее мы попытались придумать теоремы о квадратном трехчлене – условия, при которых квадратный трехчлен обладает тем или иным свойством.

Мы доказали теоремы:

Для того, чтобы неравенство имело хотя бы одно положительное решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий: либо c<0, либо b<0 и .

Для того, чтобы неравенство не имело отрицательных решений, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (показать).

Также мы рассмотрели какое условие будет достаточным, а какое необходимым для выполнения наложенных условий. Также мы подтвердили свои предположения в научной литературе.

Вернемся к нашей задаче. (пауза)

1. по условию задачи имеем     т.е.

где .

Задачу можно переформулировать следующим образом: при каких значениях а уравнение f(t)=0 не имеет решений на .

2. рассмотрим функцию y=f(t),где t-любое  действительное число.

График – парабола, ветви направлены вверх.

, уравнение имеет 2 корня.

f(0)=-2<0, значит корни разных знаков.

Возможны 3 случая расположения параболы:

а) парабола целиком лежит левее промежутка ; тогда

б) парабола целиком лежит правее промежутка ; Но, поскольку с=f(0)=-2<0, то корни разных знаков.  Случай б) невозможен.

в) промежуток  лежит между корнями y=f(t.) тогда решая полученные системы неравенств. Получаем ответ

Ответ: , .

Можно было сначала решить следующую задачу: при каких значениях а уравнение f(t)=0 имеет хотя бы один корень на промежутке .

Так как корни разных знаков (), то . Применимо следствие 2.(показать)

, т.е  , .

Итак, уравнение f(t)=0 не имеет корней на промежутке  для всех остальных значений а, т.е. при , .

Также в своей работе мы не забыли о трех модификациях графического метода решения.

Также в нашей работе собраны задачи ЕГЭ разных лет, решаемые с использованием свойств квадратного трехчлена.

Мы думаем, что наша работа поможет учащимся и ученикам в подготовке к ЕГЭ. В работе собран большой материал для проведения факультативных занятий с учащимися, а также для самостоятельной работы.

Спасибо за внимание.