Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №28 г. Мытищи

Научно-практическая работа по геометрии

Тема: Симметрия вокруг нас

                                                                                                                  Выполнили:

                                                                                Ученицы 8 В класса

                                                                                Соловьёва Анастасия

                                                                                и Масликова Софья

                                                                                 Руководитель:

                                                                                 Никитина И. А.

                                                                                 учитель математики

                                                                         г. Мытищи

2012

Введение

В данной работе рассматривается тема: «Симметрия вокруг нас».

 В нашей повседневной жизни мы постоянно используем и наблюдаем всевозможные объекты природы  и продукты, созданные человеком. Каждый из нас примерно представляет,  что такое симметрия. Но все ли предметы, окружающие нас, симметричны? Ведь вокруг  присутствует и асимметрия. Многие  тела, созданные природой, асимметричны, не так ли? А что тогда имеет симметрию? Как и где она выражается? В нашей работе мы рассмотрим значение и  использование симметрии в жизни человека. А также попытаемся определить: какие тела обладают идеальной симметрией?

С этой точки зрения можно  рассмотреть и актуальность данного вопроса:  как симметрия и её изучение влияет на нас.

В нашей работе мы рассмотрим ряд следующих вопросов:

1. Что такое симметрия?
2.  История возникновения симметрии.
3. Какие категории симметрии можно выделить?
4. Какие типы симметрии можно выделить?
5. Какова симметрия в наше время (её значение и применение)

Итак, что же такое симметрия?

Симметрия (от греч. symmetria - соразмерность) -  однородность, пропорциональность, гармония. Это признак полноты и совер шенства. Лишившись элементов симметрии, предмет ут рачивает свое совершенство и красоту, т.е. эстетическое понятие. По преданию  термин «симметрия» придумал скульптор Пифагор Регийский, живший в г. Регул Отклонение от симметрии он определил термином «асимметрия».

История возникновения симметрии

Представители первой научной школы в истории человечества, последователи Пифагора Самосского, пытались связать симметрию с числом. Каждой вещи, учили пифагорейцы, соответствует определенное отношение чисел, которое они называли логосом. Пифагорейцы предпочитали вместо слова «симметрии» пользоваться словом «гармония». Широко используя идею гармонии и симметрии, ученые древности любили обращаться не только к сферическим формам, но и к правильным многогранникам. У правильных многогранников грани – правильные многоугольники одного вида, а углы между гранями равны. Древние греки установили, что существует всего пять правильных выпуклых многогранников, название которых связаны с числом граней, - тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр. Все правильные многогранники обладают зеркальной симметрией.

Познавательную силу симметрии оценили философы Древней Греции, используя ее в своих натурфилософских теориях. Так, например, Анаксимандр из Милета, живший в первой половине VI в. до н. э., использовал симметрию в своей космологической теории, где в центре мира поместил Землю — главное, по его мнению, тело мира. Она должна была иметь совершенную, симметричную форму, форму цилиндра, а на периферии вращаются огромные огненные кольца, закрытые воздушными облаками и дырками, которые и кажутся нам звездами. Земля расположена точно в центре, и здесь симметрия имеет смысл равновесия.

 Весы известны человеку с III в. до н. э. В состоянии равновесия массы грузов на разных концах коромысла одинаковы — положение коромысла симметрично относительно центра тяжести. Симметрия — это не только равновесие, но и покой: стоит добавить на одну из чашек весов дополнительный груз, как они придут в движение. Нарушено равновесие, исчезла симметрия — появилось движение.

Гармония (симметрия) состоит из противоположностей. В пространственной симметрии противоположности явно видны. Например, правая и левая кисти рук человека. Таких противоположностей древние ученые насчитали десять пар, например, чет — нечет, прямое — кривое, правое — левое и т.д.

И Леонардо да Винчи не обошел своим вниманием симметрию. Он рассмотрел равновесие шара, имеющего опору в центре тяжести: две симметричные половины шара уравновешивают друг друга и шар не падает. Как художник он главное внимание уделял изучению законов перспективы и пропорций, с помощью которых выявляются художественные достоинства произведений искусства.

В науку симметрия вошла в 30-х гг. XIX в. в связи с открытием Гесселем 32 кристаллографических классов и появлением теории групп как области чистой математики. Кристаллы наделены наибольшей величиной симметрии из всех реальных объектов. Симметричной в кристаллографии считается фигура, которая делится без остатка на равные и одинаково расположенные части.

