Исследовательская работа по математике, 5 класс, на тему: Аликвотные дроби"

Цель исследования:

Выяснить, какое значение имеют  аликвотные дроби в нашей жизни.

Задачи исследования:

Узнать происхождение аликвотных дробей.

Рассмотреть основные операции  с аликвотными дробями.

Решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей.

Составлять и решать задачи практического содержания.

Основная часть.

Первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида –  – так называемые единичные дроби, так как числитель этих дробей единица.  Причиной появления этих дробей являлась необходимость разбить единицу на доли. Это нужно было для того:

1. чтобы разделить добычу после охоты,  ведь, нужно было знать, сколько частей составляет целое и кому какая часть добычи станет принадлежать.

2. чтобы поделить основную меру объёма в Древнем Египте - «хекат».

       Итак,  дроби вида , где числитель 1, а  n – натуральное число, (т.е. число, которое используется для счёта предметов), называются аликвотными дробями (от латинского aliguot- " несколько'') или единичными.

В Древнем Египте «натоящими» математики считали только аликвотные дроби. Поэтому каждую дробь стремились представить в виде суммы меньших  аликвотных дробей, причём с разными знаменателями.  

Например: =,

                                  =+,  

                                 =+.

Так,  глаз «Хора» - единица для измерения ёмкостей и объемов,

представляла собой   дробь  , так как согласно мифам глаз Хора был выбит, а затем восстановлен на  . Каждая часть глаза соответствовала определённой дроби и была представлена в виде суммы аликвотных дробей таким образом:          +  +  +  +  +  = .

    Аликвотные дроби встречаются в древнейших, дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках. Они нужны были  для практических целей.

Рассмотрим такую задачу: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми»   Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов (7 хлебов  по 7 надрезов в каждом хлебе). А по-египетски эта задача решалась так:  =  +  + . Значит, каждому человеку нужно дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Придется сделать почти в три раза меньше разрезов.

Я познакомилась с различными задачами древности, которые решаются через аликвоты. Меня заинтересовал вопрос, как можно разбить на аликвоты дроби дробь, где числитель 2, а знаменатель любое четное или не чётное число, то есть  ,  и т.д.

              И так дроби вида  и , можно получить по формулам:

                               +;

                              =  ;

                            .

например,

при n=2         2/5=1/3 + 1/15

при n=5        2/11=1/6 + 1/66   и  т.п.

              Но,  оказалось трудным разложение дроби    на 4 аликвотные дроби. Скажем, число 2/43 выражается так:  = .

              Разложить в виде суммы двух аликвотных дробей можно по формуле:  + .

Например:      ;

                          ;

                          .

                Разложить в виде разности двух аликвотных дробей можно по формуле:  -  знаменателями которых являются последовательные  числа  равные  их  произведению.

Например:      =  =  -  ;

                         .

Приложение.

Задачи из журнала «Квант». Решение задач.

Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей

А) трёх слагаемых:

 1 = .

Б) четырёх слагаемых:

  1 =  =

.

В) пяти слагаемых:

           1 =  =  +  + .

         Г)  шести слагаемых:

         1 =  =  +  +  = +

Представьте дробь  в виде аликвотных дробей.

 Существует 2 способа представления дроби   в виде суммы и один - в виде разности аликвотных дробей. Это, опять-таки, из-за простоты числа 2011.

        3. Верно ли равенство?

Равенство верно.

4.

Равенство верно.

5.

 Равенство верно.

     6.  Решить пример.

7.В каком году будет проходить олимпиада в Казани?

Чтобы узнать в каком году  в Казани будет проводиться Универсиада нужно сумму аликвотных дробей

1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+…+1/(2013*2014)  умножить на год проведения зимних олимпийских игр в городе Сочи.

Решение :

1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+…+1/(2013*2014)=2013/2014

2013/2014 * 2014 = 2013

Ответ: Универсиада будет проводиться в 2013 году.

 Олимпиадные задания 2006 – 2007г.

Найди сумму

1/(10*11)+1/(11*12)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=?

Чтобы найти решение данной задачи необходимо найти сумму

1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=99/100

И вычесть из нее сумму

1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(8*9)+1/(9*10)=9/10

99/100-9/10=(99-90)/100=9/100=0.09

Найти сумму

½+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90=

1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(5*6)+1/(6*7)+1/(7*8)+1/(8*9)+1/(9*10) =9/10

3.Заключение.

      Таким образом, при разработке данной темы,  я узнала, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби.

      Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс  нестандартных задач.  Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решили олимпиадные задачи по математике разных лет.

Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести , разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.

 Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».

Используемая литература:

Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. М.: Педагогика,1989.

Левитас Г. Г. Нестандартные задачи по математике.– М.: ИЛЕКСА,2007.

Баженов И.И., Порошкин А.Г. и др. Задачи для школьных математических кружков. Сыктывкар, 1994.

Гаврилова Т. Д. «Занимательная математика». 5-11класс. Волгоград: Учитель, 2008.

Фарков А. В. Математические олимпиады в школе. 5-11класс. – М.: Айрис-пресс, 2005.

Петерсон Л. Г. Математика. 5класс. – М.:Ювента, 2009.