Проектная работа по теме: «Фрактал – выдумка или реальность?»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №9 с углубленным изучением отдельных предметов

Проектная работа по теме:

«Фрактал – выдумка или реальность?»

Выполнил:

 ученик  9-«Б» класса

Селиверстов Никита

Руководитель:

Карпенко

Алла Петровна

г. Чехов 2011 год.

Содержание

Обоснование выбранной темы работы        3

Цель работы        3

Задачи        3

Этапы создания проектной работы        3

Понятие «фрактал»        4

Геометрические фракталы        5

Алгебраические фракталы        6

L-системы        6

Стохастические фракталы        8

Применение фракталов        7

Фракталы в природе        8

Придуманные фракталы        8

Вывод        8

Приложение 1         9

Список литературы        9

Отчёт о выполнении работы

Тема работы:

        Когда я учился в 8 классе, при изучении темы подобия геометрических фигур, учитель упомянул о существовании самоподобных фигур, именуемых фракталами. Я заинтересовался этим понятием и решил подробнее его изучить. Воспользовавшись поиском в интернете, я натолкнулся на море информации о фракталах. Посоветовавшись с учителем, мы решили провести исследование на тему фракталов, а затем создать проектную работу на немного отвлечённую тему о фракталах: «Фрактал – выдумка или реальность?»

Цель работы

- Знакомство и изучение мира фракталов, их применения;

- Классификация, знакомство с математическим обоснованием графической интерпретации фрактальных образов.

Задачи

 Сбор информации из различных источников

 Изучение фракталов различного вида

 Классификация фракталов

Фрактал

Фрактал (от лат. fractus — дробленый, сломанный, разбитый) — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, строго большую топологической1.

Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает одним из перечисленных ниже свойств:

Обладает нетривиальной структурой на всех шкалах. В этом его отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.

Является самоподобной или приближённо самоподобной.

Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера. 

Автор понятия «Фрактал»

Бенуа Мандельброт (20 ноября 1924, Варшава — 14 октября 2010, Кембридж) — французский и американский математик, создатель фрактальной геометрии. Лауреат премии Вольфа по физике (1993). Исследуя экономику, Мандельброт обнаружил, что произвольные внешне колебания цены могут следовать скрытому математическому порядку во времени, который не описывается стандартными кривыми. Бенуа Мандельброт занялся изучением статистики цен на хлопок за большой период времени (более ста лет). Колебания цен в течение дня казались случайными, но Мандельброт смог выяснить тенденцию их изменения. Он проследил симметрию в длительных колебаниях цены и колебаниях кратковременных. Это открытие оказалось неожиданностью для экономистов. По сути, Бенуа Мандельброт применил для решения этой проблемы зачатки своего рекурсивного (фрактального) метода. Понятие «фрактал» придумал сам Бенуа Мандельброт. Фракталы разделяют на геометрические, алгебраические, стохастические, L-системы.

Геометрические фракталы

Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал. Классические примеры геометрических фракталов: Снежинка Коха, Лист, Треугольник Серпинского, Драконова ломаная.

Кривая Коха

Кривая Коха — фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом. Кривая Коха примечательна тем, что непрерывна. Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.

Треугольник Серпинского

Одно из свойств фракталов - самоподобие. Возьмем, например, треугольник Серпинского. Для его построения из центра треугольника мысленно вырежем кусок треугольной формы, который своими вершинами будет упираться в середины сторон исходного треугольника. Повторим эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до бесконечности. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его - получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием. (рис.1)

Ковер Серпинского

Ковёр Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским. Известен также как квадрат Серпинского. Этот фрактал строится подобно треугольнику Серпинского, только вместо треугольников фигурой подобия является квадрат. (рис.2)

Дракон Хартера-Хейтуэя

Драконова ломаная относится к классу самоподобных рекурсивно порождаемых геометрических структур. Ломаная нулевого порядка представляет собой просто прямой угол. Изображение фигуры каждого следующего порядка строится путем рекурсивных2 замен каждого из отрезков фигуры младшего порядка на два отрезка, сложенных также в виде прямого угла.
При этом каждый первый угол оказывается "вывернутым" наружу, а каждый второй - вовнутрь. Несмотря на внешнюю простоту, построение драконовой ломаной - увлекательная алгоритмическая задачка, решение которой может потребовать от вас определенных мыслительных усилий. Попробуйте "научить" ваш компьютер строить драконовы ломаные n - того порядка (естественно, в разумных пределах значений n). Это умственное упражнение будет способствовать оттачиванию вашего "боевого" искусства алгоритмизации и программирования. (рис.3)( очень увлекательное занятие.)

Алгебраические фракталы

Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько.

К сожалению, многие термины уровня 10-11 класса, связанные с комплексными числами, необходимые для объяснения построения фрактала, мне неизвестны и пока трудны для понимания, поэтому подробно описать построение фракталов подобного вида для меня не представляется возможным.

