Лист Мебиуса

МЕЖДУНАРОДНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

«ОТ ШКОЛЬНОГО ПРОЕКТА – К ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ КАРЬЕРЕ »

ЛИСТ МЁБИУСА

выполнила: ученица 6 «В» класса МОУ «Гимназия № 58»

Волохина Юлия

руководитель: учитель математики

Саидова Елена Владимировна

Саратов

2012

Введение.

Лист Мёбиуса – желтая страница,

Односторонний сказочный маршрут,

Летит метелью, песенкой, синицей,

Бульварной лентой, склеенный лоскут.

Эх, Мёбиус, спасибо за науку!

Поверхность одинокой стороны

Подобна закольцованному звуку,

Вибрацией неоновой струны.

Во многих парках и скверах и даже в художественных музеях  можно встретить необычный круг-ленту. У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. Что это за лента и почему она вызывает такой интерес у художников и скульпторов? Оказывается это лента Мебиуса и имеет самое прямое отношение к математике, а точнее к геометрии. Мне захотелось, как можно больше узнать о листе Мебиуса еще и потому, что эту ленту часто называют загадочной.

Целью моей исследовательской работы: изучение ленты Мебиуса.

Объект исследования: лента Мебиуса.

Для достижения поставленной цели мною решались следующие задачи:

Познакомиться с историей появления ленты Мебиуса.

Изготовить ленту Мебиуса

Исследовать опытным путем свойства ленты Мебиуса.

Установить области применения ленты Мебиуса.

Открытие листа Мебиуса

     17 ноября 1790 года в Германии родился мальчик Август Фердинанд Мебиус – здоровый и крепкий малыш. Все шло и развивалось своим чередом. Школа, университет. Мальчику повезло: астрономию ему преподавал сам Гаусс, математику – Пфафф. Как-то незаметно для окружающих в 26 лет он стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете.

     Научные статьи, лекции, работа. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили. Он любил удивлять их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека за 220 лет растворилось в истории, если бы ни одно ненастное утро… На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. На пороге комнаты появилась любимая жена. Она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту. Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: "Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!”

Как бы то ни было, но в 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус, послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал её результаты. Справедливости ради, надо отметить, что почти в это же  время предложил в качестве первого примера односторонней поверхности  этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского Университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году, но лента все-таки носит имя Мебиуса.

Мёбиус стал одним из крупнейших геометров своего времени. Свойство геометрических фигур, которые не меняются, если  их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, изучает математическая наука топология. Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг.

Тополо́гия (от греч. τόπος — место) — часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщенных геометрических объектов, не меняющиеся при малых деформациях и не зависящие от способа их задания. Топологией также называется конкретный объект, изучаемый общей топологией: совокупность всех открытых множеств топологического пространства. Топология объекта — его геометрическая структура (то, что не меняется при непрерывных деформациях).

     Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не меняются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы – "взрыва” фигуры. Поэтому иногда топологию называют "геометрией непрерывности”. Она известна и под именем "резиновая геометрия”, потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например, стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично.

2. Получение объекта исследования

Возьмем бумажную ленту АВСD. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем так, чтобы точка А совпала с точкой C, а точка B с точкой С. Перед склейкой перекручиваем ленту один раз (на 180). Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо – Лист Мёбиуса.

Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине. Из квадратного листа ленты Мебиуса не сделаешь, если бумагу запрещается мять. Примем ширину полоски за единицу. Ясно, что чем длиннее полоска, тем легче склеить из нее ленту Мебиуса. Таким образом, существует такое число λ, что из полоски длины больше λ, ленту Мёбиуса склеить можно, а из полоски меньше λ – нельзя. Очень хотелось найти это λ. Удивительно, но решение этой задачи до сих пор неизвестно, пока предположили, что 1,57≤ λ ≤ √ 3  ≥1,73. 

3. Свойства ленты Мебиуса

Что же поразило двух немецких профессоров в этой ленте?

1. Односторонность. У листа Мёбиуса – всего одна сторона. Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно: если начать постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, и по завершении работы вы обнаружите, что весь он полностью окрашен.

2. Непрерывность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная.

Если на внутреннюю сторону простого кольца посадить паука, а на внутреннюю сторону муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь переползать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи. А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук бегает быстрее!.

3. Связность. Лист Мёбиуса двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.

4. Ориентированность – свойство отсутствующее у листа Мёбиуса . Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение.

5. «Хроматический номер» - максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести. 

Все это сложно для понимания, но, говорят, что  в замечательной книге Сергея Боброва «Волшебный двурог» или Правдивая история о небывалых приключениях в неведомой стране, где правят Догадка, Усидчивость, Находчивость, Терпение, Остроумие и Трудолюбие, можно прочитать обо всех этих удивительных вещах в доступной для детского понимания форме. Мне найти эту книгу не удалось, поэтому чтобы понять некоторые свойства ленты Мебиуса пришлось сделать некоторые эксперименты.

4.  Эксперименты, подтверждающие свойства листа Мебиуса

Объекты:  простое кольцо и лента Мебиуса

Односторонность .

Эксперимент 1.

Взять кисточку и закрасить кольца в каком-нибудь направлении.

Непрерывность .

Эксперимент 2.

Поставить точку на одной стороне каждого кольца и чертить непрерывную линию вдоль него, пока не придешь снова в отмеченную точку.

Эксперимент 3.

Закрась непрерывной линией только один край колец

Эксперимент 4.

На внутренней поверхности стоит некто Х, а по внешней идет в любую сторону некто Y. 

Связность

Эксперимент 5.

Разрежь кольца вдоль пополам, по линии параллельной краям.

Эксперимент 6.

Разрежь кольцо вдоль, отступив от края на 1/3 ширины кольца.

Эксперимент 7.

Разрежь результат  опыта 5  (уже разрезанную ленту) пополам вдоль.

Заключение 

    Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие очень давно, оно очень популярно и в наши дни:
у школьников - очень интересно экспериментировать с лентой Мёбиуса;
у учителей – есть ещё один способ заинтересовать учеников математикой;
в технике – открываются всё новые способы использования ленты Мёбиуса.
Мёбиус повлиял не только на математиков, но и на художников, скульпторов, архитекторов и многих, многих, многих…В результате появились картины, скульптуры, марки, другие произведения искусства с изображением ленты Мёбиуса. Я думаю, что следов Мёбиуса в искусстве будет ещё много.
    Работая над проектом, я пришла к выводу, что простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мебиуса и приобретает удивительные свойства. Такие свойства поверхностей и пространств изучает специальный раздел математики – топология.. Наука эта настолько сложная, что ее в школе не проходят. Только в институтах. Но кто знает, может быть со временем, мы станем знаменитыми топологами и совершим замечательные открытия. И быть может, какую-нибудь замысловатую поверхность назовут нашими именами.

 Итак, на основе проведенных мною теоретических и практических исследований можно сделать следующие выводы:

Лента Мебиуса имеет 1 край.

Лента Мебиуса имеет одну поверхность. Если закрашивать одну сторону ленты Мебиуса, не пересекая края, то в итоге закрасится вся поверхность ленты.

Лента Мебиуса имеет одну искривленную поверхность, и если по ней двигаться, можно с внутренней части переместиться на внешнюю. Если пустить по поверхности ленты Мебиуса движущиеся объекты, они будут двигаться бесконечно долго.

Лента Мебиуса получается из прямоугольника, у которого длина намного больше ширины.

Если разрезать ленту Мебиуса вдоль посередине параллельно краю, то можно получить не две отдельные ленты, а одну длинную ленту, которая будет уже исходной и дважды перекручена – но не лента Мебиуса.

Если разрезать ленту Мебиуса вдоль, отступив от края 1/3 ее ширины, то получится два кольца, сцепленные между собой, одно большое – не лента Мебиуса, другое маленькое – лента Мебиуса.

В результате исследования обнаружилось, что можно многократно перекручивать при склеивании ленты Мебиуса, и тогда нас ждет непредсказуемый витиеватый узор.

В результате исследования обнаружилось, что существуют еще более «странные» геометрические объекты (например, бутылка Клейна), которые не поддаются моему десятилетнему разумению, (но очень интересно!).

В результате исследования обнаружилось, что тема ленты Мебиуса пользуется популярностью у творческих личностей: в мире существует множество художественных произведений посвященных этой теме (литература, скульптура, живопись, графика и т.д.).

