Научно-исследовательская работа "Числа - "кирпичи".

Оглавление

          I.  Введение.

          II. Основная часть:

1.Виды чисел – кирпичей.

2.Исторические сведения по теме.

3.Конструирование фигурных чисел

          III. Заключение.

          IV.Список  литературы.

Введение

Цель исследования:

 Выяснить, из чего можно «построить» числа.

Задачи:

1. Рассмотреть способы представления чисел из «строительных»  материалов – «кирпичей».
2. Изучить исторические сведения по теме.
3. Проанализировать,  как связаны между собой числа и последовательности чисел.

Гипотеза:

Если последовательность чисел и число находятся во взаимосвязи, то любое число представимо в виде суммы, слагаемые которой – числа, из которых и состоит последовательность

Методы исследования

1. Изучение  литературы по теме, исторических сведений,  их анализ.
2. Построение фигурных чисел с помощью компьютерной программы.
3. Метод  «исчерпывания».
4. Конструирование чисел – кирпичей: моделей из различных материалов и с помощью компьютерной программы.

Основная часть

Последовательность натуральных чисел: 1, 2, 3... знакома человечеству с незапамятных времен, И основой ее, безусловно, является всего лишь одно число — самое первое, то есть единица. Именно из нее, повторенной нужное число раз, складываются все остальные натуральные числа. И действительно, нужно нам число 100 — берем сотню единиц, а для 1 000 000 — целый миллион. То есть число 1 — это, образно говоря, кирпич, из которого можно «построить» всё, что требуется.

Однако это далеко не единственный строительный материал для натуральных чисел — есть и другие. Возьмем, например, последовательность, начинающуюся с той же единицы, в которой каждое последующее число вдвое больше предыдущего: 1, 2, 4, 8, 16... По-другому ее можно определить как последовательность целых неотрицательных степеней двойки: 2°, 21, 22, 23, 24... Оказывается, любое натуральное число можно построить из различных кирпичей такого типа, причем единственным способом. Например, текущий год 2008 = 8 + 16 + 64 + 128 + 256 + 512 + + 1024 = 23 + 24 26 + 27 + 28 + 29 + 210.

 «Кирпичами» могут служить также и степени троек: 1, 3, 9, 27, 81... И здесь каждое натуральное число может быть единственным образом представлено в виде суммы различных степеней тройки, но с одним дополнением: перед каждым слагаемым можно ставить либо плюс, либо минус. Например: 2008 = +1+9-27+81--243+2187 - +3°+32-33+34-35+37.

В роли «кирпичей» могут неплохо выступить и так называемые фигурные (они же многоугольные) числа. Что это такое? Это особый вид натуральных чисел, которые были открыты еще древними греками, а свое название они получили из-за геометрических аналогий, с помощью которых они определяются. Возьмем, например, последовательность треугольников, изображенную на рис. 1 (начинается она с единственной точки — т. е. треугольника «нулевых» размеров). На линиях, образующих треугольники, очевидным образом расставлены жирные точки. Количество таких жирных точек r -гo по порядку треугольника — и есть r-e треугольное число. Эти числа образуют последовательность: 1, 3, 6, 10, 15...

Имеются и четырехугольные числа (рис. 2), а также пятиугольные (рис. 3), шестиугольные и т. д. Легко заметить, что четырехугольные числа образуют последовательность квадратов: 1, 4, 9, 16, 25... (отсюда их другое название — квадратные числа), а пятиугольные числа таковы: 1, 5, 12, 22...

При работе над темой  я  попробовал сконструировать  фигурные  числа из равных  отрезков и точек – магнитов из детского конструктора – получились плоские модели фигурных чисел, но мне пришла идея сконструировать объёмные фигурные числа. Думаю, что продолжу в дальнейшем свою работу именно в этом направлении, а ещё мне интересно строить фигурные числа с помощью компьютерных программ. 

Кирпичами являются и знаменитые числа ФИБОНАЧЧИ, названные  в честь своего первооткрывателя - итальянского математика  13в.  Итак, бесконечная последовательность  чисел Фибоначчи начинается с двух единиц, а каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих:1,1,2,3,5,8,13, и так далее. Т.е. каждое натуральное число можно представить в виде суммы различных чисел Фибоначчи. Правда, количество их не ограничено, и представление их не единственно, но, тем не менее… Например:2009=1+34+377+1597.Кстати, получить такое представление проще  всего методом «исчерпывания». А  именно: выберем  сначала наибольшее  число Фибоначчи, не превосходящее  заданного числа. Вычтем из большего меньшее. Далее - возьмём наибольшее  число Фибоначчи, не превосходящее остатка, и снова вычтем, потом возьмём третье число Фибоначчи, и так далее. В конечном итоге мы рано или поздно получим  нулевой остаток.

