Использование метода координат при вычислении угла между плоскостями.

Использование метода координат  при вычислении угла

между плоскостями

   Наиболее общий метод нахождения угла между плоскостями — метод координат (иногда — с привлечением векторов). Его можно использовать тогда, когда испробованы все остальные. Но бывают ситуации, в которых метод координат имеет смысл применять сразу же, а именно тогда, когда система координат естественно связана с многогранником, указанным в условии задачи, т.е. явно просматриваются три попарно перпендикулярные прямые, на которых можно задать оси координат. Такими многогранниками являются прямоугольный параллелепипед и правильная четырехугольная пирамида. В первом случае система координат может быть задана выходящими из одной вершины ребрами (рис.1 ), во втором — высотой и диагоналями основания (рис. 2)

Применение метода координат состоит в следующем.

Вводится прямоугольная система координат в пространстве. Желательно ввести ее «естественным» образом - «привязать» к тройке попарно перпендикулярных прямых, имеющих общую точку.

Для каждой из плоскостей, угол между которыми ищется, составляется уравнение. Проще всего составить такое уравнение, зная координаты трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой.

Уравнение плоскости в общем виде имеет вид  Ах + By + Cz + D = 0.

Коэффициенты А, В, С в этом уравнении являются координатами нормального вектора плоскости (вектора, перпендикулярного плоскости). Определяем затем длины и скалярное произведение нормальных векторов к плоскостям, угол между которыми ищется. Если координаты этих векторов (А1 , В1 ; С1 ) и (А2; В2; С2), то искомый угол   вычисляется по формуле                                      

                                                                                                                            Замечание. Необходимо помнить, что угол между векторами (в отличие от угла между плоскостями) может быть тупым, и чтобы избежать возможной неопределенности, в числителе правой части формулы стоит модуль.

Решите методом координат такую задачу.

Задача 1. Дан  куб  ABCDA1B1C1D1.  Точка К — середина ребра AD, точка L — середина ребра CD. Чему равен угол между плоскостями  А1 KL   и  A1AD?

Решение. Пусть начало системы координат находится в точке А, а оси координат идут вдоль лучей AD, АВ, АА1 (рис. 3). Ребро куба примем равным 2 (удобно делить пополам). Тогда координаты точек   A1  , К,   L   таковы:        А1 (0; 0; 2), К(1; 0; 0),   L(2; 1; 0).

Рис. 3

    Запишем уравнение плоскости А1К L в общем виде. Затем подставим в него координаты выбранных точек этой плоскости. Получим систему трех уравнений с четырьмя неизвестными:

 Выразим коэффициенты  А ,   В ,   С через   D   и придем к уравнению

Разделив обе его части на D (почему D = 0?) и домножив затем на -2,  получим уравнение плоскости A1KL: 2х - 2у + z - 2 = 0. Тогда нормальный вектор к этой плоскости имеет координаты (2: -2; 1) . Уравнение плоскости A1AD  таково:  y=0,  а координаты нормального вектора к ней, например,     (0; 2: 0) . Согласно приведенной выше формуле для косинуса угла      между плоскостями получаем: