Совершенные и дружественные числа

Исследовательская работа

«Совершенные и дружественные числа»

Оглавление.

Введение.

Основная часть.

- История.

- Четные совершенные числа.                                                                                  - Нечетные совершенные числа.                                                                              - Простейшие свойства совершенных чисел.

3. Заключение.

Обобщения понятия совершенного числа.

4. Список использованной литературы.

Введение.

    Раздел математики, в котором изучаются свойства чисел и действий над

ними, называют теорией чисел.  Начало созданию теории чисел положили древнегреческие ученые Пифагор, Евклид, Эратосфён и другие.                                                                                          

Некоторые проблемы теории чисел формулируются очень просто — их может понять любой шестиклассник. Но решение этих проблем иногда настолько сложно, что на него уходят столетия, а на некоторые вопрос                      ответов нет до сих пор. Например, древнегреческим математикам была известна всего одна пара дружественных чисел — 220 и 284.  И лишь в XVIII в. знаменитый математик, член Петербургской академии наук  Леонард Эйлер нашел еще 65 пар дружественных чисел (одна из них — 17 296 и 18 416). Однако до сих пор не известен общий способ нахождения пар дружественных чисел.

древнегреческим математикам была известна всего одна пара дружественных чисел — 220 и 284.  И лишь в XVIII в. знаменитый математик, член Петербургской академии наук  Леонард Эйлер нашел еще 65 пар дружественных чисел (одна из них — 17 296 и 18 416). Однако до сих пор не известен общий способ нахождения пар дружественных чисел.и т. п.   Доказать это предположение сумел лишь 200 лет спустя замечательный русский математик, академик Иван Матвеевич Виноградов (1891—1983). Но утверждение «любое четное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел» (например: 28 = 11 + 17, 56 = 19 + 37,      924 = 311 + 613 и т. д.) до сих пор не доказано.

    Дру́жественные чи́сла — два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа:  каждое совершенное число дружественно себе.

Основная часть.

    История.

     Греческие математики называли число совершенным, если сумма всех его собственных делителей (т.е. натуральных делителей, отличных от самого числа) была равна этому числу. Им были известны четыре таких числа: 6, 28, 496, 8128 (так, 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248).

Первые два числа знали уже пифагорейцы ( до н.э.), которые считали, что они отражают совершенство, а заслуга открытия двух после, принадлежит Евклиду.

        Числа, сумма собственных делителей которых была больше или меньше самого числа, назывались греческими авторами соответственно избыточными и недостаточными.   Так, например, число 12 — избыточное, а число 8 - недостаточное, так как

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12, а 1+2 + 4 = 7<8.

Греческий математик I в. н.э. Никомах Геразский писал: «Совершенные числа красивы. Но известно, что красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными является подавляющее большинство чисел, в то время как совершенных чисел немного».

Совершенные числа встречаются в греческих преданиях. В сказочном государстве золотого века, Атлантиде, описанном Платоном в разных местах его диалогов, фигурирует преимущественно число 6. У римлян на пирах самым почетным местом было шестое, на котором, по сатире Горация, возлежал Меценат, благодетель Горация. В Риме при постройке метро под землей была обнаружена странная комбинация помещений: общий зал и вокруг него 28 келий, выходящих в этот зал. Это оказалось помещение неопифагорейской академии, которая существовала в Риме в первые века нашей эры. Очевидно, что в академии этой было 28 членов. Ранние комментаторы Ветхого завета усматривали в совершенстве чисел 6 и 28 особый смысл. Разве не за 6 дней был сотворен мир,  восклицали они, и разве Луна обновляется не за  28 суток?

