Проектная работа "Трапеция и её свойства. Решение задач"

Слайд 1

Презентация по теме «Трапеция и её свойства. Решение задач». План Определение трапеции , ее элементы и виды. Общие свойства . Свойства равнобедренной трапеции . Вписанная и описанная окружность . Площадь . Возможные варианты задач в ГИА-9 про трапеции (часть 2). Подготовила ученица 9 класса «А» Петренко Ангелина

Слайд 2

Определение трапеции и ее виды. Трапе́ция — четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна. Элементы трапеции Параллельные стороны называются основаниями трапеции. (BC и AD) Две другие стороны называются боковыми сторонами. (AB и CD) Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции. (LM) Расстояние между основаниями называется высотой трапеции. (LH) В основание С L M А D основание

Слайд 3

Виды трапеций. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной . Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Слайд 4

Свойства трапеции. 1) Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. LM=(AB+DC)/2 2) Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований. NK=(DC-AB)/2 3) Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен 2 *AB*DC /( AB + DC ) Формула Буракова ) А В E O F L M D C

Слайд 5

Свойства трапеции. 3) Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений ее боковых сторон и середины оснований лежат на одной линии .( O, G, W, V a) 4) Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности . VW=(AD-BC)/2, если ВА D + CAD=90° 5) В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон. ( AD+BC=AB+CD) G B V C A D

Слайд 6

Свойства трапеции. 6) Биссектрисы односторонних углов пересекаются под прямым углом. ( AFB= CED=90°) 8) Отрезок, соединяющий точки пересечения биссектрис односторонних углов параллелен основаниям. ( FE ΙΙ BC ΙΙ AD) B C F E A D

Слайд 7

Свойства равнобедренной трапеции. 1) В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны . 2) В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны . АС=В D 3) Если трапецию можно вписать в окружность , то она равнобедренная. AB=CD B C A D

Слайд 8

Свойства равнобедренной трапеции. 4) Около равнобедренной трапеции можно описать окружность. (AB=CD) 5) Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны , то высота равна полусумме оснований. BH=(AD+BC)/2 B C A D

Слайд 9

Свойства равнобедренной трапеции. 6) Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции. (NM) 7) Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований. HD=(AD+BC)/2 ; AH=(AD-BC)/2 B C N A M D

Слайд 10

Вписанная и описанная окружность . 1) Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон , то в неё можно вписать окружность. (AB+CD=BC+AD) 2) Если трапеция равнобедренная , то около неё можно описать окружность. (AB=CD) 3) Если в трапецию вписана окружность с радиусом , и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка a и b , то r=√ab . B C a r b A D

Слайд 11

Площадь 1) В случае, если a и b — основания и h — высота, формула площади: S=(a+b)h/2 2) В случае, если m — средняя линия и h — высота, формула площади: S=mh a m h b

Слайд 12

Площадь 3) Формула, где , a и b — основания, c и d — боковые стороны трапеции: a c d b

Слайд 13

Площадь 4) Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным r , и углом при основании α : S=4r^2/sinα В частности, если угол при основании равен 30°, то: S=8r^2

Слайд 14

Трапеция Форму трапеции часто используют модельеры для создания одежды:

Слайд 15

Трапеция

Слайд 16

Трапеция Для создания мебели и бытовых вещей:

Слайд 17

Трапеция

Слайд 18

Возможные варианты задач в ГИА-9 про трапеции (часть 2). Косинус угла BAC равнобокой трапеции ABCD равен 0,6 , а радиус вписанной окружности равен 2 . Найдите площадь трапеции. S B C L M O A D

Слайд 19

A О и ВО – биссектрисы(т.к. О – центр вписанной окружности). Значит, ВОА=90 АВН, ВН=2 r=4 Cos BAH=AH/AB=3/5 , значит, АВ=5х, АН=3х. По т.Пифагора х=1. АВ=5, АН=3 3) ОН ^2 =АН*НВ=4 ( как средний пропорциональный) АН+НВ=5. Решив систему, получаем НВ=1=ВМ=МС(как касательные из одной точки и т.к. трапеция равнобедренная) 4)Т.к. в трапецию можно вписать окружность, то АВ+С D= ВС+ AD=5+5=10 S ABCD=1/2(BC+AD)*BH=20 Ответ:20

Слайд 20

Возможные варианты задач в ГИА-9 про трапеции (часть 2). 23. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке P , Q – точка пересечения диагоналей этой трапеции. Найдите отношение площади треугольника ADQ к площади треугольника BCP , если известно, что AD=3BC . P B N C Q S A D

Слайд 21

APD подобен ВРС(т.к. ВС ΙΙ А D) K= AD/BC=3DC/DC=3 , значит, PN/PH=1/3 BCQ подобен AQD( т.к. ВС ΙΙ А D ) К1= BC/AD=1/3 , значит, NS/SH=1/3 3) Пусть PN=x , тогда PH=3x Пусть NS=y , тогда SH=3y PH=PN+NS+SH=x+y+3y=x+4y X+4y=3x 2y=x Значит , PN=2y 4) S ADQ/S BPC=(AD*HS*2)/(2*BC*PN)=3*3/2=4.5 Ответ:4,5