Министерство образования Саратовской области

Областная научная конференция для учащихся

«Инициатива молодых»

Секция «Математика»

 «Удивительная последовательность»

Автор: Заступов Владимир Александрович

Г. Пугачёв, МОУ СОШ №2, 10Б класс

Руководитель: Горина Татьяна Евгеньевна

учитель математики МОУ СОШ №2

Адрес школы: г. Пугачёв, ул. Комунистическая д.12,

Телефон: 2-19-38

2012г.

Содержание

1. Введение…………….………………..……………………………стр. 3-4
2. Глава I. Основные сведения о последовательностях..…………………………………………….стр. 5-7
3. Глава II. Свойства последовательности Фибоначчи.……….... ..стр. 8-12
4. Глава III. Числа Фибоначчи в нашей жизни.…………………………………………………………...стр. 13-16
5. Заключение  ……………………………………………………... стр. 17
6. Литература  ……………………………………………………… стр. 18
7. Приложение  ...………………………………………………... стр. 19-20

Введение

Часто нам приходится слышать: «последовательность событий», «последовательность действий», «последовательность чисел» и т.д. Но больше всего понятие последовательности связано с математикой. Ведь на уроках математики мы изучаем правила, свойства, закономерности, связанные с числами и другими математическими объектами.

Знания о последовательностях может помочь нам в решении практических вопросов. Установление связи между числовыми последовательностями и последовательностями в нашей практической жизни дает возможность переносить свойства одних объектов на другие. Таким образом, нам важно научиться в малом видеть большое!

На уроках математики мы уже познакомились с такими видами последовательности, как арифметическая и геометрическая прогрессии, научились применять их в практических задачах. Мы установили, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл. Убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими.Обнаружили, что знание свойств арифметической и геометрической прогрессий широко применяется в пищевой промышленности, в фармакологии, в медицине, в сельском и коммунальном хозяйствах, в банковских расчетах (начисление сложных процентов).

Я поставил перед собой цель: выяснить, существуют ли последовательности, отличные от известных прогрессий, и имеющие большое значение в нашей жизни.

Для выполнения поставленной цели мне необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить литературу по теме.
2. Сформулировать основные понятия, связанные с последовательностями.
3. Рассмотреть свойства последовательности Фибоначчи.
4. Показать практическую значимость последовательности Фибоначчи.

Методы исследования

1. Анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета.
2. Обобщение найденных фактов в учебниках по биологии и  по экологии и в медицинских справочниках.
3. Решение математических задач.

Глава I

Основные сведения о последовательностях

Последовательность, одно из основных понятий математики. Последовательность образуется из элементов любой природы, занумерованных натуральными числами 1, 2,..., n,..., а числовая последовательность - множество чисел с указанным способом нумерации.

Элементы такого числового множества называются членами последовательности и обозначаются так: первый член последовательности а1, второй   член последовательности a2, n-й член последовательности an  и т.д. Вся числовая последовательность обозначается а1,a2, …an или (an).Члены числовой последовательности располагаются в порядке возрастания номеров.

Если последовательность содержит конечное число членов, то она называется конечной последовательностью, а последовательность с бесконечным числом членов бесконечной.

Числовую последовательность можно рассматривать как функцию натурального аргумента. Область определения такой функции – множество натуральных чисел, область значений - подмножество множества действительных чисел. Исходя из того, что последовательность есть некая числовая функция, все вопросы о свойствах функции правомерны и в отношении последовательности.

Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный. Говорят, что последовательность задана аналитически, если задана формула её n-го члена. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n-ый член последовательности, если известны её предыдущие члены. Примеры:

1. Арифметическая прогрессия: an+1= an+ d;аn=a1+d(n– 1).
2. Геометрическая прогрессия: bn+1 = bn · q;   bn=b1∙qn-1.
3. Последовательность нечётных чисел: xn+1=xn+2;   xn=2n-1.
4. Факториал: y1=1,  yn+1=n∙yn;  yn=n!

Существуют последовательности, которые задать рекуррентно легко, а аналитически – трудно. Первый нетривиальный пример рекуррентности в истории математики – последовательность Фибоначчи.

Числа un, образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... называются числами Фибоначчи,  а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи. Суть последовательности Фибоначчи в том, что начиная с третьего числа каждое следующеечисло получается сложением двух предыдущих.