От совершенных чисел повествование естественным образом переходит к дружественным числам. Это — два натуральных числа, каждое из которых равно сумме собственных делителей второго числа (заметим, что каждое совершенное число можно рассматривать как дружественное самому себе). Открытие наименьшей пары дружественных чисел  (220, 284)

(220 = 1 + 2 + 4 + 71+142  и

284 =1 + 2 + 4 + 5 + 10+11+ 20 + 22 + 44 + 55 + 110)

приписывают пифагорейцам. Впрочем, некоторые ссылаются на то более древнее место в библии, где говорится, что Иаков в знак примирения подарил Исаву ровно 220 овец и 220 коз. Первым из сохранившихся документов, содержащих упоминание о дружественных числах, является трактат «Изложение пифагорейского учения», написанный в III в. н.э. Ямвлихом из Хальциса.  Ямвлих рассказывает, как однажды великий Пифагор на вопрос, кого следует считать другом, ответил: «Того, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284». К сожалению, более ранних свидетельств не сохранилось. Возможно, это связано с тем, что пифагорейская школа наряду с числовым мистицизмом и культом дружбы славилась еще и приверженностью к таинственности. Разглашение добытых математических знаний считалось кощунством.

Средневековые математики приписывали дружественным числам сверхъестественные свойства, единодушно настаивая на возможности их практического использования. Так, ибн Хальдун приводит в своем трактате руководство по изготовлению талисмана дружбы, а мадридский ученый

 аль-Маджрити приводит следующий рецепт: «Чтобы добиться взаимности в любви, нужно на чем-либо написать числа 220 и 284, меньшее дать объекту любви, а большее съесть самому» (ученый добавляет, что действенность этого способа он проверял на себе).

   Многие античные и арабские ученые, а также ученые средневековья посвящали в своих трактатах одну из глав совершенным и дружественным числам. Дань увлечения этими числами отдали Р.Декарт, П.Ферма, Л.Эйлер, А.Лежандр, П.Л.Чебышев и многие другие великие математики. Сегодня на помощь ловцам совершенных и дружественных чисел пришли компьютеры.

  Четные совершенные числа.  

  Четное натуральное число п является совершенным  тогда и только тогда, когда          n=2к-1(2к - 1), где     2к - 1  - число простое.

    Первая часть утверждения была сформулирована и доказана Евклидом в книге   IX «Начал» (предложение 36): если сумма 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2к, равная 2к +1 — 1,  есть число простое, число

п = (1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2к) • 2к,

равное  2к • (2k+l — 1),   есть число совершенное. Для доказательства достаточно убедиться, что g(n) =2n:

g(n) = g(2к(2к +1  - 1)) = g(2к ) • g(2к  +1 - 1)

= (2к +1   - 1)(1 + 2к +1  - 1) = (2к +1 - 1) • 2 • 2к =2n.

   Это предложение считается венцом арифметических книг Евклида.

В 1638 г. Декарт в письме к Мерсенну высказывал предположение о том, что все четные coвершенные числа имеют вышеуказанный вид. Доказательство этого предположения было получено Эйлером в 1849 г. Именно Эйлер доказал ,  что всякое четное совершенное число имеет

2k+l • (2k+l — 1),     где   2k+l — 1 есть число простое.

     Таким образом, теорема Евклида—Эйлера устанавливает взаимно-однозначное соответствие между четными совершенными числами и множеством простых чисел вида 2Р — 1, которые называются простыми числами Мерсенна и имеют свою богатую историю.

    Нечетные совершенные числа

   Все четные совершенные числа описываются  формулой Евклида—Эйлера и существует гипотеза, что таких чисел бесконечно много. Что касается нечетных совершенных чисел, то до сих пор не найдено ни одного такого числа, хотя и не доказано, что их не существует. Как бы то ни было, это должны быть числа очень специального вида — столько ограничений было получено для них за годы долгих исследований. Так, они должны быть чрезвычайно велики — ни одно из них не может быть, например, меньше 10300.  

