Прогулка по ленте Мебиуса

Окружная научно-практическая конференция учащихся

Секция:МАТЕМАТИКА

Прогулки по ленте Мёбиуса

Выполнили: Хоршева Кристина и Гвардис Артём

    ученики 11 класса ГБОУ СОШ №3

    города Кинеля Самарской области

Научный руководитель:

учитель математики

 Павлова Ольга Геннадьевна

Кинель 2012

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………………………………3

ГлаваI. История возникновения ленты…………………………………………………………5

Глава II. Представления о ленте Мёбиуса…………………………………………………….7

Глава III. Свойства и теоремы

Форма бумажной полоски……………………………………………………………………………9

Немятый лист бумаги-«развёртывающаяся поверхность»……………………..…10

Теорема1.λ ≥ π/2………………………………………………………………………………………...13

Теорема 2. λ ≤ √3………………………………………………………………………………………….16

Теорема 3. Ленту Мёбиуса с самопересечениями можно склеить из полоски любой длины, большей π/2………………………………………………………………………..17

Глава IV. Применение ленты Мёбиуса………………………………………………………..20

Заключение………………………………………………………………………………………………….22

Библиография………………………………………………………………………………………………24

Введение

В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений. Мы рассмотрели применение листа Мёбиуса в науке, технике и изучении свойств Вселенной. Уже сейчас Лента Мёбиуса находит различное применение в быту: абразивные ремни для заточки инструментов, красящие ремни для печатающих устройств, ременные передачи, магнитофонные ленты и т.д. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.

Кроме того, существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности – чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Более того, эта теория полностью согласуются с теорией относительности Эйнштейна и его предположением, что космический корабль всё время летящий прямо может вернуться к месту своего старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной. Из этого следует сделать вывод о реальности теории зеркальных миров – ведь астронавты, совершившие путешествие по ленте Мёбиуса и вернувшиеся в исходную точку, превратятся в зеркальных своих двойников.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того, такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Или аннигиляция, как подтверждают физики. Они, кстати, утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мёбиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.

Цель работы: Показать, что математика – это увлекательный предмет и найти подтверждение применения ленты Мёбиуса в современном мире.

Объект исследования: Лента Мёбиуса.

Задачи:

1. Изучить историю возникновения ленты Мёбиуса.
2. Провести разнообразные эксперименты с лентой Мёбиуса.
3. Выяснить, нашёл ли лист Мёбиуса практическое применение в повседневной жизни.
4. Доказать теоремы.
5. Изучить топологические свойства ленты Мёбиуса.

Глава I. История возникновения ленты.

Август Фердинанд Мёбиус (17.11.1790 – 26.09.1868), немецкий геометр и астроном, профессор Лейпцигского университета. Родился в Шульпфорте. Некоторое время под руководством К. Гаусса изучал астрономию. С 1816 года начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818 году стал её директором, а позже – профессором Лейпцигского университета.

В научных источниках говорится, что Август Фердинанд Мёбиус взял однажды бумажную ленту, повернул один её конец на пол-оборота (то есть на 180о), а потом склеил его с другим концом. То ли от скуки он это сделал, то ли научного интереса ради – теперь уже неизвестно. Зато доподлинно известно, что именно так и появилась ещё в прошлом веке знаменитая лента Мёбиуса. Она относится к числу «математических неожиданностей». В 1858 г. Мёбиус в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал её результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус – в 1862 г. Открыть свой «лист» Мёбиуса помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты. Также известны труды Мёбиуса и по проектной геометрии. В частности, он впервые ввёл систему координат и аналитические методы исследования, установил существование односторонних поверхностей(листов Мёбиуса), многогранников, для которых неприменим «закон рёбер» и которые не имеют объёма. Мёбиус – один из основоположников теории геометрических преобразований, а также топологии, теории векторов и многомерной геометрии. Получил важные результаты в теории чисел (функция Мёбиуса).

Лист Мёбиуса топологический объект, простейшая не ориентируемая поверхность с краем, односторонняя в обычном трёхмерном евклидовом пространстве R³. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году.