Э. Галуа предложил классифицировать алгебраические уравнения по их группам симметрии. Ф. Клейн предложил взять идею симметрии в качестве единого принципа при построении различных геометрий. Выйдя за пределы геометрии, эта идея, развиваясь, сделала очевидным тот факт, что принцип симметрии служит той единственной основой, которая может объединить все разрозненные части огромного здания современной математики. Клейн развил свою концепцию в физике и механике. Программа Клейна как задача поиска различных форм симметрии выходит за рамки не только геометрии, но и всей математики в целом, превращается в проблему поиска единого принципа для всего естествознания.

Типы симметрии

Отметим основные типы симметрии:

 Билатеральная симметрия (двусторонняя симметрия) — симметрия зеркального отражения, при которой объект имеет одну плоскость симметрии, относительно которой две его половины зеркально симметричны— симметричность относительно зеркального отражения. При этом всегда существуют случайные отклонения от симметрии (например, у человека  различия в капиллярных линиях, ветвлении сосудов и расположении родинок). Часто существуют небольшие, но закономерные различия во внешнем строении (например, более развитая мускулатура правой руки у праворуких людей) и более существенные различия между правой и левой половиной тела в расположении внутренних органов. У животных билатеральная симметрия проявляется в схожести или почти полной идентичности левой и правой половин тела. При этом всегда существуют случайные отклонения от симметрии. Зеркальную симметрию можно обнаружить повсюду: в листьях и цветах растений, архитектуре, орнаментах.

Замечательным примером зеркальной симметрии в литературе является фраза "перевертыш": "А роза упала на лапу Азора". Кинь лед зебре, бобер бездельник. В этой строке центром зеркальной симметрии является буква "н", относительно которой все остальные буквы (не учитывая пропуски между словами) расположены во взаимно противоположной очередности.

Симметрия n-го порядка — симметричность относительно поворотов на угол 360°/n вокруг какой-либо оси. Внешний вид узора не изменится, если его повернуть на некоторый угол вокруг оси.

Аксиальная симметрия (радиальная симметрия, лучевая симметрия) — форма симметрии, при которой тело (или фигура) совпадает само с собой при вращении объекта вокруг определённой точки или прямой. Аксиальная симметрия характерна, в основном, для кишечнополостных животных. 

Примером объекта  симметрии, характе ризующим эту операцию симметрии, является шар. Ша ровые формы распространены в природе достаточно ши роко. Они обычны в атмосфере (капли тумана, облака), гидросфере (различные микроорганизмы), литосфере и космосе. Шаровую форму имеют споры и пыльца расте ний, капли воды, выпущенной в состоянии невесомости на космическом корабле.

Центральная симметрия (сферическая симметрия) — это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам. Центральную симметрию имеют многие геометрические тела. К ним следует отнести все правильные многогранники (за исключением тетраэдра)

Актуальность симметрии в различных областях наук

Симметрия в технике

  Техника пока интуитивно, подсознательно использует и заимствует законы природной симметрии. В технике плоскость симметрии делит машину на две равные части. Любой станок, машина, прибор, механизм, узел должны компоноваться вокруг установленной оси симметрии.

Симметричная форма дирижабля, самолета, автомобиля и т.д. обеспечивает хорошую обтекаемость, а значит, и минимальное сопротивление движению.

Симметрия в религии

Предполагается, что тенденция людей видеть цель в симметрии, является одной из причин, почему симметрия часто является неотъемлемой частью символов мировых религий.

Люди наблюдают симметричную природу (также включающую ассиметричный баланс) социального взаимодействия в различных контекстах. Они включают оценки взаимности, эмпатии, извинения, диалога, уважения, справедливости и мести. Симметричные взаимодействия посылают сигналы «мы одинаковые», а асимметричные взаимодействия выражают мысль «я особый, лучше чем ты». Взаимоотношения со сверстниками строятся на основе симметрии, а властные отношения — на асимметрии.

Симметрия в архитектуре

С трехмерными симметричными узорами мы сталки ваемся ежедневно: это многие современные жилые зда ния, а иногда и целые кварталы, ящики и коробки, гро моздящиеся на складах, атомы вещества в кристалличес ком состоянии образуют кристаллическую решетку — элемент трехмерной симметрии. Во всех этих случаях правильное расположение позволяет экономно исполь зовать пространство и обеспечивать устойчивость.

