Определение коэффициента взаимной индукции

Городское управление образования

Саранская средняя школа №39

Определение коэффициента взаимной индукции.

Научно-исследовательская работа

Алтынова Андрея,

Вилковой Марии

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры общей физики

Радайкин В.В.

Учитель физики МОУ СОШ №39

Батяйкина Е.В.

Школа №39

Саранск 2006

Содержание.

Раздел 1. Теоретическое введение.

Явление взаимной индукции.

Вариометр.

Метод последовательного соединения.

Раздел 2. Экспериментальная часть.

2.1 Измерение коэффициента взаимоиндукции для различных положений второй катушки относительно первой и сравнение экспериментальных значений L21 с теоретическим.

2.2 Измерение коэффициента взаимоиндукции для различных положений первой катушки относительно второй и сравнение экспериментальных значений L12 с теоретическим.

2.3 Исследование зависимости коэффициента взаимной индукции от угла между плоскостями катушек.

Выводы.

Приложение.

Литература.

Раздел 1. Теоретическое введение.

Явление взаимной индукции.

Рассмотрим два контура с током (рис. 1). Магнитное поле, создаваемое первым контуром будет частично пронизывать второй контур. Образно можно представить, что часть магнитных силовых линий первого контура одновременно пронизывает второй, как бы сцепляя оба контура. И обратно, часть силовых линий магнитного поля, создаваемого вторым  контуром будет пронизывать первый. В этом случае говорят, что между обоими контурами существует магнитная связь.  Наличие магнитной связи между контурами проявляется также в том, что при изменении силы тока в одном из контуров в другом наводится ЭДС индукции. Это явление называется взаимной индукцией.

Индукция магнитного поля контура 1 пропорциональна силе тока  в этом контуре. Поэтому магнитный поток  через контур 2, создаваемый контуром 1, также пропорционален току :

.                                         (1)

Коэффициент  называется коэффициентом взаимной индукции контуров 1 и 2. Он по определению равен магнитному потоку через контур 2, создаваемому контуром 1 при силе тока в нем, равной единице. Поэтому размерность  — такая же, что и размерность коэффициента самоиндукции (индуктивности).

Аналогично, если в контуре 2 течет ток , то он создает магнитный поток  через контур 1,

.                                         (2)

Здесь  есть коэффициент взаимной индукции контуров 2 или 1.

При изменении тока в контуре 1 будет изменяться поток  и, согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, в контуре 2 возникнет ЭДС индукции

.                                (3)

В свою очередь, при изменении тока  в контуре 2, в первом контуре  будет наводиться ЭДС

.                                (4)

Коэффициент взаимной индукции зависит от формы и размеров контуров и от их взаимного расположения. Он также зависит от свойств окружающей среды. Можно показать, что для любых двух контуров, находящихся в вакууме коэффициенты взаимной индукции равны между собой:

.                                                 (5)

Например, пусть в двух, бесконечно удаленных друг от друга контурах 1 и 2 протекают токи  и . К неподвижному контуру 1 начнем приближать контур 2 параллельно самому себе. В процессе сближения контуры не деформируются и токи в них поддерживаются неизменными. Контур 2 переместим до определенного, достаточно близкого расстояния к контуру 1. Известно, что работа, совершаемая при перемещении замкнутого контура 2 с током  в магнитном поле, создаваемом током контура 1, равна произведению силы тока  на приращение магнитного потока через контур 2. Когда контуры находятся бесконечно далеко друг от друга, начальный магнитный поток через контур 2, обусловленный контуром 1 равен нулю. Поэтому приращение магнитного потока через контур 2 равно , а совершенная работа

.

Если оставить неподвижным контур 2, а перемещать до того же расстояния контур 1 с током  в магнитном поле тока , то совершаемая при этом работа равна

.

Очевидно, что . Отсюда следует, что .

Совершаемая при сближении контуров с токами механическая работа соответствует изменению энергии магнитного поля. Эта энергия называется взаимной энергии двух токов.

Вариометр.

Как уже было отмечено, значение зависит от взаимного расположения контуров (катушек). Например,  от угла поворота одной из катушек вокруг оси, расположенной в плоскости другой (рис. 2а). Такая система катушек называется вариометром. В этом случае коэффициент взаимной индуктивности изменяется в зависимости от угла  между нормалями к плоскостям катушек

                                (6)

и принимает любые значения в пределах от  до . Максимальное значение  соответствует совпадению направлений нормалей.  При повороте на ± 90° взаимная индуктивность становится равной нулю.

Проверить справедливость равенства (5), а  также исследовать влияние взаимного расположения контуров на взаимную индуктивность  можно следующим образом. Возьмем два контура, которые выполнены в виде достаточно тонких круглых катушек, расположенных на одной оси (рис. 2б). Вторая катушка имеет существенно меньший диаметр по сравнению с первой и расположена, в общем

 случае, на расстоянии от ее центра. Поэтому значение магнитной индукции , создаваемой первой катушкой в точках поверхности, ограниченной второй, можно считать примерно одинаковым и равным

         ,                                (7)

где ,  – число витков и радиус первой катушки.

Магнитный поток через вторую катушку, содержащую  витков, будет равен

,                                                 (8)

где  – площадь второй катушки.

Из (1), (7) и (8), находим для коэффициента взаимной индукции

        .                                (9)

В данной работе коэффициент взаимной индукции двух катушек определяется следующим образом. От генератора  (рис. 3) через катушку 1 пропускают переменный ток

,                                        (10)

где  – амплитудное значение тока, которое определяется по эффективному значению, измеряемому амперметром . Магнитное поле переменного тока  создает изменяющийся во времени магнитный поток через катушку 2,  в результате чего в ней возникает ЭДС индукции, амплитуда которой равна

.                                        (11)

 определяется по эффективному значению напряжения  на второй катушке, измеряемому с помощью вольтметра . Учитывая, что , где - частота тока, получаем

.                                        (12)

Отсюда   равна:

        =                                (13)

Метод последовательного соединения

Возможен еще один способ определения коэффициента взаимной индукции. Соединив две катушки последовательно таким образом, чтобы их магнитные поля совпадали по направлению (рис. 4а.), можем написать выражение для индуцированной в цепи этих катушек ЭДС самоиндукции:

,         

откуда

,                                         (14)

где  – индуктивность двух последовательно соединенных катушек с одинаково направленными магнитными полями. Индуктивность  можно определить одним из методов измерения индуктивности и, в частности методом, основанным на использовании закона Ома для цепи переменного тока, из которого следует

,                                 (15)

где  - полное сопротивление цепи двух катушек соединенных по схеме рис. 4а.  и  - активные сопротивления катушек.

Теперь соединим катушки последовательно таким образом, чтобы их магнитные поля были направлены встречно (рис. 4б). В этом случае ЭДС,  индуцированная в цепи катушек

,

откуда

,                                         (16)

где  – индуктивность двух последовательно соединенных катушек для данного случая.

Вычитая из уравнения (15)  уравнение (16), получаем:

,                                                 (18)

откуда

                                                 (19)

Раздел 2. Экспериментальная часть.

2.1 Измерение коэффициента взаимоиндукции для различных положений второй катушки относительно первой и сравнение экспериментальных значений  с  теоретическими.

1. Собираем схему согласно рис. 3.

2. На катушку 1 подаем переменное напряжение от звукового генератора частотой и задаем силу тока , контролируя ее с помощь амперметра .

3. С помощью вольтметра измеряем ЭДС на катушке 2.

4. Проводим измерения для расстояний между центрами катушек: , , ,  и с помощью выражения (13) вычисляем соответствующие  значения коэффициента  взаимной индуктивности .

5. Заносим результаты измерений в таблицу 1.

2.2 Измерение коэффициента взаимоиндукции для различных положений первой катушки относительно второй и сравнение экспериментальных значений L12 с теоретическим.

1. Меняем местами между собой подключение катушек 1 и 2,  производим аналогичные измерения и вычислить .

2. Проверяем равенство экспериментальных значений  и .

3. Сравниваем значения  с  теоретическими, рассчитанными по формуле (9)

4. Заносим результаты измерений в таблицу 1.

2.3. Исследование зависимости коэффициента взаимной индукции от угла между плоскостями катушек.

1 . Совмещаем центры параллельно расположенных катушек  ().

2. На катушку 1 подаем переменное напряжение от звукового генератора частотой  и задать силу тока .

3.Изменяя угол  между плоскостями (нормалями к плоскостям) катушек  с шагом 50 или 100 в интервале от 00 до 900 измеряем ЭДС на катушке 2 и с помощью выражения (13)  вычисляем для каждого из углов  значение коэффициента  взаимной индукции .

4. Стоим угловую зависимость  и сравниваем ее с теоретической,  рассчитанной по (6) и (9).

5. Результаты измерений заносим в таблицу 2.

Выводы.

Была изготовлена установка лабораторного практикума для изучения явления взаимной индукции и демонстрации закона Био-Савара-Лапласа.

Проведена апробация данной установки.

Рассчитана и экспериментально проверена теоретическая зависимость коэффициента взаимной индукции от расстояния между катушками.

На практике было доказано равенство коэффициентов взаимной индукции при возбуждении индукционного тока в малой (точечной) и в большой катушке.

Практически полученные результаты соответствуют закону Био-Савара-Лапласа для индукции магнитного поля на оси кругового витка с током.

Приложение.

Таблица 1.

Таблица 2.

Литература.

Матвеев А. Н. «Электричество и магнетизм» М.: Высшая школа, 1983.

Калашников С. Г. «Электричество» М.: Наука, 1985.

Гольдина Л. Л. «Лабораторные занятия по физике» М.: Наука, 1983.

Иверонова В. И. «Физический практикум» М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962.

Учебник «Физика-10», Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев.

 Учебник «Физика-11», Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, Н. Н. Сотский.

Рис. 1.

1

2

Ф12

Ф21

I1

I2

Рис.2.

1

2

1

2

а)

б)

Рис. 3.

~

~

~

Рис. 4