В результате исследования обнаружилось, что существуют и технические применения ленты Мебиуса.

Лентой Мёбиуса закручен путь

В какую сторону не иди…

Обязательно увидишь ещё раз того,

Кого однажды встретил на пути…

Если нужно кого-то догнать,

Не трать сил, времени на ускорение…

Лучше просто подождать или

Двинуться в обратном направлении…

Список литературы

М. Гарднер. Математические чудеса и тайны. – М: Наука, 1978.

Е.С. Смирнова. Курс наглядной геометрии. – М: Просвещение, 2002.

И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Еранжиева. Наглядная геометрия. 5-6 класс. – М: Дрофа, 2000.

Энциклопедия для детей «Математика». – М: Аванта+, 2005.

В.А.Гусев, А.П.Комбаров «Математическая разминка»

А.П.Савин, В.В.Станцо, А.Ю.Котова «Я познаю мир математика»

Газета «Математика» приложение к издательскому дому «Первое сентября»,№14 1999г., № 24 2006г.

Материалы сайтов:

http://arbuz.uz/t_lenta.html

http://school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/matric/t_lm1.htm

http://www.kvant.info/

http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/

http://www.vlink.ru/~v-design/mebius.htm. http://ru.wikipedia.org/wiki/Лист_Мёбиуса
http://oriart.ru/publ/3-1-0-11
http://www.smartvideos.ru/mebius-transfor
http://www.sola.narod.ru/top.htm
http://www.mebius.spb.ru/content/view

Приложение 1

Применение Листа Мёбиуса

Лист Мебиуса в цирковом искусстве

Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

Фокусники используют лист Мебиуса уже на протяжении 75 лет. Вот пример еще одного фокуса: фокусник вручает зрителю три больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем склеивания концов длинной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. В результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким же образом второе кольцо, он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно, которое вдвое длиннее исходного. Наконец, разрезая третье, он снова получает поразительный результат: два кольца, сцепленных друг с другом. Результат этого фокуса зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. Первое наше кольцо получилось путем простого соединения концов ленты без перекручивание. Второе кольцо получается при соединении концов ленты, перекрученной один раз на 180ْ. Третье кольцо получилось при разрезании ленты, концы которой перекручивались перед склейкой дважды. Известно еще много фокусов с применением ленты Мебиуса.

Проблема завязывания узлов .Как завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов? Это можно сделать так. Положите шарф на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в таком положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу шарфа каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине шарфа сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус и шарф образуют замкнутую кривую в виде "трехлистного” узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на платок.

Вывертывание  жилета на изнанку, не снимая с человека.  Владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца. Для демонстрации этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину владельца. Жилет будет висеть в воздухе, но, конечно, не снимется, потому что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую полу жилета и, стараясь не измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении. Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется вывернутым на изнанку.  Тот же самый эксперимент можно провести и, не расстегивая жилета. Единственное неудобство будет заключаться в том, что жилет слишком узок для снятия через голову. Поэтому жилет можно заменить свитером. Манипуляции со свитером в точности повторяются. Этот эксперимент можно демонстрировать и на себе, для чего нужно соединить шнуром кисти рук, оставляя между ними 40 сантиметров, чтобы обеспечить свободу движений, и руки сцепить впереди.

Распутывание колец из верёвок. Двое участников связаны веревками за руки. Тем самым руки и веревки образовывают два сцепленных кольца. Необходимо , не развязывая веревок, распутаться. Отгадка этого опыта кроется в том, что на руках у участников есть еще по две петли. Необходимо одну веревку протянуть через одну из петель на руках другой веревки и снять петлю через кисть руки.

2.  Лист Мебиуса в литературе и искусстве

Чудесные ее свойства тут же породили не только множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также многочисленных фантастических рассказов. В рассказе А.Дейча “Лента Мебиуса” описывался случай в Нью-Йоркском метро. Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мебиуса. Поезда один за другим стали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев. Лист Мёбиуса также постоянно встречается и в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса.

     Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (напр. «Застава на Якорном Поле. Повесть»). А Козьма Прутков подарил читателям афоризм: "Где начало того конца, которым оканчивается начало?".