Глава II. Представления о ленте Мёбиуса.

Лента Мёбиуса – бумажная лента, повёрнутая одним концом на пол-оборота (на 180 градусов), и склеенная с другим его концом.

Поверхность ленты имеет лишь одну сторону. И это легко проверить. Возьмём карандаш и начнём закрашивать ленту в произвольном направлении. Вскоре мы вернёмся в то место, откуда начали её закрашивать. А теперь смотрим, и что мы видим? Закрашенной оказалась вся лента! А это при том, что мы её не переворачивали, для того чтобы закрасить с другой стороны. Да мы бы и не смогли перевернуть, потому что лента Мёбиуса – односторонняя. Такое вот интересное свойство.

Что же из этого свойства следует? А следует удивительное превращение ленты. Если разрезать её вдоль, точно посередине – то получится не две, а одна лента. А вот если разрезать ленту на расстоянии 1/3 её ширины от края, то получаются два кольца – но! – одно большое и сцепленное с ним маленькое. Если же разрезать ещё и маленькое кольцо вдоль посередине, то у вас окажется весьма интересное переплетение двух колец – одинаковых по размеру, но разных по ширине. Чудеса?.. Попробуйте сами!

Топологические свойства:

• Односторонность - топологическое свойство листа Мёбиуса, характерное только для него.

• Непрерывность – с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывность, На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с другой точкой. Разрывов нет – непрерывность полная.

• Связность – чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Но вот чтобы располовинить кольцо, потребуется уже два разреза. Что касается листа Мёбиуса, то количество связей меняется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот – двусвязен и т.д. Связность принято оценивать числом Бетти, или иногда пользуются эйлеровой характеристикой.

• Ориентированность – свойство отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение.

•«Хроматический номер» - максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер ЛМ равен шести.

Глава III. Свойства и теоремы

Формы бумажной полоски.

Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине. Скажем, из квадратного листа ленты Мебиуса не сделаешь. Это верно, но с одной оговоркой, которую легко недооценить: ограничения на размер имеют значения лишь в том случае, когда бумагу запрещается мять. Если же мять бумагу не запрещается, то ленту Мёбиуса можно склеить не только из квадрата, но и из прямоугольника любых размеров – склеиваемые стороны могут быть даже во сколько угодно раз длиннее  наклеиваемых.

Сделать это можно так (см. рис. 1). Сложим прямоугольный лист в гармошку, перегнув его чётное количество раз. Затем из этой гармошки, как из толстой бумажной полоски, склеим ленту Мёбиуса, вставляя соответствующие части гармошки друг в друга. Из рисунка 1 видно, что лист бумаги, из которого склеена лента Мёбиуса, оказался смятым.

Рис. 1

Предположим теперь, что бумажную полоску можно изгибать, но не мять. Применим ширину полоски за единицу. Ясно, что чем длиннее полоска, тем легче склеить из неё ленту Мёбиуса. Таким образом, существует такое число λ, что из полоски длины больше λ ленту Мёбиуса склеить можно, а из полоски длины меньше λ – нельзя (что будет для полоски, длина которой в точности равна λ, нас не интересует). Очень хотелось бы найти это λ.

Удивительно, но решение этой задачи до сих пор не известно.

Здесь мы докажем для  λ неравенства

1,57(π⁄2) ≤ λ ≤ 1,73(√3)

(при этом наличием склеиваемых участков полоски мы пренебрегаем: предполагается, что края полоски склеиваются встык) и постараемся объяснить, почему не удаётся вычислить λ точнее.

Немятый лист бумаги – «развёртывающаяся поверхность»

Раз требование не мять бумагу так важно, посмотрим, каков его математический смысл.

Легко понять, что запрещение мять бумагу значительно ограничивает возможность манипулировать бумажным листом. Например, лист бумаги, не помяв, можно свернуть в трубку или сложить  без складки  пополам, но нельзя сложить вчетверо (рис. 2). Из листа бумаги, не смяв его, можно сделать конус («фунтик»), но нельзя сделать сферу или даже её кусочек (рис. 3): прижмите лист бумаги к глобусу, и обязательно появятся складки. Как видно, листу бумаги можно придать далеко не всякую форму.