Перейдем от все-таки довольно экзотических фигурных чисел к простым числам. Простые числа, вопреки названию, вовсе не просты. Как известно, простые числа делятся только на единицу и на самих себя (причем число 1, по определению, к простым не относится). Оказывается, и простые числа можно отнести к «кирпичам»!

А началось всё в 1742 г., когда Христиан Гольдбах написал Леонарду Эйлеру письмо, где высказал предположение, основанное лишь на некоторых наблюдениях и интуиции, что каждое натуральное число, большее 5, можно представить в виде суммы не более чем трех простых чисел. Это утверждение вошло в историю под названием теоремы Гольдбаха. В ответном письме Эйлер, основываясь тоже на опыте и интуиции, выдвинул свою гипотезу — теорему Эйлера: что каждое четное число, большее 2, можно представить в виде суммы не более чем двух простых чисел (по нашей традиции представим так число 2008 = 5 + 2003).

С тех пор прошло более двух с половиной столетий. Внесена ли ясность в этот вопрос?

Вплоть до начала XX в. никакого особого прогресса не наблюдалось, хотя справедливость обеих теорем была проверена (вручную!) для всех чисел, не превышающих 9 000 000. Видный немецкий математик Э. Ландау, видимо, совсем отчаявшись доказать или опровергнуть столь простые по формулировке теоремы, заявил в 1912 г. на

международном математическом конгрессе, что проблема Гольдбаха (и тем более Эйлера) превосходит силы современной математики.

Тем не менее, через несколько лет неожиданно был достигнут некоторый прогресс. В 1930 г. замечательный советский ученый Л. Г. Шнирельман доказал существование такого N, что любое натуральное число можно представить в виде суммы не более N простых чисел. Это был заметный шаг, и осталось «всего лишь» убедиться, что N=3. Но, как говорится, скоро сказка сказывается, да не скоро дело делается, потому что у Шнирельмана значение N было довольно велико — равнялось 69. Позже, пользуясь его идеями, последователи снизили N до 20. Однако это всё же значительно больше 3. В 1937 г. другой советский ученый — академик И. М. Виноградов — доказал существование такого натурального К, что для любого числа, превышающего K, теорема Гольдбаха справедлива! Это был грандиозный результат.

Ну, а для нецелых чисел бывают «кирпичи»? А как же! И наилучшим примером здесь могут служить египетские дроби (так их называют по происхождению). Дело в том, что древние египтяне признавали только дроби, числитель которых равен единице, - отсюда и название.

Сумеем ли представить какую-нибудь обыкновенную дробь в виде суммы нескольких египетских дробей? Казалось бы, чего проще.  Но хитрость состояла в том, что египтяне не признавали сложения одинаковых египетских дробей — все складываемые египетские дроби должны быть различны2. Да, это уже посложней будет. Тем не менее было доказано (правда, уже не в Египте, а позже в Европе, где такие дроби называли аликвотными), что в виде суммы различных египетских дробей можно представить любую обыкновенную дробь между 0 и 1.

Заключение

В конце работы над темой я пришёл к следующим выводам:

1. Существует много способов представления числа из других «чисел – кирпичей», но главный кирпич – это единица.
2. Многие видные и знаменитые учёные занимались данной проблемой с 17 века, но и по наше время много ещё неизученного. В будущем я хочу заняться фигурными объёмными числами и освоить новые компьютерные программы для моделирования чисел – кирпичей.
3. Каждое натуральное число, и даже обыкновенные дроби, представимы в виде алгебраической суммы разнообразных «чисел – кирпичей», которые являются членами последовательностей, заданных по своему определённому закону.

Список литературы

      1.Акулич И.Ф. Числа – кирпичи. Научно-практический журнал «Математика для школьников» №1 за 2009год;

2.Депман  И.Я. За страницами учебника математики М. Просвещение 1989г.

3.Журнал  «Квант» №9 за 1988г. Замечательные числа.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Модели фигурных чисел: треугольных, квадратных, пятиугольных, шестиугольных…

Будут представлены при презентации работы.