Интересна история  возникновения этих чисел.В 1202 году купец Леонардо из Пизы, по прозвищу Фибоначчи («сын доброй природы»), поставил перед собой чисто «купеческую» задачу: подсчитать, какой максимальной приплод кроликов может дать за год одна пара. Фибоначчи предположил, что кролики не болеют и не умирают и что каждая пара, достигнув двухмесячного возраста, сама начнёт ежемесячно приносить по одной паре. Счёт Фибоначчи начал с января. Итак, в январе и феврале кролики не принесут потомства. В марте появится первая пара приплода. Вместе с имеющейся теперь будет 2 пары. В апреле у первой пары кроликов вновь появится потомство, таким образом, получится – 3 пары. В мае приплод даст и первая пара кроликов, и та, которая родилась в марте, всего будет 5 пар кроликов. Продолжая рассуждать, таким образом, Фибоначчи подсчитал, что в июне будет 8 пар, в июле – 13, а в декабре – 144 пары кроликов.

Позже Фибоначчи включит свои математические выкладки в знаменитую «Книгу абака», которая содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной.Задача о кроликах войдёт в историю математики. А выведенная им числовая последовательность – ряд Фибоначчи – заживёт своей самостоятельной жизнью.

Глава II

 Свойства  последовательности Фибоначчи

Рекуррентная формула un =un-1 + un-2 при всех n >2.

Аналитическая формула un=15∙1+522-1-522

У этой последовательности есть ряд математических особенностей:

1. Отношение какого-либо элемента последовательности к предшествующему ему колеблется около числа 1,618…, через раз, то превосходя, то не достигая его:

Число 1,618… является иррациональным, его принято обозначать числом φ (фи).

Отношение какого-либо элемента последовательности к последующему приближается к числу 0,618…, что обратно пропорционально  числу 1,618…

2. Если делить элементы последовательности через один, то получим числа 2,618… и 0,382…, которые так же являются  взаимно обратными числами.
3. Два соседних числа Фибоначчи взаимно просты.
4. Каждое третье число чётное, каждое четвёртое делится на 3, каждое пятое – на 5, каждое пятнадцатое – на 10.
5. Невозможно построить треугольник, сторонами которого являются числа ряда Фибоначчи (никакое число ряда не может повторяться дважды).

Докажем пятое утверждение. Вычислим остатки от деления чисел Фибоначчи на 2, на 3, на 5:

1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, …

1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, …

1, 1, 2, 3, 0, 3, 2, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, …

Периодичность появления 0 в остатках подтверждает данное утверждение.

Простейшие свойства последовательности Фибоначчи:

1. Сумма первых n-чисел Фибоначчи: u1+u2+…+un=un+2 -1.

2. Сумма чисел Фибоначчи с нечетными номерами:u1+u3+u5+…+u2n-1=u2n.

3.Сумма чисел Фибоначчи с четными номерами: u2+u4+…+u2n=u2n+1 -1.        

4.Сумма квадратов первых  n-чисел Фибоначчи:

5. Квадрат n-го члена равен произведению предыдущего и последующего членов плюс или минус 1:

 или un2-un-1un+1=-1n-1

Докажем последнее свойство c помощью метода математической индукции.

При n = 2 утверждение принимает вид  u22-u1u3=-11, то есть  12 – 1 ⋅ 2 =  (- 1)1– верное равенство.

Предположим, что утверждение верно для n = k, т. е. uk2-uk-1uk+1=-1k-1.

Докажем, что утверждение верно для n = k +1, т. е. uk+12-ukuk+2=-1k.

uk+12-ukuk+2=uk+12-uk(uk+uk+1)=uk+12-uk2-ukuk+1=uk+1(uk+1-uk)--uk2= uk+1uk-1-uk2=-(uk2-uk-1uk+1)=--1k-1=-1k.

Значит, утверждение верно для любого n.

С этим свойством  косвенно связан занятный гео метрический парадокс.

Совершенно очевидно, что если какую-либо плоскую фигуру разрезать на несколько частей, затем, приклады вая полученные части друг к другу (но не накладывая одну на другую), образовать новую фигуру, то по форме новая фигура может отличаться от первоначальной, но площадь ее должна остаться прежней; ни одной квад ратной единицы не может ни прибавиться, ни убавиться. Это очевидное утверждение считается в геометрии одним из тех первичных основных положений, на которых строится вся теория измерения площадей.

Квадрат разрезан на два равных треугольника и на две равные трапеции, длины сторон которых пока обозна чены буквами x и y. Из этих частей составлен прямо угольник. Если такое превращение квадрата в прямо угольник действительно возможно, то на какие же части х и у надо при этом делить сторону квадрата?