Рис.2                                                                         Рис.3

Поверхности, которые можно сделать из листа бумаги, изгибая, но не сминая его, математики называют развёртывающимися. (Примеры развёртывающихся поверхностей показаны на рисунке 4.) Конечно, в математике развёртывающиеся поверхности определяются не так: в математическом языке отсутствуют слова «бумага», «сминать», «сделать». Существует целая теория развёртывающихся поверхностей, среди достижений которой – удовлетворительный ответ на вопрос, какими они могут быть; математики называют это «классификацией» (ответ принадлежит Леонарду Эйлеру). Мы не собираемся здесь излагать общую теорию развёртывающихся поверхностей: всякая общая теория скучновата. Мы приведём только некоторые свойства развёртывающихся поверхностей, нужные для дальнейшего. Наше наглядное определение не позволяет их доказать, так что придётся рассматривать эти свойства как экспериментальные факты (возьмите лист бумаги и убедитесь в их справедливости).

Рис.4

1. Через каждую точку A развёртывающейся поверхности, не лежащую на её границе, проходит лежащий на поверхности отрезок, не кончающийся в A. Иначе говоря, в каждой точке к развёртывающейся поверхности (изогнутому, но не смятому листу бумаги) можно приложить спицу так, чтобы она прилегала к поверхности на некотором протяжении по обе стороны от взятой точки. Такой отрезок называется образующей поверхности (условимся, что это название относится только к отрезкам максимальной длины, целиком лежащим на поверхности, то есть, к отрезкам, не содержащимся в бóльших отрезках с этим свойством).
2. Если через точку A, не лежащую на границе поверхности, проходят две различные образующие, причём A не является концом ни одной из них, то достаточно маленький кусок поверхности, окружающий A, является плоским. В таком случае точку A мы будем называть плоской.
3. Если точка A, не лежащая на границе поверхности, является концом какой-нибудь образующей, скажем, a, то окрестность точки A устроена так. Через точку A проходит единственная не кончающаяся в ней образующая, скажем, b(рис.5). Эта образующая разделяет поверхность на две части. С той стороны от образующей b, с которой находится образующая a, к образующей b прилегает плоский кусок, сдругой стороны от b, сколь угодно близко от точки A, имеются не плоские точки. Точку A в этой ситуации мы будем называть полуплоской.

Подчеркнём, что если точка поверхности не является ни граничной, ни плоской, то через неё проходит единственная не кончающаяся в ней образующая, причём концы этой образующей лежат на границе поверхности.

Примеры. Лист бумаги, свёрнутый в трубочку или в фунтик, плоских (и полуплоских) точек не имеет. У трубочкиобразующие составляют семейство параллельных отрезков, у фунтика – семейство отрезков, веером расходящихся из одной точки. Возможны более сложные расположения образующих. Например, образующие и плоские точки развертывающейся поверхности, изображённой на рисунке 6а, показаны на рисунке 6б (на нём поверхность развёрнута в плоский лист бумаги): тонкие линии – образующие, а закрашенные области состоят из плоских точек.

       Рис.5                   а)Рис.6          б)

Точки, лежащие на границе области плоских точек, являются либо граничными для всей поверхности, либо полуплоскими. Если поверхность сделана из бумажного многоугольника (скажем, из прямоугольника), то плоские точки составляют один или несколько плоских многоугольников, причём у каждого из этих многоугольников вершины лежат на границе поверхности, а стороны либо лежат на границе, либо состоят из полуплоских точек (см. ещё раз рисунок 6б).