   Простейшие свойства совершенных чисел

Античные математики высказывали много предположений о свойствах совершенных чисел, основываясь на наблюдениях известных им чисел 6, 28, 496 и 8128. Большинство из этих предположений оказались ложными. Одно из них состояло в следующем: так как первые четыре совершенных числа могут быть получены по формуле 2к-1 (2к - 1), где k «пробегает» первые четыре простых числа 2,3,5 и 7, то пятое совершенное число должно соответствовать пятому простому числу 11, т.е. должно быть получено при k = 11. Однако число 211  — 1 = 2047 не является простым, и, следовательно, k = 11 не генерирует совершенного числа. Еще одно ложное предположение было связано с числом десятичных знаков: так как первые четыре совершенных числа имеют 1, 2, 3 и 4 десятичных знака соответственно, то пятое совершенное число должно иметь пять десятичных знаков. Однако пятое совершенное число 33550336 = 212(213 - 1) имеет восемь десятичных знаков. Считалось также, что все совершенные числа должны оканчиваться чередующимися цифрами 6 и 8. Но хотя пятое совершенное число действительно оканчивается на 6, шестое (8589869056) не оканчивается на 8. С другой стороны, легко показать, что последняя цифра любого четного совершенного числа всегда равна 6 или 8. Действительно, рассмотрим число вида 2к-1 (2к - 1).  Для k = 2 утверждение верно. Все остальные k должны быть нечетными (напомним, что k — простое).   Можно проверить, что последовательность последних цифр четных совершенных чисел начинается с элементов 6, 8, 6, 8, 6, 6, 8, 8, 6, 6, ! 6, 8, 8, ... .

   Аналогичные рассуждения позволяют показ, что две последние цифры каждого четного совершенного  числа (кроме 6) равны 16, 28, 36, 56, 76 или 96.

Заключение.

   Обобщения понятия совершенного числа.

Рассмотрим несколько интересных обобщений понятия совершенного числа, широко распространенных в современной математической науке. Так, почти совершенным числом (или слегка недостаточным числом) называется недостаточное число n, сумма собственных делителей которого меньше самого числа ровно на единицу, т.е., g(n) = 2n — 1. Почти совершенными числами являются все натуральные степени числа 2 (при n = 2k   g(n) = g(2k) = 2k+1 - 1 = 2n - 1). Неизвестно, существуют ли другие почти совершенные числа.

Квазисовершенное число (или слегка избыточное число) — избыточное число п, сумма собственных делителей которого на единицу больше самого числа, т.е. g(п) = 2n + 1. До настоящего времени не найдено ни одного квазисовершенного числа, но со времен Пифагора, впервые попытавшегося решить эту проблему, математики не могут доказать, что квазисовершенных чисел не существует. Известно лишь, что если квазисовершенные числа существуют, они должны быть больше 1035 и иметь не менее 7 различных простых делителей.

С другой стороны, существует много чисел n, для которых g(n) = 2n + 2. Например, таковыми являются числа п = 2к-1 (2к - 3), если 2к - 3 -простое. Так как 2к — 3 простое для k = {2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 14, 20, 22}, то мы имеем по крайней мере 11 решений. Существуют и решения другого вида, например,  

n = 650.

Назовем k-совершенным числом натуральное число n, для которого g(п) = kп. Число, являющееся k-совершенным для некоторого k, называется мультисовершенным.   Единственным 1-совершенным числом является число 1. Любое совершенное число является 2- совершенным.

    Число 120 является первым 3-совершенным числом (g(120) = g(23 • 3 • 5) = 15 • 4 • 6 = 3 - 120), следующими 3-совершенными числами являются числа 672,  523776,  459818240, 1476304896, 51001180160.  Множеству    

4-совершенных чисел принадлежат числа 30140, 32760, 2178540, 23569920. Числа 14182439040,  31998395520,  518666803200 являются 5-совершенными. Первое 6-совершенное число равно 154345556085770649600. 6-совершенное число 34111227434420791224041472000 было найдено Ферма в 1643 г.

На сегодняшний день найдено 2094 мультисовершенных числа.

Избыточное число, которое не является полусовершенным, называется странным.

Первое странное число — число 70, имеющее собственные делители 1, 2, 5, 7, 10, 14 и 35; их сумма равна 74, но никакая часть из них не дает в сумме 70. Следующими странными числами являются числа 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, .... Можно показать, что существует бесконечно много странных чисел. Однако неизвестно, существуют ли нечетные странные числа. По крайней мере, до   1017 их нет.

Список использованной литературы.

Н.Я.Виленкин. Математика 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений.-М. Издательство Мнемозина, 2006. С.68.

И.Я.Депман.   За страницами учебника математики.- М.: Просвещение , 1989. С.84-111.

Из науки о числах. Научно – теоретический и методический журнал . - Математика в школе. 1990- 2000гг.

www.yandex. ru