Иследовательская работа "Лобачевский Николай Иванович - "Коперник геометрии"

C-1Титул

С-2 Тема моей работы:Лобачевский Николай Иванович -
«Коперник геометрии»

С-3Всем нам известен факт, что параллельные прямые никогда не пересекаются. Известен также 5 постулат Евклида: через точку, не лежащую на прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной прямой (рис.1).

Но однажды, взглянув на глобус, я задумался о верности этого утверждения. Если взять вместо прямой, например, окружность и провести к ней (к касательным) в произвольных точках два перпендикуляра, то они пересекутся (рис.2). Тоже самое можно сказать и про шар, форму которого имеет Земля (рис.3). Два человека, идущие по Земле прямолинейно, проходят свой путь по окружности, но с точки зрения видимой глазу плоскости они идут по прямой.

С-4Возникли вопросы: Всегда ли верен пятый постулат Евклида? И что вообще есть прямая?

Эти вопросы побудили меня подробно заняться изучением данной проблемы.

Начав поиски ответов на свои вопросы, я обнаружил, что история доказательства 5 постулата Евклида занимает два тысячелетия. И лишь в 1826 году Н.И.Лобачевский опроверг всем известный факт, создав неевклидову геометрию.

С-5Николай Иванович Лобачевский – великий русский ученый, математик, создатель неевклидовой геометрии. Его открытие во второй половине прошлого века совершило переворот в представлении о природе пространства, оказало огромное влияние на развитие математического мышления. Известный английский математик Уильям Клиффорд назвал Лобачевского «Коперником геометрии».

Ситуация с появлением геометрии Лобачевского во многом похожа на ситуацию с открытием Коперником гелиоцентрической системы мира.

С-6 Цель работы:

Сравнить системы Евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского; дать собственное определение прямой.

С-7 Возникла проблема: в школьном курсе математики недостаточно  информации о геометрии Лобачевского Н.И.

С-8 Исходя из цели работы и возникшей передо мной проблемы, я поставил перед собой следующие задачи:

1. изучить работы, статьи, книги  о Н.И.Лобачевском, осуществить их обзор;
2. провести исследование, сравнить жизнь, значение великих открытий Н.И.Лобачевского и
   Н. Коперника;
3. выяснить, почему Лобачевского Н.И. современник назвал «Коперником геометрии»;
4. изучить основные открытия  Н.И.Лобачевского;
5. вывести и сформулировать собственное определение прямой в геометрии Лобачевского.

С-9Решая поставленные задачи, я выяснил, что причина громадного значения революций Коперника и Лобачевского заключается в том, что они совершили её в нашем понимании космоса.

И Н.Коперник и Н.И.Лобачевский создали теории, противоречащие господствующим, просуществовавшим целые тысячелетия. Каждому из них пришлось доказывать свою правоту. Современники считали их безумцами, не принимали их доказательств.

С–10Читая работы многих известных авторов на тему «неевклидова геометрия», мне  показалось странным, что точного определения прямой я так нигде и не встретил. А если и имеется что-то подобное, то носит совершенно визуальное понятие.

В своей работе я попробовал дать собственное определение прямой.

Возьмем произвольную кривую а и проведем к ней(к касательным в точкахА и А1) два перпендикуляра АН и А1Н1. Здесь возможны два случая:

1)перпендикуляры пересекутся в точкеВ (см. рис. 1)

2)перпендикуляры не пересекаются (см. рис.2).  

рис.11

рис.12

Но на произвольной бесконечной кривой всегда можно найти две такие точки, что перпендикуляры к ним пересекутся. Тогда прямой будем считать такую линию, любые два перпендикуляра к которой не пересекаются.

Определение 1:Прямая – линия, любые  перпендикуляры к которой не пересекаются.

С-11Допустим, что это верно, тогда мы можем создать следующее построение. Через точкиА и В проведем окружность бесконечного радиуса. К дуге АВ достроим два перпендикуляра (рис.13).

рис.13

СН и С1Н1 расходятся вправо и, так как дуга АВ – часть бесконечной окружности, перпендикуляры к ее дуге должны пересечься лишь в ее центре. Отсюда следует: СН и С1Н1 пересекаются в бесконечности. А значит условно можно считать, что они не пересекаются вообще. Следовательно: АВ – прямая (по определению 1), т.к. перпендикуляры  к ней не пересекаются.

Но, по построению, АВ – часть бесконечной окружности – дуга, несмотря на то, что перпендикуляры к ней не пересекаются. Отсюда следует: «определение 1» – неверно.

С-12Каким все же должно быть определение прямой? Проведем некоторую линию а и два перпендикуляра к ней h и h1 так, чтобы они были параллельны до бесконечности в обе стороны.

Я сформулировал определение прямой следующим образом:

Определение 3: Прямая – линия, перпендикуляры к которой бесконечно  параллельны в обе стороны и отвечают тем же свойствам, что и данная прямая  (перпендикуляры к h и h1 также параллельны в обе стороны до бесконечности).

И доказал, что оно верно.

Вернемся к нашему стандартному рисунку, с помощью которого мы так успешно на протяжении двух страниц опровергали собственные «гениальные» предположения.

рис.20

Через точкуА и точку В проведем прямую а, соответствующую третьему определению - h и h1 параллельны до бесконечности, а так как а – хорда-прямая окружности бесконечного радиуса, то через центр окружности пройдет только единственный перпендикуляр – перпендикуляр, проходящий через середину этой хорды. А так как из двух любых перпендикуляров хотя бы один не проходит через середину хорды, то они не могут пересекаться в центре окружности (рис.20).

Перпендикуляры к касательным к дугам А1В1 и  АВ  (пунктирные линии на рисунке) пересекаются в центре, отсюда следует, чтоа не совпадает ни с А1В1 , ни с  АВ. Отсюда следует: данная прямаяа существует и подходит под третье определение.

С-13 Выводы  моего исследования  можно  сформулировать так:

1. Несмотря на все кажущиеся странности, «Воображаемая геометрия» Лобачевского является настоящей геометрией нашего мира, а Евклидова является только её составной частью.
2. Н.И. Лобачевский сделал грандиозное открытие перевернувшее устоявшиеся математические знания и его поправу можно назвать «Коперником геометрии».

Мне бы хотелось, чтобы биографию Лобачевского Н.И.  и его воображаемую геометрию изучали в школе. Жизненный путь этого ученого является хорошим примером для подражания, а в его геометрии  вполне по силам разобраться даже школьнику. В этом я убедился.

С-14При написании работы, я познакомился с биографиями и открытиями двух великих людей – Николая Ивановича Лобачевского и Николая Коперника. И считаю, что у них много общего. И Коперник и Лобачевский сделали открытия, противоречащие господствующим много веков теориям. Их труды изменили представление людей о строении мира.

Я считаю, что и Н.И.Лобачевский и Н.Коперник были умными, трудолюбивыми, упорными, мужественными, горячо увлеченными наукой людьми. Они не боялись тяжелого нудного труда ученого. Это были смелые и преданные истине люди. Возможно, эти качества и  отличают простого человека от гения. Мне хотелось бы развить в себе хотя бы часть этих качеств.

Я думаю, что У. Клиффорд был прав, назвав Н.И.Лобачевского Коперником геометрии.