Теорема 1. λ ≥ π/2

Доказательство. Пусть лента Мёбиуса сделана из бумажной полоски длины l. Намотаем на неё длинную бумажную ленту. Эта лента (толщиной бумаги пренебрегаем) будет составлена из прямоугольников одинаковой длины, каждый из которых принимает форму нашей ленты Мёбиуса. Отметим на длинной ленте прямолинейные образующие и плоские точки (как на рисунке 6б). Получится что-то вроде рисунка 7. Картина периодична: всё повторяется с периодом, равным 2l. Можно сказать больше: при сдвиге влево или вправо на l картинка меняется, но строго определённым образом; именно, она переворачивается (т.е. зеркально отражается в средней линии полоски). Области плоских точек представляют собой четырёхугольники (которые могут выродиться в треугольники), ограниченные двумя отрезками противоположных краёв ленты и двумя отрезками, проходящими по ленте. Части ленты, не попавшие в эти области, вымощены образующими, концы которых лежат на краях ленты. (Всё это следует из свойств 1-3 развёртывающихся поверхностей). Плоские участки также можно вымостить образующими, так что вся лента будет покрыта непрерывным семейством образующими (рис.8). Образующие в одинаковых четырёхугольниках можно выбирать одинаковым образом, так что описанная выше периодичность сохранится.

Рис.7

Рис.8

Возьмём любую образующую из нашего семейства, скажем, [AB]. Если симметрично отразить её в средней линии полоски и затем перенести в любую сторону (скажем, вправо) на l, то получится отрезок CD, который тоже является образующей из нашего семейства (рис. 9). Заметим (это важно), что |AC| + |BD| = 2l. При наматывании нашей длинной ленты на ленту Мёбиуса образующие [AB] и [CD] займут одинаковое положение, причём точка A совместится с D, а точка B – с C; другими словами, отрезки AB и CD составят в пространстве угол в 180°. Между [AB] и [CD] располагается непрерывное семейство образующих. При движении от [AB] к [CD] величина угла, который эти образующие составляют в пространстве с [AB], непрерывно изменяется от 0° до 180°. (Напомним, что величина угла между отрезками KL и MP в пространстве определяется как ÐKLQ, где Q – такая точка, что отрезки LQ и MP равны по длине, параллельны и направлены в одну сторону).

Рис.9                                                                                            Рис.10

Рис.11

Возьмём любое n и найдём между [AB] и [CD] такие образующие [A1B1], ..., [An–1Bn–1], что величина угла между [AB] и [AkBk] равна k·180°/n (точки A1, ..., An–1 в этом порядке лежат между A и C, а точки B1, ..., Bn–1 в этом порядке лежат между B и D; см. рис. 10). Длина каждой из образующих больше или равна 1, а величина угла между пространственными положениями двух соседних образующих не меньше 180°/n. Покажем, что каждая из сумм |AA1| + |BB1|, |A1A2| + |B1B2|, ..., |An–1C| + |Bn–1D| не меньше длины a2n стороны правильного 2n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Это видно на рисунке 11.На этом рисунке отрезки AkE и Ak+1Bk+1 равны по длине, параллельны и направлены в одну сторону, |AkF| = |AkH| = 1 и [FG] || [EBk]. Мы видим, что |AkAk+1| + |BkBk+1| = |EBk+1| + |BkBk+1| ≥ |EBk| ≥ |FG| ≥ |FH| ≥ a2n (здесь |AkAk+1|, |BkBk+1|, |EBk+1| длины отрезков изображённых на рисунке 11 совпадают   с длинами отрезков [AkAk+1], [BkBk+1] рисунка 10; предпоследнее неравенство следует из того, что ÐFHG > 90°, а последнее – из того, что ÐFAkH ≥ 180°/n).

Итак, 2l = |AC| + |BD| = (|AA1| + |BB1|) + (|A1A2| + |B1B2|) + ... + (|An–1C| + |Bn–1D|) ≥ na2n, т.е. 2l  при любом  n не меньше половины периметра правильного 2n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Значит, 2l не меньше половины длины самой этой окружности, то есть π, и l ≥ π/2. Теорема доказана.