Сначала я подумал, что это без различно, и положил х=6, у = 2. Разметил квадрат, разрезал его на два равных треугольника и две равные трапеции, начал составлять прямоугольник, и ... ничего не вышло! Сплошного прямо угольника не получилось. Только при х = 5, у = 3 я смог составить прямо угольник из образовавшихся частей квадрата, но тут же был ошеломлен новой неприятностью: площадь прямо угольника оказалась равной 65 клеткам, то есть на одну клетку большей, чем площадь перво начально взятого квадрата.

В самом деле, длина прямоугольника должна содержать х+х+у = 2х+у = 2⋅5+3=13еди ниц; у меня и получилось ровно 13 единиц; ширина пря моугольника х и у меня получилась ширина прямоуголь ника 5 единиц Отсюда его площадь содержит ровно 13⋅5 = 65 клеток!

Но это еще не все. По той же выкройке я делил на части и другой квадрат со стороной в 13 еди ниц. Если я брал х=8 и у = 5, то из частей квадрата складывался   прямоугольник, но в этот  раз  с площадью, меньшей площади квадрата, причем тоже ровно на 1  клетку.

Судите сами: площадь квадрата содержит 132 = 169 кле ток, а площадь прямоугольника содержит (2х+у)х =(2⋅8 + 5)⋅8=168 клеток!

Еще два примера.

1)  Беру квадрат в 21×21=441 клетку. Делю сто рону на части х=13, у =8. Разрезаю. Складываю. Пря моугольник получается. Подсчитываю площадь:

(2х+у)х = (2⋅13 + 8)⋅13=442 клетки!

Опять лишняя клетка.

2)  Беру квадрат в 34 × 34 = 1156 клеток. Делю сто рону на части х = 21, у=13. Разрезаю. Складываю. Прямоугольник получается. Подсчитываю площадь:

(2х+у)х = (2 ⋅ 21 + 13) ⋅21 = 1155 клеток.

Не хватает одной клетки!

Что за причина?! Почему так получается?

Огромную роль в нем играют числа Фибоначчи. При проведении  этих опытов получилась потеря или прибавка площади на 1 кв. ед., что подтверждает выше сформулированное свойство.

Вопреки всем утверждениям, ни разу не получается сплошного прямо угольника из частей квадрата; обязательно должны были получаться щели, может быть, незаметные для глаза, или незамет ное наложение одной части на другую.

Глава III

Числа Фибоначчи в нашей жизни

Важно отметить, что Фибоначчи как бы напомнил свою последовательность человечеству. Она была известна еще древним грекам и египтянам. И действительно, с тех пор в природе, архитектуре, изобразительном искусстве, математике, физике, астрономии, биологии и многих других областях были найдены закономерности, описываемые коэффициентами Фибоначчи. Просто удивительно, сколько постоянных можно вычислить пpи помощи последовательности Фибоначчи, и как ее члены проявляются в огромном количестве сочетаний. Однако не будет преувеличением сказать, что это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых.

Приводимые ниже примеры показывают некоторые интересные приложения этой математической последовательности.

1. Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

a: b = b: c или с: b = b: а. Если принять весь отрезок с за 1, то отрезок b, будет равен 0,618, отрезок а будет равен 0,382, только так будет соблюдено условие Золотого Сечения (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618). Отношение с к b равно 1,618, а  с к а  равно 2,618. Это всё те же, уже знакомые нам, коэффициенты Фибоначчи.

2. Если взять прямоугольник с длиной и шириной равными двум соседним числам Фибоначчи, то получится «Золотой прямоугольник». Если разбить его на более мелкие прямоугольники с размерами, соответствующими двум соседним числам Фибоначчи и разделить каждый из них дугой, то система начнет приобретать некоторую форму в виде спирали.

ЕщеГетеподчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т. д.

Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНK закручена двойной спиралью. Гете называл спираль “кривой жизни”.

3. Из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы.Однако один случай, который, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Сосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов. Произошло это после смерти Тициуса в начале XIX в. Ряд Фибоначчи используют широко: с его помощью представляют архитектонику и живых существ, и рукотворных сооружений, и строение Галактик. Эти факты – свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности.
4. Многие пытались разгадать секреты пирамиды в Гизе. В отличие от других египетских пирамид это не гробница, а скорее неразрешимая головоломка из числовых комбинаций. Замечательные изобретательность, мастерство, время и труд архитекторов пирамиды, использованные ими при возведении вечного символа, указывают на чрезвычайную важность послания, которое они хотели передать будущим поколениям. Их эпоха была дописьменной, доиероглифической и символы были единственным средством записи открытий.Так, например, длина грани пирамиды в Гизе равна 783.3 фута (238.7 м), высота пирамиды – 484.4 фута (147.6 м). Длина грани, делённая на высоту, приводит к соотношению Ф=1.618.Высота 484.4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13) – это числа из последовательности Фибоначчи.

