Использование метода координат в пространстве для решения заданий С2 на ЕГЭ

Слайд 1

Слайд 2

Исследование выполнил: ученик 11а класса сш№177 САБИРОВ ИЛЬДАР Научный руководитель: учитель математики высшей категории Хабибуллина А.Я

Слайд 3

Координатный метод решения заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними). Мы уже хорошо знакомы с векторами, координатами и их свойствами. Цель моей работы : научиться применять знания для решения задач стереометрии (С2).

Слайд 4

Алгоритм применения метода координат к решению геометрических задач сводится к следующему: Выбираем в пространстве систему координат из соображений удобства выражения координат и наглядности изображения. Находим координаты необходимых для нас точек. Решаем задачу, используя основные задачи метода координат. Переходим от аналитических соотношений к геометрическим.

Слайд 5

В задании С2 чаще всего требуется найти: угол между двумя скрещивающимися прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между двумя плоскостями, расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, расстояние от точки до прямой, расстояние от точки до плоскости.

Слайд 6

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку. При нахождении угла между прямыми используют формулу или в координатной форме для нахождения угла φ между прямыми m и l , если векторы и параллельны соотвественно этим прямым; в частности, для того чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы или .

Слайд 7

Задача на нахождение угла между скрещивающимися прямыми. Сторона основания правильной четырехугольной призмы A BCDA1B1C1D1 равна 2, высота — 4. Точка E — середина отрезка CD, точка F — середина отрезка A D . Найдите угол между прямыми CF и B 1E .

Слайд 8

Решение х С у А F D E B z B 1 C 1 A 1 D 1 Поместим параллелепипед в прямоугольную систему координат, как показано на рисунке, и найдём искомый угол как угол между векторами. Выпишем координаты точек B 1, E, C , F в этой системе координат: B1 (0; 0; 4), E (1; 2; 0), C (0; 2; 0), F (2; 1; 0). Тогда {2; -1; 0}, {1; 2; -4}. Найдём угол между этими векторами по формуле: То есть искомый угол α=90˚. Ответ: 90˚.

Слайд 9

Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Угол между прямой l и плоскостью α можно вычислить: 1) по формуле ; 2) по формуле или в координатах , где - вектор нормали к плоскости α, - направляющий векор прямой l

Слайд 10

Задача на нахождение угла между прямой и плоскостью. В прямоугольном параллелепипеде A BCDA1B1C1D1 рёбра АВ и АА1 равны 1, а ребро А D =2. Точка Е – середина ребра В1С1. Найдите угол между прямой ВЕ и плоскостью АВ1С.

Слайд 11

Решение Для решения этой задачи необходимо воспользоваться уравнением плоскости, имеющим общий вид ах+ b у+ c z + d =0, где a , b и c – координаты нормали к плоскости. Чтобы составить это уравнение, необходимо определить координаты трёх точек, лежащих в данной плоскости: А(1; 0; 0), В1(0;0;1), С(0;2;0). Решая систему находим коэффициенты а, b и с уравнения ах+ b у+ c z + d =0: а=- d , b = , c =- d . Таким образом, уравнение примет вид или, после упрощения, 2х+у+2 z -2=0 . Значит нормаль n к этой плоскости имеет координаты .

Слайд 12

Длину вектора легко найти геометрически: Но его координаты нам всё равно необходимы. Из простых вычислений находим, что . Найдем угол между вектором и нормалью к плоскости по формуле скалярного произведения векторов: Ответ: 45˚

Слайд 13

Двугранный угол , образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Угол между двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить: по формуле как угол между нормалями по формуле или в координатной форме где - вектор нормали плоскости А1х+В1у+С1 z + D 1=0 , - вектор нормали плоскости A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2=0.

Слайд 14

Задача на нахождение угла между двумя плоскостями. В единичном кубе АВС DA 1В1С1 D 1 найдите угол между плоскостями А D 1 Е и D 1 FC , где точки Е и F -середины ребер А1В1 и В1С1.

Слайд 15

Решение. Введём прямоугольную систему координат. Тогда А(0;0;0), С(1;1;0), D 1(1;0;1), E (0;0,5;1), F (0,5;1;1). 1) Решая систему составляем уравнение плоскости А D 1 E : x +2 y - z =0 . 2) плоскость CFD 1: отсюда находим уравнение 2 x + y + z -3=0. Найдём искомый угол как угол между нормалями плоскостей: , откуда φ=60˚ Ответ: 60˚

Слайд 16

Расстояние между точками А и В можно вычислить: 1) по формуле , где A ( x 1; y 1; z 1), B ( x 2; y 2; z 2); 2) по формуле .