Теорема 2. λ ≤ √3

Эта теорема проще предыдущей: для её доказательства достаточно объяснить, как склеить ленту Мёбиуса из полоски, длина которой больше √3. Предположим сначала, что её длина в точности равна √3. Тогда на этой полоске можно расположить два правильных треугольника (рис. 12). Перегнём полоску по боковым сторонам этих треугольников, чередуя направления сгиба (рис. 13; возьмите ножницы и бумагу и проделайте это). Края AB и CD полоски совместятся, причём точка A совместится с точкой D, а точка B – с точкой C. Получится лента Мёбиуса.

Рис.12                       Рис.13

      Рис.14                        Рис.15

При этом построении было нарушено главное правило – не мять бумагу. Но легко понять, что если длина полоски хоть немного больше √3, то  излом  по образующей можно заменить  изгибанием, производимым на узком участке (рис. 14). Короче говоря, излом вдоль прямолинейного отрезка нам не страшен: его можно заменить близким к нему изгибанием. (Непоправимое сминание бумаги происходит, когда две линии перегиба пересекаются, т.е. когда лист складывается наподобие носового платка – всё это известно нам из повседневного опыта.).

Как выглядит получившаяся лента Мёбиуса, показано на рисунке 15. Её устройство можно представить себе так: три одинаковых правильных треугольника ABC, A'B'C', A"B"C" лежат параллельно друг другу, соответствующие вершины над соответствующими вершинами; стороны AB и A'B', B'C' и B"C", C"A" и CA соединены перемычками. Линия склейки проходит по медиане одного из треугольников.

Теорема 3.Ленту Мёбиуса с самопересечениями можно склеить из полоски любой длины, большей π/2.

Делается это так. Возьмём достаточно большое нечётное n и построим правильный n-угольник, вписанный в окружность диаметра 1. Рассмотрим, далее, n содержащих центр окружности треугольников, каждый из которых ограничен стороной и двумя диагоналями n-угольника (рис. 16; здесь n=7). Эти треугольники покрывают наш n-угольник, некоторые его места – по нескольку раз. Приложим теперь эти n треугольников друг к другу так, как показано на рисунке 17, после чего отрежем по длинной медиане половину самого левого треугольника и приложим её к самому правому треугольнику (рис. 17). Получится прямоугольная полоска с отношением длины к ширине, бóльшим π/2 и стремящимся к π/2 при n, стремящимся к ∞ (ширина полоски стремится к 1, а длина – к π/2). Если последовательно перегнуть эту полоску по всем проведённым на ней линиям, чередуя направления сгиба (рис. 18), то треугольники расположатся как на рисунке 16 (возьмите ещё раз ножницы и бумагу и проделайте это).Отрезки AB и CD при этом почти совместятся – между ними окажется только несколько слоёв сложенной бумаги. При этом «почти совмещении» точка A совместится с D, а точка B – с C, так что если бы мы смогли «пропустить ленту сквозь себя» и склеить |AB| с |CD|, то получилась бы лента Мёбиуса. Если ленту взять чуть более длинной, можно избежать складок, подобно тому как мы это сделали в доказательстве теоремы 2. Что получится, мы попробовали изобразить на рисунке 19.

Рис.16  Рис.17

Рис.18      Рис.19

Таким образом, если бы мы захотели (для лент без самопересечений) доказать, что λ ≥ μ, где μ > √3, нам пришлось бы в доказательстве обязательно учитывать отсутствие самопересечений. Наличие или отсутствие самопересечений у той или иной фигуры в трёхмерном пространстве – это задача «трёхмерной геометрии расположения». Весь опыт математики показывает, что задачи о расположении в трёхмерном пространстве очень трудны. Ведь эта геометрия включает в себя, скажем, теорию узлов и зацеплений, известную своей неприступностью («Квант», 1975, № 7, с. 6); в ней возможны такие феномены как «рогатая сфера Александера» («Квант», 1977, № 7, с. 22); простейшие её вопросы, например, можно ли через маленькую дырку вывернуть наизнанку тор, – ставят в тупик нашу интуицию. И вот что удивительно. Казалось бы, в пространствах размерности больше трёх проблемы расположения должны стоять ещё более остро. Но нет: с ростом размерности эти трудности сглаживаются. Впрочем, «сглаживание» начинается с размерности 5; четырёхмерное пространство в известном смысле не проще трёхмерного. К сожалению, здесь мы не сможем аргументировать только что сказанное, так что просим поверить нам на слово.

