Теорема Пифагора

Слайд 1

Слайд 2

Пифагор- это не только великий математик, но и великий мыслитель своего времени. Содержание.

Слайд 3

Древнем Китае за 1100 лет до н.э. было установлено наглядное доказательство данной теоремы, содержащееся в древнейшем китайском трактате «Чжоу-би».

Слайд 4

Возьмем верёвку длиною в 12 линейных единиц и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 единицы от одного конца и 4 единицы от другого. Прямой угол окажется заключённым между сторонами длиной в 3 и 4. Известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент: изображение столярной мастерской.

Слайд 5

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. a 2 +b 2 =c 2 Р азличные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков : 1. У Евклида теорема гласит : "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол". 2. В Geometric Culmonensis в переводе теорема читается : " П лощадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу". 3. В евклидовых "Начал" теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

Слайд 6

Теорема доказана.

Слайд 7

Рисунок иллюстрирует доказательство великого индийского математика Бхаскари (знаменитого автора Лилавати, XII в.). Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ!

Слайд 8

b c a C D A B Доказательство: 1.Построим высоту из прямого угла С. По определению косинуса острого угла: Cos A=AD:AC=AC:AB 2.Аналогично: cos B=BD:BC=BC:AB AB*BD=BC 2 Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим: AC 2 +BC 2 =AB(AD+DB)=AB 2 AB*AD=AC 2

Слайд 9

Доказательство: 1.Построим ∆ ABC с прямым углом С. 2.Построим BF=CB, BF  CB 3.Построим BE=AB, BE  AB 4.Построим AD=AC, AD  AC 5.Точки F, C, D принадлежат одной прямой. D A B C a b c F E 6. 1)четырёхугольники DABF и ACBE равновелики. 2)∆ ABF= ∆Е CB (по 2-м сторонам и углу между ними). 3)∆ ADF и ∆ ACE равновелики. 7.Отнимем от четырёхугольников ∆ ABC :1/2а 2 +1/2 b 2 =1 / 2 с 2 8.Соответственно:а 2 + b 2 = с 2

Слайд 10

Доказательство: 1.Площадь данного прямоугольного треугольника с одной стороны равна 0,5* a * b , с другой 0,5* p * r , r=0 , 5 * (a+b-c). 2. Имеем:0, 5ab=0 , 5pr=0 ,5* (a+b +с ) *0 , 5 * (a+b-c) 3. 2а b= а 2 + 2ab + b 2 _ с 2 4.Отсюда следует, что с 2 = а 2 + b 2 Теорема доказана.

Слайд 11

Теорема: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. . c b a S1 S 2 Доказательство: 1.Опустим высоту на гипотенузу C площадь треугольника- S ,разбивается на 2 ему подобных с площадями S 1 и S 2. 2.Площади треугольников относятся как квадраты их гипотенуз. Следовательно, S1:S2:S=a 2 : b 2 : c 2 . Но, S1+S2=S ,то есть a 2 +b 2 +c 2 Теорема доказана.

Слайд 12

? С В А 17м 15м Дано: ▲АВС АВ=15м, АС=17м, Найти: СВ-? Решение: CB 2 = 17 2 -15 2 =289-225=64. CB =8м Ответ: CB =8м Содержание.

Слайд 13

Над озером тихим, С полфута размером, высился лотоса цвет. Он рос одиноко. И ветер порывом Отнес его в сторону. Нет Боле цветка над водой, Нашел же рыбак его ранней весной В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: Как озера вода Здесь глубока?

Слайд 14

Решение: (х + ½) 2 – х 2 =2 2 х 2 + х +¼- х 2 =4 х =3 ¾ ( фута)–глубина озера . Ответ: глубина озера =3 ¾ ( фута) Х 2 Х + 1/2

Слайд 15

На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река В четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?

Слайд 16

3 2 + 4 2 = x 2 х 2 = 25 х = 5 (футов) – длина отломленной части ствола; 3 + 5 = 8(футов) – высота тополя. Ответ: высота тополя =8(футов) 3 4

Слайд 17

Еще раз хочется сказать о важности теоремы. Значение ее состоит прежде всего в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно здесь привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеется, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней. Спасибо за внимание!