Слайд 17

Задача на нахождение расстояния между двумя точками. В основании пирамиды SABCD лежит ромб со стороной 2 и острым углом в 60˚. Боковое ребро SA перпендикулярно основанию пирамиды и равно 4. Найдите расстояние от середины Н ребра SD и серединой М ребра ВС.

Слайд 18

Решение. Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Найдём координаты точки Н как координаты середины отрезка SD : S (0; 0; 4), D (0; 2; 0). Чтобы найти координаты точек В и С, найдём координаты их проекций на оси. АВх= ACx =2· cos 30˚= , ABy = AC у–2=2· cos 60˚=1. Отсюда В( ;1;0), С( ;3;0). Тогда координаты точки М равняются: Теперь находим расстояние между точками, заданными своими координатами: Ответ:

Слайд 19

Задача. В единичном кубе АВС DA 1В1С1 D 1 точки Е и К – середины ребер АА1 и С D соответственно, а точка М расположена на диагонали В1 D 1 так, что В1М = 2М D 1. Найдите расстояние между точками Q и L , где Q – середина отрезка ЕМ, а L – точка отрезка МК такая, что ML =2 LK .

Слайд 20

Решение. Введём декартову систему координат. E (1;0;0,5), K (0,5;1,0) , В1(0;0;1), D 1(1;1;1). Чтобы вычислить координаты т.М, воспользуемся формулой для нахождения координат точки, которая делит отрезок B 1 D 1 в отношении λ=2:1: Аналогично находим координаты точки L :

Слайд 21

Координаты точки Q находим по формуле координат середины отрезка: . Ответ: .

Слайд 22

Расстояние от точки до плоскости , не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Расстояние от точки М до плоскости α вычисляется по формуле , где ρ=ρ(М;α), ρ1=ρ(М1;α), ОМ=r, ОМ1=r1, ММ1∩α=0; в частности , ρ=ρ1, если r=r1: прямая m, проходящая через точку М, пересекает плоскость α в точке О, а точка М1 лежит на прямой m; вычисляется по формуле , где М(х0;у0; z 0), плоскость α задана уравнением ax + by + cz + d =0;

Слайд 23

Задача на нахождение расстояния от точки до плоскости. В кубе АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 проведена диагональ B 1 D . В каком отношении, считая от вершины B 1, плоскость А1 BC 1 делит диагональ B 1 D ?

Слайд 24

Решение. Составим уравнение плоскости А1 BC 1 и найдём расстояние от этой плоскости до каждой из точек B 1 и D . Пусть l – ребро куба. В(0;0;0), А1( l ;0; l ), С1(0; l ; l ). Решив систему определяем, что уравнение плоскости имеет вид: x + y – z =0 → а=1, b =1, c= –1. B 1(0;0;1), D (1;1;0). Теперь найдём расстояние от каждой точки до плоскости по формуле Ответ: 2:1.

Слайд 25

Задача. Основание прямой призмы АВСА1В1С1 – равнобедренный треугольник АВС, основание АС и высота В D которого равны 4. Боковое ребро равно 2. Через середину К отрезка В1С проведена плоскость, перпендикулярная к этому отрезку. Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости.

Слайд 26

Решение. Выберем систему координат как показано на рисунке и выпишем координаты вершин данной призмы и точки К в этой системе координат: А(0;–2;0), В(0;0;0), С(0;2;0), В1(4;0;2), К(2;1;1). Тогда . Этот вектор перпендикулярен плоскости, значит, он является его нормалью. К тому же плоскость проходит через точку К . То есть уравнение плоскости имеет вид –2( x –2)+2(у–1)–2( z –1)=0 или, после упрощения, 2 x – y + z -4=0. Теперь находим расстояние от т.А(0;-2;0) до плоскости: Ответ: .

Слайд 27

Как вы видите, все те соотношения, которые при решении традиционным методом даются с большим трудом (через привлечение большого количества вспомогательных теорем), координатным методом получаются в ходе несложных алгебраических вычислений. Нам не нужно задумываться, к примеру, как проходит та или иная плоскость, как упадет перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость, каким образом скрещивающие прямые перенести, чтобы они были пересекающимися и т.д. Нам просто надо поместить тело в прямоугольную систему координат, определить координаты точек, векторов или плоскостей и воспользоваться формулой.

Слайд 28

Благодарим за внимание!