Но вернёмся к ленте Мёбиуса. Теорема 1, как мы видели, в действительности относится к самопересекающимся лентам. Маловероятно, чтобы условие отсутствия самопересечений не воздействовало на λ; однако учесть это воздействие не удаётся, поскольку математика не обладает достаточными техническими средствами для изучения самопересечений в трёхмерном пространстве. Напротив, вполне вероятно, что теорема 2  неулучшаема. Ведь улучшить её – значит придумать новую  конструкцию  ленты. Опыт показывает, что оптимальные конструкции бывают простыми и гармоничными, каковой и является конструкция из доказательства теоремы 2. Естественно предположить, что если бы лучшая конструкция существовала, она была бы найдена – за столько лет!

Вот почему можно ожидать, что λ = √3.

Глава IV. Применение ленты Мёбиуса.

Имеются и материальные воплощения простого листа Мёбиуса. Недавно построенный в Лондоне Олимпийский велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мёбиуса;(см. приложение, рис. 16).

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.

Устройство под названием резистор Мёбиуса — это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности; (см. приложение, рис. 17).

Благодаря ленте Мебиуса появился "Механизм управления", на который получено Авторское свидетельство №1453110 (Приоритет 26.07.1985, автор Смирнов В.Б.). Механизм управления можно применить в детских заводных игрушках,  в конструкции стабилизатора штурвала рулевого привода, в щелевом затворе фото- или кинокамеры.

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса; (см. приложение, рис.18).

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур, и для графического искусства;(см. приложение, рис. 1,2,4,7,8,9,10,12,13,14,15). Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса; (см. приложение, рис.3) Проект «Совершенство не имеет границ» заслужил малую медаль Сибирской ярмарки.В Новосибирских парках цвело всё, даже огромные извивающиеся каркасы, имеющие самые причудливые формы; (см. приложение, рис. 5).

Лента Мёбиуса также распространена в художественной литературе и дорожных развязках; (см. приложение, рис. 11,20,21).

В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку (см. приложение, рис. 6), достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса.

Заключение.

Нами была проделана работа по доказательству некоторых свойств ленты Мебиуса. Изучались свойства ленты на наглядных примерах.

В результате нашей работы мы доказали теорему. Она может быть полезна для тех, кто начинает изучать топологию, так как более просты и понятны.

Чудесные свойства листа Мебиуса привели к новым открытиям и изобретениям (очень полезным и совершенно бесполезным). Лист Мебиуса служил вдохновением для скульпторов, художников и графиков. Многие физические явления используют для объяснения листа Мебиуса. Ученые генетики рассматривают код  ДНК в качестве модели ленты Мебиуса. Лист Мебиуса применяется для усовершенствования технических приборов. Загадочная лента Мебиуса применяется для показа фокусов в цирке.

И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета. В этой исследовательской работе мы узнали много нового об известном учёном Мёбиусе и о его  изобретениях. … Лист Мёбиуса – первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но эта – самая первая поверхность, положившая начало целому направлению в геометрии, по – прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, художников. В этой работе мы пытались описать свойства этой прекрасной поверхности-листа Мебиуса, показать его значимость на практике, доказать, что лист Мёбиуса – топологическая фигура.

«Здесь нет пределов, нет ограничений,

Стремись вперёд и открывай миры,

Почувствуй силу новых ощущений,

Прими познанья высшего дары.»

                        Н.Ю. Иванова

Библиография.

1. Фестиваль «Открытый урок»  [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://festival.1september.ru/articles/522337.
2. Новосибирская открытая образовательная сеть [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/index.html.
3. Новосибирская открытая образовательная сеть [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/index.html.
4. Волшебные завитки гнутого дерева [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://blog.i.ua/user/2243474.