Чтобы проиллюстрировать алгебраические фракталы обратимся к классике - множеству Мандельброта.

Множество Мандельброта

До каких же пор мы можем увеличивать наше множество? Так вот если мы увеличим его до предела вычислительной мощности компьютеров, то покроем площадь равную площади солнечной системы вплоть до Сатурна.

Множество Жюлиа

В голоморфной динамике3, множество Жюлиа́ рационального отображения — множество точек, динамика в окрестности которых в определённом смысле неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения.

 Изначально фрактальная природа черно-белая ,но если добавить немного фантазии  и красок,то можно получить настоящее произведение искусств.

L-системы

Понятие L-систем, тесно связанное с самоподобными фракталами, появилось только в 1968 году. Изначально L-системы были введены при изучении формальных языков, а также использовались в биологических моделях селекции. С их помощью можно строить многие известные самоподобные фракталы, включая снежинку Коха и ковер Серпинского. Некоторые другие классические построения, например кривые Серпинского также укладываются в эту схему. И конечно, L-системы открывают путь к бесконечному разнообразию новых фракталов, что и послужило причиной их широкого применения в компьютерной графике для построения фрактальных деревьев и растений.

Для графической реализации L-систем в качестве подсистемы вывода используется так называемая тертл - графика (turtle – черепаха). При этом точка (черепашка) движется по экрану дискретными шагами, как правило, прочерчивая свой след, но при необходимости может перемещаться без рисования. В нашем распоряжении имеются три параметра (x,y,a), где (x,y) – координаты черепашки, a – направление, в котором она смотрит. Черепашка обучена интерпретировать и выполнять последовательность команд, задаваемых кодовым словом, буквы которого читаются слева направо. Кодовое слово представляет собой результат работы L-системы и может включать следующие буквы:

F – переместиться вперед на один шаг, прорисовывая след.

B – переместиться вперед на один шаг, не прорисовывая след.

[  - открыть ветвь (подробнее см. ниже)

]  - закрыть ветвь (подробнее см. ниже)

+ - увеличить угол a на величину q

-  - уменьшить угол a на величину q

 Размер шага и величина приращения по углу q задаются заранее и остаются неизменными для всех перемещений черепашки. Если начальное направление движения а (угол, отсчитываемый от положительного направления оси Х) не указано, то полагаем а равным нулю.

Несколько примеров иллюстрируют применение команд ветвления (обозначаются «]», «[») и вспомогательных переменных (обозначаются X, Y, и т.д.). Команды ветвления используются для построения деревьев растений, а вспомогательные переменные заметно облегчают построение некоторых L-систем.

Формально, детерминированная4 L-система состоит из алфавита, слова инициализации, называемого аксиомой, и набора порождающих правил, указывающих, как следует преобразовывать слово при переходе от уровня к уровню (от итерации к итерации). К примеру, можно заменять букву F при помощи порождающего правила newf = F-F++F-F, что соответствует L-системе для снежинки Коха. Символы +, -, ], [ не обновляются, а просто остаются на тех местах, где они встретились. Обновление букв в данном слове предполагается одновременным, то есть буквы слова одного уровня обновляются раньше любой буквы следующего уровня.

L-система, соответствующая снежинке Коха, задается следующим образом:

 p = /3

Аксиома: F++F++F

Порождающее правило: newf = F-F++F-F

 Графическое представление аксиомы F++F++F – равносторонний треугольник. Черепашка делает один шаг вперед, затем угол а увеличивается на 2/3 и черепашка делает еще один шаг.

На первом шаге каждая буква F в слове-инициаторе F++F++F заменяется на F-F++F-F:

(F-F++F-F)+(F-F++F-F)+(F-F++F-F)

Повторяя этот процесс, на втором шаге получим:

F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F+F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F+ F-F++F-F- F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F

 и так далее.

Стохастические фракталы

Типичный представитель данного класса фракталов «Плазма». Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число – тем более «рваным» будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря – получим вместо плазмы – горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру и, пожалуйста фотореалистичные горы готовы. (рис.5)

Применение фракталов

- Информатика (фрактальное сжатие изображений)

- Компьютерная графика (построение природных объектов)

- Литература ( Дом который построил Джек)

- Естественные науки

- Децентрализованные сети

Что же такое децентрализованные сети?

Однора́нговая, децентрализо́ванная или пи́ринговая (от англ. Peer-to-peer, P2P — равный к равному) сеть — это оверлейная компьютерная сеть, основанная на равноправии участников. В такой сети отсутствуют выделенные серверы, а каждый узел (peer) является как клиентом, так и сервером. В отличие от архитектуры клиент-сервера, такая организация позволяет сохранять работоспособность сети при любом количестве и любом сочетании доступных узлов. Участниками сети являются пиры.