   Лист Мёбиуса стал источником вдохновения у многих художников и скульпторов. Так во многих парках и скверах можно увидеть Лист Мебиуса и даже в музеях.

Одним из первых на это был Макс Билл, который живет в Zumikon, Швейцария. Начиная с 1930-х годов, он создал различные "бесконечные ленты". Билл был активным сторонником использования математики в качестве основы для искусства. "Я убежден, можно развивать новый вид искусства, в котором работа художника может быть основана на довольно значительную степень по математической линии подход к его содержанию", утверждал он в 1949 в эссе. На фото можно увидеть один из них, вырезанный из гранита у входа в художественный музей города Балтимор (США).

Английский скульптор Джон Робинсон также использовал различные математические темы в своем творчестве: лист Мебиуса увековечен в бронзе или в виде трилистника.

Художник Мауриц Эшер был также любил изображать лист Мебиуса и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту, одна из которых – «Муравьи» сейчас иллюстрирует многие учебники.  

И, по-моему,  этот процесс для творческих людей бесконечен. На рисунках представлена лишь малая часть: это и корабль,  и лист Мебиуса из консервных банок  

3.  Лист Мёбиуса в науке и технике

Существуют и технические применения ленты Мёбиуса.

Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе которых лежит всё та же односторонняя поверхность. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон.

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса.

В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась.

Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время звучания.

В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера — энергозатраты снизятся на одну пятую, а качество бетона (или кондитерского крема) улучшится.

Устройство под названием резистор Мёбиуса — это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности. Резистор Мёбиуса является электрическим компонентом, состоящим из двух проводящих поверхностей, отделеных друг от друга диэлектрическим материалом, скрученных на 180 ° и образующих Лист Мёбиуса. Он представляет собой резистор, который не имеет собственной индуктивности, это значит, что он может противостоять потоку электроэнергии, в то же время не вызывая магнитных помех. Недостаток — большая паразитная ёмкость. По результатам изобретения были открыты патенты в США . Вот некоторые из них: Патент США 4,599,586, конденсатор Мёбиуса; Патент США 3,267,406, не индуктивный электрический резистор; Патент США 6,611,412, Приборы и методы минимизации электромагнитных выбросов технических излучателей Dietrich Reichwein.

Приложение 2

Кроссворд

1.     Доску, верхнюю часть парты,  можно назвать словом …….., а у Листа Мёбиуса она односторонняя

2.     Кто одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К. Ф. Гаусса

3.     Кто помог Мёбиусу сделать открытие

4.     Фамилия учителя  Мёбиуса, великого математика

5.     Немецкий геометр и астроном, профессор университета города Лейпциг

6.     из какого листа бумаги  нельзя сделать лист Мёбиуса

7.     науки, изучающей свойства фигур, не изменяющихся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний.

8.     сегодня мы познакомились с математическим объектом, который называется ……… Мёбиуса

Приложение 1

Применение Листа Мёбиуса

Лист Мебиуса в цирковом искусстве

Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

Фокусники используют лист Мебиуса уже на протяжении 75 лет. Вот пример еще одного фокуса: фокусник вручает зрителю три больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем склеивания концов длинной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. В результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким же образом второе кольцо, он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно, которое вдвое длиннее исходного. Наконец, разрезая третье, он снова получает поразительный результат: два кольца, сцепленных друг с другом. Результат этого фокуса зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. Первое наше кольцо получилось путем простого соединения концов ленты без перекручивание. Второе кольцо получается при соединении концов ленты, перекрученной один раз на 180ْ. Третье кольцо получилось при разрезании ленты, концы которой перекручивались перед склейкой дважды. Известно еще много фокусов с применением ленты Мебиуса.

Проблема завязывания узлов .Как завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов? Это можно сделать так. Положите шарф на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в таком положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу шарфа каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине шарфа сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус и шарф образуют замкнутую кривую в виде "трехлистного” узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на платок.

Вывертывание  жилета на изнанку, не снимая с человека.  Владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца. Для демонстрации этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину владельца. Жилет будет висеть в воздухе, но, конечно, не снимется, потому что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую полу жилета и, стараясь не измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении. Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется вывернутым на изнанку.  Тот же самый эксперимент можно провести и, не расстегивая жилета. Единственное неудобство будет заключаться в том, что жилет слишком узок для снятия через голову. Поэтому жилет можно заменить свитером. Манипуляции со свитером в точности повторяются. Этот эксперимент можно демонстрировать и на себе, для чего нужно соединить шнуром кисти рук, оставляя между ними 40 сантиметров, чтобы обеспечить свободу движений, и руки сцепить впереди.

Распутывание колец из верёвок. Двое участников связаны веревками за руки. Тем самым руки и веревки образовывают два сцепленных кольца. Необходимо , не развязывая веревок, распутаться. Отгадка этого опыта кроется в том, что на руках у участников есть еще по две петли. Необходимо одну веревку протянуть через одну из петель на руках другой веревки и снять петлю через кисть руки.

2.  Лист Мебиуса в литературе и искусстве

Чудесные ее свойства тут же породили не только множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также многочисленных фантастических рассказов. В рассказе А.Дейча “Лента Мебиуса” описывался случай в Нью-Йоркском метро. Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мебиуса. Поезда один за другим стали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев. Лист Мёбиуса также постоянно встречается и в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса.

     Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (напр. «Застава на Якорном Поле. Повесть»). А Козьма Прутков подарил читателям афоризм: "Где начало того конца, которым оканчивается начало?".

   Лист Мёбиуса стал источником вдохновения у многих художников и скульпторов. Так во многих парках и скверах можно увидеть Лист Мебиуса и даже в музеях.

Одним из первых на это был Макс Билл, который живет в Zumikon, Швейцария. Начиная с 1930-х годов, он создал различные "бесконечные ленты". Билл был активным сторонником использования математики в качестве основы для искусства. "Я убежден, можно развивать новый вид искусства, в котором работа художника может быть основана на довольно значительную степень по математической линии подход к его содержанию", утверждал он в 1949 в эссе. На фото можно увидеть один из них, вырезанный из гранита у входа в художественный музей города Балтимор (США).

Английский скульптор Джон Робинсон также использовал различные математические темы в своем творчестве: лист Мебиуса увековечен в бронзе или в виде трилистника.

Художник Мауриц Эшер был также любил изображать лист Мебиуса и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту, одна из которых – «Муравьи» сейчас иллюстрирует многие учебники.  

И, по-моему,  этот процесс для творческих людей бесконечен. На рисунках представлена лишь малая часть: это и корабль,  и лист Мебиуса из консервных банок  

3.  Лист Мёбиуса в науке и технике

Существуют и технические применения ленты Мёбиуса.

Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе которых лежит всё та же односторонняя поверхность. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон.

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса.

В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась.

Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время звучания.

В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера — энергозатраты снизятся на одну пятую, а качество бетона (или кондитерского крема) улучшится.

Устройство под названием резистор Мёбиуса — это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности. Резистор Мёбиуса является электрическим компонентом, состоящим из двух проводящих поверхностей, отделеных друг от друга диэлектрическим материалом, скрученных на 180 ° и образующих Лист Мёбиуса. Он представляет собой резистор, который не имеет собственной индуктивности, это значит, что он может противостоять потоку электроэнергии, в то же время не вызывая магнитных помех. Недостаток — большая паразитная ёмкость. По результатам изобретения были открыты патенты в США . Вот некоторые из них: Патент США 4,599,586, конденсатор Мёбиуса; Патент США 3,267,406, не индуктивный электрический резистор; Патент США 6,611,412, Приборы и методы минимизации электромагнитных выбросов технических излучателей Dietrich Reichwein.

Приложение 2

Кроссворд

1.     Доску, верхнюю часть парты,  можно назвать словом …….., а у Листа Мёбиуса она односторонняя

2.     Кто одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К. Ф. Гаусса

3.     Кто помог Мёбиусу сделать открытие

4.     Фамилия учителя  Мёбиуса, великого математика

5.     Немецкий геометр и астроном, профессор университета города Лейпциг

6.     из какого листа бумаги  нельзя сделать лист Мёбиуса

7.     науки, изучающей свойства фигур, не изменяющихся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний.

8.     сегодня мы познакомились с математическим объектом, который называется ……… Мёбиуса