Эти интересные наблюдения подсказывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции Ф=1,618. Современные учёные склоняются к интерпретации, что древние египтяне построили её с единственной целью – передать знания, которые они хотели сохранить для грядущих поколений.

Интенсивные исследования пирамиды в Гизе показали, сколь обширными были в те времена познания в математике и астрологии. Во всех внутренних и внешних пропорциях пирамиды число 1.618 играет центральную роль.

5. Пропорция "фи" проявляется и в человеческом теле. Друнвало Мелхиседек в книге "Древняя тайна Цветка Жизни" пишет: "Да Винчи вычислил, что, если нарисовать квадрат вокруг тела, потом провести диагональ от ступней до кончиков вытянутых пальцев, а затем провести параллельную горизонтальную линию (вторую из этих параллельных линий) от пупка к стороне квадрата, то эта горизонтальная линия пересечет диагональ точно в пропорции фи, как и вертикальную линию от головы до ступней.Пропорция фи обнаруживается в тысячах мест по всему телу, а это не просто совпадение. Вот некоторые явственные места в теле человека, где обнаруживается пропорция фи. Длина каждой фаланги пальца находится в пропорции фи к следующей фаланге… Та же пропорция отмечается для всех пальцев рук и ног. Если соотнести длину предплечья с длиной ладони, то получится пропорция фи, так же длина плеча относится к длине предплечья. Или отнесите длину голени к длине стопы и длину бедра к длине голени. Пропорция фи обнаруживается во всей скелетной системе. Она обычно отмечается в тех местах, где что-то сгибается или меняет направление. Она также обнаруживается в отношениях размеров одних частей тела к другим. Изучая это, все время удивляешься".
6. Совсем недавно числа зависимость чисел Фибоначчи начали использовать на валютных рынках. С помощью этих чисел исследуют, как далеко может цена удаляться в поисках нового максимума или минимума, пока зона застоя не завершит текущую тенденцию рынка. Эти скрытые точки указывают на те уровни поддержки/сопротивления, на которых цена либо будет совершать колебательные движения, либо развернется в противоположном направлении.

Заключение

Работая над своей темой, я убедился, среди множества последовательностей, изучаемых человечеством, одна из них обладает удивительными свойствами и несёт универсальный характер практического применения. Эта последовательность носит имя итальянского математика Леонардо Фибоначчи. Бесконечная числовая последовательность 1,1,2,3,5,8,13,21…., любой член которой,  начиная с третьего, выражается через сумму двух предыдущих, была описана при решении задачи о размножении кроликов. Выросшие из знаменитой «задачи о кроликах», имеющей семисот пятидесятилетнюю давность, числа Фибоначчи до сих пор остаются одной из самых увлекательных глав элементарной математики. Задачи, связанные с числами Фибоначчи, приводятся во многих популярных изданиях по математике, рассматриваются на занятиях школьных математических кружков, предлагаются на математических олимпиадах.

Основная закономерность этих чисел позволяет решать геометрические задачи - парадоксы с делением сторон квадрата на части по закону чисел Фибоначчи и составлением из них прямоугольника. В данной работе я рассмотрел математические фокусы с несовпадением данных площадей и надеюсь удивить ими своих друзей.

В своей работе я кратко описал, как последовательность Фибоначчи тесно связана с природой и жизнью людей. До сих пор люди, увлечённые этой последовательностью, продолжают находить закономерности в жизни, связанные с удивительными числами.

Так, например, найдено приложение чисел Фибоначчи в теории игр. Думаю, что в дальнейшем я изучу этот вопрос.

Литература

1. Башмаков М.И. Математика в кармане «Кенгуру». Международные олимпиады  школьников. – М. : Дрофа, 2011
2. Борисовский Г. Б. Наука, техника, искусство. – М., 1969.
3. Бутусов К. П. Золотое сечение в солнечной системе. – В кн.: Астрометрия и небесная механика. – М. -Л., 1978.
4. Вейль Г. Симметрия. – М., 1968.
5. Виленкин Комбинаторика. – М., Наука, 1969.
6. Волошинов А. В. Математика и искусство. – М., Просвещение, 1992.
7. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. – М., Наука, 1984.
8. Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве. – М., 1936.
9. Мордкович А.Г., Семёнов П.В. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2010.

Приложение.

.