Пропорция и симметрия объекта всегда необходима нашему зрительному восприятию, для того чтобы мы могли считать этот объект красивым. Баланс и пропорция частей, относительно целого, обязательны для симметрии. Смотреть на симметричные изображения приятней, нежели на асимметричные. Трудно найти человека, не любовавшегося орнаментами. В них можно обнаружить затейливое сочетание разных типов симметрии. За примером орнамента не надо далеко ходить - взгляните на рисунок обоев, которыми оклеены стены вашей комнаты.

Симметрия у растений

Характерная для растений симметрия конуса хорошо видна на примере любого дерева.

Дерево поглощает из почвы влагу и питательные вещества за счёт корневой системы, то есть снизу, а остальные жизненно важные функции выполняются кроной, то есть наверху. Поэтому направления «вверх» и «вниз» для дерева, существенно различны. А направления в плоскости перпендикулярной к вертикали, для дерева фактически неразличимы: по всем этим направлениям к дереву в равной мере поступают воздух, свет, и влага. В результате появляется вертикальная поворотная ось и вертикальная плоскость симметрии.

Симметрия у животных

Под симметрией у животных понимают соответствие в размерах, форме и очертаниях, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии.

Сферическая симметрия имеет место у радиолярий и солнечников, тело которых сферической формы, а его части распределены вокруг центра сферы и отходят от неё. У таких организмов нет ни передней, ни задней, ни боковых частей тела, любая плоскость, проведённая через центр, делит животное на одинаковые половинки.

При радиальной или лучистой симметрии тело имеет форму короткого или длинного цилиндра либо сосуда с центральной осью, от которого отходят в радиальном порядке части тела. Это кишечнополостные, иглокожие, морские звёзды.

При билатеральной симметрии осей симметрии три, но симметричных сторон только одна пара. Потому что две другие стороны - брюшная и спинная - друг на друга не похожи. Этот вид симметрии характерен для большинства животных, в том числе насекомых, рыб, земноводных, рептилий, птиц, млекопитающих.

-Симметрия у человека

Тело человека построено по принципу двусторонней симметрии. Большинство из нас рассматривает мозг как единую структуру, в действительности он разделён на две половины. Эти две части - два полушария - плотно прилегают друг к другу. В полном соответствии с общей симметрией тела человека каждое полушарие представляет собой почти точное зеркальное отображение другого.

Управление основными движениями тела человека и его сенсорными функциями равномерно распределено между двумя полушариями мозга. Левое полушарие контролирует правую сторону мозга, а правое - левую сторону.

Физическая симметрия тела и мозга не означает, что правая сторона и левая равноценны во всех отношениях. Достаточно обратить внимание на действия наших рук, чтобы увидеть начальные признаки функциональной симметрии. Лишь немногие люди одинаково владеют обеими руками; большинство же имеет ведущую руку.

Женщины более склонны к леворукости, чем мужчины. У них потрясающая интуиция, которая «живёт» в правом полушарии, но слабее пространственная функция, логика, воля самоконтроль.

Среди мужчин много композиторов, художников, что говорит о развитии левого полушария.

Вывод:

Представив нашу работу, мы можем сделать вывод, что изучение симметрии было актуально как в древности, так и в современном мире при создании механизмов.  И мы все больше убеждаемся, что чем сильнее развивается технический прогресс, тем чаще симметрия становится неотъемлемой частью человеческого бытия.

При этом мы убедились, что в природе симметричные тела в чистом виде отсутствуют. Она еще не смогла создать тело полностью симметричное. Так же в реальной природе нет и чистой асимметрии. Возьмем, например, самого человека. С одной стороны, посмотрев на него, мы скажем: «Он симметричен. Две руки, две ноги и т.д. Это зеркальная симметрия!». Да, вы правы. Сказать, что человек не симметричен, было бы грубейшей ошибкой (тем более, что мы сами доказывали симметрию человека). Но и сказать, что он симметричен полностью мы не можем! Согласитесь, ведь у людей хоть и две ноги, две руки, но они не всегда одинаковы.

Да, мы не симметричны полностью, но и не асимметричны.

Любой может заметить, что вокруг нас присутствует симметрия. Отсюда и от наших предыдущих рассуждений можно сделать вывод: чистая симметрия присутствует только в тех предметах, которые создал человек.

Список литературы

1. Вигнер Е. Этюды о симметрии. – М., 1971.

2. Урманцев Ю.А Симметрия природы и природа симметрии: Философские и естественно-научные аспекты. Изд.2.— М.: Мысль, 2006.