Например, в сети есть 12 машин, при этом каждая может связаться с каждой. Каждая из этих машин может посылать запросы на предоставление каких-либо ресурсов другим машинам в пределах этой сети и, таким образом, выступать в роли клиента. Будучи сервером, каждая машина должна быть способной обрабатывать запросы от других машин в сети, отсылать то, что было запрошено. Каждая машина также должна выполнять некоторые вспомогательные и административные функции (например, хранить список других известных машин-«соседей» и поддерживать его актуальность).

Любой член данной сети не гарантирует свое присутствие на постоянной основе. Он может появляться и исчезать в любой момент времени. Но при достижении определённого критического размера сети наступает такой момент, что в сети одновременно существует множество серверов с одинаковыми функциями.

Одна из областей применения технологии одноранговых сетей — это обмен файлами. Пользователи файлообменной сети выкладывают какие-либо файлы в т. Н. «расшаренную» (англ. Share — делиться) директорию, содержимое которой доступно для загрузки другим пользователям. Какой-нибудь другой пользователь сети посылает запрос на поиск какого-либо файла. Программа ищет у клиентов сети файлы, соответствующие запросу, и показывает результат. После этого пользователь может скачать файлы у найденных источников. В современных файлообменных сетях информация загружается сразу с нескольких источников. Ее целостность проверяется по контрольным суммам.

Фракталы в природе

 Многие объекты в природе (например, человеческое тело) состоят из множества фракталов, смешанных друг с другом, причем каждый фрактал имеет свою размерность отличную от размерности остальных. Например, двумерная поверхность человеческой сосудистой системы изгибается, ветвится, скручивается и сжимается так, что ее фрактальная размерность равна 3.0. Но если бы она была разделена на отдельные части, фрактальная размерность артерий была бы только 2.7, тогда как бронхиальные пути в легких имели бы фрактальную размерность 1.07. Итак,  фракталы могут быть везде, например: колония бактерий в питательной среде,  перистые облака,  разряд молнии, трещины в сухой глине, горные каньоны, разряд в магнитном поле, трещины на льду и т.п. (рис.6,7,8,9)

Придуманные фракталы

Поразившись красотой фракталов, я решил сам попробовать построить фигуры. И сейчас хочу представить то, что получилось.  Фрактал построен при помощи L-систем векторами. Изображение (рис.9) показывает подобный фрактал 5-го порядка, причём каждый порядок выделен отдельным цветом.

Вывод

Первый раз услышав о фракталах, задаёшься вопросом, что это такое?

С одной стороны – это сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

Это понятие завораживает своей красотой и таинственностью, проявляясь в самых неожиданных областях: метеорологии, философии,  географии, биологии, механике и даже истории. Если мы зададим слово «фрактал» в любой поисковой системе, то придем к мысли, что Рунет  создавался для фракталов.

Практически невозможно не увидеть фрактал в природе, ведь почти каждый объект (облака, горы, береговая линия и т.д.) имеют фрактальное строение. У большинства веб-дизайнеров, программистов есть собственная галерея фракталов(необычайно красивы).

По сути, фракталы открывают нам глаза и позволяют посмотреть на математику с другой стороны. Казалось бы, производятся обычные расчёты с обычными «сухими» цифрами, но это даёт нам по-своему уникальные результаты, позволяющие почувствовать себя творцом природы. Фракталы дают понять, что математика — это тоже наука о прекрасном.

Своей проектной работой я хотел рассказать о довольном новом понятии в математике «фрактал». Что это такое, какие существуют виды, где распространяются. Я очень надеюсь, что фракталы заинтересовали вас. Ведь, как оказалось, фракталы довольно интересны и они есть почти на каждом шагу. Предлагаю свою работу для использования на уроках геометрии при изучении темы «Подобие», при внеклассной работе.

Приложение 1

Определения

1.Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определенная посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства

2.Рекурсия — метод определения класса объектов или методов предварительным заданием одного или нескольких (обычно простых) его базовых случаев или методов, а затем заданием на их основе правила построения определяемого класса или метода, ссылающегося прямо или косвенно на эти базовые случаи.

3.Голоморфная динамика — раздел математики, изучающий свойства многократной итерации голоморфных функций на одномерных комплексных многообразиях

        4. Детерминация (лат. determinatio — ограничение, определение) в широком смысле — определение места того или иного явления, объекта по условным параметрам, его классифицирующая индивидуальная характеристика в соответствующей категории

Список литературы

http://ru.wikipedia.org/wiki

http://www.metaphor.ru/er/misc/fractal_gallery.xml

http://fractals.narod.ru/

http://rusproject.narod.ru/article/fractals.htm

Бондаренко В.А.,Дольников В.Л. Фрактальное сжатие изображений по Барнсли-Слоану. // Автоматика и телемеханика.-1994.-N5.-с.12-20.

Ватолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-1995.-N15.-с.11.

Федер Е. Фракталы. Пер. с англ.-М.: Мир,1991.-254с. (Jens Feder, Plenum Press, NewYork, 1988)

Application of fractals and chaos. 1993, Springer-Verlag, Berlin.